函数的单调性课件第一课时
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新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
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7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
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答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
反函数的单调性判断
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
1 第1课时 函数的单调性(共44张PPT)
提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体 概念.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
函数的单调性ppt课件
利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值； 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤： 判断：先判断函数的单调性． 求值：利用单调性代入自变量的值求得最值． 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点： 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标． 求最值忘记求定义域． 求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
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下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性 如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
函数的单调性课件(共17张PPT)
如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
3.2.1第1课时函数的单调性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
()
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【答案】B 【解析】∵函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 图象的对称轴为 x＝a－2 1，且
f(x)在区间12，1上单调递增，∴a－2 1≤21，即 a≤2.
3．(题型3)函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且图象过点(－3,2) 和(1，－2)，则使|f(x)|<2的x的取值范围是________．
设x1，x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量值，如果f(x)满足 以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)； (2)对任意 x1，x2(x1≠x2)，都有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0； (3)对任意 x1，x2(x1≠x2)都有fxx11－ －fx2x2>0.
【答案】－1，12 －1≤x≤1，
【解析】由题意得x<21，
解得－1≤x<12.
题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a
的取值范围． 素养点睛：考查直观想象和数学运算的核心素养． 解：由于二次函数图象的开口向上，对称轴为x＝a，故其增区间为
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的 图象并写出函数的单调区间．
素养点睛：考查直观想象和逻 辑推理的核心素养．
【答案】(1)[－2,1] [3,5] [－5， －2] [1,3]
【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]， [1,3]，[3,5]．其中 y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上具有单调递增，在区 间[－2,1]，[3,5]上单调递减．
高中数学课件-函数的单调性(示范课课件)
思考4：如何用数学符号语言定义函 数的单调性？
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
22
1
0 12
x
方案A：在区间（0,＋∞ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)<f(2) ∴f(x)在 (0,+∞ )上, 图象逐渐 上升
方案B：
函数f (x)在区间(a,b)上有无数个自变量x， 使得当a x1 x2 b时，有f (a) f (x1) f (x2) f (b), 由此能否说明该函数f (x)在(a,b)上的图象一直保持上升趋势？ 请你说明理由（举例或者画图）
说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可.无定义只能写开区间；
2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况
练习1 根据下图说出函数的单调区间，以及在每 一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
y 4 3
2
1
-1 O
2 4 5x
解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2) ，[2，4), [4，5]
（1） 函数单调性是针对某个区间D而言的，显然D是定义域 I的一部分，因此单调性是函数局部性质;
x1、x2的三大特征： （2）（（11））任x1、意x性2同属于一个单调区间
（2）x1、x2不相等，通常取 x1＜x2
（3）不是所有的函数都有单调性;
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 ) ， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 ) ，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
【课件】函数单调性与最值(第1课时) 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
减小
______．
2、 在区间 (0,+∞)
_____ 上，f(x)的值随着x的增大而
增大
_____．
引入
知识点一、增函数、减函数的定义
前提条件
复习引入
条件
设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I
∀x
________________，x
1＜x2
1，x2∈D
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
x
满足f ( ) f ( x) f ( y ),
y
（1）求f (1)的值；
（2）若f (6) 1求不等式f ( x 3) f (2) 1的解集；
x
解：（1）由条件对一切x, y 0, 满足f ( ) f ( x) f ( y),
y
所以令x y 1, 则f (1) 0.
调性的一般步骤：
1 取值.任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差.f(x1)－f(x2)；
3 变形.（通常是因式分解和配方）；
4 定号.（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论.（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
题型三、利用单调性求解不等式
例1.已知函数 f ( x)是定义在 R上的增函数，且 f (3a 7) f (8a 11)
求实数 a的取值范围 .
[解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(3a－7)＞f(11＋8a)，
∴3a－7＞11＋8a，
18
∴a＜－ 5 ，
18
∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 5 )．
题型三、利用单调性求解不等式
______．
2、 在区间 (0,+∞)
_____ 上，f(x)的值随着x的增大而
增大
_____．
引入
知识点一、增函数、减函数的定义
前提条件
复习引入
条件
设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I
∀x
________________，x
1＜x2
1，x2∈D
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
x
满足f ( ) f ( x) f ( y ),
y
（1）求f (1)的值；
（2）若f (6) 1求不等式f ( x 3) f (2) 1的解集；
x
解：（1）由条件对一切x, y 0, 满足f ( ) f ( x) f ( y),
y
所以令x y 1, 则f (1) 0.
调性的一般步骤：
1 取值.任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差.f(x1)－f(x2)；
3 变形.（通常是因式分解和配方）；
4 定号.（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论.（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
题型三、利用单调性求解不等式
例1.已知函数 f ( x)是定义在 R上的增函数，且 f (3a 7) f (8a 11)
求实数 a的取值范围 .
[解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(3a－7)＞f(11＋8a)，
∴3a－7＞11＋8a，
18
∴a＜－ 5 ，
18
∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 5 )．
题型三、利用单调性求解不等式
第1课时 函数的单调性 课件(42张)
点拨：二次函数的单调性与对称轴有关．
与二次函数单调性相关的参数问题 (1)若已知函数的单调区间，则对称轴即区间的端点； (2)若已知函数在某区间上的单调性，则该区间是函数相关区间的子区间，利用端 点关系求范围．
பைடு நூலகம் 【加固训练】
函数 f(x)＝x2＋(2a＋1)x＋1 在区间[1，2]上单调，则实数 a 的取值范围是( )
创新思维 抽象函数的单调性(逻辑推理) 【典例】已知函数 f(x)对任意的 a，b∈R，都有 f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当 x>0 时，f(x)>1. 求证：f(x)是 R 上的增函数； 【证明】设 x1，x2∈R，且 x1<x2， 则 x2－x1>0，即 f(x2－x1)>1， 所以 f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝ f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0. 所以 f(x1)<f(x2)，所以 f(x)是 R 上的增函数．
范围为－32，＋∞ ∪－∞，－25 .
解不等式
【典例】(2020·昆明高一检测)已知 f(x)是定义在 R 上的减函数，则关于 x 的不等
式 f(x2－x)－f(x)＞0 的解集为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0，2)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
【解析】选 B.因为 f(x)是定义在 R 上的减函数，则 f(x2－x)－f(x)＞0.所以 f(x2－ x)＞f(x)，所以 x2－x＜x.即 x2－2x＜0，解可得 0＜x＜2.即不等式的解集为(0，2).
基础类型二 利用定义证明函数的单调性(逻辑推理) 【典例】证明：函数 f(x)＝x2－x 1 在区间(－1，1)上单调递减．
【课件】函数单调性第一课时课件
置上，虽然使得f(x1)<(fx2)，但显然此图
象表示的函数不是一个单调函数.
x0
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象， 根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y=f（x）是增函数还是减函数?
解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1）
[1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上 是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
<x 1
x 2
2.作差变形 （一般地） 即作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解
、配方法、有理化等方法化为积商形式，向有利于判断
差的符号的方向变形，直到可以判断符号为止。
3.判定正负 确定f(x1)-f(x2)的正负
4.判断 根据定义作出结论
即“取值-作差-定号-判断”
例3：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
三、练习
(1)判断函数f (x) 1 在(,0)上是增函数还是减函
x
数 ? 并证明你的结论.
减函数
证明:设x1, x2是(,0)上任意的两个实数,且x1 x2
则：f (x1) f (x2 由x1, x2 (,0),
11
)
得x1xx12
x2 0
x2 x1 x1x2
又由x x ,得x x 0
g(x)在区间[ ,
),[
,
2 22 ]上是减函数，
2
22
在区间[ , ]上是增函数。
22
例2：证明函数f (x) 1 在(0,)上是减函数 x
证明:
设x 1
,
x 是(0, 2
)上任意的两个实数,
象表示的函数不是一个单调函数.
x0
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象， 根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y=f（x）是增函数还是减函数?
解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1）
[1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上 是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
<x 1
x 2
2.作差变形 （一般地） 即作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解
、配方法、有理化等方法化为积商形式，向有利于判断
差的符号的方向变形，直到可以判断符号为止。
3.判定正负 确定f(x1)-f(x2)的正负
4.判断 根据定义作出结论
即“取值-作差-定号-判断”
例3：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
三、练习
(1)判断函数f (x) 1 在(,0)上是增函数还是减函
x
数 ? 并证明你的结论.
减函数
证明:设x1, x2是(,0)上任意的两个实数,且x1 x2
则：f (x1) f (x2 由x1, x2 (,0),
11
)
得x1xx12
x2 0
x2 x1 x1x2
又由x x ,得x x 0
g(x)在区间[ ,
),[
,
2 22 ]上是减函数，
2
22
在区间[ , ]上是增函数。
22
例2：证明函数f (x) 1 在(0,)上是减函数 x
证明:
设x 1
,
x 是(0, 2
)上任意的两个实数,
函数的单调性(公开课课件)
详细描述
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
函数的单调性公开课课件
在函数值比较中的应用
1 2
利用单调性比较函数值大小
对于同一区间内的两个函数值，如果函数在该区 间内单调，则可以直接比较它们的大小。
确定函数值的范围
通过判断函数的单调性，可以确定函数在某个区 间内的取值范围。
3
举例
比较sin(π/4)和sin(π/6)的大小。由于正弦函数 在[0, π/2]区间内单调递增，因此sin(π/4) > sin(π/6)。
06
复合函数的单调性
复合函数的定义和性质
复合函数的定义
设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$， 函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$， 且$g(D_g) subseteq D_f$，则称函 数$y=f[g(x)]$为$x$的复合函数。
复合函数的性质
复合函数保持原函数的定义域、值域 、周期性、奇偶性等基本性质。
以直观地判断函数在各个 区间内的单调性。
判断单调区间
根据图像的形状和走势， 确定函数在各个区间内的 单调性。
图像的绘制
通过描点法、图像变换法 等方法，绘制出函数的图 像。
04
常见函数的单调性
一次函数
一次函数单调性
一次函数$f(x) = ax + b$（$a neq 0$）在其定 义域内单调增加或减少，取决于系数$a$的正负。
总结与展望
课程总结
函数的单调性定义
详细解释了函数单调性的定义，包括增函数、减函数以及常数函 数的特性。
判断函数单调性的方法
介绍了如何通过导数、二阶导数以及函数的图像来判断函数的单调 性。
函数单调性的应用
举例说明了函数单调性在解决实际问题中的应用，如优化问题、经 济学中的边际分析等。
3.1.2函数的单调性(第1课时)课件-高一数学(人教B版必修第一册)
的斜率都大于 0 ,函数递减的充要条件是其图像上任意两
点连线的斜率都小于 0.
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
一般地, 若 是函数
的定义域的子集, 对任意
且
,记
(1) 恒成立; (2) 成立.
，
, 则:
在 上是增函数的充要条件是
在上
在 上是减函数的充要条件是
在 上恒
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
【训练 1】(多选)下列函数中，在(0，2)上是增函数的是( )
A.y＝－1 B.y＝2x－1 C.y＝1－2x D.y＝(2x－1)2 x
【解析】对于 A，y＝－1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调
递增；对于 B，y＝2x－1 在 R 上单调递增；对于 C，y＝1
－2x 在 R 上单调递减；
对于
＝（x2－x1x）21（x22x2＋x1）.当 x1<x2<0 时，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)<f(x2) ∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数.当 0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)>f(x2).∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数.
【解析】∵f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)， ∴2m>－m＋9，即 m>3，故选 C.
课堂练习
【训练 3】定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x1，x2∈R(x1
≠x2)，有f（x2）x2－－fx（1 x1）<0，则(
)
A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3)
函数的单调性(第一课时 课件
[1,+∞) (2)二次函数 y=﹣x2﹣2x+1 的单调递增区间是：
(-∞,1] (3)二次函数 y=x2﹣2ax+1 的单调递增区间是：
[a,+∞) (4)二次函数 y=ax2+bx+c 的单调递增区间是：
定义法证明单调性
例2、证明函数f ( x)=x3+3在( ,+)上是增函数.
解：任取x1，x2 ( ,+)，设x1<x2，
A 2、 下列函数，在区间(0,1)上是增函数的是（ ）
A. y | x | B. y 3 x
C. y 1 D. y x2 4 x
C 3、 函数y | x 2 | 在区间[3, 0]上是（ ）
A.单调递减 B.单调递增
C.先减后增 D.先增后减
四、课堂小结
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：①单调性的定义 ②利用定义法证明单调性 利用图象法观察单调性
当x<0时，f(x)=x2图象下降的， 即f(x)随着x的增大而减小；
f (x) x2
思考2:“当x<0时，f(x)随着x的增大而减小”,“x增大了”怎么用符
号语言来表示?“对应的函数f(x)减小了”呢？结合以下表格，你能给出
具体的描述吗？
x
... -5 -4 -3 -2 -1 ...
f(x)=x2 ... 25 16 9 4 1 ...
在[0,1]和(1, 2]这两个区间的并集(即[0, 2])上也是增函数。
(2)函数f(x)在区间A、B上均为增(减)函数，一般不能简单认为f(x)
在A ∪ B上是增(减)函数 ——单调区间之间不能用“∪”
3、函数f ( x)=x2在区间[1,3]上是增函数.
(-∞,1] (3)二次函数 y=x2﹣2ax+1 的单调递增区间是：
[a,+∞) (4)二次函数 y=ax2+bx+c 的单调递增区间是：
定义法证明单调性
例2、证明函数f ( x)=x3+3在( ,+)上是增函数.
解：任取x1，x2 ( ,+)，设x1<x2，
A 2、 下列函数，在区间(0,1)上是增函数的是（ ）
A. y | x | B. y 3 x
C. y 1 D. y x2 4 x
C 3、 函数y | x 2 | 在区间[3, 0]上是（ ）
A.单调递减 B.单调递增
C.先减后增 D.先增后减
四、课堂小结
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：①单调性的定义 ②利用定义法证明单调性 利用图象法观察单调性
当x<0时，f(x)=x2图象下降的， 即f(x)随着x的增大而减小；
f (x) x2
思考2:“当x<0时，f(x)随着x的增大而减小”,“x增大了”怎么用符
号语言来表示?“对应的函数f(x)减小了”呢？结合以下表格，你能给出
具体的描述吗？
x
... -5 -4 -3 -2 -1 ...
f(x)=x2 ... 25 16 9 4 1 ...
在[0,1]和(1, 2]这两个区间的并集(即[0, 2])上也是增函数。
(2)函数f(x)在区间A、B上均为增(减)函数，一般不能简单认为f(x)
在A ∪ B上是增(减)函数 ——单调区间之间不能用“∪”
3、函数f ( x)=x2在区间[1,3]上是增函数.
函数的单调性第一课时-高一数学必修一课件
对称轴为x=2 函数f(x)=x2-4x+3的单调增区间是_____[2_,_+_∞_)_ (2,+∞)
[变式]函数f(x)=|x2-4x+3|的单调增区间是_____________.
函数f(x)=-x2-4|x|+3的单调减区间是_______________.
概念运用：1.判断函数的单调性——图象法
×
×
×
f (x) 2, x R
×
③x1,x2有“任意性”，不能用特殊值判断函数的单调性.
f (x) 1 x
新知学习：基本初等函数单调性判断
(1)y＝x＋1
定义域：R
y
(2)y＝－2x＋2
定义域：R
y
1
-1 O x
f x是增函数 f x在区间R上单调递增
单调增区间为： R
x
O
x
f x是减函数 f x在区间R上单调递减
解：函数f(x)=－2x+a在R上单调递减. 证明：∀x1,x2 ∈R且x1<x2，
将f(x)进行上/下移, 单调区间不变.
f(x1)－f(x2)=(﹣2x1+a)－(﹣2x2+a) =﹣2x1+2x2 =2(x2 － x1)
∵x1<x2，∴x2 – x1 >0，∴2(x1 – x2 )>0，∴f(x1)> f(x2)，
定 ∀x1，x2∈D, 当x1<x2时, 都有f(x1)<f(x2), ∀x1，x2∈D, 当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2), 义 则称函数f(x)在区间D上单调递增, 则称函数f(x)在区间D上单调递减,
区间D为f(x)的单调递增区间.
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2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的 关键语句 ，通过学生的主体参与 ，逐个 完成对各个难点的突破，以获得各类问题 的解决．
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视 教师的主导作用．具体体现在设问、讲 评和规范书写等方面，要教会学生清晰 的思维、严谨的推理，并成功地完成书 面表达． 4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段， 增大教学容量和直观性．
课后尝试
1、若定义在R上的单调减函数 f ( x) 满 足 f (1 a) f (3 a) ，你知道 a 的 取值范围吗？ 2 2、函数 y x bx c 在［0，＋∞ ） 是增函数，你能确定字母 b 的值吗？
生活实际问题的提供体现了数 学来源于生活，也用于解决生活中 的问题．
－1
y
1
O
x
小结
1、函数的单调性的定义． 2、判断、证明函数的单调性方法．
通过学生的主体参与，使学生 深切体会到本节课的主要内容和思 想方法，从而实现对函数单调性认 识的再次深化.
通过三个方面的 作业布置 作业，使学生养成先 看书，后做作业的习 （1）阅读课本P34－ P35 例3 惯．课后尝试是对课 （2）书面作业：课本P43 1、4、7 堂知识的深化理解．
一、教材分析
教材内容
教材所处地位、作用 教学目标 重点与难点
教 材 内 容
本节课是必修1第一章《集合与函 数概念》§1．3．1函数的基本性质的
第一课时，该课时主要学习增函数、减
函数的定义，以及应用定义解决一些简 单问题．
教材所处地位、作用
函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是 首先研究的一个性质． 通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的 概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性 知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深 对函数本质的认识． 函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和 拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数 的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性 分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它 是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之 一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了 探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．
在学法上：
1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总 结、运用，培养学生发现问题、研究问 题和解决问题的能力．
2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过 正、反例的构造，来完成从感性认识到 理性思维的一个飞跃．
三、教学过程
问题情境
定义形成
定义运用 问题讨论 课堂小结
如图为杭州市2009年元旦24小时内的气温变化图．观 察这张气温变化图：
从定向性的证明，到自我探索单调区间完成 证明，是一个很大的跨越，但在此探索过程中， 学生体会到数学中“数形”的联系和互相验证， 体会到成功解决问题的快乐．
x 问题 讨论函数 f ( x ) 的单调性． x 1
实际问题
在一碗水中，加入一定量的
糖，糖加得越多糖水就越甜．你能运用所
学过的数学知识来解说这一现象吗？
任意 如果对于区间 x1、x2，当 当x1＜x2时，都 区间I内的任意两个值 有f(x1)＜f(x2) ，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数， I称为y＝f(x)的单调增区间． 如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1＜x2时，都 有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数， I称为y＝f(x)的单调减区间．
问题1利用函数的图象判断函数的单调性 和单调区间，即图象法. 问题2先从“形”上 去判断单调区间和单调性，再回归定义去， 从“数”的角度证明单调性，使学生认识到 “形”可帮助我们探索解题思路，而定义是 最终解决问题的基础． 规范解题过程、总结解题步骤是知识和 方法的提炼，也是对学生学习的指导.
思考
教学重点 （1）函数单调性的概念； （2）运用函数单调性的定义判断一些函 数的单调性． 教学难点 （1）函数单调性的知识形成； （2）利用函数图象、单调性的定义判断 和证明函数的单调性．
二、教法分析与学法指导
本节课是一节较为抽象的数学概念课，因 此，教法上要注意： 1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题， 为概念学习创设情境，拉近数学与现实的 距离，激发学生求知欲，调动学生主体参 与的积极性．
f(t2)
f(t1) t1 t2
问题1：怎样描述气温随时间增大的变化情况？ 问题2：怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大 气温逐渐升高”这一特征？ 问题3：在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？
1、单调增函数与单调减函数
一般地，设函数y ＝ f(x) 的定义域为A，区间I
A．
2、单调性、单调区间
若函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数， 那么就说函数y＝f(x) 在区间I上具有单调性．单调增区间 和单调减区间统称为单调区间．
设计说明
从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数 单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好 基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性 最本质的东西． 函数单调性定义产生是本节课的难点 ，难 在：如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学 语言．通过问题的分解，引导学生步步深入，直 至找到最准确的数学语言来描述定义．这里体现 以学生为主体，师生互动合作的教学新理念．
教 学 目 标
知识与技能：使学生理解函数单调性的概 念，掌握判别函数单调性的方法. 过程与方法：从实际生活问题出发，引导学 生自主探索函数单调性的概念，应用图象和 单调性的定义解决函数单调性问题，让学生 领会数形结合的数学思想方法，培养学生发 现问题、分析问题、解决问题的能力． 情感态度价值观：让学生体验数学的科学功 能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观 察、探索发现、科学论证的良好的数学思维 品质．
巩固
你能找出气温图中的单调区间吗?
单调增区间： [4，14] 单调减区间： [0，4] ，[14，24]
回顾
我们初中学过的函数
y y y
O
x
O
x
O
x
y 2 x 2
y x 2x 3
2
1 y x
用定义法证明函数单调性的步骤：
①取值； ②作差变形； ③定号； ④判断．
设计说明
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视 教师的主导作用．具体体现在设问、讲 评和规范书写等方面，要教会学生清晰 的思维、严谨的推理，并成功地完成书 面表达． 4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段， 增大教学容量和直观性．
课后尝试
1、若定义在R上的单调减函数 f ( x) 满 足 f (1 a) f (3 a) ，你知道 a 的 取值范围吗？ 2 2、函数 y x bx c 在［0，＋∞ ） 是增函数，你能确定字母 b 的值吗？
生活实际问题的提供体现了数 学来源于生活，也用于解决生活中 的问题．
－1
y
1
O
x
小结
1、函数的单调性的定义． 2、判断、证明函数的单调性方法．
通过学生的主体参与，使学生 深切体会到本节课的主要内容和思 想方法，从而实现对函数单调性认 识的再次深化.
通过三个方面的 作业布置 作业，使学生养成先 看书，后做作业的习 （1）阅读课本P34－ P35 例3 惯．课后尝试是对课 （2）书面作业：课本P43 1、4、7 堂知识的深化理解．
一、教材分析
教材内容
教材所处地位、作用 教学目标 重点与难点
教 材 内 容
本节课是必修1第一章《集合与函 数概念》§1．3．1函数的基本性质的
第一课时，该课时主要学习增函数、减
函数的定义，以及应用定义解决一些简 单问题．
教材所处地位、作用
函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是 首先研究的一个性质． 通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的 概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性 知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深 对函数本质的认识． 函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和 拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数 的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性 分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它 是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之 一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了 探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．
在学法上：
1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总 结、运用，培养学生发现问题、研究问 题和解决问题的能力．
2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过 正、反例的构造，来完成从感性认识到 理性思维的一个飞跃．
三、教学过程
问题情境
定义形成
定义运用 问题讨论 课堂小结
如图为杭州市2009年元旦24小时内的气温变化图．观 察这张气温变化图：
从定向性的证明，到自我探索单调区间完成 证明，是一个很大的跨越，但在此探索过程中， 学生体会到数学中“数形”的联系和互相验证， 体会到成功解决问题的快乐．
x 问题 讨论函数 f ( x ) 的单调性． x 1
实际问题
在一碗水中，加入一定量的
糖，糖加得越多糖水就越甜．你能运用所
学过的数学知识来解说这一现象吗？
任意 如果对于区间 x1、x2，当 当x1＜x2时，都 区间I内的任意两个值 有f(x1)＜f(x2) ，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数， I称为y＝f(x)的单调增区间． 如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1＜x2时，都 有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数， I称为y＝f(x)的单调减区间．
问题1利用函数的图象判断函数的单调性 和单调区间，即图象法. 问题2先从“形”上 去判断单调区间和单调性，再回归定义去， 从“数”的角度证明单调性，使学生认识到 “形”可帮助我们探索解题思路，而定义是 最终解决问题的基础． 规范解题过程、总结解题步骤是知识和 方法的提炼，也是对学生学习的指导.
思考
教学重点 （1）函数单调性的概念； （2）运用函数单调性的定义判断一些函 数的单调性． 教学难点 （1）函数单调性的知识形成； （2）利用函数图象、单调性的定义判断 和证明函数的单调性．
二、教法分析与学法指导
本节课是一节较为抽象的数学概念课，因 此，教法上要注意： 1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题， 为概念学习创设情境，拉近数学与现实的 距离，激发学生求知欲，调动学生主体参 与的积极性．
f(t2)
f(t1) t1 t2
问题1：怎样描述气温随时间增大的变化情况？ 问题2：怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大 气温逐渐升高”这一特征？ 问题3：在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？
1、单调增函数与单调减函数
一般地，设函数y ＝ f(x) 的定义域为A，区间I
A．
2、单调性、单调区间
若函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数， 那么就说函数y＝f(x) 在区间I上具有单调性．单调增区间 和单调减区间统称为单调区间．
设计说明
从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数 单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好 基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性 最本质的东西． 函数单调性定义产生是本节课的难点 ，难 在：如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学 语言．通过问题的分解，引导学生步步深入，直 至找到最准确的数学语言来描述定义．这里体现 以学生为主体，师生互动合作的教学新理念．
教 学 目 标
知识与技能：使学生理解函数单调性的概 念，掌握判别函数单调性的方法. 过程与方法：从实际生活问题出发，引导学 生自主探索函数单调性的概念，应用图象和 单调性的定义解决函数单调性问题，让学生 领会数形结合的数学思想方法，培养学生发 现问题、分析问题、解决问题的能力． 情感态度价值观：让学生体验数学的科学功 能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观 察、探索发现、科学论证的良好的数学思维 品质．
巩固
你能找出气温图中的单调区间吗?
单调增区间： [4，14] 单调减区间： [0，4] ，[14，24]
回顾
我们初中学过的函数
y y y
O
x
O
x
O
x
y 2 x 2
y x 2x 3
2
1 y x
用定义法证明函数单调性的步骤：
①取值； ②作差变形； ③定号； ④判断．
设计说明