用判别式法求函数值域的方法

用判别式法求函数值域的方法

例1求函数y=1

223222++--x x x x 的值域 解:∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+2

1>0 ∴函数的定义域为R,

将原函数等价变形为(2y-1)x 2+(2y+2)x+y+3=0,

我认为在此后应加上:关于．．x ．的方程．．．(2．．y ．-．1．)．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．．

例2求函数y=6

3422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3

∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}

由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0

我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．

根不为．．．2．且不为．．．-．3．

例1及例2也需要作此修正,本人认为,这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．

,同时也暴露出作者的思维过程,不能略去。 思考之二:对于形如y=f

ex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法就是要验证△=0时对应的y 值,该文中就是这样的说明的:由于函数变形为方程时不就是等价转化,故在考虑判别式的同时,还需对△=0进行检验,若对应的自变量在函数的定义域内,则y 值在值域内,否则舍去。

但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验,得出正确结果,这就使读者很困惑,究竟什么情况要检验,什么情况不进行检验呢？

我认为有关形如y=f

ex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法,这已经不就是判别式法的范围之内,不在讨论之列,第二种处理方法仍然用判别式法,只不过在例1的解法基础上稍加改动即可,例3

求函数求函数y=6

3422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3

∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}

由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0

我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．

根不为．．．2．且不为．．．-．3．

(1)当y=1时,代入方程求得x= -3,而x ≠-3,因此y ≠1

(2)当y ≠1时关于x 的方程(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程,可以验证x=-3

为该方程的根,x=2不就是该方程的根,因此只有两个根都为-3时不满足题意,其余

都符合题意,因此只需△≠0,即可得出即可得出y ≠5

2 由上可知:原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠5

2} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况,

例4 求函数y=3

2122--+-x x x x 的值域 解:由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0

由题意得关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3与-1

(1)当y=1时,x= -4,∴y 可以取1

(2)当y ≠1时,关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程,

显然可以验证x=3与x= -1不就是该方程的解

因此只需△≥0即可,以下过程略

思考之三:该方法的适用范围不仅适用于分式形式,对于二次函数．．．．

同样适用, 如:求函数y=x 2-3x+5的值域

解:由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即(-3)2-4(5-y)≥0

∴y ≥4

11 ∴所求函数的值域为{y| y ≥4

11} 练习: 求函数3

22122+-+-=x x x x y 的值域。 错解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y (*)

∵R x ∈,∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ,解得

21103≤≤y 。 故所求函数的值域就是]21,103[

分析 把21=

y 代入方程(*)显然无解,因此21=y 不在函数的值域内。事实上,2

1=y 时,方程(*)的二次项系数为0,显然用“∆”来判定其根的存在情况就是不正确的,因此要注意判别式存在的前提条件,即需对二次方程的二次项系数加以讨论。

正解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y (*)

(1)当2

1=

y 时,方程(*)无解; (2)当21≠y 时,∵R x ∈,∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ,解得

2

1103<≤y 。 由(1)、(2)得,此函数的值域为)2

1,103[ 例5 求函数1++=x x y 的值域。

错解 移项平方得:()011222=+++-y x y x ,

由()014)]12([22≥+---=∆y y 解得43≥y ,则原函数的值域就是⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞,43、 分析 由于1-=-x x y 平方得()011222=+++-y x y x ,这种变形不就是等价变形,实际上扩大了x 的取值范围,如果从原函数定义域1≥x ,那么

11≥++=x x y ,显然⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞∈,43y 就是错误的。 正解 令1-=x t ,则t ≥0,得12+=t x ,∴432112

2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=t t t y , 又Θt ≥0,∴14321012

2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥++=t t y , 故原函数的值域为[)+∞∈,1y

例6 求函数5

422++=x x y 的值域 错解 令42+=x t ,则1

2+=t t y ,∴02=+-y t yt ,由0412≥-=∆y 及0>y 得值域为]2

1,0(∈y 。 分析 解法中忽视了新变元t 满足条件2≥t 。

正解 设y t yt t f +-=2)(,0>y ,),2[+∞∈t ,

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤>>≥∆2210)2(0)2(0,0y

f f y 或520≤<⇔y 。故函数得值域为]520，（。 当用分子分母有公因式时,不能转化为二次方程再用判别式法,而应先约去公因式