函数值域求法(换元法,判别式法和万能K法)

四类换元法

1、一般换元；

2、双换元；

2、三角换元； 4、整体换元。

一、一般换元

例1、求函数

1--=x x y 的值域。

二、三角换元

两个重要公式 1cos sin 22=+x x

x x 22cos 1tan 1=

+（常出现在竞赛中） 例2、求函数

22x x y -+=

例3、（2011高中联赛）函数1

1)(2-+=x x x f 的值域为_____________

三、双换元

例4、求函数

31++-=x x y 的值域

例5、求函数

x x y -+-=363的值域。

四、整体换元

例6、求函数

5)4)(3)(2)(1(+++++=x x x x y 的值域。

判别式法/万能K 法原理：

方程有解：

一、分式型的值域

形如f

ex dx c bx ax y ++++=22（d a ,不同时为零）的二次分式函数，可转化成如0)()()(2=++y c x y B x y A 的形式，视为关于x 的一元二次方程，对y 使用判别式0≥∆，可得y 的取值范围。

例1、求函数12222

++-=x x x y 的值域。

例2、求函数122+++=x x x

x y 的值域

例3、求函数x

x x x y ++-=2222在)2,2(-上的值域/最大、最小值。

例4、若函数1

8log )(223+++=x n x mx x f 的定义域为R ，值域为]2,0[，求n m ,的值。

二、可化为分式型的值域 形如222

2fy

exy dx cy bxy ax M ++++=（d a ,不同时为零）的式子，分子分母同除2y 齐次化后得到f y

x e y x d c y x b y x a M ++++=)()()()(22，令t y x =，则化为一元的二次型分式f et dt c bt at M ++++=22。

例5、设+

∈R y x ,，则代数式y x y y x x 222+++的最大值为______________.

例6、若对任意非零实数

y x ,不等式xy x y x a 4)5(222+≤+恒成立，则a 的最大值为___________

（两种方法）

例7、若R y x ∈,，求

561045),(22++-+-=y x y xy x y x f 最小值。

例8、（2016清华自招）已知12=+

y x ，求22y x x ++的最小值。

三、换元之后设K 带入型

例9、已知123222=++y xy x

，求xy y x ++的最小值。

判别式法/万能K 法五种适用类型

1、分式型

2、可化为分式型

3、整式型

4、设K 带入型

5、换元设K 带入型

总之： 得到某个字母的一元二次方程，对别的字母都可以使用判别式。

课后作业：

1、对于任意实数x ，)(2

b a

c bx ax y <++=恒为负数，求a b c b a -++的最小值。

2、（杭州二模）设R y x ∈,，y x y xy x M

+-+-=2232，则求M 的最小值。

3、若

24ππ<

4、求函数

)5)(3)(1)(1(+++-=x x x x y 的最大值。