2011陕西师范大学高等代数答案解析
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陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题 参考解答
高等代数资源网 October 21, 2012
1 声明
您现在看到的这份文件来自.本站原创的内容，采用创作共用组 织（Creative Commons）的“公共领域”（Public Domain）许可。即放弃一切权利，全 归公共领域。但涉及到其他版权人的摘录、转载、投稿、翻译等类内容不在此列。 本文的内容仅供学习参考之用,作者不对内容的正确性作任何承诺,作者不对因使用本 文而造成的一切后果承担任何责任. 关于如何使用本文的建议:首先保证自己认真做了一遍题目,否则请不要查看本文.记 住: 别人做是别人的，自己做才是自己的 . 作者水平有限,错误不可避免,欢迎您来信指出:www52gdorg@.
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( ) Ir 0 ,其中Ir 是r阶 七.(15分)设A为n阶方阵,且A = A.证明:A相似于一个对角矩阵 0 0 单位矩阵,r = r(A). 八.(20分)求可逆矩阵P 及A的Jordan标准形J,使得P −1 AP = J,其中 2 1 1 −1 2 2 −1 −1 A= 1 0 −1 2 . 0 0 0 3 九.(20分)设η 是n维欧氏空间V 中的单位向量,定义 σ (α) = α − 2(η, α)η, ∀α ∈ V.
证明: ◇※☆■◇◇※☆■◇ 2 高等代数资源网
陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 1.σ 是V 上的一个正交变换,这样的正交变换称为镜面反射; 2.σ 是第二类的;
3.如果n维欧氏空间V 中,正交变换σ 以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间 的维数为n − 1,那么σ 是镜面反射. 消息一下,来张美图欣赏一下吧.
3 参考解答
一.(15分)证明:次数> 0且首项系数为1的多项式f (x)是一个不可约多项式的方幂的充 要条件是:对任意的多项式g (x),必有(f (x), g (x)) = 1或者对某一个正整数m, f (x)|g m (x). 证明:必要性.设 f (x) = pk (x), 其中p(x)是不可约多项式,k 是正整数.则对任意的多项式g (x),有 (p(x), g (x)) = 1或者p(x)|g (x), 故 (pk (x), g (x)) = 1或者pk (x)|g k (x), 从而(f (x), g (x)) = 1或者存在正整数m = k, f (x)|g m (x). 充分性.由题设,可设f (x)的标准分解式为
设Mj (j = 1, 2, .., n)表示A中划掉第j 列所得的n − 1阶子式.试证 (1)(M1 , −M2 , ..., (−1)n−1 Mn )为方程组的一个解. ◇※☆■◇◇※☆■◇ 4 高等代数资源网
陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答
设Mj (j = 1, 2, .., n)表示A中划掉第j 列所得的n − 1阶子式.试证 (1)(M1 , −M2 , ..., (−1)n−1 Mn )为方程组的一个解. (2)若A的秩为n − 1,则方程组的解全是(M1 , −M2 , · · · , (−1)n−1 Mn )的倍数. 四.(15分)设A, B 是n阶方阵,证明:(AB )∗ = B ∗ A∗ . 五.(20分)设x为n维非零实列向量,证明: 1.I + xxT 是正定矩阵,其中I 是n阶单位矩阵,并求(I + xxT )−1 ; 2.0 < xT (I + xxT )−1 x < 1; 3.如果Q是n阶正定矩阵,是否有结论0 < xT (Q + xxT )−1 x < 1?请说明. 六.(15分)(江苏大学04,大连理工02,南京理工08)设V1 , V2 分别为齐次线性方程与 x1 = x2 = · · · = xn 的解空间.证明P n = V1 ⊕ V2 ,其中P 是一个数域.
r2 rt 1 f (x) = pr 1 (x)p1 (x) · · · pt (x),
1 其中p1 (x), p2 (x), · · · , pt (x)是互异的不可约多项式.若t > 1,取g (x) = pr 1 (x),则 1 (f (x), g (x)) = cpr 1 (x) ̸= 1,
2 试题
一.(15分)证明:次数> 0且首项系数为1的多项式f (x)是一个不可约多项式的方幂的充 要条件是:对任意的多项式g (x),必有(f (x), g (x)) = 1或者对某一个正整数m, f (x)|g m (x). 二.(15分)计算n + 1阶行列式 0 1 = 1 . . . 1 ··· x ··· 0 ··· . . . . . . 1 x x ··· 1 0 x . . . 1 x x . . . . 0
)( ) (I I 0 I −x −xT 1 0 1 0
0 1 1 + xT x
上式左边展开,与右边比较,可得 (I + xxT )−1 = I − 2.由1.有 xT (I + xxT )−1 x = xT (I − 其中t = xT x,且t > 0,故 0< 从而结论成立. 3.如果Q是n阶正定矩阵,则0 < xT (Q + xxT )−1 x < 1.实际上,类似1.中的方法,可得 (Q + xxT )−1 = Q−1 − 于是 Q−1 xxT Q−1 1 + xT Q−1 x
Dn+1
(2)若x = 0,显然Dn+1 = 0. 综上,可得 Dn+1 = n(−x)n−1 . 三.(15分) (中科院06,北京交大03)线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 ······ an−1,1 x1 + an−1,2 x2 + · · · + an−1,n xn = 0 的系数矩阵为 a11 a12 · · · a21 a22 · · · A= · · · · · · an−1,1 an−1,2 · · · a1n a2n an−1,n
Dn+1
1
陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 三.(15分) (中科院06,北京交大03)线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 ······ an−1,1 x1 + an−1,2 x2 + · · · + an−1,n xn = 0 的系数矩阵为 a11 a12 · · · a21 a22 · · · A= · · · · · · an−1,1 an−1,2 · · · a1n a2n an−1,n
−1 T −1
xxT . 1 + xT x
xxT (xT x)2 t2 t T ) x = x x − = t − = , 1 + xT x 1 + xT x 1+t 1+t t < 1. 1+t
∗ ∗ (A1 B1 )∗ = B1 A1
上式两边矩阵的元素都是x的多项式,且有无穷多x的值使得等号成立.从而等号恒成立.从 而x = 0时结论也成立. 五.(20分)设x为n维非零实列向量,证明: 1.I + xxT 是正定矩阵,其中I 是n阶单位矩阵,并求(I + xxT )−1 ; 2.0 < xT (I + xxT )−1 x < 1; 3.如果Q是n阶正定矩阵,是否有结论0 < xT (Q + xxT )−1 x < 1?请说明. 证明:1.易知I + xxT 是实对称矩阵.对任意的非零n维列向量y 有 y T (I + xxT )y = y T y + y T xxT y = y T y + (y T x)2 > 0. 从而I + xxT 是正定矩阵. 由 ( I xT ( I 0 上两式两边取逆,有 ( )( )−1 ( ) (I I x I x I 0 = 0 1 −xT 1 −xT 1 0 ◇※☆■◇◇※☆■◇ 5 0 1 1 + xT x ) )( )( ) ( ) 0 I x I −x I 0 = 1 −xT 1 0 1 0 1 + xT x )( )( ) ( ) −x I x I 0 I + xxT 0 = 1 −xT 1 xT 1 0 1
Dn+1
解:将Dn+1 的第一行乘以(−x)加到其余各行,得 0 1 1 1 −x 0 = 1 0 −x . . . . . . . . . 1 0 0 ··· ··· ··· . . . ··· 1 0 0 . . . . −x
Dn+1
1 (1)若x ̸= 0,从最后一列开始,每一列乘以 加到第一列,可得 x n 1 1 x 0 −x 0 = 0 0 −x . . . . . . . . . 0 0 0 ··· ··· ··· . . . ··· 1 0 0 . . . −x = n(−x)n−1 .
且由p1 (x), p2 (x), · · · , pt (x)互异,故对任何正整数m, f (x) ∤ g m (x).此为矛盾.故t = 1,即f (x) = 1 pr 1 (x).即结论成立.
◇※☆■◇◇※☆■◇
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陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 二.(15分)计算n + 1阶行列式 0 1 = 1 . . . 1 ··· x ··· 0 ··· . . . . . . 1 x x ··· 1 0 x . . . 1 x x . . . . 0
= 0.
而M1 , −M2 , ..., (−1)n−1 Mn 是D的第一行元素的代数余子式,按第一行展开,可知 a11 M1 + a12 (−M2 ) + · · · + a1n (−1)n−1 Mn = 0 又D的其他行元素与第一行相应元素的代数余子式乘积之和为0,于是结论成立. (2)由r(A) = n − 1,故M1 , −M2 , ..., (−1)n−1 Mn 不全为0,且原方程组基础解系只含有一 个解向量.由(1)可得结论成立. 四.(15分)设A, B 是n阶方阵,证明:(AB )∗ = B ∗ A∗ . 证明: (1)|AB | ̸= 0时，有 (AB )∗ = |AB |(AB )−1 = |B |B −1 |A|A−1 = B ∗ A∗ (2)|AB | = 0时，令A1 = A + xE, B1 = B + xE,则存在无穷多x的值使得A1 , B1 可逆,且
(2)若A的秩为n − 1,则方程组的解全是(M1 , −M2 , · · · , (−1)n−1 Mn )的倍数. 证明:(1)由于行列式 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a22 a23 D = a21 ······ an−1,1 an−1,2 an−1,3 ··· ··· ··· ··· a1n a1n a2n an−1,n
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陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 ( )( )−1 ( ) ( ) I 0 I x I x (I + xxT )−1 0 = −xT 1 −xT 1 0 1 0 1 )(
故 ( ) (I I −x 0 1 0 即 ( 0 1 1 + xT x ) ( )−1 ( )( )( ) I 0 I x I 0 (I + xxT )−1 0 I −x = = , xT 1 −xT 1 xT 1 0 1 0 1 )( )( ) ( ) I 0 I x (I + xxT )−1 0 = , xT 1 0 1 0 1
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1 声明
您现在看到的这份文件来自.本站原创的内容，采用创作共用组 织（Creative Commons）的“公共领域”（Public Domain）许可。即放弃一切权利，全 归公共领域。但涉及到其他版权人的摘录、转载、投稿、翻译等类内容不在此列。 本文的内容仅供学习参考之用,作者不对内容的正确性作任何承诺,作者不对因使用本 文而造成的一切后果承担任何责任. 关于如何使用本文的建议:首先保证自己认真做了一遍题目,否则请不要查看本文.记 住: 别人做是别人的，自己做才是自己的 . 作者水平有限,错误不可避免,欢迎您来信指出:www52gdorg@.
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( ) Ir 0 ,其中Ir 是r阶 七.(15分)设A为n阶方阵,且A = A.证明:A相似于一个对角矩阵 0 0 单位矩阵,r = r(A). 八.(20分)求可逆矩阵P 及A的Jordan标准形J,使得P −1 AP = J,其中 2 1 1 −1 2 2 −1 −1 A= 1 0 −1 2 . 0 0 0 3 九.(20分)设η 是n维欧氏空间V 中的单位向量,定义 σ (α) = α − 2(η, α)η, ∀α ∈ V.
证明: ◇※☆■◇◇※☆■◇ 2 高等代数资源网
陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 1.σ 是V 上的一个正交变换,这样的正交变换称为镜面反射; 2.σ 是第二类的;
3.如果n维欧氏空间V 中,正交变换σ 以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间 的维数为n − 1,那么σ 是镜面反射. 消息一下,来张美图欣赏一下吧.
3 参考解答
一.(15分)证明:次数> 0且首项系数为1的多项式f (x)是一个不可约多项式的方幂的充 要条件是:对任意的多项式g (x),必有(f (x), g (x)) = 1或者对某一个正整数m, f (x)|g m (x). 证明:必要性.设 f (x) = pk (x), 其中p(x)是不可约多项式,k 是正整数.则对任意的多项式g (x),有 (p(x), g (x)) = 1或者p(x)|g (x), 故 (pk (x), g (x)) = 1或者pk (x)|g k (x), 从而(f (x), g (x)) = 1或者存在正整数m = k, f (x)|g m (x). 充分性.由题设,可设f (x)的标准分解式为
设Mj (j = 1, 2, .., n)表示A中划掉第j 列所得的n − 1阶子式.试证 (1)(M1 , −M2 , ..., (−1)n−1 Mn )为方程组的一个解. ◇※☆■◇◇※☆■◇ 4 高等代数资源网
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设Mj (j = 1, 2, .., n)表示A中划掉第j 列所得的n − 1阶子式.试证 (1)(M1 , −M2 , ..., (−1)n−1 Mn )为方程组的一个解. (2)若A的秩为n − 1,则方程组的解全是(M1 , −M2 , · · · , (−1)n−1 Mn )的倍数. 四.(15分)设A, B 是n阶方阵,证明:(AB )∗ = B ∗ A∗ . 五.(20分)设x为n维非零实列向量,证明: 1.I + xxT 是正定矩阵,其中I 是n阶单位矩阵,并求(I + xxT )−1 ; 2.0 < xT (I + xxT )−1 x < 1; 3.如果Q是n阶正定矩阵,是否有结论0 < xT (Q + xxT )−1 x < 1?请说明. 六.(15分)(江苏大学04,大连理工02,南京理工08)设V1 , V2 分别为齐次线性方程与 x1 = x2 = · · · = xn 的解空间.证明P n = V1 ⊕ V2 ,其中P 是一个数域.
r2 rt 1 f (x) = pr 1 (x)p1 (x) · · · pt (x),
1 其中p1 (x), p2 (x), · · · , pt (x)是互异的不可约多项式.若t > 1,取g (x) = pr 1 (x),则 1 (f (x), g (x)) = cpr 1 (x) ̸= 1,
2 试题
一.(15分)证明:次数> 0且首项系数为1的多项式f (x)是一个不可约多项式的方幂的充 要条件是:对任意的多项式g (x),必有(f (x), g (x)) = 1或者对某一个正整数m, f (x)|g m (x). 二.(15分)计算n + 1阶行列式 0 1 = 1 . . . 1 ··· x ··· 0 ··· . . . . . . 1 x x ··· 1 0 x . . . 1 x x . . . . 0
)( ) (I I 0 I −x −xT 1 0 1 0
0 1 1 + xT x
上式左边展开,与右边比较,可得 (I + xxT )−1 = I − 2.由1.有 xT (I + xxT )−1 x = xT (I − 其中t = xT x,且t > 0,故 0< 从而结论成立. 3.如果Q是n阶正定矩阵,则0 < xT (Q + xxT )−1 x < 1.实际上,类似1.中的方法,可得 (Q + xxT )−1 = Q−1 − 于是 Q−1 xxT Q−1 1 + xT Q−1 x
Dn+1
(2)若x = 0,显然Dn+1 = 0. 综上,可得 Dn+1 = n(−x)n−1 . 三.(15分) (中科院06,北京交大03)线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 ······ an−1,1 x1 + an−1,2 x2 + · · · + an−1,n xn = 0 的系数矩阵为 a11 a12 · · · a21 a22 · · · A= · · · · · · an−1,1 an−1,2 · · · a1n a2n an−1,n
Dn+1
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陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 三.(15分) (中科院06,北京交大03)线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 ······ an−1,1 x1 + an−1,2 x2 + · · · + an−1,n xn = 0 的系数矩阵为 a11 a12 · · · a21 a22 · · · A= · · · · · · an−1,1 an−1,2 · · · a1n a2n an−1,n
−1 T −1
xxT . 1 + xT x
xxT (xT x)2 t2 t T ) x = x x − = t − = , 1 + xT x 1 + xT x 1+t 1+t t < 1. 1+t
∗ ∗ (A1 B1 )∗ = B1 A1
上式两边矩阵的元素都是x的多项式,且有无穷多x的值使得等号成立.从而等号恒成立.从 而x = 0时结论也成立. 五.(20分)设x为n维非零实列向量,证明: 1.I + xxT 是正定矩阵,其中I 是n阶单位矩阵,并求(I + xxT )−1 ; 2.0 < xT (I + xxT )−1 x < 1; 3.如果Q是n阶正定矩阵,是否有结论0 < xT (Q + xxT )−1 x < 1?请说明. 证明:1.易知I + xxT 是实对称矩阵.对任意的非零n维列向量y 有 y T (I + xxT )y = y T y + y T xxT y = y T y + (y T x)2 > 0. 从而I + xxT 是正定矩阵. 由 ( I xT ( I 0 上两式两边取逆,有 ( )( )−1 ( ) (I I x I x I 0 = 0 1 −xT 1 −xT 1 0 ◇※☆■◇◇※☆■◇ 5 0 1 1 + xT x ) )( )( ) ( ) 0 I x I −x I 0 = 1 −xT 1 0 1 0 1 + xT x )( )( ) ( ) −x I x I 0 I + xxT 0 = 1 −xT 1 xT 1 0 1
Dn+1
解:将Dn+1 的第一行乘以(−x)加到其余各行,得 0 1 1 1 −x 0 = 1 0 −x . . . . . . . . . 1 0 0 ··· ··· ··· . . . ··· 1 0 0 . . . . −x
Dn+1
1 (1)若x ̸= 0,从最后一列开始,每一列乘以 加到第一列,可得 x n 1 1 x 0 −x 0 = 0 0 −x . . . . . . . . . 0 0 0 ··· ··· ··· . . . ··· 1 0 0 . . . −x = n(−x)n−1 .
且由p1 (x), p2 (x), · · · , pt (x)互异,故对任何正整数m, f (x) ∤ g m (x).此为矛盾.故t = 1,即f (x) = 1 pr 1 (x).即结论成立.
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陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 二.(15分)计算n + 1阶行列式 0 1 = 1 . . . 1 ··· x ··· 0 ··· . . . . . . 1 x x ··· 1 0 x . . . 1 x x . . . . 0
= 0.
而M1 , −M2 , ..., (−1)n−1 Mn 是D的第一行元素的代数余子式,按第一行展开,可知 a11 M1 + a12 (−M2 ) + · · · + a1n (−1)n−1 Mn = 0 又D的其他行元素与第一行相应元素的代数余子式乘积之和为0,于是结论成立. (2)由r(A) = n − 1,故M1 , −M2 , ..., (−1)n−1 Mn 不全为0,且原方程组基础解系只含有一 个解向量.由(1)可得结论成立. 四.(15分)设A, B 是n阶方阵,证明:(AB )∗ = B ∗ A∗ . 证明: (1)|AB | ̸= 0时，有 (AB )∗ = |AB |(AB )−1 = |B |B −1 |A|A−1 = B ∗ A∗ (2)|AB | = 0时，令A1 = A + xE, B1 = B + xE,则存在无穷多x的值使得A1 , B1 可逆,且
(2)若A的秩为n − 1,则方程组的解全是(M1 , −M2 , · · · , (−1)n−1 Mn )的倍数. 证明:(1)由于行列式 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a22 a23 D = a21 ······ an−1,1 an−1,2 an−1,3 ··· ··· ··· ··· a1n a1n a2n an−1,n
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陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 ( )( )−1 ( ) ( ) I 0 I x I x (I + xxT )−1 0 = −xT 1 −xT 1 0 1 0 1 )(
故 ( ) (I I −x 0 1 0 即 ( 0 1 1 + xT x ) ( )−1 ( )( )( ) I 0 I x I 0 (I + xxT )−1 0 I −x = = , xT 1 −xT 1 xT 1 0 1 0 1 )( )( ) ( ) I 0 I x (I + xxT )−1 0 = , xT 1 0 1 0 1