求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法

求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法

——最优化方法课程实验报告

学院：数学与统计学院

班级：硕2041班

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学号：**********

指导教师：***

同组人：钱东东

求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法

求解二次规划问题的拉格朗日

及有效集方法

摘要

二次规划师非线性优化中的一种特殊情形，它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划），并且一些非线性优化问题可以转化为求解一些列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，称为求解非线性优化的一个重要途径。二次规划的算法较多，本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。

关键字：二次规划，拉格朗日方法，有效集方法。

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《最优化方法》课程实验报告

- 2 - 【目录】

摘要........................................................................................................................... - 1 -1 等式约束凸二次规划的解法............................................................................... - 3 -

1.1 问题描述.................................................................................................... - 3 -

1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题............................................ - 3 -

1.2.1 拉格朗日方法的推导...................................................................... - 3 -

1.2.2 拉格朗日方法的应用...................................................................... - 4 -

2 一般凸二次规划问题的解法............................................................................... - 5 -

2.1 问题描述.................................................................................................... - 5 -

2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题........................................................ - 6 -

2.2.1 有效集方法的理论推导.................................................................. - 6 -

2.2.2 有效集方法的算法步骤.................................................................. - 9 -

2.2.3 有效集方法的应用........................................................................ - 10 -

3 总结与体会......................................................................................................... - 11 -

4 附录..................................................................................................................... - 11 -

4.1 拉格朗日方法的matlab程序................................................................. - 11 -

4.2 有效集方法的Matlab程序 .................................................................... - 11 -

求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法

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1 等式约束凸二次规划的解法

1.1 问题描述

我们考虑如下的二次规划问题

⎪⎩

⎪⎨⎧=+b Ax t s x c Hx x T T ..,

2

1min (1.1) 其中n n R H ⨯∈对称正定，n m R A ⨯∈行满秩，n R x c,∈，m R b ∈。

1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题

1.2.1 拉格朗日方法的推导

首先写出拉格朗日函数： )(21

)L(x,b Ax x c Hx x T T T --+=λλ，(1.2)

令

0),(,

0),(=∇=∇λλλx L x L x ，

得到方程组

.

,

A -Hx T b Ax c -=--=λ

将上述方程组写成分块矩阵形式：

.0H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b c x A

A T λ(1.3)

我们称伤处方程组的系数矩阵

⎥⎦⎤⎢⎣⎡0A

-A -H T

为拉格朗日矩阵。

下面的定理给出了线性方程组(1.1)有唯一解的充分条件。

定理1 设n m R H ⨯∈对称正定，n m R A ⨯∈行满秩。若在问题(1.1)的解*x 处满足二阶充分条件，即

,0,0,,0d T =≠∈∀>Ad d R d Hd n

则线性方程组(1.4)的系数矩阵非奇异，即方程组（1.4）有唯一解。其中，方程组(1.4)为（1.1）对应的齐次方程组：