判别式求值域
函数值域的求法8大题型
函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有（1）y =或y ax b=+的结构，可用“t =”换元；（2）y ax b =+±（,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用t =”换元；（3）y bx =±型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ad y d cx d c c x c +-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x=+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b +（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+-<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。
判别式法求值域
判别式法求值域在数学中，我们经常需要求出某个函数的值域。
值域指的是函数所有可能的输出值的集合。
对于一些简单的函数，我们可以通过手工计算或者画图来确定其值域，但对于复杂的函数，这种方法往往不太可行。
因此，我们需要一些更加高效的方法来求解函数的值域。
判别式法就是一种常用的求解函数值域的方法。
它适用于一些特定类型的函数，例如二次函数和分式函数等。
下面我们就来详细介绍一下判别式法的具体思路和步骤。
一、二次函数的值域二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
我们知道，二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为 ( -b/2a , c - b^2/4a )。
根据抛物线的性质，我们可以得到以下结论：1. 当 a > 0 时，函数的值域为 [ c - b^2/4a , +∞ )。
2. 当 a < 0 时，函数的值域为 ( -∞ , c - b^2/4a ]。
这个结论可以通过以下步骤来证明：1. 当 a > 0 时，函数的图像开口向上，顶点为最小值。
因此，函数的最小值为 c - b^2/4a。
又因为二次函数的值域是连续的，所以函数的值域为 [ c - b^2/4a , +∞ )。
2. 当 a < 0 时，函数的图像开口向下，顶点为最大值。
因此，函数的最大值为 c - b^2/4a。
同理可得函数的值域为 ( -∞ , c - b^2/4a ]。
二、分式函数的值域分式函数是形如 y = f(x) / g(x) 的函数，其中 f(x) 和 g(x) 都是多项式函数，且 g(x) ≠ 0。
分式函数的值域比较复杂，但我们可以通过以下步骤来求解：1. 求出分式函数的零点。
即求出方程 g(x) = 0 的解。
这些解将构成分式函数的不可定义点和间断点。
2. 求出分式函数在不可定义点和间断点附近的极限。
这些极限将决定分式函数的值域的边界。
抽象函数求定义域 判别式法求值域万能模板
一．抽象函数的定义域类型及求法 1、已知 f ( x) 的定义域，求 f g ( x) 的定义域 其解法为：若 f ( x) 的定义域为 a x b ，则 f g ( x) 中 a g ( x) b 从中解得 x 得 取值范围即为 f g ( x) 的定义域。 例 10：已知函数 f ( x) 的定义域为 - 1,5，求 f ( x 5) 的定义域
例 20：求函数 y
x 1 的值域 2x x 1
2
2 若函数的定义域不是实数域 R ，但是分子与分母没有公因式（即不同时为 0），
直接应用 0 例 21：求函数 y
x 1 的值域 x x6
2
3 若函数的定义域不是实数域 R ，且分子与分母有公因式 x x0 ，则先约分，最
2、已知 f g ( x) 的定义域，求 f ( x) 的定义域 其解法为：若 f g ( x) 的定义域为 m x n ，则由 m x n 确定 g ( x) 的值域即为
f ( x) 的定义域。
例 11：已知函数 f ( x 2 2 x 2) 定义域为 0， 3 ，求函数 f ( x) 的定义域
3、已知 f g ( x) 的定义域，求 f h( x) 的定义域 其解法是：可先由 f g ( x) 定义域求得 f ( x) 的定义域，再由 f ( x) 的定义域求得
f h( x) 的定义域。 1 例 12：若函数 f ( x 1) 的定义域为 - ,2 ，求 f ( x 2 ) 的定义域 2
变式训练：求下列函[1,2], 求函数y f ( x 2 2)的定义域； (2) 已知函数 y f (cos x)的定义域为（0， ），求函数 y f ( x)的定义域； 2 (3) 已知函数 y f (2 x 1)的定义域为(0,1], 求函数y f (lg x)的定义域 .
用判别式法求函数值域的方法
用判别式法求函数值域的方法例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域 解:∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21>0 ∴函数的定义域为R,将原函数等价变形为(2y-1)x 2+(2y+2)x+y+3=0,我认为在此后应加上:关于．．x ．的方程．．．(2．．y ．-．1．)．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．．例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．根不为．．．2．且不为．．．-．3．例1及例2也需要作此修正,本人认为,这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．,同时也暴露出作者的思维过程,不能略去。
思考之二:对于形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法就是要验证△=0时对应的y 值,该文中就是这样的说明的:由于函数变形为方程时不就是等价转化,故在考虑判别式的同时,还需对△=0进行检验,若对应的自变量在函数的定义域内,则y 值在值域内,否则舍去。
但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验,得出正确结果,这就使读者很困惑,究竟什么情况要检验,什么情况不进行检验呢？我认为有关形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法,这已经不就是判别式法的范围之内,不在讨论之列,第二种处理方法仍然用判别式法,只不过在例1的解法基础上稍加改动即可,例3求函数求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．根不为．．．2．且不为．．．-．3．(1)当y=1时,代入方程求得x= -3,而x ≠-3,因此y ≠1(2)当y ≠1时关于x 的方程(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程,可以验证x=-3为该方程的根,x=2不就是该方程的根,因此只有两个根都为-3时不满足题意,其余都符合题意,因此只需△≠0,即可得出即可得出y ≠52 由上可知:原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠52} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况,例4 求函数y=32122--+-x x x x 的值域 解:由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0由题意得关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3与-1(1)当y=1时,x= -4,∴y 可以取1(2)当y ≠1时,关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程,显然可以验证x=3与x= -1不就是该方程的解因此只需△≥0即可,以下过程略思考之三:该方法的适用范围不仅适用于分式形式,对于二次函数．．．．同样适用, 如:求函数y=x 2-3x+5的值域解:由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即(-3)2-4(5-y)≥0∴y ≥411 ∴所求函数的值域为{y| y ≥411} 练习: 求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。
高中数学：求函数值域的方法十三种(二)
高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
二次分式函数值域的求法
则Ｙ＝，（ｔ）＝２ｔ一÷ｏ 一ｌ（３≤￡≤４）。
方法二 （不等 式性质法 ） 综合利用不等式基本 性质 ，由 的范围逐步求 出Ｙ的范围。
例 ２ 求 函数 Ｙ
的值域 。
解：ｙ ，’ 焉，＇
· ．‘Ｙ＝ ｔ）在 ［３，４３３：为增 函数 ，
· ．．
Ｙｍｉｎ＝ ３）＝号，ｙ一＝，（４）＝５。
所以函数值域为［号，５ ３。
方法五 （利用最值定理法】 对 １） ＋４１＞４。
０＜南 ·
．．
≤｛，
离，化为勾形函数，，：似＋÷（。＞ｏ，６＞０），再利用
最值定 理求 出函数的值域 。
０＜ ·
． ．
≤吉，
即
ｏ＜，，≤ １
，
所以函数值域为（０，吉］。
方法三 （化二次 函数 法 ） 对 函数 进 行变 量 分
离 ，转化为二次函数定轴定 区间 问题 。
例 ３ 求函数 ，，＝ ４ （ ≥１）的值域。 ‘ ＋ ｘ ＋ ４
解 ：，，＝
（ ± ２１± （ ± ２二
一
～
（ ＋２）２
＝ 一 １２（ ） ＋２· １＋１（ ≥１）。
令 ｔ＝ ，
Ｓｉ ｓ 求函数 ｙ： 域 。
（一ｌ≤ ≤１）的值
分离，化为），＝似一号（。＞０，６＞ｏ）型，再利用函数
单调性求出函数的值域 。
例 ４ 求函数 ），＝
（０≤ ≤１）的值
域 。 解 ：，，＝２（ ＋３）一 ８ 一 ｌ（０≤ ≤１）。
解之 ，得 ，，≤ 一 或 Ｙ＞０。
令 ｔ＝ ＋３，‘．。Ｏ≤ ≤１，．·．３≤ｔ≤４，
所以函数值域为（一。。，一｝］Ｕ（０，＋ ）。
用判别式法求函数值域的方法
用判别式法求函数值域的方法例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域 解：∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21>0 ∴函数的定义域为R ，将原函数等价变形为（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0,我认为在此后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．2．y ．-．1．）．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．．例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．．有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3．例1及例2也需要作此修正，本人认为，这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．，同时也暴露出作者的思维过程，不能略去。
思考之二：对于形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法是要验证△=0时对应的y 值，该文中是这样的说明的：由于函数变形为方程时不是等价转化，故在考虑判别式的同时，还需对△=0进行检验，若对应的自变量在函数的定义域内，则y 值在值域内，否则舍去。
但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验，得出正确结果，这就使读者很困惑，究竟什么情况要检验，什么情况不进行检验呢？我认为有关形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法，这已经不是判别式法的范围之内，不在讨论之列，第二种处理方法仍然用判别式法，只不过在例1的解法基础上稍加改动即可，例3 求函数求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．．有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3．（1）当y=1时，代入方程求得x= -3,而x ≠-3，因此y ≠1（2）当y ≠1时关于x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程，可以验证x=-3为该方程的根，x=2不是该方程的根，因此只有两个根都为-3时不满足题意，其余都符合题意，因此只需△≠0，即可得出即可得出y ≠52 由上可知：原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠52} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况，例4 求函数y=32122--+-x x x x 的值域 解：由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0由题意得关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3和-1（1）当y=1时，x= -4，∴y 可以取1（2）当y ≠1时，关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程， 显然可以验证x=3和x= -1不是该方程的解因此只需△≥0即可，以下过程略思考之三：该方法的适用范围不仅适用于分式形式，对于二次函数．．．．同样适用， 如：求函数y=x 2-3x+5的值域解：由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即（-3）2-4（5-y ）≥0∴y ≥411 ∴所求函数的值域为{y| y ≥411} 练习： 求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。
用判别式法求值域
用判别式法法求值域
一、 判别式法
分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型
对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。
二、例题讲解
1、求函数3274222++-+=x x x x
y 的值域。
由于本题的分子、分母均为关于x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：7423222-+=++x x y xy y x 整理得：073)2(2)2(2=++-+-y x y x y 当2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足032)(2≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实根即△0≥，△[].2,29
[0)73)(2(4)]2(22-∈⇒≥+---=y y y y 注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是29,2-
==y y ）代回方程检验。
将29,2-
==y y 分别代入检验得2=y 不符合方程，所以)2,29[-∈y 。
2、求函数2212+++=x x x y 的值域。
解答：先将此函数化成隐函数的形式得：012)12(2=-+-+y x y yx ，(1)
这是一个关于x 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式0)12(4)12(2
≥---=∆y y y ， 解得：2121
≤≤-y 。
故原函数的值域为：],[2
121
-∈y 。
求函数值域常见的五种方法
求函数值域常见的五种方法求函数的值域是函数学习的一个难点，求值域时涉及到的知识和方法较多，下面介绍几种常用的方法供参考．一、 判别式法思路：将函数式整理成一元二次方程的形式，借用判别式求值域．例1 求函数的4312--=x x y 值域． 解：原式整理成01432=---y yx yx ， )4()41()1(∞+⋃-⋃--∞∈，，，x ，且0≠y ，∴0)14(492≥++=∆y y y .解得0≥y 或254-≤y ． 当 254-=y 时，)41(23，-∈=x ． 又0≠y ， ∴所求函数的值域是),0(]254--+∞⋃∞，（． 二、 配方法例2 求函数x x y 21-+=的值域． 解：由已知得2121)21(21+-+--=x x y 1)121(212+---=x∴所求函数的值域是]1-，（∞． 三、 单调性法思路：利用函数的图象和性质求解.例3 当)0,21(-∈x 时，求函数)1lg()1lg(x x y -++=的值域．解：由已知得)1lg(2x y -=， ∵)0,21(-∈x ，∴)41,0(2∈x ． 又2x -在)0,21(-∈x 上递增， ∴)1,43(12∈-x ． 又u y lg =在)1,43(上递增， ∴)0,43(lg )1lg(2∈-x ，原函数的值域为)0,43(lg ． 四、 反函数法例4 求函数xx y -+=11的值域． 解：∵函数的定义域是{}1,0|≠≥x x x 且，由原函数变形得011≥+-=y y x ， ∴1≥y 或1-<y ．∴函数的值域为),1[)1,(+∞⋃--∞．五、 换元法例5 求函数x x y --=1的值域。
解：令x t -=1，则)0(12≥-=t t x ，那么45)21(2++-=t y ． ∵1≥t 时，y 在),0[+∞上递减， ∴当t ≥0时，]1,(-∞∈y ．∴原函数的值域是]1,(-∞．。
判别式法求值域的原理
判别式法求值域的原理
判别式法是一种数学方法，用于求解二次函数的值域。
它的原理可以通过以下步骤来解释：
1. 给定一个二次函数的表达式：y = ax² + bx + c，其中a，b和c是实数常数。
2. 通过计算函数的判别式Δ（delta）来判断二次函数的值域。
判别式的公式为：Δ = b² - 4ac。
3. 根据判别式的值，判断函数的值域：
a) 当Δ > 0时，表示函数有两个不同实根，即二次函数的图像与x轴有两个交点。
此时函数的值域为整个实数轴。
b) 当Δ = 0时，表示函数有两个相等的实根，即二次函数的图像与x轴只有一个交点。
此时函数的值域为该实根对应的y 值。
c) 当Δ < 0时，表示函数没有实根，即二次函数的图像与x 轴没有交点。
此时函数的值域为Δ的符号与a的符号相同，即当a > 0时，值域为负无穷到0；当a < 0时，值域为0到正无穷。
值域是函数在y轴上的取值范围，通过判别式法可以根据二次函数的判别式来确定函数的值域。
根据判别式的值与函数系数
的关系，可以推断出函数的值域是否为整个实数轴，一个实根对应的y值，或是一段闭区间。
求函数值域的四种方法
求函数值域的四种方法一、观察法。
1.1 这种方法就像是我们用眼睛去打量一个人，直观又简单。
对于一些简单的函数，我们可以直接通过观察函数的性质来确定值域。
比如说一次函数y = 2x + 1，x 可以取任意实数，那随着x的变化，y也会相应地在实数范围内变化，所以这个一次函数的值域就是全体实数。
这就好比我们看一个一目了然的事情，不用费太多周折。
1.2 再看函数y = x²，因为任何实数的平方都大于等于0，所以这个函数的值域就是[0，+∞)。
这就像我们知道太阳总是从东边升起一样确定，一眼就能看出来这个函数值的范围。
二、配方法。
2.1 配方法就像是给函数做个“美容整形”。
拿二次函数y = x² 2x + 3来说，我们可以把它配方成y = (x 1)²+ 2。
因为(x 1)²大于等于0，所以y就大于等于2。
这就好比我们把一个有点杂乱的东西整理得井井有条，然后就能清楚地看到它的价值范围了。
2.2 还有函数y = -x²+ 4x 1，配方后得到y = -(x 2)²+ 3。
由于-(x 2)²小于等于0，所以这个函数的值域就是(-∞，3]。
这就像我们把一个原本模糊不清的东西，通过自己的巧手整理，让它的界限清晰起来。
2.3 配方法就像是一个神奇的魔法，能把复杂的二次函数变得简单易懂，让我们轻松地找出值域这个“宝藏”。
三、换元法。
3.1 换元法有点像“偷梁换柱”。
例如函数y = 2x + √(x 1)，我们可以设t = √(x 1)（t≥0），那么x = t²+ 1。
这样原函数就变成了y = 2(t²+ 1)+ t = 2t²+ t + 2。
这就把原来带根号的复杂函数转化成了一个二次函数，然后我们就可以用配方法或者观察法来求值域了。
这就像我们在一个迷宫里，找到了一条新的通道，一下子豁然开朗。
3.2 再比如函数y = x + √(1 x²)，我们设x = sinθ（-π/2≤θ≤π/2），那么原函数就变成了y = sinθ+ cosθ。
二次分式函数值域的求法
５
．・．ｏ＜瓦暑而≤｛，
・’・ｏ＜百蒜≤专，
求函数，，＝掣（一１≤茗≤１）的值
即ｏ＜，，≤百１，所以函数值域为（ｏ，专］。
方法三（化二次函数法） 对函数进行变量分 离，转化为二次函数定轴定区间问题。
解：ｙ＝［（２一菇）＋去］一ｌ，
令ｔ＝２一茗，－ｏＯ一１≤聋≤１，．・．１≤ｔ≤３，
・．。Ｙ＝人ｔ）在［３，４］上为增函数，
性质，由茗的范围逐步求出，，的范围。
管一 ，ｆ １
例２求函数），２≯赢４－４－的值域。
解：Ｙ２万去ｉ２百焉砀
・．‘（髫＋１）２＋４≥４。
．・．），血＝以３）＝号，ｙ一＝“４）＝５。 所以函数值域为［号，５］。
方法五（利用最值定理法）对函数进行变量分
离，化为勾形函数ｙ＝似＋÷（口＞ｏ，ｂ＞ｏ），再利用
例３求函数ｙ＝≯ｘｚ了＋而６ｘ－４４－／１４．（茗≥１）的值域。
ｆ。．■４公
则，，：以１）：¨４。一１（１≤ｆ≤３），
解：ｙ＝万ｘ２＋忑６ｘｉ－４
一【查±２２１±至ｆ苎±２２＝１２
（善＋２）２
．・．ｙ≥√ｔ・÷一ｌ＝３，
当且仅当ｔ：｛，ｌ＝２，即互＝０时，，，血＝３。 又以１）：４。以３）：等’．．．，，一：４。
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Ｉ
ＳＨＩＴＩＹＵＹＡＮＪ Ｉ Ｕ
考试指导 ４５
函数是高中数学教学中最核心的内容，求函数 的值域又是函数教学中的核心内容不同类型的函数 求值域的方法也是不同的，本文专就二次分式函数 值域的求法作一些探讨，供参考。 方法一（判别式法）将二次分式函数转化为一 元二次方程的形式，利用根的判别式求函数的值域。
利用判别式法求二次分式函数的值域
=
a1 a2
(x (x
− −
m) m)
(x (x
− −
x1 x2
) )
(x1
̸=
x2) 的形式;
同时由命题
一的证明过程可知: 方程 (1) 与方程 (2) 虽不是同解方程, 但
方程 (2) 仅仅产生了一个增根 x = m 而已. 对于此类假二次
分式函数, 我们有如下命题:
命题三
如果二次分式函数
y
=
a1x2 a2x2
(a1
∗
a2 ̸= 0) 的分子分母互素, 那么
(1) 当
a1 a2
̸=
b1 b2
时, 函数 y =
a1x2 + b1x + c1 a2x2 + b2x + c2
的值域为
不等式 ∆ = (b2y − b1)2 − 4 (a2y − a1) (c2y − c1) 0 的解
集;
∆
(2) 当 a1 = b1
2019 年第 8 期 (下)
中学数学研究
43
利用判别式法求二次分式函数的值域
陕西省城固师范学校 (723200) 刘敬民
对于形如 y
=
a1x2 a2x2
+ +
b1 b2
x x
+ +
c1 c2
(a1
,
a2
中至少有一个不
为零) 的二次分式函数的值域问题, 许多学生教辅用书一直
刻意强调函数的定义域为实数集 R, 即 b2 − 4ac < 0 时用判
别式法求解.
而对于 b2 − 4ac 0 时的函数值域问题采取回避的态
度. 实际上此法可扩展适用于所有的二次分式函数, 在解题
用判别式法求值域常见错误辨析
用判别式法求值域常见错误辨析判别式法是求函数值域的重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。
判别式法的理论依据是：任何一个函数的定义域应是非空数集，故将原函数看成关于x 的方程应有实数解，从而求出y 的值域。
判别式法虽然用起来很方便，但如果不加注意，却很容易产生错误，下面就大家容易出错的情形举例加以说明。
1 忽视对二次方程的二次项系数加以讨论例1 求函数y=6122-+-+x x x x 的值域。
错解 y=6122-+-+x x x x , ∴yx 2+yx-6y=x 2+x-1, ∴(y-1)x 2+(y-1)x-6y+1=0-----------------------------------①因为方程①是关于x 的方程，它有实根的充要条件是x ∆=(y-1)2-4(y-1)(-6y+1)≥0,∴(y-1)(5y-1) ≥0, ∴y ≥1 或y ≤51, ∴原函数的值域为{y| y ≥1 或y ≤51且y ∈R}. 分析 事实上，当y-1=0，即y=1时，方程①不再是关于x 的方程了，就不能再用判别式了。
正确解法是： y=6122-+-+x x x x , ∴(y-1)x 2+(y-1)x-6y+1=0--------① 当y-1=0，即y=1时，方程①为-5=0，恒不成立；当y-1≠0，即y ≠1时，x ∆=(y-1)2-4(y-1)(-6y+1)≥0,∴(y-1)(5y-1) ≥0, ∴y ≥1 或y ≤51且y ≠1 综上，得原函数的值域为{y| y>1 或y ≤51且y ∈R}. 2 将原函数转化为方程时为非同解变形例2 求函数y=x-x -1的值域。
错解 y=x-x -1, ∴y-x=-x -1---------------------①∴(y-x)2=1-x, ∴x 2-(2y-1)x+y 2-1=0---------------②由x ∆=(2y-1)2-4(y 2-1) ≥0,解得y ≤45，故原函数的值域为{y| y ≤45且y ∈R}. 分析 事实上，当y=45时，代入②得x=43，而解法中①式到②式不是同解变形，把x=43代入①式得到y=41，故y=45只适合于方程x-y=-x -1，不适合原方程y-x=-x -1。
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正确用判别式法求值域“着重点”辨析
用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。
但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点”一一加以辨析
着重点1 对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论
例1 求函数3
22122+-+-=x x x x y 的值域。
错解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*）
∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得
21103≤≤y 。
故所求函数的值域是]21,103[
分析 把21=y 代入方程（*）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。
事实上，21=y 时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“∆”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。
正解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*）
（1）当2
1=
y 时，方程（*）无解； （2）当2
1≠y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得2
1103<≤y 。
由（1）、（2）得，此函数的值域为)21,103[ 着重点2 将原函数转化为方程时应等价变形
例2 求函数1++=x x y 的值域。
错解 移项平方得：()011222=+++-y x y x ，
由()014)]12([22≥+---=∆y y 解得43
≥y ，则原函数的值域是⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,43. 分析 由于1-=
-x x y 平方得()011222=+++-y x y x ，这种变形不是等价变
形，实际上扩大了x 的取值范围，如果从原函数定义域1≥x ，那么11≥++
=x x y ，显然⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞∈,43
y 是错误的。
正解 令1-=x t ，则t ≥0，得12+=t x ，∴432112
2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=t t t y ， 又 t ≥0，∴14321012
2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥++=t t y ， 故原函数的值域为[)+∞∈,1y
着重点3 整体换元后新旧变量的限制条件要一致
例3 求函数5
422++=x x y 的值域 错解 令42+=x t ，则1
2+=t t y ，∴02=+-y t yt ，由0412≥-=∆y 及0>y 得值域为]2
1,0(∈y 。
分析 解法中忽视了新变元t 满足条件2≥t 。
正解 设y t yt t f +-=2)(，0>y ，),2[+∞∈t ， ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>≤>>≥∆2210)2(0)2(0,0y f f y 或520≤<⇔y 。
故函数得值域为]520，（。
着重点4 力求先化简，不盲目用判别式法
当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约去公因式
例4 求函数1
222--+=x x x y 的值域 错解 1
222--+=x x x y )1(±≠x ----------------------①
∴222-+=-x x y yx ，即()0212=+---y x x y ---------②
当01=-y ，即1=y 时，由②得1=x （舍去），∴1≠y ；
当01≠-y 即1≠y 时，()()02141≥+---=∆y y x 得()0322
≥-y , ∴R y ∈。
综上可述，原函数的值域为{y |1≠y 且R y ∈}。
分析 事实上，当23=y ，即1
222--+x x x =23时，解得1=x ，而当1=x 时原函数没有意义，故2
3≠y 。
错误的原因在于，当1=x 时，()212+---y x x y 的值为零，所以1=x 是方程②的根，但它不属于原函数的定义域，所以方程②与方程①不同解，故函数1
222--+=x x x y 不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通。
正解 原函数可化为y =)1)(1()1)(2(+--+x x x x =)
1()2(++x x )1(±≠x ，即111++=x y )1(±≠x , 11+x 0≠，1≠∴y 且2
3≠y 故原函数的值域为{y |1≠y 且23≠
y }。