运输问题数学建模(2015春)
数学建模之运输问题
数学建模之运输问题1. 引言运输问题是指在给定产地到销售地之间有若干个供应点和需求点的情况下，如何安排运输使得总运输成本最低。
这是一个经济管理中的经典问题，也是数学建模中常见的一个研究方向。
2. 问题描述假设有n个供应点和m个需求点，其中每个供应点的供应量和每个需求点的需求量已知，并且每个供应点到每个需求点的运输成本也已知。
我们的目标是确定供应点到需求点的运输量，使得总运输成本最小。
3. 模型建立为了建立数学模型，我们可以引入一个矩阵来表示供应点和需求点之间的运输成本。
设C为一个n行m列的矩阵，其中Cij表示供应点i到需求点j的运输成本。
我们需要引入决策变量X，其中Xij表示从供应点i到需求点j的运输量。
那么，目标函数可以定义为最小化总运输成本，即$$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} C_{ij} X_{ij}$$同时，我们需要保证供应点和需求点的供需平衡，即满足每个供应点的供应量和每个需求点的需求量。
这可以表示为以下约束条件：1. 对于每个供应点i，有 $\sum_{j=1}^{m} X_{ij} = s_i$，其中$s_i$ 表示供应点i的供应量。
2. 对于每个需求点j，有 $\sum_{i=1}^{n} X_{ij} = d_j$，其中$d_j$ 表示需求点j的需求量。
进一步地，我们需要确保运输量的非负性，即$X_{ij} \geq 0$。
4. 求解方法对于较小规模的问题，我们可以使用线性规划方法求解运输问题。
线性规划是一种数学优化方法，可以在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最小值。
对于大规模的问题，我们可以使用近似算法或启发式算法进行求解。
这些算法可以快速找到较好的解，但不能保证找到最优解。
常用的算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
5. 应用领域运输问题在许多实际应用中都有广泛的应用。
例如，在物流管理中，优化运输方案可以减少运输成本、提高运输效率；在生产计划中，合理安排运输可以确保供应链的稳定性和高效性。
数学建模运输问题
B六一 B五四
B一二 四B三 0
A一
一0 一一0 四 六
A二
不八限 四
A三
二
八
产量 [万台]
一0 一二 一0
最低需求[万台]
六 一四 0
最高需求[万台] 五
一0 一四 六
中转调运问题
一.已知甲、乙两处分别有一00吨和八五吨同种物资外运, A、B、C三处各需要物资五五,六0,七0吨. 物资可以直接运到目的地,也可以经某些中转点转运. 已知各处之间的单位运价如下表,试确定一个最优的调运方案.
j1
二
一]数学模型
...
m
n
m
min z
c ij x ij
i1 j1
n
j1
s
.t
.
m
i1
x
ij
x ij
x ij 0
销量
a i (i 1, , m ) b j( j 1, , n )
x一一 x一二 …
x一n
x二一 x二二 …
.
.x二n
.
..
.
a一 a...二
..
.
xm一 xm二 …
s.t.
j1
m
x ij
b j ( j 1, , n )
i1
x ij 0
二]求解方法: 转化为产销平衡问题
产大于销时,增加一个假想的销地 j = n+一[库存],
m
n
该销地的总需求量为
ai
bj
i1
j 1
而在单位运价表中从各产地到假想销地的单位运价为 ci,n1 0
就转化为一个产销平衡的运输问题. 具体做法如下：
数学建模运输问题
数学建模运输问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd 算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo编程求解出最终结果。
关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd 算法对其进行分析。
考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。
关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。
首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线：-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。
即最短路线为：-9-10-2-1。
但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。
关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。
这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。
因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。
得到优化结果为：第一辆车：-1，第二辆车：，总路程为280公里。
关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。
数学建模运输问题
有时候把两个表写在一起:
销地 产地 1 2 . . . m 销量
销地 产地 1 2 . . . m
1
2
…
n
产 量 a1 a2 . . . am 销地 产地 1 1 2 … n 产 量 a1 a2 . . . am
b1
1
b2
2
…
…
bn
n
2 . . . m
销量
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n . . . . . . . . . cm1 cm2 … cmn b1 b2 … bn
B2 10 4 5 6 14 6 5 3 4 3+4 B3 B4’ B4’’ 产量 （万台） 10 12 10 10
4
4 2
6
4
Global optimal solution found at iteration: 8 Objective value: 172.0000
销地 厂家 1 2
1
2
3
4
销地 厂家 A1 A2 A3 最高需求（万台）
31
x
32
x x x x x
33
x 2 3 4 6
34
7
x 11 x x 12 x x 13 x x 14 x x
ij
21
31
22
32
23
33
LINGO求解
24
34
0
设有三个电视机厂供应四个地区某种型号的电视机。 各厂家的年产量、 销地 各地区的年销售量以及 B1 B2 B3 厂家 各地区的单位运价 A1 6 3 12 如右表， A2 4 3 9 试求出总的运费最省的 A3 9 10 13 6 14 0 最低需求（万台） 电视机调拨方案。
数学建模中优化模型之运输问题讲解
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：5－(4＋(－4)＝5
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(10)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：3－(0＋(－4)＝7
4
3 u1=-4
7
7 u2=-2
6
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(6)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
u2+v1=c21 v1=10
v3=4
4 3
u1
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(7)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
u1+v1=c11 u1=-4
运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 求解方法 闭回路法、对偶变量法 特殊形式运输问题 不平衡问题、转运问题
数学建模---第四章-运输问题
p , p , , p i1 j1 i2 j2
ir jr
是线性相关的.
推论 1 若变量组对应的列向量组线性无关，则该变 量组一定不包含闭回路.
Go on
性质 1 的证明
Proof : 由直接计算可知
p p p p i1 j1
i1 j2
i2 j2
从理论上讲，运输问题也可用单纯形法来求解， 但是由于运输问题数学模型具有特殊的结构，存在一 种比单纯形法更简便的计算方法 —— 表上作业法， 用表上作业法来求解运输问题比用单纯形法可节约计 算时间与计算费用.但表上作业法的实质仍是单纯形法
§1 运输问题及其数学模型
§1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
A3 55
6
3
10 4
10
bj 5500 25 10 15
§2 运输问题的表上作业法 2、最小元素法 规则:优先安排单位运价最小的产地与销地之间的运输
任务. Note : 在某行（或列）填入最后一个数时，如果行和 列同时饱和，规定只划去该行（或列）
z 10 40 5 25 3 5 110
设某种物资共有 m 个产地 A1，A2，…，Am，各 产地的产量分别是a1，a2 ，…，am；有n 个销地 B1， B2，…，Bn ，各销地的销量分别为b1，b2，…，bn .
假定从产地Ai（i =1，2，…，m）向销地Bj（j =1， 2，…，n）运输单位物资的运价是cij，问怎样调运才能 使总运费最小？
j 1
i 1, 2, , m
m
xij bj
i 1
j 1, 2, , n
xij 0 i 1, 2, , m; j 1, 2, , n xij 0 i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
数学建模乘用车物流运输计划问题
1.2 问题重述 物流公司首先要从他们当时可以调用的“轿运车”中选择出若干辆轿运车，进而 给出其中每一辆轿运车上乘用车的装载方案和目的地，以保证运输任务的完成。 “轿运车”是通过公路来运输乘用车整车的专用运输车，根据型号的不同有单层 和双层两种类型，由于单层轿运车实际中很少使用,本题仅考虑双层轿运车。双 层轿运车又分为三种子型：上下层各装载 1 列乘用车，故记为 1-1 型；下、上层 分别装载 1、2 列，记为 1-2 型；上、下层各装载 2 列，记为 2-2 型，每辆轿运 车可以装载乘用车的最大数量在 6 到 27 辆之间。 在确保完成运输任务的前提下， 物流公司追求降低运输成本。 装载具体要求如下：每种轿运车上、下层装载区域均可等价看成长方形，各列乘 用车均纵向摆放，相邻乘用车之间纵向及横向的安全车距均至少为 0.1 米，下层 力争装满，上层两列力求对称，以保证轿运车行驶平稳。受层高限制，高度超过 1.7 米的乘用车只能装在 1-1、1-2 型下层。轿运车、乘用车规格（第五问见附 件）如下：
2015年第十五届五一数学建模
2015年第十五届五一数学建模2015年第十五届五一数学建模比赛是一场具有挑战性的比赛。
本次比赛的题目是“道路运输规划与物流优化问题”。
这个题目涉及到了道路运输、物流和优化等多个领域，要求我们通过建立数学模型来解决实际问题。
在这个题目中，我们需要通过建模和优化，来解决一个具体的问题。
问题描述如下：一条高速公路连接了两个城市，A城市和B城市。
现在需要在这条高速公路上设置若干个收费站，使得从A城市到B城市的车辆的行驶时间最短，同时又需要考虑收费站的成本，并且收费站之间的距离也是有限的。
我们需要通过数学模型来确定最佳的收费站设置方案。
在解决这个问题的过程中，我们首先需要建立一个数学模型。
我们可以将这个问题看作是一个图论问题，其中图的节点表示城市和收费站，边表示道路。
我们可以用一个邻接矩阵来表示这个图。
然后，我们需要根据实际情况和问题的要求，确定一些指标来评估收费站设置方案的优劣，比如行驶时间、收费成本等。
接下来，我们可以使用最短路径算法来寻找从A城市到B城市的最短路径，并根据这个最短路径来确定最佳的收费站设置方案。
在确定数学模型和求解算法之后，我们可以进行模型的测试和优化。
我们可以使用实际的数据和情景来测试模型的可行性和准确性，并对模型进行调整和优化。
通过多次测试和优化，我们可以找到最佳的收费站设置方案，并对这个方案进行评估和比较。
在这个过程中，我们不仅需要掌握数学建模的理论知识和技巧，还需要具备一定的计算机编程和数据处理能力。
同时，我们还需要具备团队合作和沟通的能力，因为这个问题的解决过程是一个复杂的过程，需要多个人员和多个领域的知识和技术的综合运用。
总的来说，2015年第十五届五一数学建模比赛涉及到了道路运输规划和物流优化问题，要求我们通过建立数学模型和求解算法，来解决实际问题。
这个比赛不仅考察了我们的数学建模能力和解决实际问题的能力，还培养了我们的团队合作和沟通能力。
它对我们的学术和职业发展具有重要的意义，也为我们今后的学习和工作打下了良好的基础。
数学建模_线性规划_运输问题lingo程序
X15 20.00000 0.000000
X16 0.000000 5.000000
X21 0.000000 7.000000
X22 0.000000 2.000000
X23 0.000000 17.00000
X24 0.000000 6.000000
X25 10.00000 0.000000
2 0.000000 -2.000000
3 0.000000 -6.000000
4 0.000000 -5.000000
5 0.000000 -1.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 -6.000000
8 0.000000 -4.000000
9 0.000000 -7.000000
MinZ=20x11+15x12+16x13+5x14+4x15+7x16+17x21+15x22+33x23+12x24+8x25+6x26+9x31+12x32+18x33+16x34+30x35+13x36+12x41+8x42+11x43+27x44+19x45+14x46+7x52+10x53+21x54+10x55+32x56+6x64+11x65+13x66
运输点1接收点1运输点23020接收点2运输点33040接收点3运输点41020接收点4运输点520接收点540运输点6接收点6这样的方案费用最小为1620
数学建模运输问题
数学建模运输问题1. 引言运输问题是数学建模中的经典问题之一，其目的是优化物流调度和资源利用，以降低运输成本和提高运输效率。
在这篇文档中，我们将介绍运输问题的定义、常见的建模方法以及求解运输问题的优化算法。
2. 运输问题的定义运输问题的一般形式是在给定的供应地和需求地之间，通过运输网络将一种货物从供应地运送到需求地，以满足一定的需求量。
运输问题的主要目标是确定如何分配供应地的货物到需求地，并最小化总的运输成本。
运输问题通常基于以下几个假设进行建模：•每个供应地和需求地之间的运输成本是已知的。
•每个供应地和需求地的供应量和需求量是已知的。
•货物在运输过程中没有损耗或浪费。
•每个供应地的供应量等于通过该供应地输出的货物总量。
•每个需求地的需求量等于通过该需求地输入的货物总量。
基于以上假设，我们可以将运输问题抽象为一个线性规划问题，通过求解线性规划问题的最优解，得到最佳的货物分配方案。
3. 运输问题的建模方法运输问题的建模方法可以分为两种：3.1 列生成法列生成法是一种迭代求解运输问题的方法，它从一个初始解开始，逐步地添加新的变量（列）来改善当前解，并最终得到最优解。
具体步骤如下：1.初始化一个基本可行解，即满足供应量和需求量约束的初始解。
2.利用这个基本可行解计算每个可能的新变量的代价，即将某个供应地与某个需求地之间的货物分配量作为新的变量。
3.找到一个具有最小代价的新变量，并将它添加到当前解中。
如果不存在新的变量可以添加，那么当前解就是最优解，算法终止。
4.更新当前解，重新计算供应量和需求量，并返回第2步。
列生成法通过逐步添加新的变量来改善当前解，从而降低运输成本，并且由于每次只添加一个变量，可以减少计算的时间复杂度。
3.2 转运算法转运算法是一种常用的直接求解运输问题的方法，它将运输问题转化为一个线性规划问题，并通过求解线性规划问题的最优解得到最佳的货物分配方案。
具体步骤如下：1.定义决策变量，即每个供应地与需求地之间的货物分配量。
数学建模货运列车编组运输问题
数学建模货运列车编组运输问题数学建模是一门将实际问题抽象化并运用数学方法解决的学科。
货运列车编组运输问题是在实际生产与运输中常遇到的一个问题，即如何合理编组货运列车，以达到效率最大化、成本最小化的目标。
本文将针对这个问题进行深入探讨，并给出一种解决方案。
首先，我们来分析货运列车编组运输问题的背景和影响因素。
货运列车作为运输货物的一种重要方式，具有运载量大、运输成本低的优势。
然而，由于货物种类和数量的不同，以及货物间的相互关系，如何合理编组列车、安排运输路线，成为一个关键问题。
合理的编组方案可以提高运输效率，减少运输成本，提高生产力。
其次，我们来了解一下数学建模在解决货运列车编组运输问题中的应用。
数学建模是通过建立合理的数学模型，运用数学方法来解决实际问题的过程。
在货运列车编组运输问题中，数学建模可以帮助我们确定合适的编组方案。
具体来说，我们可以将问题抽象为一个数学模型，考虑列车的运载限制、货物的属性、运输距离、运输成本等因素，并通过数学方法求解最优解。
接下来，我们来介绍一种常用的数学建模方法——线性规划。
线性规划是一种数学优化方法，用于求解一类特殊的最优化问题。
在货运列车编组运输问题中，我们可以将其建模为一个线性规划问题。
具体来说，我们可以定义目标函数和约束条件，通过线性规划求解器求解最优解。
目标函数可以是最小化运输成本或最大化运输效率，约束条件包括列车的运载限制、货物的属性等。
通过求解线性规划问题，我们可以得到一个最优的编组方案。
除了线性规划，还有其他一些数学建模方法可以用于解决货运列车编组运输问题，如整数规划、动态规划、遗传算法等。
这些方法各有特点，可以根据具体问题的性质选择适合的方法。
然后，我们来讨论一些与货运列车编组运输问题相关的实际案例。
以某货运公司为例，他们需要编组一列货运列车，按照一定的编组规则将货物装载到不同的车厢中，以便快速、高效地运输货物。
该公司采用了数学建模的方法，通过线性规划求解器得到了一个最优的编组方案。
数学建模运输规划问题
T3
4 --- 2 3 1
21 8 2 4
T4
32321 2
1 --- 2 6
B1
31724 1 1
142
B2
11 9 4 8 5 8 --- 1
21
B3
3 2 10 4 2 2 2 4 2
3
B4
10 8 5 6 7 4 6 2 1 3
2021/10/10
2868
解：把此转运问题转化为一般运输问题： 1、把所有产地、销地、转运站都同时看作产地和 销地；
0
100
5’
M M M M 14.0 14.3
0
40
6
M M M M M 13.5.5
0
销2量021/10/10104 75 115 160 103 150
36
80 40
------------------------3
例3 仪器公司在大连和广州有两个分厂生产同一种仪器，大连分厂 每月生产450台,广州分厂每月生产600台。公司在上海和天津有两 个销售公司负责对南京、济南、南昌、青岛四个城市的仪器供应。 因为大连距离青岛较近，公司同意大连分厂向青岛直接供货，运输 费用如下图。应该如何调运仪器，可使总运输费用最低？
0
50
2’
M 15 15.3 15.5 15.7 15.9
0
10
3
M M 13.5 13.8 14.0 14.2
0
90
3’
M M 14.5 14.8 15.0 15.2
0
20
4
M M M 13.0 13.3 13.5
0
100
4’
M M M 14.0 14.3 14.5
数学建模模版之运输问题资料
ui
vj
cij , (i,
j
)
J
，并将其填于格
N
子(i,j)的左下角(基变量格子不填)
最优判别： 如表中各非基格子(i,j)左下角全小于等于零， 则当前解为最优。
例. 由最小元素法求得的可行调运方案为：
B1 B2 B3 B4 B5 ui
A1
7 -8
A2
5 0
10 8 6 4 0
-7 -7
20 20
2.(TP)的特征
k
记 ek (0,,0,1, 0,,0)T Enm , (TP)的系数矩阵：
A (Pij ) E(nm)nm
① Pij=ei+em+j,rank(A)=m+n-1,从而A不是行满秩的，且A的任 何m+n-1行线性无关，故(TP)的基解中有n+m-1个基变量；
② (TP)恒有可行解和最优解
作业：2.14 ①用最小元素法产生初始调运方案
②用伏格尔法产生初始调运方案
2.6.3 产销不平衡TP问题的平衡转换
m
n
1. 供过于求： ai bj
i 1
j 1
①原始数学模型：
mn
min z
cij xij
i1 j 1
n
s.t. xij ai ,i 1,2,, m j 1
m
xij bj , j 1,2,, n
6
6
4
(2) 用伏格尔法产生初始调运方案
|
|
B1 B2 B3 产量 行差额
|
A1
5★ 1★ 8 2 10
12 2 4 4√ 5√
A2
2★ 4 3
0★
14 11
数学建模 运输调度
运输调度优化摘要本文针对运输最少成本问题，建立产销运输优化模型，利用lingo 优化软件工具，合理进行运输。
问题一：属于产销平衡运输问题，即∑∑=nj i b a 1m1，可得：最少运费为6910和运输方问题二：属于产销不平衡运输问题，应满足∑∑≠jj i b a 1i1，2312b x i =∑，可得：最少关键词：产销运输 LINGO 优化模型一、问题重述（1）求最优调拨方案；（2）如产地的产量变为130，又B 地区需要的115单位必须满足，试重新确定最优调拨方案。
二、问题分析2．1问题一对于表一中销量总和与产量总和相等，可确定为产销平衡运输问题，考虑现实问题，对客观实际因素没给出，因给于假设。
2.2问题二对于所给数据可知销量总和不等于产量总和，因此确定为产销运输不平衡问题，由此为了满足B 地区的需求，要给于一定限制。
三、符号说明1 、i A 某场地2 、i a 某场地的产量 3、j B 某销地 4、i b 某销地的销售量5、ij a 从第i 产地向第j 个销地运输每单位物资的运价6、ij x 从第i 个产地向第j 个销地运输量四、模型假设1、各地产地产量均能如期产出相应产量，销地也能销出如期的货物量。
2、某产地与某销地单位运价保持不变，且与货物数量无关。
五、模型建立与求解5、1有m 个产地和n 个销地。
产地Ai 的产量为)21(m i a i ，，=；销地Bj 的销量 )n 21(，，=j b j 。
从第i 个产地向第j 个销地运输每单位物资的运价为j i a ，从第i 个产地向第j 个销地运输量ij x 。
可得运费最少为：对两种情况进行讨论，∑∑=nj i b a 1m1，即运输问题的总产量等于其总销量，这样的运输问题称为产销平衡的运输问题。
∑∑≠jj i b a 1i 1即运输问题的总产量不等于总销量，这样的运输问题称为产销不平衡的运输问题。
针对问题一，我们进行产销平衡运输问题讨论，由此可得：Lingo 是使建立和求解线性、非线性和整数最佳化模型更快更简单更有效率的综合工具。
数学建模飞机运输问题
数学建模飞机运输问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】多变量有约束最优化问题摘要本文以一家运输航空公司的一架飞机运载能力100吨和运载货物的容量50000立方英尺有限的情况下，有三种货物（即x1、x2、x3）需要运输，公司规定每吨货物收取一定的费用，而要运输的每种货物的吨数都有规定的上限（最多不超过30吨、40吨、50吨），并且公司规定由于飞机需要保养与维护，飞机须停飞115天，因此每年只有250天的工作时间。
在此情况下每天怎样安排运输三种货物使公司每年获得最大利润w。
对于此问题只用线性规划的一般方法建立相应的数学模型，在用数学软件求出在给定限行区域内的最优解（w、x1、x2、x3），在对这些最优解进行分析与讨论，确定其为有效最优解。
并以此作为公司对三种货物运输安排方式。
对于问题一，求使得运输航空公司获得最大利润w的x1、x2、x3三种货物的吨数，建立相应的数学模型。
再根据运输能力最多100吨和运载货物容积的最大50000立方英尺，还有每天公司规定的每种货物的运输上限即x1种货物最多运输30吨，x2种货物最多运输40吨，x3种货物最多50吨，建立约束条件。
并用数学软件mathematica进行求解，即为所求的最优解（也就是w=21875，x1=30，x2=，x3=50）。
对于问题二中，要求计算每个约束的影子价格。
我们将利用问题一中建立的目标函数和约束条件，将其编写成源程序输入到Lindo软件中进行求解。
再将得到的界进行讨论与和模型的稳健性分析并且通过其在题意的理解，解释其含义。
问题三中，对于公司将耗资改装飞机以扩大运货区来增加运输能力，且旧飞机使用寿命为5年，每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方英尺的容积。
重量限制仍保持不变。
假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。
根据此问题我们将建立数学规划模型，利用Lindo软件计算其影子价格和利润并且与前面进行比较，进行分析。
数学建模大赛-货物运输问题
数学建模大赛-货物运输问题问题重述：某港口需要将三种原材料A、B、C分别运往8个公司，运输车有三种型号：4吨、6吨、8吨。
每辆车有固定成本，每次出车也有固定成本。
运输车平均速度为60公里／小时，每日工作不超过8小时。
设计一个方案，使得耗时最少、费用最省。
方案设计：针对问题一，我们首先考虑最小化运输次数，然后根据卸载顺序和载重费用尽量小的原则，提出了较为合理的优化模型。
我们采用顺时针送货(①~④公司)和逆时针送货(⑤~⑧公司)的方案，并将方案分为两步：第一步是使每个车次满载并运往同一个公司；第二步是采用分批次运输的方案，即在第一批次运输中，我们使A材料有优先运输权；在第二批次运输中，我们使B材料有优先运输权；在第三批次中运输剩下所需的货物。
最后得出耗时为40.5007小时，费用为4685.6元的方案。
针对问题二，我们加上两个定理及其推论，设计的数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。
我们采用与问题一相同的算法，得出耗时为26.063小时，费用为4374.4元的方案。
针对问题三的第一小问，我们排除了4吨货车的使用，并仍旧采用顺时针送货(①~④公司)和逆时针送货(⑤~⑧公司)的方案。
最后在满足公司需求量的条件下，采用不同吨位满载运输方案，分为三步：第一，使8吨车次满载并运往同一公司；第二，6吨位车次满载并运往同一公司；第三，剩下的货物若在1~6吨内，则用6吨货车运输，若在7~8吨内用8吨货车运输。
最后得出耗时为19.6844小时，费用为4403.2元的方案。
建立模型时，需要注意以下几个问题：目标层：在建立模型时，如果将调度车数、车次以及每车次的载重和卸货点都设为变量，会导致模型中变量过多，不易求解。
因此，可以将目标转化为两个阶段的求解过程。
第一阶段是规划车次阶段，求解车次总数和每车次的装卸方案；第二阶段是车辆调度阶段，安排尽量少的车辆数，每车次尽量满载，使总的运费最小。
约束层：1)运输车可以从顺时针或者逆时针方向送货，需要考虑不同方向时的载重用；(2)大小件的卸车顺序要求不同原料搭配运输时，沿途必须有序卸货；(3)每车次的送货量不能超过运输车的最大载重量；(4)满足各公司当日需求。
数学建模中优化模型之运输问题
A B C
d
e f 需量
70 40 80 × 40 × × 0 60 30 90 90 30 -20 -15 -65 25 0 50 20 100 60 50 × -50 × 60 50 0 20 20 70 20 × × -15 30 20 20 0 15 × 60 30 × × 90 100 20 15 0 × 90 × × × 90 90 120 120 120 运费——5550
14
4
5
2
5
7
7 9
6
8
9
13
10
6 6
u2=-2
-11
v1=10 v2=6
13
v4=0
u3=6
v3=4
单位费用变化：5－(10＋6)＝－11
对偶变量法(13)
1 6 1 8 2 5 3 7 2 5 3 3 4 u1=-4
14
4
5
2
5
7
7 9
6
8
9
13
10
6 6
v3=4
u2=-2
-11
v1=10
-3
14 8
9
13
10
6
6
u2=-2
6
v3=4
13
v4=0
u3=6
u2+v3=c23
u2=－2
对偶变量法(5)
1 6 1 8 2 5 3 v1 v2=6 7 2 5 3 3 u1 4 2 7 4
14 8
9
13
10
6
6
u2=-2
6
v3=4
13
v4=0
u3=6
u2+v2=c22
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B3 B4 5 0 3 3
A2
A3 9
2
1
12
表上作业法中需要说明的问题
（2）退化 当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的 销量和相等时，在迭代过程中有可能在某个格填入一个运量 时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。在 运输问题中，退化解是时常发生的。为了使表上作业法的迭 代工作进行下去，退化时应在同时划去的一行或一列中的某 个格中填入数字0，表示这个格中的变量是取值为0的基变量， 使迭代过程中基可行解的分量恰好为（m+n-1）个。
A3
-3 v1
2
(4) v2
9
-2 v3
3
(5) v4
10
检验数表 销 产 A1 A2 A3 10 B1 1 B2 2 B3 B4
（3）计算检验数表
1
12
-1
ij = cij –( ui + vj)
3、调整方案
若在检验数上有某空格的检验数为负，则可改进 方案，降低成本。调整的方法是从具有负检验数的空 格出发(有多个负检验数时，选择绝对值大的一个 )， 沿它的闭回路进行调整，即在保持方案可行的条件下， 尽量增加空格上的运量。
③当所有空格检验数
ij 0
则当前方案是最优的，若 尚有空格检验数小于零， 表明当前方案尚有待调整。 A1
B1
B2
B3 4
B4 3
A2
A3
3 6
1 3
σ ij 具有确切的经济意义，它表示由Ai往Bj增运1单位 时，引起的总运输成本的变化数。 若所有的空格检验数都大于等于零，表明任何一 个空格处调运1单位都会引起总成本的上升，这表明 当前方案不能再改进，即定为最优方案。 闭回路法的主要缺点是：当变量个数较多时，寻找闭回 路以及计算都会产生困难。
33 = c33 – u3 – v3 = 10 – 0 – (-2) = 12
位势法在表上进行： （1）在有数格上填上相应的运价
销 产 B1 B2 B3 B4
方案表
A1
A2 A3 销 产 A1 A2 A3 v1 1 4 v2 B1 3 6 B2
4
1
3
3 B3 3 2 5 v3 v4 B4 10 u1 u2
（1）无穷多最优解 当迭代到运输问题的最优解时，如果有某非基变量的 检验数等于零，则说明该运输问题有多重（无穷多）最 优解。上面的例题是多解情况
检验数表 销 产 A1 方案表 调整方案表
B1
0
B2
2
B3 B4
B1 B2 B3 B4 A1 5 3 6 2 1 3 A1 A2 A3 A2 A3
B1 B2 2 1 6
方案表
销 产 A1 A2 A3 B1 B2 B3 4 B4 3 产量 7 4 3 9 B1 3 B2 11 9
运价表
B3 3 3 2 2 10 B4 10 10 8 5 5 u1 u2 u3
3 6 3 6
1
1 1
7
4 4
需求
5
6
20
v1 v2 v3 v4
u1 + v3 = c13 = 3 u2 + v1 = c21 = 1 u3 + v2 = c32 = 4
运输问题与表上作业
许 华 临沂大学物流学院
本章主要内容:
§3.1 §3.3 §3.4
运输问题及其数学建模 产销不平衡的运输问题 应用举例
§3.2 表上作业法
教学要求：
1．掌握运输问题的数学模型、系数矩阵特殊形 式 2．掌握用西北角法、最小元素法求初始基可行 解 3．掌握回路、位势法求解过程和表上作业法求 解运输问题过程
A2
A3
3 6
1 3
（有数格）
X11=X31=X12=X22=X33=X24=0 （空格）
初始方案运费
Z0=3×1+6×4+4×3+1×2+3×10+3×5=86(元)
注： （ⅰ）有数格是基变量，共m+n-1=3+4-1=6个。空格是非基 变量，共划去m+n=7条线； （ⅱ）如果填上一个变量之后能同时划去两条线（一行与 一列），就须在所划去的该行或该列填一个0，此0格当有 数格对待。
（2）西北角法
西北角法与最小元素法不同，它不是优先考虑 具有最小单位运价的供销业务，而是优先满足运输 表中西北角（左上角）上空格的供销需求。
方案表 销
运价表
产
A1 A2 A3 需求
B1
B2
B3
B4
产量 7
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
3
4 2 2 3 6
6
为止。
方案表 销
运价表
产
A1 A2 A3 需求
B1
B2
B3
B4
产量
7 4
B1
3 1 7
B2
11 9
B3 3
2 2 10
B4
10 8 5
4 3 6
3 6 5
3
1 3
6
9 20
4
B1 A1
B2
B3 4
B4 3
以此，得到一初始方案：
X13=4 , X14=3， X21=3，X23=1， X32=6， X34=3
令u1 = 5 则有 v4 = 5 v3 = -2 u2 = 4 u3=0 v2=4 v1= -3 再求非基变量（空格）检验数： 11 = c11 – u1 - v1 = 3 – 5 – (-3) = 1 12 = c12 – u1 – v2 = 11 – 5 – 4 = 2 22 = c22 – u2 – v2 = 9 – 4 – 4 = 1 24 = c24 – u2 – v4 = 8 – 4 – 5 = -1 31 = c31 – u3 - v1 = 7 – 0 – (-3) = 10
闭回路是由水平或垂直线组成的闭合图形。闭回路上的 顶点除了这个空格外，其余均为有数格。
B1 A1
B2
B3 4
B4 3
B1
B2
B3
B4
A1
A2
4 3
6
3
A2
A3
3 6
1 3
1
3
A3
可以证明，对每一个空格都存在而且惟一存在 这样一条封闭回路。
B1
B2
B3
B4
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3
4 3
6
3
A1
u1 + v4 = c14 = 10 u2 + v3 = c23 = 2 u3 + v4 = c34 = 5
u1 + v3 = c13 = 3 u2 + v1 = c21 = 1 u3 + v2 = c32 = 4
u1 + v4 = c14 = 10 u2 + v3 = c23 = 2 u3 + v4 = c34 = 5
运价表
u3
(2) 设u1=0，然后根据cij=ui+vj （有数格），依次求得 ui和vj的值，并填在相应的位置
销 产 (ui+vj )表 A1 A2 B1 2 （1 ） -3 v1 2 B2 9 8 v2 9 B3 B4 u1 0 u2 -1 u3 -5
10） （3） （
（2）
9 （5 ） v4 10
（1）闭回路法
在单纯形法中，为了检验一个基本可行解是 不是最优解，需要求出所有非基变量的检验数。 在运输问题中，每个空格对应一个非基变量。因 此，我们需要求出每个空格的检验数。 由于目标要求极小，因此，当所有的检验数 都大于或等于零时该调运方案就是最优方案。
①对方案表中每一空格，确定一条由空格出发的闭回路。
B2 11 9 4 5
B3 3 2 10 1 1
B4 10 8 5 3 2
5 3 6
3 6 5
2 1 3
6
0 07
1 16
1 2
2、判断当前方案是否为最优
用单纯形法解线性规划问题时，在迭代过程中 每次求得一个基本可行解以后，都要检验它是不是 最优解，如果不是最优解，就要继续进行迭代，直 到求得最优解或者判定无最优解。 表上作业法是用以下两种方法来处理这个问题 的：闭回路法和位势法。
A1 A2 A3 3 6
4 1
3
11 9 4
3 2 10
10 8 5
3
11=3 - 3+2 - 1=1 22= 9-2+3–0+5–4 =1 31= 7-5+10–3+2–1=10
12=11 - 10+5 - 4=2 24= 8–10 +3 – 2 =-1 33=10 - 5+10 -3=12
4 9 20
3
6
5
注：应用西北角法和最小元素法，每次填完数，都只划去一 行或一列。 当填上一个数后行、列同时饱和时，也应任意划去一行 (列)。在饱和的列（行）没被划去的格内标一个 0 , 然后划去 该列（行）。
例3.2 某公司下属有生产一种化工产品的三个产地 A1、A2、
A3 ，有四个销售点B1、B2、B3、B4 销售这种化工产品。各
产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每吨产品的 运费（百元）如下表所示。
销 产 A1
B1
B2
B3
B4
产量
75
B1
3
B2
8
B3
5
B4
9
A2
A3 需求 35 40 55 65
40
80 195
2
6