关于判别式法求值域增根的研究
用判别式法求值域
用判别式法求值域
一、判别式法
分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函
数类型
对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定
义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。
二、例题讲解
1、求函数y2某
某224某72某3的值域。
由于本题的分子、分母均为关于某的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：某y2某y3y2某4某7整理得：(y2)某2(y2)某
3y70当y2时，上式可以看成关于某的二次方程，该方程的某范围应该满
足f(某)某2某30即某R此时方程有实根即△0，
△2(y2)]4(y2)(3y7)0y[222229
2,2].注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是y2,y
将y2,y
2、求函数y9229292）代回方程检验。
,2)。
分别代入检验得y2不符
合方程，所以y[某1某2某2的值域。
2解答：先将此函数化成隐函数的形式得：y某(2y1)某2y10，(1)
这是一个关于某的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式(2y1)4y(2y1)0，2
解得：1
2y12。
,1]。
故原函数的值域为：y[1 22。
判别式法求值域32523精编版
关于判别式法求值域增根的研究我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。
但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先约去公因式，化成f(x)=的形式，然后再求出其值域。
但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！例：求二次分式函数y = 的值域．方法判别式法化简为一次分式法解题过程∵ y =∴ ( x2 – 1 ) y = x2 – 2x - 3∴ ( y－1 ) x2 + 2x + 3 – y = 0----------*①当y ≠ 1时，△= b2 – 4 a c = 22 – 4 ( y –1 ) ( 3 – y )∵ y = =∴①当x ≠－1时，y = ，即：y ≠ 1②当x = －1时，= 4 y 2 – 16 y + 16= 4 ( y – 2 ) 2≥0 (△= 0时，y = 2 )∴ y ∈ R , 且 y ≠ 1②当y = 1时，代入*式得：2 x +3 – 1 = 0∴ x = －1∵函数的定义域为：{ x ∈ R | x ≠ 1 且 x ≠－1 }∴ y ≠ 1由①②得函数的值域为：y = = = 2∵函数的定义域为：{x∈R | x ≠ 1 且 x ≠－1 } ∴ y ≠ 2由①②得函数的值域为：结果{ y ∈ R | y ≠ 1 } {y∈R | y ≠ 1 且 y ≠ 2 } 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。
这就是说，用判别式法求值域会产生增根。
这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。
反过来，值域内每一个y值，都会有一个或多个x值与之对应。
将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。
关于很多数学教师有争议的“判别式法求值域”的思考
关于很多数学教师有争议的“判别式法求值域”的思考近几天有高一的学生问我这样一个数学问题：（1）求函数y=(x+6)/[(x-5)(x+1)]的值域.把这个问题一般化，我们得到下列的问题：（2）设a，b，c是互不相同的实数常数，求函数y=(x-c)/[(x-a)(x-b)]的值域.函数值域的方法叫做“判别式法”．在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹．从上面两个例子中，我们看出：形如上面（*）式的函数，如果分母g(x)是二次函数，且对于任意实数x，g(x)恒不为零，那么，上面的“判别式”解法是没什么问题的。
关键是要对取两个端点的值进行检验即可。
但是，大家再看下面的例3.由于上述问题的出现，在中学数学中，有一部分老师认为，形如（*）式的函数，如果定义域不是实数集R，则不宜采用判别式法来解，否则，就导致错误。
事实真的是这样的吗？对于文章开头提出的问题（2），我们现在采用“判别式法”及“双勾函数法”两种解法得出的结论进行对比看看。
【法1】用“判别式法”：若y=0,则x=c；若y不等于0，则【法2】用“双勾函数法”，即转化为用f(x)=x+(a/x),(a>0)来解：由上面两种方法作比较知，用“判别式法”解出的答案也是正确的。
【思考1 】在运用“判别式法求值域”时，为什么必须讨论二次项系数为零的情形呢?当二次项系数为零时，方程不再是二次方程，更无判别式可言．因此在用判别式法求函数值域时，必须考虑到二次项系数dy—a=0即也就是说，象这类自然定义域(使函数解析式有意义的X的取值集合)的分式函数求值域，当分子、分母无公因式时判别式法仍然适用．当分式函数的定义域不为自然定义域时，尽管分子、分母无公因式，也不能仅用判别式来求值域，可考虑其他方法，如根据方程在自变量的限制条件下有实根的充要条件即一元二次方程的实根分布理论来解决．运用数学软件“几何画板”可验证答案的正确性（见上图）。
蓝天杯-根的判别式在中学数学中的妙用
论文编号：E62010006452_12010年江苏省中小学“蓝天杯”教育科研论文评选参赛论文参赛类别:普通初中论文题目:根的判别式在中学数学中的妙用姓名:周鸣通讯地址:江苏省昆山市巴城中学邮政编码:215300◆评审表（评委填写）◆友情提醒:纸质论文和评审费原则上由各教师进修学校和相关培训机构集中寄送，联系人：高步云、许顺芬，电话0510—82932605、82932642。
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评审费银行转帐帐号：户名：宜兴市财政局（教师进修学校分户）帐号：32001616250051210519 开户行：建行东山办事处根的判别式在中学数学中的妙用昆山市巴城中学 215300 周鸣摘要；本文主要举例论述了一元二次方程根的判别式在函数，不等式和几何等方面的多种巧妙运用。
关键字：判别式 因式分解 函数 不等式 几何一元二次方程根的判别式是中学数学教学的重点内容，也是各地中高考等重要考试必考的知识点。
它不仅在解一元二次方程时有着重要的作用，同式在中学数学的其他相关领域也有着巨大的应用价值。
对于实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，其求根公式为x =，其中∆=24b ac -，我们把它称为根的判别式。
对于∆，我们有∆>0⇔原方程有两个不相等的实数根；∆=0⇔原方程有两个相等的实数根；∆<0⇔原方程没有实数根。
以上是判别式的直接应用，本文想对判别式在其他方面的具体运用做一些更深入的研究。
一、在因式分解中的应用有些同学对于一些较复杂的二次三项式进行因式分解时，往往很难判断这个式子到底能不能用十字相乘法来进行分解。
由求根公式我们可以很明显的看到，只要∆是一个完全平方数或是完全平方式，我们就能分解成两个有理系数多项式，反之则不能。
例1：在实数范围内分解因式24520x x --分析：在进行因式分解时，由于系数相对简单，很多同学一开始往往花相当时间试图用十字相乘法进行求解。
二次分式函数值域的求法
则Ｙ＝，（ｔ）＝２ｔ一÷ｏ 一ｌ（３≤￡≤４）。
方法二 （不等 式性质法 ） 综合利用不等式基本 性质 ，由 的范围逐步求 出Ｙ的范围。
例 ２ 求 函数 Ｙ
的值域 。
解：ｙ ，’ 焉，＇
· ．‘Ｙ＝ ｔ）在 ［３，４３３：为增 函数 ，
· ．．
Ｙｍｉｎ＝ ３）＝号，ｙ一＝，（４）＝５。
所以函数值域为［号，５ ３。
方法五 （利用最值定理法】 对 １） ＋４１＞４。
０＜南 ·
．．
≤｛，
离，化为勾形函数，，：似＋÷（。＞ｏ，６＞０），再利用
最值定 理求 出函数的值域 。
０＜ ·
． ．
≤吉，
即
ｏ＜，，≤ １
，
所以函数值域为（０，吉］。
方法三 （化二次 函数 法 ） 对 函数 进 行变 量 分
离 ，转化为二次函数定轴定 区间 问题 。
例 ３ 求函数 ，，＝ ４ （ ≥１）的值域。 ‘ ＋ ｘ ＋ ４
解 ：，，＝
（ ± ２１± （ ± ２二
一
～
（ ＋２）２
＝ 一 １２（ ） ＋２· １＋１（ ≥１）。
令 ｔ＝ ，
Ｓｉ ｓ 求函数 ｙ： 域 。
（一ｌ≤ ≤１）的值
分离，化为），＝似一号（。＞０，６＞ｏ）型，再利用函数
单调性求出函数的值域 。
例 ４ 求函数 ），＝
（０≤ ≤１）的值
域 。 解 ：，，＝２（ ＋３）一 ８ 一 ｌ（０≤ ≤１）。
解之 ，得 ，，≤ 一 或 Ｙ＞０。
令 ｔ＝ ＋３，‘．。Ｏ≤ ≤１，．·．３≤ｔ≤４，
所以函数值域为（一。。，一｝］Ｕ（０，＋ ）。
判别式法（大全5篇）
判别式法（大全5篇）第一篇：判别式法天河数学牛老师： QQ234124222er数学解题思想方法专题培训（四）判别式法【知识梳理】定理：实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的充要条件是：b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0.记∆=b2-4ac，称其为方程是否有实根的判别式。
同时也是与方程对应的函数、不等式的判别式。
上述定理利用配方法容易证明。
既然实系数一元二次方程与其对应的函数、不等式有共同的判别式，说明∆=b2-4ac是联系三者的桥梁。
它有极其丰富的内涵和外延，涉及内容广泛且重要；因此，要充分利用和开发它在解题中的价值，往往会为我们解题拓展思路，指明方向，铺平道路。
判别式的使用范围：定理中明确规定：“实系数”指a,b,c∈R；“二次”指a≠0；方程是在（－∞，－∞）内求解。
这三者缺一不可，否则上述定理不成立。
一般地，当题中含有或可构造二次型的多项式、方程、函数、不等式时均可考虑用判别式寻找思路，发现解题突破口；或围绕判别式展开一系列的联想、创新思维活动。
在使用判别式时要充分挖掘隐含条件灵活变通，有时要变更主元，调整条件结构才能使用。
一般有如下几种策略：⑴ 讨论用法：对判别式的正负性分类讨论，由此可分类求出方程的解，不等式解集，参数取值范围等。
（2）构造用法：根据条件构造判别式或构造方程、函数，由此可求函数值域，证明等式，证明不等式，求恒成立问题等。
【经典例题】一在代数恒等变形中的应用例1下列二次三项是，在实数范围内不能因式分解的是2A,6x-x-15B,3x-10x+7C,2x-5x+4Dy-22y+2 222例2k为何值时，二次三项式4x-kx+3是一个完全平方式天河数学牛老师： QQ234124222 2例3已知a,b,c均为实数，且a-b=8，ab+c2+16=0，求证a+b+c=0例4m为何值时，6x2-xy-2y2+my-6能分解成两个一次式，并进行因式分解二在方程（组）中的应用例5已知a,b是关于x的方程x-2px+p+⎧x+y=2例6求方程组⎨的实数解2xy-z=1⎩222p-1=0的两个根，求ab-p的值天河数学牛老师： QQ234124222例7若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，则k的最小值是A2,B1,C-1,D不存在例8若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根，则符合条件的一组m,n的实数值是：m=, n=,例9当b为何值时，关于x的方程x+3(a-1)x+(2a+a+b)=0的根在a取任意有理数时均为有理数。
3判别式法求函数值域
判别式法求函数值域巴东覃兴山判别式法求函数值域是中学数学的常用方法，那么它的理论依据是什么？适用于哪些情况？有哪些注意事项？带着这些问题，我们一起来探讨．一、方法探源例1求函数的值域.略解：变函数式为. （1）这就是判别式法求函数值域．善于思考的同学一定会问：为什么使方程（1）有解的y的取值范围就是所求函数的值域？要回答这一问题先要明白以下几点：（1）函数式是一种特殊的二元方程式(y能用x的解析式表示，从而每一个x值对应于唯一的函数值y)，但方程式不一定是函数式，如.（为什么？）（2）由函数的定义可知：在函数所确定的映射下，每一个函数值y在定义域上至少有一个自变量x与之对应．反过来，若某一实数y在定义域上有自变量x值与之对应，则此实数一定是值域中的元素．（3）判别式大于等于零是一元二次方程在实数集R上有解的充要条件．例1中，将原函数式变为方程（1）是方程的等价变形，即两式中的x,y的取值范围完全相同．由每一函数值都有自变量与之对应，可知方程（1）中的y 若是值域中的元素，必使关于x的方程有解；又因为使关于x的方程有解的实数y也一定是值域中的元素.综上，y是值域中的元素的充要条件是：使关于x的方程（1）在定义域R上有解．注意：y＝1时，方程（1）为一次方程，不能用判别式法，要单独讨论．因为y=1有原象，所以，1在值域中．二、方法推广下面问题能否用判别式法呢？例2求函数的值域.函数定义域为，而判别式是方程在R（注意，不是R的子集！）上有解的充要条件，所以不能用判别式法.这时，我们应该反思，判别式法的实质到底是什么？实际上，判别式法深层的理论根据是对应和方程的思想！如果你真正理解了判别式法的实质，就不难发现，方程（1）中的y是函数的值域中的元素的充要条件为：方程（1）在函数的定义域上至少有一实根，也即方程（1）至少有一根大于等于零．这时判别式仅仅是必要条件．至少有一根大于等于零，可分为两根都大于等于零和一根大于等于零另一根小于零两种情况来求，也可用补集思想来求，即先求使方程没有非负根的y的取值范围，将有根的范围看作全集，再求其补集．解：显然y=1不在值域中.当y1时，使方程（1）有两负根的充要条件为.所以方程至少有一个非负根的充要条件为，即函数值域为.例3求函数的值域.解：变函数式为. （2）当y=1时，方程无解．当时，方程（2）为关于x的一次方程，x在定义域上有解的充要条件为，所以函数的值域为.说明：用对应和方程的思想解释这种解法非常清楚．有些资料上把这类求函数值域的方法解释为所谓的“反函数法”，即先求出原函数的反函数，说反函数的定义域为原函数的值域，所以只须求反函数的定义域.虽然结果巧合，但犯了逻辑错误，因为反函数依原函数而生，反函数的定义域不能从反函数式中求得，而要从原函数的值域中求．而且这种所谓的“反函数法”很容易产生误导．如下例.例4求函数的值域.分析：不难求出原函数的反函数为．从反函数式求得，试问：反函数的定义域是不是？原函数的值域是不是？正解：（分析法）函数的定义域为，所以函数值域为．此题也可以用单调性法来求解．例5求函数的值域.想一想，能否也用方程有解的思想来求？解：变函数式为,函数的定义域为R，由三角方程在R上有解的充要条件是，得，所以函数值域为.另解：设点，则函数y的几何意义为直线PA的斜率，又P在圆上，由数形结合不难求出PA的斜率的取值范围．例6求函数的值域.解：变函数式为.当y=1时，x无解；当. （3）方程（3）在R上有解的充要条件为，所以所求值域为.三、辨析正误例7求函数的值域.函数的定义域为，能否直接用判别式法呢？变函数式为 . （4）判别式是方程（4）在上有解的必要条件．它是不是充要条件呢？只需考查一下当时，方程（4）是否有x=1这一根即可．将x=1代入方程（4）可知，无论y为何值，方程（4）均不可能有x=1这一根．所以判别式非负是方程（4）在上有解的充要条件.所以函数值域为说明：当函数定义域为使分式有意义的一切实数时，也是方程在定义域上有解的充要条件，可直接用判别式法．例8求函数的值域.仿照例2，不难找方程在x>1上有解的充要条件，但求解比较麻烦，请看下面解法．今t=x-1,由x>1得t>0.原函数变为.当即t=2（此时x=3）时，y=6.所以函数值域为.该解法运用了换元法和平均值不等式求最值．说明：判别式法求值域有时不定是最简单的，掌握一种方法，要抓住方法的实质，明确适用范围．例9求函数的值域.看下面的解法.变函数式为，整理得. （5）由.所以函数值域为（-∞,1］.上面的解法有没有问题？将y=1代入（5）得x=0,再将x、y的值代入函数式，成立吗？问题出在哪里？原因是方程变形中，两边平方不是同解变形，从而使x、y的取值范围发生了变化（平方前要求，平方后没有）．正解：函数的定义域为.又函数在定义域上为增函数，所以函数值域为.另解：令换元得，只需求此二次函数的值域．说明：求函数值域时，一般不能对函数式作非等价变形，如平方．结论：判别式法的实质是对应和方程的思想．即y为值域中的元素的充要条件是，使关于x的方程在函数定义域上有解，至于方程，可以是一次、二次、三角方程或其他方程等．运用这一思想解题时，要注意条件的充要性和方程变形的等价性．。
判别式法研究值域问题的再认识
若３ｙ－１≠ｏ，即ｙ≠÷时，则应有方程③中△≥ｏ，
即２５ｙ２—５８ｙ＋１７≥ｏ，解得
将其看作关于Ｔ的方程： 若ｙ一１—０，即ｙ一１时，得Ｔ一０∈Ｒ，贝０ ｙ一１适 合题意； 若ｙ一１＝／＝ｏ，即ｙ≠１时，则应有方程①中△≥ｏ，即
（ｙ＋１）２－４（ｙ－１）２≥ｏ，解得寺≤ｙ≤３且ｙ＝ｚｅｌ； 综上，所求函数的值域为［÷，３］．
｛时，代入③式，得出萼一０，也矛盾！验证的结果是：
方程③根本不会存在ｘ＝２和Ｔ一÷两个根．
即（１－－２ｙ）２－－４（２ｙ－－１）（３ｙ－－１）≥ｏ，解得蒜≤ｙ＜专；
综上，所求函数的值域为［蒜，专）．
从以上分析中可以得出：当函数的定义域为Ｒ（即 分母ｄｘ２＋盯＋厂恒不为零）时，其值域即为使关于Ｔ 的方程Ｆ（ｘ，ｙ）一０恒有解的条件中系数Ｙ的取值范
２００６年第２期
中学数学教学
２１
判别式法研究值域问题的再认识
河北省沧州市第一中学数学组温和群王绍峰（邮编：０６１０００）
在确定函数值域的问题中，对于形如ｙ一
的值应舍去． 例３
五ａｘｌ２＋瓦ｂ而ｘ＋ｃｔ．以、ｄ不全为零）的函数，我们可以考虑将
其转化为关于Ｊ的方程Ｆ（ｚ，ｙ）一０（将ｙ视为系数）， 通过对方程的实根的讨论而求得原来函数的值域．由 于在此过程中往往需要条件“△≥ｏ”，因此通常我们称 之为“判别式法”．然而在运用此法过程中，当所给函数 解析式的形式结构具有不同的特征时，可以再深入考 察解题的策略与方法．
本文链接：/Periodical_zxsxjx200602014.aspx
ｕ（ｏ，等）ｕ（２，＋。。）．
例７（２００４年湖北第２０题） 直线ｚ：ｙ一是ｚ＋１ 与双曲线２ｘ２－－ｙ２—１的右支交于不同的两点Ａ、Ｂ． （１）求实数ｋ的取值范围；（２）略． 解（１）设Ａ（ｘｌ，ｙ ２），Ｂ（ｘ２，ｙ２），ＡＢ的中点为Ｐ
关于判别式法求值域增根的研究
关于判别式法求值域增根的研究文章来源：2008年下半年度《试题与研究》我们都知道对于形如f ( x ) = 22221121c x b x a c x b x a ++++的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。
但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先约去公因式，化成f(x) =2211b x a b x a ++的形式，然后再求出其值域。
但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！例：求二次分式函数y = 13222---x x x 的值域．通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。
这就是说，用判别式法求值域会产生增根。
这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。
反过来，值域内每一个y 值，都会有一个或多个x值与之对应。
将某一函数化为关于x的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。
判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。
将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于x的方程。
如果二次项系数不为0，此方程为关于x 的一元二次方程。
其中，当△≥0时（△是含字母y 的式子），将这个范围内的y 值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x 值；而当△＜0时，方程无解，这说明在此范围内的y 值没有x 值与之对应，因此此范围内的值y 不属于值域。
如果二次项系数为0，此方程为关于x 的一次方程，将此时y 的取值代入解析式可得到一个与之对应的x 值，如果所得x 值在定义域内，则该y 值属于值域；如果所得x 值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y 值不属于值域。
但这样做不禁会使人产生疑问：将分式两边都乘以分母，x 的定义域扩大了，不会产生增根吗？上面题中出现的增根是否源于此呢？让我们一起分析一下吧！倘若分子、分母均为二次整式，且没有公因式存在，例如：y = ()()d x c x b x a x ----))((，(其中a 、b 、c 、d 为互不相等的实数)，我们通常须将其整理成为 (x-c)(x-d)y = (x-a)(x-b)的形式 ，当x = c 或x = d 即分母为0时，方程左边等于0，而(x-a)(x-b)≠0，即当x 的取值使分母为0时，方程左右不相等，即没有y 值与之对应，所以此时不必担心增根的问题。
判别式法研究值域问题的再认识
解得一２ ＜－，￣ ２ ＜２ ＜ｋ －／ ２ ＜ｋ ．
由题 意，：一是 ＋ １ 定 点 （ ， ） 当 ｋ Ｏ 。 ￡ 过 ０ １， ＜ 时 ￡
与双 曲线 的右 支相交 ，
所 以 是 －一 ２ ～√ ） ｆ ｉ（ ， ２．
若 ３－ｌ ， 一寺 时， ｙ ＝０即 代入③式得 一一４ ∈
的值域．
例题 ｌ 求函数 一
｛ ≠２ ￣３， 一｛适合题意； 且ｘ －｝ 则
①
分析 函数 的定 义域 为 Ｒ， 故原式 可变形 为
（ １ ＋ （ １ — ） ＋ ） ＋ — ｌ —Ｏ
若 ３－１ ， ≠ ｙ ≠ｏＩ 寺时。 ｌ ｐ 则应有方程③中△ 。 ≥ｏ
－
若 ｘ 或 一÷ 为方程④的根 ， ＝２ 则等号右边 ３ －２ ｘ 也应可因式分解且含（ －２ 或（ －寺 ） ｘ ） ｘ ，
（ 下转 第 ２ ４页）
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２ ４
找 不到关于 ｙ ＝２的对称 点 ， 所 以 是的取值 范围是 （ 。 ２ Ｕ（ 一ｏ ， ） 一
于在此过程 中往往需 要条件“ ≥０ ， △ ” 因此通 常我们称 之 为“ 判别式法” 然而在运用此法过程 中， ． 当所给函数
解 析式 的形式结构 具有 不同 的特 征时 ， 以再深 入考 可
察解题 的策 略与 方法．
分析 函 数的定义域为｛∈Ｒ 且 ≠÷｝ Ｉ≠２ ，
（ １ ＋（ － ７ ＋２ ＋２ ３ ）’ ３ ） 一Ｏ 将其看作关 于 的方 程 ： ③
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２Ｏ 年第 ２ Ｏ６ 期
中学数学教学
２ １
判 别 式 法 研 பைடு நூலகம்值 域 问题 的再 认 识
二次分式函数值域的求法
５
．・．ｏ＜瓦暑而≤｛，
・’・ｏ＜百蒜≤专，
求函数，，＝掣（一１≤茗≤１）的值
即ｏ＜，，≤百１，所以函数值域为（ｏ，专］。
方法三（化二次函数法） 对函数进行变量分 离，转化为二次函数定轴定区间问题。
解：ｙ＝［（２一菇）＋去］一ｌ，
令ｔ＝２一茗，－ｏＯ一１≤聋≤１，．・．１≤ｔ≤３，
・．。Ｙ＝人ｔ）在［３，４］上为增函数，
性质，由茗的范围逐步求出，，的范围。
管一 ，ｆ １
例２求函数），２≯赢４－４－的值域。
解：Ｙ２万去ｉ２百焉砀
・．‘（髫＋１）２＋４≥４。
．・．），血＝以３）＝号，ｙ一＝“４）＝５。 所以函数值域为［号，５］。
方法五（利用最值定理法）对函数进行变量分
离，化为勾形函数ｙ＝似＋÷（口＞ｏ，ｂ＞ｏ），再利用
例３求函数ｙ＝≯ｘｚ了＋而６ｘ－４４－／１４．（茗≥１）的值域。
ｆ。．■４公
则，，：以１）：¨４。一１（１≤ｆ≤３），
解：ｙ＝万ｘ２＋忑６ｘｉ－４
一【查±２２１±至ｆ苎±２２＝１２
（善＋２）２
．・．ｙ≥√ｔ・÷一ｌ＝３，
当且仅当ｔ：｛，ｌ＝２，即互＝０时，，，血＝３。 又以１）：４。以３）：等’．．．，，一：４。
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Ｉ
ＳＨＩＴＩＹＵＹＡＮＪ Ｉ Ｕ
考试指导 ４５
函数是高中数学教学中最核心的内容，求函数 的值域又是函数教学中的核心内容不同类型的函数 求值域的方法也是不同的，本文专就二次分式函数 值域的求法作一些探讨，供参考。 方法一（判别式法）将二次分式函数转化为一 元二次方程的形式，利用根的判别式求函数的值域。
利用判别式法求二次分式函数的值域
=
a1 a2
(x (x
− −
m) m)
(x (x
− −
x1 x2
) )
(x1
̸=
x2) 的形式;
同时由命题
一的证明过程可知: 方程 (1) 与方程 (2) 虽不是同解方程, 但
方程 (2) 仅仅产生了一个增根 x = m 而已. 对于此类假二次
分式函数, 我们有如下命题:
命题三
如果二次分式函数
y
=
a1x2 a2x2
(a1
∗
a2 ̸= 0) 的分子分母互素, 那么
(1) 当
a1 a2
̸=
b1 b2
时, 函数 y =
a1x2 + b1x + c1 a2x2 + b2x + c2
的值域为
不等式 ∆ = (b2y − b1)2 − 4 (a2y − a1) (c2y − c1) 0 的解
集;
∆
(2) 当 a1 = b1
2019 年第 8 期 (下)
中学数学研究
43
利用判别式法求二次分式函数的值域
陕西省城固师范学校 (723200) 刘敬民
对于形如 y
=
a1x2 a2x2
+ +
b1 b2
x x
+ +
c1 c2
(a1
,
a2
中至少有一个不
为零) 的二次分式函数的值域问题, 许多学生教辅用书一直
刻意强调函数的定义域为实数集 R, 即 b2 − 4ac < 0 时用判
别式法求解.
而对于 b2 − 4ac 0 时的函数值域问题采取回避的态
度. 实际上此法可扩展适用于所有的二次分式函数, 在解题
含二次根式的函数化简和求值域问题的研究
含二次根式的函数化简和求值域问题的研究
李光发
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2015(000)026
【摘要】运用配方法和换元法，主要对形如y=a1x+b1+ a2x2+b2x+c和y=
a1x+b1+ a2x+b2的含二次根式的函数去根号化简和求值域问题做了一个详细的研究，总结出了解决这两类问题的模型化的一般策略。
【总页数】2页(P43-44)
【作者】李光发
【作者单位】重庆文理学院 402160
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.利用数形结合法简求含根式函数的值域
2.例谈含二次根式的函数值域的常用求法
3.利用点到直线的距离求含二次根式函数的值域
4.例谈含根式函数值域的求解方法
5.含根式的分式函数值域问题
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关于判别式法求值域增根的研究
文章来源：2008年下半年度《试题与研究》
我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。
但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先
约去公因式，化成f(x) =的形式，然后再求出其值域。
但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！
例：求二次分式函数y = 的值域．
y =
y = =
，
=
通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。
这就是说，
用判别式法求值域会产生增根。
这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！
函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。
反过来，值域内每一个y 值，都会有一个或多个x值与之对应。
将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。
判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。
将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于x的方程。
如果二次项系数不为0，此方程为关于x的一元二次方程。
其中，当△≥0时（△是含字母y的式子），将这个范围内的y 值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x值；而当△＜0时，方程无解，这说明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域。
如果二次项系数为0，此方程为关于x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y值不属于值域。
但这样做不禁会使人产生疑问：将分式两边都乘以分母，x的定义域扩大了，不会产生增根吗？上面题中出现的增根是否源于此呢？让我们一起分析一下吧！
倘若分子、分母均为二次整式，且没有公因式存在，例如：
y = ，(其中a、b、c、d为互不相等的实数)，我们通常须将其整理成为 (x-c)(x-d)y = (x-a)(x-b)的形式，当x = c或x = d即分母为0时，方程左边等于0，而(x-a)(x-b)≠0，即当x的取值使分母为0时，方程左右不相等，即没有y值与之对应，所以此时不必担心增根的问题。
但当分子分母中有公共因式存在时，情况就不同了。
如文
章开始时我们解的那道求值域的题目：y = ，整理后得：(x2 – 1) y = x2 – 2x – 3，我们发现，当x = 1时，即有x2 – 1= 0，同时也有x2 – 2x – 3 = 0。
即当x的取值使分母为0时，存在某一y值与之对应，所以此时用判别式法求值域时就会产生增根。
现在产生增根的原因已经搞清楚了，我们继续观察就会发现：增根产生的位置往往是在一元二次方程△= 0的时候，这又是什么原因呢？让我们继续深入研究。
我们发现，上例中将△≥0的范围内取得的y值代入到一元二次方程中，所解得的x值中总有x = 1这个值。
也就是说，
在此范围内的任何一个y值总有x = 1与之对应。
由此不难找出原因：使△＞0的y值（y≠2）均对应两个x值，其中x = 1使得分母为0，为增根。
另一个x值则在定义域内，所以y值可看成是由此x值对应的函数值。
而当△= 0即y = 2时，方程有两个相同根：x = 1，此时的y值（ y = 2 ）是由x = 1对应的。
而x = 1可使分母为0 ，不在定义域内，故其所对应的y 值2亦不在值域内。
这就是增根总是出现在△= 0处的原因。
弄清楚了出现增根的原因及出处，我们今后在做此类题目的时候，就一定要注意先检查一下所求二次分式函数的分子、分母是否能够约分，然后再去考虑是否采用判别式法来求其值域；或用判别式法求出其值域后，再将△= 0时的y值代入分母进行检验，看是否会使分母为0，以确保不产生增根。