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复数的模及共轭复数（答案）

1、有关复数的模你知道哪些？

uuur

a 2

b 2

（1） | z | | a bi | |OZ |

（2） Z 2

Z 2

Z Z （注意 | z|

2

z 2

）

（3） Z 1 Z 2

Z 1 Z 2 Z 1 Z 1

(Z 2

0)Z

n

Z n

Z 2

Z 2

如； 2i (3 i )(1 i )

2 5

(1 i )2

（3）||z 1|-|z 2|| |z 1 ± z 2 | |z 1|+|z 2|

如；若 |z|=1 ，则 |z-2| 的取值范围是

[1,3] .

2、有关共轭复数你知道哪些？

若 z a bi (a, b R), 则 z a bi

如：复数 z 4i 3 的共 轭复数为

4i 3

z 1 z 2

z 1 z 2

z 1 z 2 z 1 z 2

( z

1 )

z 1

( z 2

0) (z 1) n ( z 1) n

z z

z 2

z

2

如： z 1 2i

， z 1 2i z 1 2i

3、设 z 1

(1 2i )4 , z 2

z 2 (3 i) 3 2 1

, 则 | z 2 | 4

i

4、你能写出几个实数集成立，而在复数范围内不成立的命题吗？ （1） a b a c b c （2） a 2 0 （3） a 2 b 2 0 a b 0

（4） 2

a

a 2

虚数的模永远去不掉！

a a 2

（5） a b a b

a 2

b 2

a

b

（6） a 0

a 1 0

a

5、你能写出几个实数集成立，在复数范围内也成立的命题吗？

（1） ( a b) 2 a 2 2ab b 2 （2） ( a b)(a b)

a 2

b 2

（3） a 2 ab 0 a 0ora b （4） a b 0 a b 0

6、判断下列是非，错误举出反例。

（1）已知 Z 1, Z 2 C ，若Z 1 Z 2 0，则 Z 1 Z 2 （错）

(2) 若 m 2 (m 2 3m)i (m 2 4m 3)i 10 , 则 m

( 10, 10)

( 错 ) （3） Z C ，若Z 2 1 ，则 1 Z 1

（错）

（4）设 Z 1, Z 2 C 若 Z 1 Z 2 则 Z 1

Z 2

（错）

（5） z 2i

z 2i

（ 对 ）

7、判断下列是非，错就举出反例。

（6） Z 1, Z 2 C ，若 Z 1 Z 2 0 则 Z 1 0或 Z 2 0 （对）

（7） z 2

| z |

（ 错 ）

（8）若 Z C Z 2 0 （错）

（9） Z 1, Z 2 C ，若 Z 1 2 Z 2 2 0 ，则 Z 1

Z 2 0

（错）

1 3

1

3

10 10

（10）（

10

3 3

( 1) 3

1 （错）

2

2 i ） =[ （

2 i ）]

2

解：（1）反例：若 Z 1

1 i, Z

2 i ， Z 1

Z 2 0

m 2 10

（2） m 2 (m 2 3m)i (m 2 4m 3)i 10

m 2 3m

m 3

m 2 4m 3 0

（3）反例： Z i （4）反例： Z 1 1,Z 2 i （7）反例： Z i

（8）反例： Z i

（9）反例： Z 1 1, Z 2 i

（10）在实数集中，有幂的运算性质 (a m )n a mn ，而这个性质在复数集

是不存立的。但当 z

C ，且 m, n N 时，结论成立。当 m, n 中有分数时，

1

1

结论就不成立的。如： 1 (i )

2

(i 4

)

2

12 1

8、设 Z cos

i sin

，且 0

2 ，则 1 i Z 的最大值为 __ 2 1 __

9、（模的含义）设复平面上三点

A, B,C 对应的复数分别是 z 1, z 2 , z 3 ，若

z 2 z 1 1 4

i ，则 ABC 的三边之比为

； 5: 4:3

z 3 z 1 3

10、已知复数 Z 满足 Z i Z 1，则Z 1

i 的最小值为 ； 2

11、设 Z x yi ( x, y R) ，且 | z 4 | 2, 求

y

的最小值；

3

x

3

12、已知复数 Z 满足不等式 Z Z

iZ iZ

0 ，求 Z 的取值范围。

解：设 Z x yi ，得 ( x yi )( x yi ) i ( x yi ) i( x yi )

得 x 2 ( y 1)2 1

所以， Z 表示复平面内到（ 0,1 ）的距离小于等于 1 的点，而 Z 表示 Z 到

原点的距离，由图知； Z [0,2]

13、已知复数 Z x yi ( x, y

1 满足 Z 1 x , 那么 Z 在复平

R, x) ,

2

面

上对应的点 ( x, y) 的轨迹方程是 y 2 2x 1

[ 解析]: 已知复数Z

x yi (x, y

1

， 满 足 |z-1|= x ,

R, x )

2