1.1-1.2预备知识与函数解析

数学的本质与作用：
数学是一切知识中的最高形式。——柏拉图 数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠。——考特 数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有
研究顺序和度量的科学均和Fra Baidu bibliotek学有关。——笛卡儿 对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它
的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给 我们的。 ——开普勒
数学还可以这样用！！
欧拉一开始在解决七桥问题的时候，认定七桥问题可能无解 ，说明无法用当时已有的数学知识解决此实际问题。那么到 底是什么最后让欧拉解决了七桥问题？是数学素养、数学思 想。把所学的数学知识都排出或忘掉后剩下的东西。
正是这份数学素养、数学思想让欧拉最后解决了七桥问题。
我们学数学是为了什么？是为了深深铭刻在头脑中数学思想、数 学的思维方法、看问题的着眼点等，而这些却随时随地发生作用 ，影响我们的生活、工作等行为方式，使我们终身受益。
U(a, ) {x a x a } (a , a ).
a
a
a x
点a的去心邻域, 记作U (a, ).
U (a, ) {x 0 x a }.
1.2 函数
函数的概念 函数的一些特性（有界性、奇偶性、周期性、
单调性） 反函数与复合函数 基本初等函数与初等函数 建立函数关系式举例
oa
b
x
半开闭区间 {x a x b} 记作 [a,b)
{x a x b} 记作 (a,b] 以上的区间都是有限区间，还有一类无限区间
a, )
oa
x
(, b]
ob
x
2.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
一、函数的概念
1、定义1 设D是某一实数集，若当变量 x 在非空数集
D内每取一个数值时，另一变量 y 按照一定法则 f 总有唯一确定的数值与它对应，则称变量 y 是 x 的函数，记作
定义域
y f (x), x D
因变量
自变量
函数值全体组成的数集 W {y y f (x), x D}称为函数的值域.
就像我们看很多理科生通常比较理性、有条理、严谨等特点而文 科生思维活跃、想象力丰富、动手操作能力弱等特点。
这些都是潜移默化的文化学习结果，一个人的数学素养，数学气 质也就是在数学教育的感染熏陶下逐渐形成的。
如果你厌恶学习数学，请明白一点，要你学数学，并不是长大后 数学能让你赚多少钱，能让你爬多高，而是让你学会理性思考， 像数学逻辑思维一样去合理安排自己的生活。
(1) x
1 1
1
x 1
x x
1，
1
x
例2 求下列函数的定义域。
(1)
f
(x)
5x2
3
2x
；
解 (1) 5x2 2x 0 ，解得 x 2 ,且 x 0 , 5
∴定义域为 (, 2) ( 2 ,0) (0,) ． 55
(2) f (x) 9 x2 ； 解: (2) 9 x2 0，解得 3 x 3，
数学的本质是对表面上看来完全不同的概念认识其内 在的逻辑关系。最成功的数学家是知识面最宽、概念 的类比、想象能力最强的人 。——爱德华
别把数学想象为硬梆梆的、死绞蛮缠的、令人讨厌的 、有悖于常识的东西，它只不过是赋予常识以灵性的 东西。——开尔文
哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变 现象而抓住真正的实质。……又因为这是使灵魂过渡 到真理和永存的捷径。 ——柏拉图
高数很简单 挂科率很高 若想不重修 三件事做好 听课、作业和复习
极限 连续
函数
课前说明
学分：4学分，64课时 学习内容：第一章至第五章 考核方式：闭卷考试 成绩评定：期末成绩60%+平时成绩40%（考勤，作业
，期中考，课堂表现）
考勤25分：
旷课1次扣8分，旷课次数多于3次（含3次）为0分； 请假第一次不扣分，第二次起每次扣3分，超过5次（
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清华大学 谢金星，姜启源 数学之旅 上海交通大学 王维克 经济生活的数学魅力
湖南大学 杨湘豫，彭国强，马传秀，王利平 数学与经济 武汉理工大学
飞蛾扑火
“数学吃货”的完美甜甜圈
最好吃的环形甜甜圈 应该是外焦里嫩的， 有着脆脆的面包皮和 薄薄撒的一层糖
英国谢菲尔德大学纯数学方向的高级讲师、数学家Eugenia Cheng建立了每次都做出完美甜甜圈的公式。Cheng博士发现洞 为0.4英寸(11毫米)的环形甜甜圈有着最好的“软脆比”3.5:1， 并且5.8克糖是味道最好的。
彭斯俊，蔡新民，万源，陈晓江，朱华平
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走近科学女王——数学 南昌大学 主讲教师：朱传喜，黄先玖，尹建东
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数学传魔方和数学建模 中国石油大学（华东） 李世春
数学分析选讲 内蒙古大学 孙炯
第1章 函数、极限与连续
含5次）为0分； 迟到早退每次扣5分，超过3次（含3次）为0分。
作业35分：
以实际作业次数除以总次数计分，作业补交从第三次 起以缺交记，质量好者适当加分，加满为止。
课堂表现20分：
课堂纪律好、每次主动回答问题、到黑板做练习，课 后主动问问题，集体回答问题中表现突出等每次给予 适当加分，加满为止。
1.1预备知识 1.2函数
1.1 预备知识
实数与数轴 实数的绝对值 集合 区间和邻域
区间和邻域
1.区间 是指介于某两个实数之间的全体实数.这 两个实数叫做区间的端点. a, b R,且a b.
开区间 { x a x b} 记作 (a, b)
oa
b
x
闭区间 {x a x b} 记作 [a, b]
或 f (D) {y | y f (x), x D}
例1
已知
f (x) 1 x ， 求：f (0) ， f (1)
1 x
2
，f (x) ，
f (1) ．
x 解 f (0) 1 0 1，
1 0
f
(1) 2
1 1
1
2 1
1 3
，
2
f (x) 1 (x) 1 x ，
1 (x) 1 x
f