迭代法举例

迭代法举例
迭代法是指通过反复迭代，逐步逼近求解方程的一种方法。

下面我们来举几个例子。

1.牛顿迭代法求解方程根
牛顿迭代法是一种求解方程根的迭代方法，假设需要求解的方程为f(x)=0，初始点为
x0，则可以通过以下迭代公式求解：
xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)
其中f'(xn)表示f(x)在点xn处的导数。

通过不断的迭代求解，当f(xn+1)足够小的时候，就可以认为xn+1是方程f(x)=0的解。

这可以用来求解很多实际问题，例如求解非线
性方程、求解微积分中的最大值和最小值等。

2.雅可比迭代法求解线性方程组
x(k+1)=D^{-1}(b-(L+U)x(k))
其中D是A的对角线元素构成的对角矩阵，L和U分别是A的下三角和上三角部分矩阵。

这个迭代公式是通过将原方程组的系数矩阵A分解为D-(L+U)的形式而得到的。

使用雅可比迭代法求解线性方程组时，需要保证矩阵A是对称正定的，否则该方法可
能会失效。

此外，这个方法的收敛速度通常较慢。

3.梯度下降法求解函数最小值
其中α为步长，∇f(xn)表示f(x)在点xn处的梯度。

通过不断的迭代求解，可以逐步逼近函数f(x)的最小值。

但是需要注意的是，当该函数的梯度存在很大的方向差异时，梯度下降法的收敛速度
可能较慢，因此需要改进方法，例如Adagrad和Adam等算法，使得每个变量的更新步长可以根据过去的梯度值自适应地调整。