人教版必修一求函数值域的几种常见方法

人教版必修一求函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=
k x
k
y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，
当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a
b a
c y y 4)4(|2
-≤
}. 例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x x y ④x
x y += 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，
∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}
③1
1
11111+-
=+-+=+=x x x x x y ∵
01
1
≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1
+
==2)1(2+-
x x 2≥， 当x<0时，)1
(x x y -+
--==－2)1(2---
-x
x -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x
x y 1
+
=的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ；
②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；
解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∈[3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2∈[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，min y =-3，m ax y =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时，
①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2
min -=； ②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值a
b a
c y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.
②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3．求函数6
6
522-++-=x x x x y 的值域
方法一：去分母得 (y -1)2
x +(y+5)x -6y -6=0 ①
当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2+4(y -1)×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2≥0
检验 51-=y 时 2)
5
6
(2551=-⋅+-
-=x （代入①求根）
∵2 ∉ 定义域 { x| x ≠2且 x ≠3} ∴5
1-≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1
综上所述，函数6
6
522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}
方法二：把已知函数化为函数3
6
133)3)(2()3)(2(--
=+-=+---=x x x x x x x y (x ≠2) 由此可得 y ≠1
∵ x=2时 51
-=y 即 5
1-≠y
∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5
1
-}
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法
例4．求函数x x y -+=142的值域
解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2
t
代入得 t t t f y 4)1(2)(2
+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t
∵t ≥0 ∴y ≤4 5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式：⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，画出它
的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是
3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图
O
1
2
-1
x
O 12
-1x
O 12-1x
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法. 三、练习：
1 )0(91
2
2≠++
=x x x y ； 解：∵x ≠0，11)1(912
2
2+-=++
=x x x x y ，∴y ≥11.
另外，此题利用基本不等式解更简捷：119291
2
2=+≥++=x x y 2 3
425
2
+-=
x x y ∵22
x -4x+3>0恒成立(为什么？)， ∴函数的定义域为R ，
∴原函数可化为2y 2
x -4yx+3y-5=0，由判别式∆≥0， 即162
y -4×2y(3y-5)=-82
y +40y ≥0(y ≠0), 解得0≤y ≤5，又∵y ≠0, ∴0<y ≤5.
注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到. 3 求函数的值域
①x x y -+=2； ②242x x y --= 解：①令x u -=
2≥0,则22u x -=,
原式可化为4
9)2
1(22
2
+--=+-=u u u y , ∵u ≥0，∴y ≤
49，∴函数的值域是（-∞，4
9]. ②解：令 t=4x -2
x ≥0 得 0≤x ≤4
在此区间内 (4x -2x )m ax =4 ，(4x -2
x )m in =0 ∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2}
小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.
作业：求函数y=1
122+++-x x x x 值域
解：∵04
3
43)2
1(12
2
>≥+
+=++x x x ， ∴函数的定义域R ，原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得01)1()1(2=-++++-y x y x y ， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1,∵∈x R ，即有∆≥0， ∴0)14(-)1(22≥+y-y ,解得33
1
≤≤y 且 y ≠1. 综上：函数是值域是{y|33
1
≤≤y }.。