西南交大 材料力学 龚晖 截面几何性质

1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
Iz

bh3 12
h
C
z
Iz'

bh3 12
b
y
注意：1. 两个座标系的原点
必须重合；
2. 两轴惯性矩之和为常量
O
z
I y1 I z1 I y I z I p
I z1

Iz
Iy 2

Iz
Iy 2
cos 2
I yz
sin 2
I y1

Iz
2
302
100 20
=3.467 106 mm4
Iz =1.867 106+3.467 106 =5.334 106 mm4
补例1 求图示截面对其形心轴的惯性矩。
a
C
z A1
zC
解：1) 求Iy
I y I y1 I y2
a4 12
a4
128
2) 求yC
y
A2
a
yC

zc
57.4104 mm4
3. 形心主轴的确定
1) 过同一点的轴系中，主矩是唯
A o
0
z0
一的；
2) 过不同点的轴系中，主轴和主
z
矩是不同的；
3) 较小的形心主矩是最小值，
y
y0
但较大的形心主矩不是最大值；
4) 截面有三根或以上的对称轴时，则 过形心的任一根轴均为形心主轴， 且惯性矩相等；
A1 yC1 A2 yC 2 A1 A2
14 3 a 3(8 )
a2 a ( a2 )(a 2a )

2
8
3
a2 ( a2 )
8
yC
a
C
z 3) 求IzC
A1 zC
I zC I zC 1 I zC 2
2a
3
y a
A2zz0C’
I zC 1

d 4
128
d4
18
Iy
z
z0
C o
z1
y1 y
2）解法二
I z1 I y1 I z0 I y
I z0 I z1 I y1 I y 2I z1 I y
2 d 4
256
Iy

d 4
128
Iy
Iz

I z0
OC2
d2
16

d 4
C zC o z0
yC y
解：1）解法一
I zC

I yC
I z0
a2 d 2 d 4
16 256
( 2d )2 d 2 3 16
d 4 d 4 256 36
I y I z I yC I zC
I z I yC I zC I y 2I zC I y
Iy

Iz
Iy 2
cos 2

I yz
sin 2
I y1z1

Iz
2
Iy
sin 2

I yz
cos 2
2.截面的主惯性轴和主惯性矩 (1) 主惯性轴:截面对其惯性积为0的一对坐标轴。
I y1z1

Iz
Iy 2
sin 20

I yz
cos 20

0
tan
20

2I yz Iz Iy
a4 12

(a 2

yC
)2 a2
I zC 2

I zC' 2
(a
2a
3

yC )2
a2
8
I zC' 2

I z0
( 2a )2
3
a2
8
a4 ( 2a )2 a2 128 3 8
I xC

10 a4
3(8 )
§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 •截面的主惯性轴和主惯性矩
= 40 mm
100 20 (10) 100 2050
yC '
100 20 100 20
= 20 mm
yC
"

100
120 (60) 100 120
(100 40) 100 40
2
(50)

2
=
-80
mm
d
o yC
z
yC

2d
3
y
§ I－2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积
C
z
y b
y
z
z
d
解： I y I z I p
Iy Iz
Iy

Iz

Ip 2

πd 4 64
§-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 •组合截面的惯性矩和惯性积
1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式
y
Iz

bh3 12
h
C
z
Iz'

bh3 12
z’ b
y yc C
Iz Izc a2 A
5) 正多边形任意一根形心轴均为形心 主轴；
6) 截面有两根互相垂直的对称轴，则 这两根轴即为形心主轴；
7) 截面只有一根对称轴时，该对称轴 是一根形心主轴，另一根形心主轴 与该轴垂直；
8) 无对称轴（例）；
补例2 直径为d的四分之一圆形，C是其形心，已知
z
Iy

(
2)d 4 256
，试求Iz。
80 10
zc0
y C 120
Ⅰ
C
zC
=113.8°
yc0
10 Ⅱ
Izc0
Imax

I zc
I yc 2
1 2
ຫໍສະໝຸດ BaiduI zc I yc
2

4I
2 yc
zc
321104 mm4
I yc0

I min

I zc
I yc 2
1 2
I zc I yc
2

4I
2 yc
3. 组合截面的静矩
n
S y Ai zi i1
n
S z Ai yi i1
4. 组合截面的形心坐标公式
n
Ai zi
z

i 1 n
Ai
i 1
n
Ai yi
y

i 1 n
Ai
i 1
1）静矩和形心坐标均与所取的坐标系有关，
2）静矩和形心坐标均可正可负，
3）截面对形心轴的静矩为0，
(2) 主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。
Iz0

Iz
Iy 2

1 2
Iz Iy
2

4I
2 yz
I y0

Iz
Iy 2

1 2
Iz Iy
2

4I
2 yz
极大值Imax 极小值Imin
(3) 形心主惯性轴：主惯性轴的原点与形心重合。
(4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。
zc
I y I yc b2 A 平行移轴公式
I yz I yczc abA
b O
z 注意：1. 两轴必须平行；
2. 两轴中必须有一轴为形心轴：
已知对形心轴的惯性矩和惯性积: Iz Izc a2 A 已知非形心轴的惯性矩和惯性积: Izc Iz a2 A
3. 在一组平行轴系中对形心轴的惯性矩最小；
附录 截面的几何性质
y
yy
O
§ -1 置
dA
C
x
z
x
截面的静矩和形心位
1. 静矩（或一次矩）
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
(单位： m3 或mm3 。）
2. 形心坐标公式
z A z d A A Sy A
y A y d A A Sz A
Sy A z Sz A y

hb3 12
I yz 0
y和z中只要有一根轴是截面的对称轴，则Iyz=0
思考：O为直角三角形ABD斜边上的中点，y、z轴为
过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性
积Iyz= ______。
A
y
Iyz=
0
bO
z
Ba
D
y
bh3 I z 12
h
例：试计算图示圆截面对于其 形心轴的惯性矩。
y
dA
1.极惯性矩
Ip
2d A
A
2. 惯性矩
I y
z2d A
A
I z
y2d A
A
O
z
I p
2d A
A
(y2 z2)d A
A
z
IzIy
y
3. 惯性积
I yz
yz d A
A
1) 极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关，
2) 惯性积可正可负
3) 单位m4 或 mm4
y
4. 惯性半径
dA
iy
Iy A
iz
Iz A
y
O
z
z
（单位m 或 mm）
h dy
y
例 试计算图示矩形截面对于其对称轴x和y的惯性矩。
y
解：取平行于x轴的狭长条，
则 dA=b dy
h
I z
y2d A
A
2 h
by2
d
y
C
z
2
bh3
12
b
同理
I
y
例：试计算截面的形心主惯性矩。
80 10
y C 120
解：1) 求形心坐标
Ⅰ
2) 求对自身形心轴
的惯性矩
C
zC 3) 由平行移轴公式
求对整个截面形
心轴的惯性矩
10 Ⅱ 4) 用转轴公式确定主轴位置
tan 20

2I yczc Izc I yc
1.093
20 227 .6 0 113 .8
4）静矩为0的轴为截面的形心轴。
例 求图示T形截面的形心位置。
100 A1 A1
解：建立参考坐标系。
n
20
z z'
yC

Ai yCi
i 1 n
Ai

A1 yC1 A2 yC2 A1 A2
100
i 1
A2
A2 y A3 20
100 2010 100 20 70
z"
100 20 100 20
d4
I z0 3 128 I y
Iz

I z1

I z0 3
OC 2
d2
16

d 4
128
d4
18

Iy
Iz

I z1

I z0 2
OC 2
d2
16
d 4 d 4

128

18

Iy
z1 A1 z A3
C C’ o
A2 z0
4）解法四
y1
Iz I z0
I z1 I z01 I z0 2
I z0 3 I z0 4
d 4
64
d4
A3 y
2I y 2Iz0 3 64
128

Iy

(
2 2d )2 d 2 3 16

d 4
128
d4
18
Iy
z0 z1 A1 z
A2 C
y1
C’ o y
A3
3）解法三
I z I z1
I z0
I z01 I z0 2 I z0 3
d 4
128
d4
I z0 2 I y 128
d4
I z0 2 128 I y
4. a、b代表形心C在yoz座标系中的坐标，可正可负。
例Ⅰ-5 求图示T形截面对水平形心轴的惯性矩
100
解：I z I z1 I z2
20 A1 C
20
z 100
I z1

100 203 12
302 100 20
=1.867 106 mm4
A2
y 20
Iz2

1003 20 12