如何用判别式法求函数值域
判别式法求值域
判别式法求值域在数学中，我们经常需要求出某个函数的值域。
值域指的是函数所有可能的输出值的集合。
对于一些简单的函数，我们可以通过手工计算或者画图来确定其值域，但对于复杂的函数，这种方法往往不太可行。
因此，我们需要一些更加高效的方法来求解函数的值域。
判别式法就是一种常用的求解函数值域的方法。
它适用于一些特定类型的函数，例如二次函数和分式函数等。
下面我们就来详细介绍一下判别式法的具体思路和步骤。
一、二次函数的值域二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
我们知道，二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为 ( -b/2a , c - b^2/4a )。
根据抛物线的性质，我们可以得到以下结论：1. 当 a > 0 时，函数的值域为 [ c - b^2/4a , +∞ )。
2. 当 a < 0 时，函数的值域为 ( -∞ , c - b^2/4a ]。
这个结论可以通过以下步骤来证明：1. 当 a > 0 时，函数的图像开口向上，顶点为最小值。
因此，函数的最小值为 c - b^2/4a。
又因为二次函数的值域是连续的，所以函数的值域为 [ c - b^2/4a , +∞ )。
2. 当 a < 0 时，函数的图像开口向下，顶点为最大值。
因此，函数的最大值为 c - b^2/4a。
同理可得函数的值域为 ( -∞ , c - b^2/4a ]。
二、分式函数的值域分式函数是形如 y = f(x) / g(x) 的函数，其中 f(x) 和 g(x) 都是多项式函数，且 g(x) ≠ 0。
分式函数的值域比较复杂，但我们可以通过以下步骤来求解：1. 求出分式函数的零点。
即求出方程 g(x) = 0 的解。
这些解将构成分式函数的不可定义点和间断点。
2. 求出分式函数在不可定义点和间断点附近的极限。
这些极限将决定分式函数的值域的边界。
高一数学判别式法求函数值域之错误面面观
判别式法求函数值域之错误面面观判别式法是求函数值域的重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数的值域问题。
判别式法的理论依据是：任何一个函数的定义域应是非空数集，故将原函数看成关于x 的方程应有实数解，从而求出y 的取值X 围。
判别式法虽然用起来很方便，但如果不加注意，却很容易产生错误，下面就同学们容易出错的地方举例加以说明。
一、忽视对方程的二次项系数是否为零加以讨论致错例1 求函数y=6122++-+x x x x 的值域。
错解： y=6122++-+x x x x , ∴yx2+yx+6y=x2+x-1， ∴(y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ，①因为方程①是关于x 的二次方程，它有实根的充要条件是∆=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)≥0，即(y-1)(23y+5) ≤0, 解得，1235≤≤-y 。
∴原函数的值域为{y|1235≤≤-y }.剖析：事实上，当y-1=0，即y=1时，方程①不再是关于x 的二次方程了，就不能再用判别式了。
正解： y=6122++-+x x x x , ∴(y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ，①当y-1=0，即y=1时，方程①为7=0，不成立，故y ≠1； 当y-1≠0，即y ≠1时，∆=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)≥0，即(y-1)(23y+5) ≤0，解得，1235≤≤-y综上，得原函数的值域为{y|1235<≤-y }.例2．求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。
错解：原式变形为0)13()12()12(2=-+---y x y x y ，①∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103≤≤y 。
故所求函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21103，。
剖析：把21=y 代入方程①显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。
事实上，21=y 时，方程①的二次项系数为0，显然不能用“∆”来判定其根的存在情况。
判别式法求值域32523精编版
关于判别式法求值域增根的研究我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。
但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先约去公因式，化成f(x)=的形式，然后再求出其值域。
但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！例：求二次分式函数y = 的值域．方法判别式法化简为一次分式法解题过程∵ y =∴ ( x2 – 1 ) y = x2 – 2x - 3∴ ( y－1 ) x2 + 2x + 3 – y = 0----------*①当y ≠ 1时，△= b2 – 4 a c = 22 – 4 ( y –1 ) ( 3 – y )∵ y = =∴①当x ≠－1时，y = ，即：y ≠ 1②当x = －1时，= 4 y 2 – 16 y + 16= 4 ( y – 2 ) 2≥0 (△= 0时，y = 2 )∴ y ∈ R , 且 y ≠ 1②当y = 1时，代入*式得：2 x +3 – 1 = 0∴ x = －1∵函数的定义域为：{ x ∈ R | x ≠ 1 且 x ≠－1 }∴ y ≠ 1由①②得函数的值域为：y = = = 2∵函数的定义域为：{x∈R | x ≠ 1 且 x ≠－1 } ∴ y ≠ 2由①②得函数的值域为：结果{ y ∈ R | y ≠ 1 } {y∈R | y ≠ 1 且 y ≠ 2 } 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。
这就是说，用判别式法求值域会产生增根。
这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。
反过来，值域内每一个y值，都会有一个或多个x值与之对应。
将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。
如何用判别式法求函数值域
如何用判别式法求函数值域如何用判别式法求函数值域用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。
一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。
下面我谈谈对本内容的一点体会。
一、判别式法求值域的理论依据x2x例1、求函数y2的值域 x x1象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。
x2x解：由y2得： x x1（y－1）x2+(1－y)x+y=0 ①上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程(1y)24y(y1)1y1,又y 1 31x2x y2的值域为,1x x13令0, 解得为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y的范围就是原函数的值域？我们可以设计以下问题让学生回答：1、当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）22当x=2时，y=? () 当y=时，x=?（2） 33以上y的取值，对应x的值都可以取到，为什么？2（因为将y=0和y=代入方程①，方程的△≥0） 32、当y=－1时，x=?当y=2时，x=?以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？（因为将y的值代入方程①式中△3、当y在什么范围内，可以求出对应的x值？x2x4、函数y2的值域怎样求？ x x1若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。
二、判别式法求值域的适用范围前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。
是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？3x22x1例2、求y的值域 2x1从表面上看，此题可以用判别式法求值域。
由原函数得：（y－3）x2+2x+(1－y)=0△ =4－4（y－3）(1－y)≥0即（y－2）2≥0 ∴y∈R但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。
问题出在哪里呢？我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x－1）,因此3x1(x1)，原函数可以化简为y用反函数法可求得y3，又x≠1代入可得x1y≠2，故可求得原函数的值域为yy R,y2,且y3。
用判别式法求函数值域的方法
用判别式法求函数值域的方法例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域 解:∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21>0 ∴函数的定义域为R,将原函数等价变形为(2y-1)x 2+(2y+2)x+y+3=0,我认为在此后应加上:关于．．x ．的方程．．．(2．．y ．-．1．)．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．．例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．根不为．．．2．且不为．．．-．3．例1及例2也需要作此修正,本人认为,这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．,同时也暴露出作者的思维过程,不能略去。
思考之二:对于形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法就是要验证△=0时对应的y 值,该文中就是这样的说明的:由于函数变形为方程时不就是等价转化,故在考虑判别式的同时,还需对△=0进行检验,若对应的自变量在函数的定义域内,则y 值在值域内,否则舍去。
但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验,得出正确结果,这就使读者很困惑,究竟什么情况要检验,什么情况不进行检验呢？我认为有关形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法,这已经不就是判别式法的范围之内,不在讨论之列,第二种处理方法仍然用判别式法,只不过在例1的解法基础上稍加改动即可,例3求函数求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．根不为．．．2．且不为．．．-．3．(1)当y=1时,代入方程求得x= -3,而x ≠-3,因此y ≠1(2)当y ≠1时关于x 的方程(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程,可以验证x=-3为该方程的根,x=2不就是该方程的根,因此只有两个根都为-3时不满足题意,其余都符合题意,因此只需△≠0,即可得出即可得出y ≠52 由上可知:原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠52} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况,例4 求函数y=32122--+-x x x x 的值域 解:由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0由题意得关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3与-1(1)当y=1时,x= -4,∴y 可以取1(2)当y ≠1时,关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程,显然可以验证x=3与x= -1不就是该方程的解因此只需△≥0即可,以下过程略思考之三:该方法的适用范围不仅适用于分式形式,对于二次函数．．．．同样适用, 如:求函数y=x 2-3x+5的值域解:由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即(-3)2-4(5-y)≥0∴y ≥411 ∴所求函数的值域为{y| y ≥411} 练习: 求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。
高中数学：求函数值域的方法十三种(二)
高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
求函数的值域、最值的13种方法
⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部
用判别式法求函数值域的方法
用判别式法求函数值域的方法例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域 解：∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21>0 ∴函数的定义域为R ，将原函数等价变形为（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0,我认为在此后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．2．y ．-．1．）．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．．例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．．有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3．例1及例2也需要作此修正，本人认为，这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．，同时也暴露出作者的思维过程，不能略去。
思考之二：对于形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法是要验证△=0时对应的y 值，该文中是这样的说明的：由于函数变形为方程时不是等价转化，故在考虑判别式的同时，还需对△=0进行检验，若对应的自变量在函数的定义域内，则y 值在值域内，否则舍去。
但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验，得出正确结果，这就使读者很困惑，究竟什么情况要检验，什么情况不进行检验呢？我认为有关形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法，这已经不是判别式法的范围之内，不在讨论之列，第二种处理方法仍然用判别式法，只不过在例1的解法基础上稍加改动即可，例3 求函数求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．．有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3．（1）当y=1时，代入方程求得x= -3,而x ≠-3，因此y ≠1（2）当y ≠1时关于x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程，可以验证x=-3为该方程的根，x=2不是该方程的根，因此只有两个根都为-3时不满足题意，其余都符合题意，因此只需△≠0，即可得出即可得出y ≠52 由上可知：原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠52} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况，例4 求函数y=32122--+-x x x x 的值域 解：由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0由题意得关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3和-1（1）当y=1时，x= -4，∴y 可以取1（2）当y ≠1时，关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程， 显然可以验证x=3和x= -1不是该方程的解因此只需△≥0即可，以下过程略思考之三：该方法的适用范围不仅适用于分式形式，对于二次函数．．．．同样适用， 如：求函数y=x 2-3x+5的值域解：由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即（-3）2-4（5-y ）≥0∴y ≥411 ∴所求函数的值域为{y| y ≥411} 练习： 求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。
函数值域的求法大全
函数值域的求法大全值域为R（注意判别式）；对数函数y=logax(a>0,a≠1)的定义域为R+，值域为R；指数函数y=ax(a>0,a≠1)的定义域为R，值域为(0,+∞)；三角函数y=sin x，y=cos x的值域均为[-1,1]；反三角函数y=arcsin x的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]；y=arccos x的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]；y=arctan x的定义域为R，值域为(-π/2,π/2)。
利用函数的单调性来求值域对于单调递增函数f(x)，其值域为[f(a),f(b)]；对于单调递减函数f(x)，其值域为[f(b),f(a)]。
利用反函数来求值域设函数f(x)的反函数为g(x)，则f(x)的值域等于g(x)的定义域，即f(x)的值域为{x|g(x)∈R}。
利用配方法来求值域对于形如y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的二次函数，可通过配方法将其化为y=a(x+p)2+q的形式，其中a>0，(p,q)为顶点坐标，此时，y的值域为[q,+∞)或(−∞,q]。
利用不等式来求值域对于形如y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的二次函数，可通过求解不等式ax2+bx+c≥0来确定其值域。
以上是常见的求值域的方法，不同的函数类型可能需要不同的方法来求值域。
在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，结合图像、单调性、反函数等性质进行分析，才能得出正确的结果。
剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落，然后再小幅度的改写每段话。
求函数值域是数学中常见的问题。
下面介绍两种常用的方法：单调性法和换元法。
单调性法是指利用函数的单调性来确定函数的值域。
具体来说，可以先找到函数在给定区间内的单调区间，然后比较区间两端点的函数值，从而确定函数的最大值或最小值。
当顶点横坐标是字母时，需要根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
求函数值域常见的五种方法
求函数值域常见的五种方法求函数的值域是函数学习的一个难点，求值域时涉及到的知识和方法较多，下面介绍几种常用的方法供参考．一、 判别式法思路：将函数式整理成一元二次方程的形式，借用判别式求值域．例1 求函数的4312--=x x y 值域． 解：原式整理成01432=---y yx yx ， )4()41()1(∞+⋃-⋃--∞∈，，，x ，且0≠y ，∴0)14(492≥++=∆y y y .解得0≥y 或254-≤y ． 当 254-=y 时，)41(23，-∈=x ． 又0≠y ， ∴所求函数的值域是),0(]254--+∞⋃∞，（． 二、 配方法例2 求函数x x y 21-+=的值域． 解：由已知得2121)21(21+-+--=x x y 1)121(212+---=x∴所求函数的值域是]1-，（∞． 三、 单调性法思路：利用函数的图象和性质求解.例3 当)0,21(-∈x 时，求函数)1lg()1lg(x x y -++=的值域．解：由已知得)1lg(2x y -=， ∵)0,21(-∈x ，∴)41,0(2∈x ． 又2x -在)0,21(-∈x 上递增， ∴)1,43(12∈-x ． 又u y lg =在)1,43(上递增， ∴)0,43(lg )1lg(2∈-x ，原函数的值域为)0,43(lg ． 四、 反函数法例4 求函数xx y -+=11的值域． 解：∵函数的定义域是{}1,0|≠≥x x x 且，由原函数变形得011≥+-=y y x ， ∴1≥y 或1-<y ．∴函数的值域为),1[)1,(+∞⋃--∞．五、 换元法例5 求函数x x y --=1的值域。
解：令x t -=1，则)0(12≥-=t t x ，那么45)21(2++-=t y ． ∵1≥t 时，y 在),0[+∞上递减， ∴当t ≥0时，]1,(-∞∈y ．∴原函数的值域是]1,(-∞．。
3判别式法求函数值域
判别式法求函数值域巴东覃兴山判别式法求函数值域是中学数学的常用方法，那么它的理论依据是什么？适用于哪些情况？有哪些注意事项？带着这些问题，我们一起来探讨．一、方法探源例1求函数的值域.略解：变函数式为. （1）这就是判别式法求函数值域．善于思考的同学一定会问：为什么使方程（1）有解的y的取值范围就是所求函数的值域？要回答这一问题先要明白以下几点：（1）函数式是一种特殊的二元方程式(y能用x的解析式表示，从而每一个x值对应于唯一的函数值y)，但方程式不一定是函数式，如.（为什么？）（2）由函数的定义可知：在函数所确定的映射下，每一个函数值y在定义域上至少有一个自变量x与之对应．反过来，若某一实数y在定义域上有自变量x值与之对应，则此实数一定是值域中的元素．（3）判别式大于等于零是一元二次方程在实数集R上有解的充要条件．例1中，将原函数式变为方程（1）是方程的等价变形，即两式中的x,y的取值范围完全相同．由每一函数值都有自变量与之对应，可知方程（1）中的y 若是值域中的元素，必使关于x的方程有解；又因为使关于x的方程有解的实数y也一定是值域中的元素.综上，y是值域中的元素的充要条件是：使关于x的方程（1）在定义域R上有解．注意：y＝1时，方程（1）为一次方程，不能用判别式法，要单独讨论．因为y=1有原象，所以，1在值域中．二、方法推广下面问题能否用判别式法呢？例2求函数的值域.函数定义域为，而判别式是方程在R（注意，不是R的子集！）上有解的充要条件，所以不能用判别式法.这时，我们应该反思，判别式法的实质到底是什么？实际上，判别式法深层的理论根据是对应和方程的思想！如果你真正理解了判别式法的实质，就不难发现，方程（1）中的y是函数的值域中的元素的充要条件为：方程（1）在函数的定义域上至少有一实根，也即方程（1）至少有一根大于等于零．这时判别式仅仅是必要条件．至少有一根大于等于零，可分为两根都大于等于零和一根大于等于零另一根小于零两种情况来求，也可用补集思想来求，即先求使方程没有非负根的y的取值范围，将有根的范围看作全集，再求其补集．解：显然y=1不在值域中.当y1时，使方程（1）有两负根的充要条件为.所以方程至少有一个非负根的充要条件为，即函数值域为.例3求函数的值域.解：变函数式为. （2）当y=1时，方程无解．当时，方程（2）为关于x的一次方程，x在定义域上有解的充要条件为，所以函数的值域为.说明：用对应和方程的思想解释这种解法非常清楚．有些资料上把这类求函数值域的方法解释为所谓的“反函数法”，即先求出原函数的反函数，说反函数的定义域为原函数的值域，所以只须求反函数的定义域.虽然结果巧合，但犯了逻辑错误，因为反函数依原函数而生，反函数的定义域不能从反函数式中求得，而要从原函数的值域中求．而且这种所谓的“反函数法”很容易产生误导．如下例.例4求函数的值域.分析：不难求出原函数的反函数为．从反函数式求得，试问：反函数的定义域是不是？原函数的值域是不是？正解：（分析法）函数的定义域为，所以函数值域为．此题也可以用单调性法来求解．例5求函数的值域.想一想，能否也用方程有解的思想来求？解：变函数式为,函数的定义域为R，由三角方程在R上有解的充要条件是，得，所以函数值域为.另解：设点，则函数y的几何意义为直线PA的斜率，又P在圆上，由数形结合不难求出PA的斜率的取值范围．例6求函数的值域.解：变函数式为.当y=1时，x无解；当. （3）方程（3）在R上有解的充要条件为，所以所求值域为.三、辨析正误例7求函数的值域.函数的定义域为，能否直接用判别式法呢？变函数式为 . （4）判别式是方程（4）在上有解的必要条件．它是不是充要条件呢？只需考查一下当时，方程（4）是否有x=1这一根即可．将x=1代入方程（4）可知，无论y为何值，方程（4）均不可能有x=1这一根．所以判别式非负是方程（4）在上有解的充要条件.所以函数值域为说明：当函数定义域为使分式有意义的一切实数时，也是方程在定义域上有解的充要条件，可直接用判别式法．例8求函数的值域.仿照例2，不难找方程在x>1上有解的充要条件，但求解比较麻烦，请看下面解法．今t=x-1,由x>1得t>0.原函数变为.当即t=2（此时x=3）时，y=6.所以函数值域为.该解法运用了换元法和平均值不等式求最值．说明：判别式法求值域有时不定是最简单的，掌握一种方法，要抓住方法的实质，明确适用范围．例9求函数的值域.看下面的解法.变函数式为，整理得. （5）由.所以函数值域为（-∞,1］.上面的解法有没有问题？将y=1代入（5）得x=0,再将x、y的值代入函数式，成立吗？问题出在哪里？原因是方程变形中，两边平方不是同解变形，从而使x、y的取值范围发生了变化（平方前要求，平方后没有）．正解：函数的定义域为.又函数在定义域上为增函数，所以函数值域为.另解：令换元得，只需求此二次函数的值域．说明：求函数值域时，一般不能对函数式作非等价变形，如平方．结论：判别式法的实质是对应和方程的思想．即y为值域中的元素的充要条件是，使关于x的方程在函数定义域上有解，至于方程，可以是一次、二次、三角方程或其他方程等．运用这一思想解题时，要注意条件的充要性和方程变形的等价性．。
用判别式法求函数值域剖析
。
．
掌 ≤ｌ 且ｙ ９ ｅ ÷（ 既 然值 域 中任 意 的一个 ｙ都 要 满 足这 些 条
饼 件， 所 以它 是 值 域 的一 部 分 ． ） 版
注：
△≥ Ｏ， ． 。 ． ∈ Ｒ．
经 验 证 一 一３为该 方 程 的根 ， 一２不 是该 方 程 的 根 ， 因 此 只 有 两个 根都 为 ３时 才 不 符 合 题 意 ， 其余都 符合． 因此 只
’ ． ．
・
本题 中 一０ 代人 （ ＊） 式求 得 ｜ ｒ —一 ｌ 或 ３两个根 ． 所 以即便
≠ 一１ ， 仍可 以 由 一３代人 原 函数求 出 ｙ＝Ｏ， 故 不 能挖 去．
按照上面的分析 思路 ， 假如 Ｙ 一 ０代 入 （ ＊） 式 只 有 一 根 一 １ ， 则 要 挖 去 对 应 的 Ｙ的 值 ． 综上 所 述 ： 若增 加 了条件 － 丁 ≠ 时， 要 去 掉 方 程 组
值 域
数 定 义 域
图 １
形 不 可 能 出 现．
’ ．
．
（ １ ） ２ 一 １ 一 。 即 一 ÷ 代 人 （ ＊ ） 式 ， 求 得 一÷ ．
中 掌
生
￣ ｏ
只需 △≥ ０即 可 ， 以下 计 算 过 程 略 ．
例 ３ 求 函 数 一 ≤
３和 一 １ ．
下 面 以 几 个 题 目为 例 ， 说 明 判 别 式 法 的 原 理 以 及 在 使 用 过程中一些要注意的地方．
～
＋
２ —— ０ …
— —
０
、、 ●，
一
例ｌ 求 函 数＿ ， （ ） 一 丢 Ｉ 『 ＝
的 值 域 ． ＋
求函数值域的常用方法
求函数值域（最值）的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。
一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 二、求函数值域（最值）的常用方法 1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y =211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1例2、求函数y =2－x 的值域。
解： x ≥0 ∴－x ≤0 2－x ≤2故函数的值域是：[-∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2*+5，*∈[-1，2]的值域。
求函数值域的方法和例题
求函数值域的方法和例题方法一.观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
基准1求函数y=3+√(2-3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。
求解：由算术平方根的性质，言√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。
∴函数的值域为{y∣y≥3｝.点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
本题通过轻易观测算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的带发修行，简便清了，算是一种巧法。
练：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)方法二.反函数法当函数的反函数存有时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
指点：先求出来原函数的反函数，再算出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈r｝。
评测：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件就是原函数存有反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
(答案：函数的值域为{y∣y1｝)方法三.分体式方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域基准3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
求解：由-x2+x+2≥0,所述函数的定义域为x∈[-1，2]。
此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域就是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
分体式方法就是数学的一种关键的思想方法。
练：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})方法四.判别式法若可以化成关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,需用判别式法求函数的值域。
利用判别式法求二次分式函数的值域
=
a1 a2
(x (x
− −
m) m)
(x (x
− −
x1 x2
) )
(x1
̸=
x2) 的形式;
同时由命题
一的证明过程可知: 方程 (1) 与方程 (2) 虽不是同解方程, 但
方程 (2) 仅仅产生了一个增根 x = m 而已. 对于此类假二次
分式函数, 我们有如下命题:
命题三
如果二次分式函数
y
=
a1x2 a2x2
(a1
∗
a2 ̸= 0) 的分子分母互素, 那么
(1) 当
a1 a2
̸=
b1 b2
时, 函数 y =
a1x2 + b1x + c1 a2x2 + b2x + c2
的值域为
不等式 ∆ = (b2y − b1)2 − 4 (a2y − a1) (c2y − c1) 0 的解
集;
∆
(2) 当 a1 = b1
2019 年第 8 期 (下)
中学数学研究
43
利用判别式法求二次分式函数的值域
陕西省城固师范学校 (723200) 刘敬民
对于形如 y
=
a1x2 a2x2
+ +
b1 b2
x x
+ +
c1 c2
(a1
,
a2
中至少有一个不
为零) 的二次分式函数的值域问题, 许多学生教辅用书一直
刻意强调函数的定义域为实数集 R, 即 b2 − 4ac < 0 时用判
别式法求解.
而对于 b2 − 4ac 0 时的函数值域问题采取回避的态
度. 实际上此法可扩展适用于所有的二次分式函数, 在解题
用判别式法求函数值域的问题分析
用判别式法求函数值域的问题分析江苏省奔牛高级中学 陆超群利用一元二次方程根的判别式求某些函数的值域，由于解题过程中常用到变形，往往导致错误．因此，许多师生认为该种方法不可靠而回避它，或者只有当函数定义域为R 时才使用该方法．那么，到底是什么原因导致错误？解题过程中应注意什么？下面就常见的两类问题作一分析．第一类问题：如果函数()y f x =隐含于方程0)()()(2=++y c x y b x y a 中，因方程有实数根，通过[]0)()(4)(2≥-=∆y c y a y b 求出y 的范围（设为集合M ），若存在0y M ∈，使0()0a y =，为什么有时要从M 中除去0y ，而有时不要？ 例1：已知函数)x (f y =满足方程0122=-+-+-y x x xy y x ，求函数)x (f y =的值域．解：原方程可变为)1(01)1()1(2 =-++-+y x y x y ，∵R x ∈，由0∆≥解得35y 1≤≤-．但当1y -=时，方程（1）不成立，说明1y -=不是函数)x (f y =的值，必须除去．因此函数)x (f y =的值域应为513M y y ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭p ． 例2：已知函数)x (f y =满足方程0x 2y 3x y 4y x 2=-+-，求函数)x (f y =的值域．解：原方程可变为03)24(2=++-y x y yx ，∵R x ∈，由0∆≥解得32y 32y --≤+-≥或．当0y =时0x =，说明0y =是函数)x (f y =的值，因此函数)x (f y =的值域为{}32y 32y y M --≤+-≥=或．结论一：若函数()y f x =隐含于方程)2(0)()()(2=++y c x y b x y a 中，此时可把方程(2)看作x 的二次方程．因方程（2）有实根，所以其判别式[])3(0)()(4)(2≥-=∆y c y a y b ，解不等式（3）所得到的y 的范围（用集合M 表示）有可能是函数()y f x =的值域．但M 是否为函数()y f x =的值域还应分以下两种情况讨论：1．若对于任意的y M ∈，有()0a y ≠，由一元二次方程根的判别式可知，方程（2）有实根与不等式（3）是互为充要的条件，所以()y f x =的值域为M ．2．若存在0y M ∈，使0()0a y =，则方程（2）为一次方程'00)2(0)()(=+y c y b ，这时又可分为两种情况讨论：①若0()0b y ≠，方程')2(有解，所以函数()y f x =的值域为M ．②若0()0b y =且0()0c y =时，方程')2(为恒等式，显然有解，所以函数()y f x =的值域为M ．当0()0b y =且0()0c y ≠时，方程')2(无解，这说明0y 不是函数()y f x =的值，因此函数()y f x =的值域应是M 除去0y 之后得到的集合．第二类问题：当函数()y f x =以分式形式给出时，常见问题的特征及解决问题的方法．问题一：若函数()y f x =以分式形式给出，是否只有当定义域为R 时才可用判别式法求值域？例3：求函数3x 4x x 2y 2+-=的值域．解：两边乘以3x 4x 2+-得)4(03)24(2=++-y x y yx ，当3x 1x ==或时分母虽然为零，但分子o x 2≠，显然3x 1x ==或不是方程（4）的解，因此3x 4x x 2y 2+-=与方程（4）是等价的，以下解法仿照例2．例4： 求函数1x 5x 3x y 2-++=的值域． 解：两边乘以1x -得)5(05)3(2=++-+y x y x ，当1x =时分母虽然为零，但分子05x 3x 2≠++，显然1x =不是方程（5）的解，因此1x 5x 3x y 2-++=与方程（5）是等价的．∵R x ∈，由0∆≥解得11y ≥或1y -≤．∴函数)x (f y =的值域为{}1y 11y y M -≤≥=或．分析：类似于例3、例4的问题，虽然函数)(x f 的定义域不为R ，但去分母前后两个方程是等价的，故仍可用判别式法求函数的值域．问题二：若函数()y f x =以分式形式给出，当分子、分母有公因式时，应注意什么？例5：求函数3x 4x 4x 2x 2y 22+--+=的值域． 解：)3x )(1x ()2x )(1x (23x 4x 4x 2x 2y 22--+-=+--+=，∵由函数的定义域知1x ≠，∴)6(342-+=x x y 由函数（6）易知 2y ≠，因为1x ≠，所以把1x =代入（6）所求得的y 的值3-必须除去．所以函数3x 4x 4x 2x 2y 22+--+=的值域应该为{}3y 2y y M -≠≠=且．例6：2321x x y x -+=- 解：)7(2)1)2)(1(-=---=x x x x y ，由（7）易知R y ∈，但因为1x ≠，所以把1x =代入（7）所求得的y 的值1-必须除去．所以函数2321x x y x -+=-的值域应该为{}1M y y =≠-．分析：类似于例5、例6的问题，函数以分式形式给出，分子分母有公因式。
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如何用判别式法求函数值域
用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。
一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。
本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。
一、判别式法求值域的理论依据
例1、 求函数1
22+--=x x x x y 的值域 象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。
解：由1
22+--=x x x x y 得： （y-1）x 2+(1-y)x+y=0 ①
上式中显然y ≠1,故①式是关于x 的一元二次方程
⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-+--=∴≠≤≤-≥∆---=∆13111,13
10)
1(4)1(222，x x x x y y y ，y y y 的值域为又解得令 为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y 的范围就是原函数的值域？
我们可以设计以下问题让学生回答：
1、 当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）
当x=2时，y=? (32) 当y=3
2时，x=?（2） 以上y 的取值，对应x 的值都可以取到，为什么？
（因为将y=0和y=3
2代入方程①，方程的△≥0） 2、 当y=-1时，x=? 当y=2时，x=?
以上两个y 的值x 都求不到，为什么求不到？（因为将y 的值代入方程①式中△<0,所以无解）
3、 当y 在什么范围内，可以求出对应的x 值？
4、 函数1
22+--=x x x x y 的值域怎样求？ 若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。
二、判别式法求值域的适用范围
前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。
是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？
例2：求1
12322---=x x x y 的值域 从表面上看，此题可以用判别式法求值域。
由原函数得：（y-3）x 2+2x+(1-y)=0
△ =4-4（y-3）(1-y)≥0
即（y-2）2≥0 ∴y ∈R
但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。
问题出在哪里呢？
我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x-1）,因此原函数可以化简为)1(1
13≠++=x x x y ，用反函数法可求得3≠y ，又x ≠1代入可得y ≠2，故可求得原函数的值域为{}3,2,≠≠∈y y R y y 且。
:因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。
特别值得注意的是约分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x ≠1，故y ≠2。
例2、 求函数[])5,3(1
2352∈++-=x x x x y 的值域 此函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，且分子分母无公因式，可不可以用判别式法来求值域呢？ 由1
2352++-=x x x y 得：3yx 2+(2y-1)x+y+5=0 1）当3y=0，即y=0时，可解得x=5，故y 可以取到0
2）当3y ≠0时，令△=(2y-1)2－4×3y (y+5)≥0 解得：4
258142581+-≤≤--y 由1）、2）可得原函数的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+---42581,42581 上面求得的值域对不对呢？显然y=173-在所求得的值域范围内，但当y=17
3-时，可求得x=2[]5,3∉，故了限定了自变量x 的取值范围的函数不能用判别式法求值域。
此题可用导数法求得原函数在区间[3，5]内单调递增，故函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
0,171。
综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：
1） 分子分母的最高次为二次的分式函数；（2）分子分母无公约数；（3）未限定自变量的取值范围。
最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形式，第二步一定要看变形后的二次项（x 2项）系数是否含有y ，若含有y ，则要分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论。