复合材料力学第三章2

S G12
把这些线性关系代入最大应变破坏准则，得：
1
1
E1
12
2
E1
Xt
Xt E1
Yt 2 21 Yt E2 E2 E2 S 12 S G12 G12
1 12 2 X t
2
1
12
2 21 1 Yt 12 S
n4 m4 m2 n2 4m 2 n 2 2mn3
2m 2 n 2 2m 2 n 2 m4 n4 8m 2 n 2 2 mn3 m3n
2m3n 2 m3n mn3
与柔度转换矩阵相同
F 11 m 2 n 2 F22 2 m2 n2 F 12 mn3 m3n F66 m3n mn3 m2 n2 m2 n2
2 2 2
四、蔡—胡（Tsai—Wu）张量理论
简写形式：Fij i j Fii 1 i, j 1,2,6 展开形式： 2 2 F11 12 2 F12 1 2 F22 2 F66 6 2F16 1 6 2 F26 2 6 F1 1 F2 2 F6 6 1 Fi , Fij 分别是二阶和四阶强度参数
2 F 2 F F 11 12 22 0 F1 F2 0 1
把上面试验得出 F11 , F22 , F1 , F2的代入上式得：
1 1 1 1 1 1 1 F12 1 0 2 2 0 X t X c Yt Yc X t X c YtYc 2 0
它是由各向同性材料的形变比能理论推广而 来的Mises屈服准则
1 2
2 2 2 6 x y y z z x yz zx xy s 2 2 2
在平面应力状态： z yz zx 0
由此式就得到强度参数 F12 F1 F2 0 时， 在 X t X c , Yt Yc
蔡—胡（Tsai—Wu）张量理论公式得：
1 2 6 2 F12 1 2 1 S X t Yt
2 2 2
包括6个强度参数，下面利用简单试验来确定 1. 纵向拉伸和压缩试验 1 X t , 2 6 0 F11 X t2 F1 X t 1
2 1 X c , 2 6 0 F11 X c F1 X c 1 联立求解得：
1 1 1 F11 , F1 Xt Xc Xt Xc 1 若 X t X c 则 F11 2 , F1 0 Xt
1 12 2 X t 或压缩时 1 12 2 X c
2 211 Yt 或压缩时 2 211 Yc
12 S
与最大应力破坏准则相比较，多了一项另一个 材料主方向应力的影响项，如果泊松耦合系数很 小，则影响就很小。
三、蔡—希尔（Tsai—Hill）强度理论（破坏准则）
§3-2 简单层板的正轴工程弹性常数和基本 强度的实验确定
简单层板是正交各向异性材料，它有四个工 程弹性常数 E1 , E2 ,12 , G12和五个基本强度
X t 纵向拉伸强度 X c 纵向压缩强度
S 面内剪切强度
Yt 横向拉伸强度
Yc 横向压缩强度
实验时，分别沿材料主方向上做单轴拉伸或单 轴压缩或者圆管扭转试验来测量以上9个工程材料 常数。
实测结果
1
E1
1极限 X t
1
1 E1 1 1 X 1极限 t
计算结果 实测结果
应力—应变曲线
1
2
1
L
2
L
2
2
2
沿2方向单轴拉伸
2 2 1 定义： 1 L 2 2 2 2 2 L 2 1 21 2 2
2 2 2
x y x y xy 上式写成： 2 1 s s s s
2
2
2
这就是平面应力状态下的Mises屈服准则 简单层板也处于平面应力状态，它的单轴拉伸 X,Y , S 或纯剪状态的强度为： 把Mises强度准则中 s , s的换成 X , Y , S ，就是 蔡—希尔准则：x 轴与材料主方向1轴重合，y 轴 与2轴重合
2. 横向拉伸和压缩试验
2 Yt ,1 6 0 F22Yt 2 F2Yt 1 2 F Y 2 Yc ,1 6 0 22 c F 2Yc 1
1 1 1 F22 , F2 联立求解得： YY Yt Yc t c 1 若Yt Yc 则 F22 2 , F2 0 Yt
第三章 简单层板的强度理论
§3-1 简单层板强度的基本概念
§3-2 简单层板的正轴工程弹性常数 和基本强度的实验确定
§3-3 简单层板强度理论（破坏准则）
§3-4 强度比方程
§3-1
简单层板强度的特点
各向同性材料强度仅为单参数 u 表征， 简单层板材料强度是方向的函数 1. 在板材料的主方向定义强度—正轴强度 2. 主应力和主应变概念无意义。主应力和 主应变方向与材料的主方向不一定重合
2 2 2
即 Fij i j Fi i 1 i, j 1, 2,6 其中：
4 m F11 n4 F22 2 2 mn F12 2 2 F 4m n 66 3 F16 2m n 3 F 2 mn 26



纵向强度Xt和Xc相差不大 横向强度Yt和Yc相差很大 正轴面内剪切强度S+和S-无区别。
45.0°
X X’
Y’
Y
正
45.0°
负
正轴剪切

偏轴面内剪切强度S+和S-区别很大
45.0°
纵向拉 横向压
45.0°
纵向压 横向拉 （横向不抗拉）
偏轴剪切
2
1
2
L
1
L
1
1
1
沿1方向单轴拉伸
1 1 1 定义： 1 L 1 2 1 1 2 L 1 2 12 1 1
1 2 1 2 12 1 单轴拉伸时 2 Xt S X t Yt
2 2 2
或
1 2 1 2 12 1 单轴压缩时 2 Xc S X c Yc
“ ”表示偏轴情况。 Fij , Fi 为偏轴强度参数
x 1 i , j 为偏轴应力分量 y 2 xy 6
利用应力转换公式：
2 n2 2mn x 1 m n 2 2 m 2mn y 2 2 2 mn mn m n 12 xy
将它代入蔡—胡张量理论公式：
2 2 F1112 2F121 2 F22 2 F66 6 F11 F2 2 1
经过整理，得：
F11 1 2 F12 1 2 F22 2 F66 6 2 F16 1 6 2 F26 2 6 F1 1 F2 2 F6 6 1
1 2 12 2 1 1 1 4 2 4 cos sin cos sin Ex E1 E1 E2 G12 1 2 12 1 1 1 E1 E1 G12 E2 4
G12 4 1 1 2 12 Ex E1 E2 E1 1
2
E2
2极限 Yt
2
应力—应变关系曲线
2 E2 2 2 Y 2极限 t
同样可做沿1方向单轴压缩试验，得
X c 1极限
沿2方向单轴压缩试验，得
Yc பைடு நூலகம் 2极限
由
12 21
E1 E2
互等关系式来检查实验数据的可靠性
测量 G12 的方法很多，但测量 S 的方法不多。
x
1
12
12 G12 12
计算结果
S 12极限
T极限 2 r 2t
x
2. 另一种办法是实测 Ex，再由 已知 E1 , E2 ,12 , Ex 计算 G12 但 测不出 S 2
x 实测结果
x Ex 计算结果 x
由前面偏轴用正轴工程弹性常数表示的关系式 可知：
2 2 2 x y x y 3 xy s2
写成无量纲形式：
x y x y 3 xy 1 2 s s s s s s 在纯剪状态下： x y 0 , xy 3
二、最大应变理论 是各向同性材料最大线应变理论推广而来的
1 X 2 Y
t
t
或压缩时
1 X 2 Y
c
12 S
c
在简单层板线弹性范围内有极限应力与极限应 变的一一对应关系：
X
t
Xt Xc , Xc E1 E1
S
Yt Yc Yt , Yc E2 E2
下面介绍一下常使用的办法，既能测量 G12 又 能测量 S 。
1.薄壁圆管扭转试验: 纤维铺设方向平行于圆管轴 向，或者平行于周向。
1
T
t
r
T
12
2
L 圆管扭转试验

圆管半径 r ，长 L ，壁厚为 t ，纤维铺设平 行的轴线为1轴，周向为2轴.
12
G12
S
r 由定义： 12 L 实测结果 T 12 2 r 2t
与蔡—希尔强度理论相比较知，只有项系数1 2 不同。
蔡—胡（Tsai—Wu）张量理论：2F12
1 2 蔡—希尔强度理论： X
可见蔡—胡理论更具有普遍性。 蔡—胡理论中强度参数和应力分量还具有张量 属性即在偏轴情况下，表达式不变：
Fij i j Fi i 1 i, j 1, 2,6
3.面内剪切试验：
6 S ,1 2 0 F66 S 1
2
1 F66 2 S
强度参数 F12的确定：
由于F12 是1 2相乘项的系数，必须采用双轴试验， 或其它组合应力试验，使1 2项不为零。
6 0 代入蔡—胡 假如 1 2 0（极限应力） 张量理论公式中，得
由于在简单层板的正轴上，它的强度不受剪应 力 6 方向的影响。也就是说，剪应力 6为正 ，为负对简单层合板的强度没有影响。
因此，包含有 6 的一次方的各项应该去掉,即 强度参数 F F F 0
16 26 6
2 2 F1112 2F121 2 F22 2 F66 6 F11 F2 2 1
§3-2 简单层板强度理论 （破坏准则）
一、最大应力理论
1 X t 2 Yt 12 S
或压缩时
1 X c 2 Yc
1 , 2 ,12分别为沿1，2轴材料主方向轴的应力、剪
应力不是各向同性材料的主应力。 以上五个判断式都是彼此独立的，是由各向同性材 料的最大拉应力理论推广而来的。