换元法求函数值域(最值)
求函数最值的12种方法
求函数值域的12种方法一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
1.函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R；2.二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是[ab ac 442-，+)∞，当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]；3.反比例函数)0,0(≠≠=x k xky的值域为}0|{≠y y ；4.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R；6.函数)( cos ,sin R x x y x y ∈==的值域为[-1，1]；函数 ),2k (x tan Z k x y ∈+≠=ππ,cot xy =),(Z k k x ∈≠π的值域为R；7.对勾函数)0,0(≠>+=x a xa x y 的值域为),2[]2,(+∞⋃--∞a a ；8.形如)0,0(≠>-=x a xa x y 的值域为}0|{≠y y ；渐近线为y=x二、求值域的方法1.直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==,时，min y =1.例2求函数323y x =+-的值域。
解：由算术平方根的性质，知23x -≥0，故323y x =+-≥3.∴函数的值域为)∞+,3[.2.反函数法求值域对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例3求函数12x y x +=+的值域。
解：显然函数12x y x +=+的反函数为:121y x y -=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y∈R｝。
换元法求值域
3 4
x2
x
3 4
(
x
2)2 3
1 3
，而由
y2
x
x2 4
0得
x [0, 4] ； 所 以
u x2 y2 值域为[0,16].
四、换元法
换元法是求函数值域的重要方法，其目的是通过换元把复杂的函数化为常见、简单的函 数.
（一）一般换元
1.形如 y a[ f (x)]2 bf (x) c(a 0) 或可化为此形的
于是 r2
1
2
3 2
sin 2
[72 , 2] ，所以
f
(x,
y)
x2
y2
r2
[
2 7
, 2].
5.形如 y ax b k cx2 dx e 及其变式的
686
典型例题：求函数 y 2x 1 2 x2 2x 3 的值域.
解 ： 函 数 化 为 y 2x 1 2
4 (x 1)2
，设
设 f (x) t 化为二次函数的条件值域，然后再求.
典型例题：若 f (x) 1 log2 x(1 x 4) ，求函数 g(x) f (x2 ) [ f (x)]2 的值域.
解：变形为
g(x)
log
2 2
x
4 log2
x
2
；因为
f
(x)
的定义域为[1, 4] ，则
f
(x2 )
的定义
域为[2, 1] [1, 2] ，[ f (x)]2 的定义域为[1, 4] ，所以 g(x) 的定义域为[1, 2] .设 log2 x t ，
1.若
x,
y
R
，且
x
求函数值域的常用方法
解：∵ ，
∴ 的图像如图所示，
由图像知：函数 的值域为
例1求函数 的值域
解： 设
例2求函数Байду номын сангаас的值域。
解：由 = ，令 ，
因为 ， ，则 = ，
于是 ， ，
，所以 。
三、分离常数法
分子、分母是一次函数 的有理函数，可用分离常数法，将原函数化为 ，值域为
例1求函数 的值域
解：∵ ，∵ ，∴ ，
∴函数 的值域为
例2求函数 的值域
四、反解法
利用函数的定义域与值域的关系，通过将原函数变形，反解出x或者与x有关的式子，再根据原函数的定义域求出原函数的值域。
例1求函数 的值域。
解：令 ，则
（1）当 时， ，当且仅当t=1，即 时取等号，所以 （2）当t=0时，y=0，综上所述，函数的值域为：
例2已知函数f(x)= ,x∈［1,+∞ ，当a= 时，求函数f(x)的值域
例3求函数的值域：
解：
当且仅当 时，即 时等号成立，
，所以元函数的值域为 .
例4求函数 的值域.
解： ;ⅰ)当 时, , ,此时 ,等号成立,当且仅当 .ⅱ)当 时, , ,此时有
,
等号成立,当且仅当 .综上,原函数的值域为: .
八、数型结合法
函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。
例4求函数 的值域
例5求函数 的值域
五、判别式法
对形如 （ 、 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即 从而求得y的范围，即值域。注意：主要适用于定义在R上的分式函数，需要注意检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值。
指数型复合函数
2x 1
例3：已知函数f(x)=
,讨论：
2x 1
（1）f(x)的奇偶性。 （2）f(x)的单调性。 （3）f(x)的值域。
五.指数型复合函数的定点
例：函数f（x）=ax﹣3+3（a＞0，且a≠1）的 图象恒过定点，则定点P的坐标是_______。
七.指数型复合函数的奇偶性
例1:以下函数是奇函数的是：
（1）f(x)=2-x （3）f(x)=2x-2-x
（2）f(x)=2x+2-x (4) f(x)=2 x2 1
2.已知f(x)=(
2x
1
1
1 2
)x
(1)求f(x)的定义域.
(2)判断f(x)的奇偶性.
指数型复合函数
一.指数型复合函数的定义域和值域 1.求下列函数的定义域和值域：
1
2 （1）y= x4
2x 1 (2)y= 2x 3
1 x24x
(3)y=
2
(4)y=
1 1 x 2
二.换元法求最值
例1.求函数y=
上的值域。
1 4x1 2x Nhomakorabea1
在x
[-3，2]
2.已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2•3x+1﹣9x 的最大值和最小值。
六.含有绝对值的指数函数
例：1.函数y=3|x|的单调递增区间是_____． 函数y=3-|x|的单调递增区间是________．
2.函数y=a|x|在( ,0)上是增函数，则a
的取值范围是___________．
3．关于x的方程 2 1x m 1 0有唯一
求函数值域(最值)的方法大全
一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,ac b ⎡⎫-+∞⎢，当0a <时的值1. 例1、 例2、 故函数的值域是：[ -∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ] 例 A 例解：21x x ++222x x x x -=++当2y -=当20y -≠时，x R ∈时，方程根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域。
解：两边平方整理得：22x -2（y+1）x+y 2=0 （1）x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x≤2。
由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1，3]。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
4例y 5 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
高中数学-函数值域的求法及应用
高中数学-函数值域的求法及应用高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一本文主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题1.重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力2.值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见基本函数的值域：一次函数的值域为R.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.3.求函数值域（最值）的常用方法3.1.基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解.3.2配方法对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例1：求函数的值域：3.3换元法利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数：（1）形如的函数，令；（2）形如的函数，令；（3）形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.例2：求函数的值域：.分析：设则.所以原函数可化为进行求解3.4不等式法利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可.例3：求函数的值域：.分析：一次比二次或者二次比一次的分式函数的通用方法是先换元再利用基本不等式求值域3.5函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题.例4：f(x)＝x+在区间[1,3]上的值域3.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率.例5：求函数的值域：分析：画出图像便能一目了然3.7函数的有界性法形如，可用表示出，再根据，解关于的不等式，可求的取值范围.3.8导数法设的导数为，由可求得极值点坐标，若函数定义域为，则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值.例6：设f(x)＝x3－－2x＋5，求f(x)在[-2,3]上的值域3.9判别式法例7：求函数的值域典型题例示范讲解例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？命题意图本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力知识依托主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识错解分析证明S(λ)在区间［］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞(1)当a=时，求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围命题意图本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力知识依托本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想错解分析考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)(1)证明当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值(3)求证对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1学生巩固练习1 函数y=x2+ (x≤－)的值域是( )A(－∞,－ B［－,+∞C［,+∞D(－∞,－］2 函数y=x+的值域是( )A (－∞,1B (－∞,－1C RD ［1,+∞3 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于()2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长)4 设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________5 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？(3)年产量多少时，企业才不亏本？6 已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围7 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表器电箱问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8 在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记=x(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域(2)求函数f(x)的最小值。
求函数值域(最值)的方法
求函数值域（最值）方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，max ()(2)4232,f x f ==⨯-≠舍去； （2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f()[-2,1][-4,2]f x ⇒在上的值域为：二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，变形为关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。
综上，求出y 的范围。
如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。
函数值域(最值)
b 与区间 m, n 的位置关系 2a
b b m, n ,则当 a>0 时， f ( ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；当 a<0 2a 2a
b ) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f (n) 中较小者。 2a b m, n ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a
5、 y 7、 已知二次函数 f ( x) ax bx 满足 f (1 x) f (1 x) ， 且方程 f ( x) x 有两个相等实根， 若函数 f ( x)
2
在定义域为 [ m, n] 上对应的值域为 [2m, 2n] ，求 m, n 的值。
2 x 2 bx c 8、已知函数 f ( x) (b 0) 的值域为 [1,3] ，求实数 b, c 的值。 x2 1
1
知人善教 培养品质 引发成长动力
四、形如： y
cx d 的值域： ax b b a c a
1、若定义域为 x x 时，其值域为 y y
2、若 x m, n 时，我们把原函数变形为 x 函数的值域。 如：1、求函数 y
二、一次函数在区间上的值域（最值）： 一次函数 y=ax+b(a 0)在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的大小即可。 如：y=3x+2(-1 x 1) 三、二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域(最值)： 首先判定其对称轴 x （1）若 时， f (
知识要点
一、利用常见函数的值域 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； 反比例函数 y
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
换元法求值域
换元法是一种常用的函数求值域的方法，通过引入一个新的变量代替原函数中的表达式，从而将问题转化为容易求解的形式。
这种方法在处理一些复杂的函数时非常有效。
首先，我们需要理解换元法的思想。
换元法本质上是一种代数变形技巧，通过将原函数表达式中的变量替换为另一个变量，可以简化函数的表达式，从而更容易找到函数的值域。
在换元过程中，需要保证新旧变量之间存在明确的对应关系，并且新变量的取值范围应该在新函数的定义范围内。
接下来，我将通过一个具体的例子来说明如何使用换元法求值域。
假设我们要求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 4的值域。
方法一：引入新变量t将原函数表达式中的x替换为t，得到f(t) = 3t^2 - 2t + 4。
此时，我们需要找到一个合适的t 的取值范围，使得f(t)的值在范围内变动。
显然，当t的取值在原函数的定义域内时，f(t)的值也在定义域内。
因此，我们可以通过解二次方程来找到t的取值范围。
解二次方程得到t的取值范围为[1/6, +∞)，此时f(t)的值域为[7/3, +∞)。
方法二：利用基本不等式求值域我们还可以利用基本不等式来求值域。
由于f(x) = 3x^2 - 2x + 4是一个开口向上的二次函数，其对称轴为x = 1/3，因此当x > 1/3时，f(x)单调递增；当x < 1/3时，f(x)单调递减。
因此，我们可以得到f(x)的值域为[f(1/3), +∞)。
由于f(1/3) = 7/3，因此f(x)的值域为[7/3, +∞)。
通过以上两种方法，我们可以得到函数f(x) = 3x^2 - 2x + 4的值域为[7/3, +∞)。
通过换元法，我们可以将一些复杂的函数问题转化为易于求解的形式，从而得到函数的值域。
这种方法的关键在于选择合适的变量和变形技巧，以便将原函数转化为易于求解的形式。
同时，还需要注意新旧变量之间的关系和取值范围，以确保求解的正确性。
除了上述例子中的二次函数外，换元法在处理其他类型的函数时也具有广泛的应用。
换元法探求竞赛中函数值域最值问题的策略
龙源期刊网
换元法探求竞赛中函数值域最值问题的策略作者：武增明
来源：《数理化学习·高三版》2013年第08期
换元法是探究数学问题的一种非常重要的思想方法，其应用十分广泛.常见的换元法可分
为代数换元法、三角换元法、整体换元法.通过换元可把复杂问题转化为简单问题，可把未知
问题转化为已知问题.本文就几道赛题谈谈换元法探求竞赛中函数值域（最值）问题的策略.
一、三角换元法
评注：通过三角代换，并巧妙地运用三角函数的公式与性质，可以顺利解决许多分式最值问题.
二、代数换元法
[云南省玉溪第一中学（653100）]。
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
函数的值域(最值)的常见求法带解析
【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为，时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】方法六判别式法使用情景形如的函数.解题步骤一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.【例1】求函数的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数的值域.方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值.解题步骤一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.【例2】已知，求函数的最小值.【解析】.=当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.【例3】已知，求函数的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.【反馈检测2 】已知，，且，则的最小值为.【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．方法八单调性法使用情景函数的单调性容易判断.解题步骤先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.【例 4】求函数的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数的值域.【解析】令，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，当时，故所求函数的值域为。
求函数值域的三种方法
题较为复杂，需要同时用到多种方法才能使问题获
解，同学们在解题时要善于分析，注意随机应变，优化
解题的方案.
（作者单位：新疆哈密市第三中学）
Copyright©博看网 . All Rights Reserved.
，
{ } ∴原函数
y
=
1-x 2x + 5
的值域为
y|y
≠
-
1 2
.
该函数为分式的形式，需运用分离常数法来解答.
首先将原函数化简，使常数与变量分离，由于该函数
的 分 母 不 为 0，便 能 快 速 求 得 函 数 的 值 域 为
{ } y|y
≠
-
1 2
.
除了上述这三种方法，求函数值域的技巧还有很
多，比如不等式法、配方法、开方法等.有的函数值域问
变量分离为
y
=
a c
+
b
-
ad c
cx + d
(ad
≠
bc)
的形式，求得分式
部分的值域，便可快速得到函数的值域.
例
3.求函数
y
=
1-x 2x + 5
的值域.
解：∵y =
1-x 2x + 5
=
-
1 2
(2x
+
5)
+
2x + 5
7 2
=
-
1 2
+
7 2 2x + 5
，
7
又∵
2 2x +
5
≠
0
，∴
y
≠
-
1 2
知识导航
求函数值域的三种方法
求函数值域的方法
求函数值域的方法1、换元法例：求y x =+.(t 0)t =≥ ，则21(t 0)x t =-≥， 2从而max y =54故y x =54y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭练习：求下列函数的值域：⑴y x = 答案： 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦⑵y x =+ 答案： (],5-∞⑶2y x =+ 答案： [)2-+∞，⑷2y x = 答案： [)+∞1，⑸21y x =-+答案： 9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦⑹23y x =-+ 答案： (],4-∞归纳：形如“b ax n mx y +±+=”的函数，一般采用代数换元法求值域例: 求y x =的值域.解：设sin x t = (,22t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦) ，则sin cos )4y t t t π=+=+3,444t πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦∴ sin()124t π-≤+≤∴ )124t π-≤+≤即 y ⎡∈-⎣故y x =的值域为⎡-⎣练习：求下列函数的值域⑴y x = 答案： y ⎡⎤∈⎣⎦⑵y x x x =++-+-210232答案：{}79y y -≤≤ 归纳：形如“c bx ax n mx y ++±+=2(a ＜0,ac b 42-=∆＞0)”的函数.当根号外自变量x 的次数是一次，根号内自变量x 的次数是是二次，且a <0，∆>0，函数的定义域为闭区间[]x x 12，，一般采用三角换元法求值域。
可令t x x x x x sin 221212-++=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈ 2,2ππt ，原函数可化为()k t A y +±=ϕsin 型函数，可得出函数的值域.例:求函数y x x =-++836的值域. 解：∵ 函数的定义域为｛x ∣82≤≤-x ｝.令 2sin 102-=t x 且 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πt ，∴ ⎪⎭⎫⎝⎛+=+=6sin 102sin 30cos 10πt t t y由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32,66πππt ，得16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πt .归纳：形如“d cx n b ax m y +±+=(ac ＜0)”的函数，函数的定义域为闭区间[]x x 12，，可采用三角换元法。
浅谈换元法在数学解题中的应用
浅谈换元法在数学解题中的应用数学解题是人们巩固旧有知识、获取新的知识、培养思维的一种重要的方法,面对繁杂多变的数学问题,人们常常把复杂的、不熟悉的未知问题,转化为简单的、熟悉的已知问题,这就是化归思想,而换元法是体现这一思想的最重要的方法之一。
换元法是指引入一个或几个数的变量代替原来某些变量(或代数式),通过对新的变量的探究,反馈探索原有变量所蕴含问题的一种解题方法。
它体现了化繁为简、化难为易的思想。
它在方程问题、不等式问题、函数解析式问题、函数值域与最值问题等方面都有广泛的运用。
一、换元法在解方程中的运用例1:解无理方程:2x2+6x+-1=0分析:无理方程的解法,关键是有理化,考虑把看成一个整体t,化原方程为与t 相关的一元二次方程,再由t求x。
解:令=t(①),则x2+3x+1=t2(t≥0)原方程可化为:2t2+t-3=0解得t=1或t=(舍去)由t=1代入①知:x2+3x=0故x=0或x=-3∴原方程组的解为x=0或x=-3例2:解方程组分析:这是一个分式方程组,若直接去分母,将会变得异常复杂,但若把、、看成一个整体,则可看成一个三元一次方程组,这时极易求解。
解:令=a,=b,=c,则方程组可化为:解这个三元一次方程得:a=1,b=2,c=3故原方程组的解为:x=1,y= ,z=二、换元法在不等式证明中的运用例3:若a,b,c∈R+,求证:++≥分析:a,b,c∈R+,这是均值不等式a+b≥2成立的充分条件。
但如何运用这一不等式呢?考虑把各分母整体看待,并用之表示出分子,这时可裂项后用均值不等式。
证明:设,则x,y,z∈R+且则左边=++=+++++-≥3-=左边≥右边,即原不等式成立例4:若a2+b2≤1,c2+d2≤4,求证:|ac+bd|≤2。
分析:考虑到cos 2θ+sin 2θ=1这一特点,得用三角换元。
证明:令a=rcosθ,b=rsinθ,则|r|≤1令c=Rcosφ,d=Rsinφ,则|R|≤2故|ac+bd|=|rcosθ·Rcosφ+rsinθ·Rsinφ|=|r|·|R|·|cosθ·cosφ+sinθ·sinφ|=|r|·|R|·|cos(θ-φ)≤2即原不等式成立三、换元法在求函数值域与最值中的运用例5:求函数y=的最小值。
高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
练习：求函数 y = x2 + 9 + (5 − x)2 + 4 的值域。（答案：｛y|y≥ 5 2 ｝）
九、比例法：
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函 数，进而求出原函数的值域。
例：已知 x,y∈R，且 3x-4y-5=0,求函数 z = x2 + y2 的值域。
例：求函数 y = x - 3 + 2x +1 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值， 确定原函数的值域。
解：设 t = 2x +1 （t≥0）,则
x = t2 -1 。 2
于是 y = t2 -1 - 3 + t = (t +1)2 − 4 ≥ 1 − 4 = − 7 .
( )( ) 例：已知 2x2 - x - 3 3x2 + x +1 ≤ 0 ，且满足 x + y = 1，求函数 z = xy + 3x 的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量 x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可 求出函数的值域。
解：3x2 + x +1 0 ，上述分式不等式与不等式 2x2 - x - 3 ≤ 0 同解，解之得
3 3 3
3
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区 间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值 域。
练习：求函数 y = 3 + 4 - x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
七、换元法：
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形 式，进而求出值域。
函数求值域方法之值域换元法
函数求值域方法之值域换元法值域换元法是函数求值域的一种方法，它主要通过对自变量进行换元，将原函数转化为一个新的函数，从而求得函数的值域。
下面将介绍值域换元法的基本思路和具体的步骤。
1.基本思路值域换元法的基本思路是通过对自变量进行合适的换元操作，将原函数转化为一个新的函数，使得新函数的值域更易于确定。
一般来说，我们会选择使得新函数具有更简单形式的换元操作。
2.具体步骤值域换元法的具体步骤如下：（1）选择合适的换元变量。
一般来说，我们会选择一个使得新函数具有更简单形式的变量作为换元变量。
换元变量的选择需要根据具体问题进行分析和判断，一般有一定的经验和技巧。
（2）进行换元操作。
根据换元变量的选取，对原函数进行相应的换元操作，得到新的函数表达式。
换元操作需要保证函数的定义域和值域在变换之后保持不变。
（3）确定新函数的值域。
通过分析新函数的特点和性质，可以更容易地确定新函数的值域。
常用的方法包括求导、分析函数的极值和边界值等。
（4）确定原函数的值域。
根据新函数的值域和换元关系，可以通过逆变换的方式确定原函数的值域。
逆变换的具体方法需要根据具体问题进行分析和判断。
3.示例分析下面通过一个具体的例子来说明值域换元法的应用。
例如，求函数f(x)=x^3在定义域为[-1,1]上的值域。
（1）选择合适的换元变量。
由于函数f(x)=x^3是一个奇函数，即满足f(-x)=-f(x)，因此可以选择u=x^3作为换元变量。
（2）进行换元操作。
将x^3替换为u，可得到新函数g(u)=u。
（3）确定新函数的值域。
新函数g(u)=u是一个线性函数，其值域为(-∞,+∞)。
（4）确定原函数的值域。
由于u=x^3，因此可以通过求解u=x^3关于x的逆变换，即x=u^(1/3)，得到原函数的值域为(-1,1)。
4.注意事项在进行值域换元法求解时，需要注意以下几个方面：（1）换元操作需要保证函数的定义域和值域在变换之后保持不变。
（2）选择合适的换元变量可以使求解过程更简单和直观。