高中数学必修2第三章(免费)

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最新人教版高中数学必修2第三章《两条直线的位置关系》

数学人教B 必修2第二章2.2.3 两条直线的位置关系1．会通过解方程组发现直线相交、平行、重合的条件．2．会判断两条直线相交、平行和重合，并会求两条直线的交点坐标．3．理解用勾股定理推导两条直线垂直的条件，并能熟练运用这一条件判断两条直线是否垂直．1．两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：111222轴________ __________________ ______________【做一做1】直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2； ②若斜率k 1＝k 2，则l 1∥l 2； ③若倾斜角α1＝α2，则l 1∥l 2； ④若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α2. 其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 2．两条直线垂直的条件(1)设直线l 1，l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，A 2，B 1，B 2均不为0)，则l 1⊥l 2⇔________.(2)设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，则l 1⊥l 2⇔________.与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行与垂直的直线若直线l ′与l 平行，则l ′可设为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )；若直线l ′与l 垂直，则l ′可设为Bx －Ay ＋D ′＝0.过点(x 0，y 0)且与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可表示为A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0；过点(x 0，y 0)且与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可表示为B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0. 【做一做2】下列直线中与直线x －3y ＋3＝0垂直的是( )． A ．3x ＋y －1＝0 B ．3ax ＋ay －a ＝0 C ．3x －y ＋1＝0 D ．x ＋3y ＋3＝01．关于直线的对称问题剖析：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则①l 关于x 轴对称的直线方程是Ax ＋B (－y )＋C ＝0； ②l 关于y 轴对称的直线方程是A (－x )＋By ＋C ＝0； ③l 关于原点对称的直线方程是A (－x )＋B (－y )＋C ＝0； ④l 关于y ＝x 对称的直线方程是Bx ＋Ay ＋C ＝0；⑤l 关于直线y ＝－x 对称的直线方程是A (－y )＋B (－x )＋C ＝0； ⑥l 关于点P (x 0，y 0)对称的直线方程是A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.求点关于点的对称点，点关于直线的对称点，直线关于点的对称直线，直线关于直线的对称直线问题，其实质都是中点问题与垂直问题的结合．2．教材中的“思考与讨论”已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，如何用这两条直线的斜率k 1，k 2以及b 1，b 2，判定这两条直线平行或者重合？证明你的结论，并说明与直线y ＝kx ＋b 平行的直线可表示为y ＝kx ＋b 1(b 1≠b )．剖析：l 1∥l 2的条件是k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1与l 2重合的条件是k 1＝k 2且b 1＝b 2.证明：设直线l 1，l 2的一般式分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则k 1＝－A 1B 1，b 1＝－C 1B 1，k 2＝－A 2B 2，b 2＝－C 2B 2，而当A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－C 1B 2≠0时，l 1∥l 2，所以当k 1＝k 2且b 1≠b 2时，l 1∥l 2.又因为当A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)时，l 1与l 2重合，所以当k 1＝－A 1B 1＝－λA 22＝k 2，b 1＝－C 1B 1＝－λC 22＝b 2时，l 1与l 2重合，所以k 1＝k 2且b 1＝b 2时，l 1与l 2重合．题型一判断两直线的位置关系【例1】判断下列直线的位置关系．(1)已知两条直线l 1：3x ＋5y －6＝0，l 2：6x ＋10y ＋3＝0； (2)已知两条直线l 1：3x －6y ＋14＝0，l 2：2x ＋y －2＝0.分析：利用判断两直线位置关系的条件，可以用斜率形式，也可以用一般形式．反思：(1)①判断两条直线平行，首先判断其斜率相等(斜率存在时)，即k 1＝k 2.两条直线斜率相等，则两条直线可能平行也可能重合，还需要再进一步判断截距不相等，即b 1≠b 2.如果两条直线斜率不存在，两条直线为x ＝a 1，x ＝a 2，只需a 1≠a 2即可；②判断两直线平行，也可用系数比．(2)判断两直线垂直：①如果斜率都存在，只判断k 1k 2＝－1；如果一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断，应注意上面的两种情况；②利用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断．题型二利用两直线的位置关系定参数【例2】已知两条直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0.当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？分析：根据两条直线相交、平行、重合的条件列方程或不等关系求解．反思：利用两直线的位置关系定参数问题一定不要忽视特殊情况，即斜率为0或斜率不存在的情况，再者注意对结果进行检验．题型三求与已知直线平行或垂直的直线方程【例3】已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0.求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．分析：本题可根据直线平行与垂直时斜率间的关系，求出所求直线的斜率后用点斜式求解，也可利用直线系方程的方法来求解．反思：求经过点A (x 0，y 0)与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行或垂直的直线方程，当l 的斜率存在(求垂直直线时，要求斜率不为零)时，可利用直线方程的点斜式求直线方程，也可利用待定系数法根据直线系方程求直线方程．题型四对称问题【例4】光线由点A (－1,4)射出，在直线l ：2x ＋3y －6＝0上反射，已知反射光线过点B ⎝⎛⎫3，6213，求反射光线所在直线的方程．分析：根据反射规律，所求反射光所在直线除了过点B 外，还经过A 关于l 的对称点A ′. 反思：点关于直线的对称一般要利用中点坐标公式及直线的垂直来综合解决，至于光的反射问题一定要看清谁做镜面，及入射光与反射光经过的点．题型五易错辨析【例5】求经过点A (2,1)且与直线2x ＋ay －10＝0垂直的直线l 的方程．错解：∵所求直线与2x ＋ay －10＝0垂直，∴根据l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1，得所求直线的斜率为a2，∴根据点斜式得l ：y －1＝a2(x －2)，整理得ax －2y －2a ＋2＝0.错因分析：漏掉a ＝0时特殊情况的讨论，其实斜率为0的直线与斜率不存在的直线也是相互垂直的，但却不能用k 1k 2＝－1来求．【例6】当a 为何值时，直线x ＋2ay －1＝0和直线(3a －1)x －ay －1＝0平行？错解：由3a －11＝－a 2a ≠1，得3a －1＝－12.∴a ＝16，∴当a ＝16时，两直线平行．错因分析：漏掉对a ＝0时的讨论，要知道利用上述分式条件容易丢解，克服的办法是先将特殊情况讨论完．1已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )． A ．2 B ．1 C ．0 D ．－12过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝03已知两直线l 1：(3＋a )x ＋4y －5＋3a ＝0与l 2：2x ＋(5＋a )y －8＝0. (1)l 1与l 2相交时，a ≠__________； (2)l 1与l 2平行时，a ＝__________； (3)l 1与l 2重合时，a ＝__________； (4)l 1与l 2垂直时，a ＝__________.4求和直线4x ＋3y ＋5＝0平行且在x 轴上的截距为－3的直线方程．答案：基础知识·梳理 1．(1)平行A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 有一个交点 A 1A 2≠B 1B 2 A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(2)k 1＝k 2且b 1≠b 2 k 1＝k 2且b 1＝b 2 k 1≠k 2 【做一做1】C ①错，②③④正确． 2．(1)A 1A 2＋B 1B 2＝0 (2)k 1k 2＝－1 【做一做2】A 典型例题·领悟【例1】(1)解法一：直线l 1化为斜截式为y ＝－35x ＋65，直线l 2化为斜截式为y ＝－35x －310，由此可知l 1的斜率为k 1＝－35，在y 轴上的截距为b 1＝65，l 2的斜率为k 2＝－35，在y 轴上的截距为b 2＝－310.因为k 1＝k 2＝－35，b 1＝65≠－310＝b 2，所以l 1∥l 2.解法二：因为36＝510≠－63，所以l 1∥l 2.(2)解法一：由直线l 1的方程，知l 1的斜率为k 1＝12；由直线l 2的方程，知l 2的斜率为k 2＝－2. 显然，k 1k 2＝12×(－2)＝－1，所以l 1⊥l 2.解法二：因为3×2＋(－6)×1＝6－6＝0，所以l 1⊥l 2.【例2】解：∵直线l 1：x ＋my ＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， ∴A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6，A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0，即1×3－m (m －2)≠0，即m 2－2m －3≠0，∴(m －3)(m ＋1)≠0，∴m ≠3且m ≠－1. 故当m ≠3且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，m 2≠9，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3.∴m ＝－1. 故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3，∴m ＝3.故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．综上所述，当m ≠3且m ≠－1时，两直线相交；当m ＝－1时，两直线平行；当m ＝3时，两直线重合．【例3】(1)解法一：利用直线方程的点斜式求解．由l ：3x ＋4y －20＝0，得k l ＝－34.设过点A 且平行于l 的直线为l 1，则kl 1＝k l ＝－34，所以l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.解法二：利用直线系方程求解．设过点A 且平行于直线l 的直线l 1的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 由点A (2,2)在直线l 1上，得3×2＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－14. 故直线l 1的方程为3x ＋4y －14＝0.(2)解法一：设过点A 与l 垂直的直线为l 2. 因为k l kl 2＝－1，所以kl 2＝43，故直线l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.解法二：设l 2的方程为4x －3y ＋m ＝0. 因为l 2经过点A (2,2)，所以4×2－3×2＋m ＝0，解得m ＝－2. 故l 2的方程为4x －3y －2＝0.【例4】解：如图所示，设点A 关于直线l ：2x ＋3y －6＝0的对称点A ′的坐标为(x 0，y 0)，则y 0－4x 0＋1＝32，即3x 0－2y 0＝－11.①∵AA ′的中点在直线l 上， ∴2⎝⎛⎭⎫x 0－12＋3⎝⎛⎭⎫y 0＋42－6＝0，即2x 0＋3y 0－2＝0.② 由①②解得⎩⎨⎧x 0＝－2913，y 0＝2813.由两点式方程可得反射光线所在直线的方程为y －6213＝6213－28133＋2913(x －3)，即13x －26y ＋85＝0.【例5】正解1：①当a ＝0时，已知直线化为x ＝5，此时直线斜率不存在，则所求直线l 的斜率为0，∵直线l 过点A (2,1)，∴直线l 的方程为y －1＝0(x －2)，即y ＝1. ②当a ≠0时，已知直线2x ＋ay －10＝0的斜率为－2a，∵直线l 与已知直线垂直，设所求直线斜率为k ，∴k ·⎝⎛⎭⎫－2a ＝－1，∴k ＝a 2.∵直线l 过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝a2(x －2)，即ax －2y －2a ＋2＝0.所求直线l 的方程为y ＝1或ax －2y －2a ＋2＝0. 又y ＝1是ax －2y －2a ＋2＝0的一个特例，因此上两条直线可合写成ax －2y －2a ＋2＝0.正解2：根据题意可设直线l 的方程为ax －2y ＋D ＝0，又点A 在直线l 上，∴2a －2×1＋D ＝0，∴D ＝2－2a ，∴所求直线l 的方程为ax －2y ＋2－2a ＝0.【例6】正解1：①当a ≠0时，由3a －11＝－a2a ≠1，得3a －1＝－12，∴a ＝16.②当a ＝0时，直线方程分别为x ＝1和x ＝－1，两直线平行．综上，当a ＝0或a ＝16时，两直线平行．正解2：由两直线平行，得⎩⎪⎨⎪⎧1·(－a )＝(3a －1)·2a ， ①1·(－1)≠(3a －1)·(－1). ② 由①可得a ＝0或a ＝16，由②可得a ≠23.∴当a ＝0或a ＝16时，两直线平行．随堂练习·巩固1．D 两条直线的斜率分别为a 和a ＋2且相互垂直，即a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 2．A 与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为x －2y ＋c ＝0，将点(1,0)代入解得c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0.3．(1)－7或－1 (2)－7 (3)－1 (4)－133 由题意知A 1＝3＋a ，B 1＝4，C 1＝－5＋3a ，A 2＝2，B 2＝5＋a ，C 2＝－8.则D 1＝(3＋a )(5＋a )－8＝a 2＋8a ＋7，D 2＝－32－(－5＋3a )(5＋a )＝－(3a 2＋10a ＋7)．当D 1≠0，即a ≠－7或－1时，l 1与l 2相交；当D 1＝0，D 2≠0，即a ＝－7时，l 1与l 2平行；当D 1＝0，D 2＝0，即a ＝－1时，l 1与l 2重合；当A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＝－133时，l 1与l 2垂直． 4．解：与直线4x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程可设为4x ＋3y ＋c ＝0，令y ＝0，得x ＝－c4，由题意得－c4＝－3，故c＝12，所以所求的直线方程为4x＋3y＋12＝0.。

人教版高中数学必修2第三章直线与方程-《3.3.1两条直线的交点坐标》教案_001

3.3.1 两条直线的交点坐标教学目的：使学生了解两条直线交点坐标的求法，会联立两条直线所表示的方程成方程组求交点坐标。

教学重点：两直线交点坐标的求法。

教学难点：两直线交点坐标的求法。

教学过程一、复习提问平面内两条直线有什么位置关系？空间里呢？二、新课已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0如何求它们的交点坐标呢？一般地将它们联立成方程组，若方程组有唯一的解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两直线平行。

例1、求下列两条直线的交点坐标：l 1：3x ＋4y －2＝0l 2：2x ＋y ＋2＝0解：解方程组：⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x ，解得：⎩⎨⎧=-=22y x 所以两条直线的交点是M （－2,2）。

探究：当λ变化时，方程3x ＋4y －2＋λ（2x ＋y ＋2）＝0表示什么图形？图形有何特点？例2、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：（1）l 1：x －y ＝0， l 2：3x ＋3y －10＝0（2）l 1：3x －y ＋4＝0， l 2：6x －2y ＝0（3）l 1：3x ＋4y －5＝0， l 2：6x ＋8y －10＝0解：（1）解方程组：⎩⎨⎧=-+=-010330y x y x ，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3535y x 所以，l 1，l 2相交，交点是M （35，35）（2）解方程组：⎩⎨⎧=-=+-026043y x y x ，①×2－② 得：9＝0，矛盾！方程组无解，所以两直线无交点，l 1∥l 2（3）解方程组：：⎩⎨⎧=-+=-+010860543y x y x ，①×2得：6x ＋8y －10＝0，两个方程可以化为同一个方程，即它们表示同一条直线，l 1，l 2重合。

【优秀课件】人教版高中数学必修二第三章3.2.2 直线的两点式方程

知识回顾
直线方程名称点斜式斜截式
直线的方程
已知条件直线方程使用范围
点P 0 ( x0 , y0 ) 和斜率k
y y0 k ( x x0 )
直线斜率存在
斜率k和直线在y轴上率存在
巩固练习
1.已知直线l的方程是 x 3 y 2 0,
l
●
y
B(0，b)
A(a， 0)
O
●
x
二、直线的截距式方程
x y 我们把方程: 1(a 0, b 0) a b 叫做直线的“截距式方程”.简称“截距式” .
说明：（1）a , b 表示截距；（2）适用范围：
不能表示过原点以及与坐标轴平行或重合的直线.
知识理解
下列四个命题中的真命题是(
方程为x y 3 0; x y 1 0
(2)当a b 0时, 直线过原点，所以直线方程为y 2 x 所以，满足条件的直线方程有三条.
课堂小结
形式
点斜式斜截式两点式
条件
过点( x0,y0), 斜率为k 在y轴上的截距为b, 斜率为k 过P1（x1, y1), P2（x2, y2)
B
)
A.经过定点P ( x0 , y0 )的直线, 都可用方程y y0 k ( x x0 )来表示； B.经过任意两个不同点P 1 ( x1 , y1 )，P 2 ( x2 , y2 )的直线都可以用方程 ( y y1 )( x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 )来表示； x y C.不经过原点的直线都可以用方程 1来表示； a b D.经过定点的直线都可以用方程y kx b来表示.
第三章

高中数学必修2第三章知识点+习题+答案

高中数学必修2第三章知识点+习题+答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三章直线与方程直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=-2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(bb kx y +=直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ ),(1212112121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。

高中数学必修2第三章课后习题解答

新课程标准数学必修2第三章课后习题解答第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率练习（P86） 1、解：（1）k=tan 30°=3；（2）、k=tan 45°=1；（3）k=tan 120°=﹣tan 60°=；（4）k=tan 135°=﹣tan 45°=﹣1； 2、解：（1）67CD k =，因为CD k >0，所以直线CD 的倾斜角是锐角；（2）PQ k =PQ k <0，所以直线PQ 的倾斜角是钝角。

3、解：（1）因为0AB k =，所以直线AB 的倾斜角是0°；（2）因为过C ，D 两点的直线垂直x 轴，所以直线CD 的倾斜角是（3）因为1PQ k =，所以直线PQ 的倾斜角是45°.4、解：设A(x ，y)为直线上一点. 图在右边当斜率k=2时，根据斜率公式220y x -=- ，整理得：22y x =+ 当斜率k=2时，根据斜率公式220y x --=-，整理得：22y x =-+练习（P89）1、解：（1）因为11k =，21k =，所以12k k =，因此，直线1l 与直线2l 平行；（2）因为34155k k ==-，，所以341k k =-，因此，直线3l 与4l 垂直. 2、解：经过A ，B 的直线的斜率11AB m k m -=+，经过P ，Q 的直线的斜率13PQ k =. （1）由AB ∥PQ 得，1113m m -=+，解得12m =.所以，当12m =时，直线AB 与PQ 平行；（2）由AB ⊥PQ 得,11113m m -⨯=-+,解得2m =-.所以，当2m =-时，直线AB 与PQ 垂直.习题3.1 A 组（P89）1、解：由1k =，得1k =时，倾斜角是45°；1k =-时，倾斜角是135°. 2、解：由已知，得AB 边所在直线的斜率4AB k =；BC 边所在直线的斜率12BC k =； CD 边所在直线的斜率4CD k =-；DA 边所在直线的斜率14DA k =. 3、解：由已知，得：23AB k x =-；54AC y k -=- 因为A ，B ，C 三点都在斜率为2的直线上，所以223x =-；524y -=-，解得4,3x y ==-. 4、解：（1）经过A ，B 两点直线的斜率361m k m -=+.由题意，得36121m m-=+. 解得2m =-.（2）经过A ，B 两点直线的斜率232m k m+=.由直线AB 的倾斜角是60°知，斜率tan 60k=︒=所以232m m+=. 解得34m +=5、解：经过A ，B 两点直线的斜率1AB k =. 经过A ，C 两点的直线的斜率1AC k = 所以A ，B ，C 三点在同一条直线上6、解：（1）由题意，直线AB 的斜率282241k -==-，又因为直线1l 的斜率12k = 所以12k k =，因此直线1l ∥2l ；（2）因为1l 经过点()()3,3,5,3P Q -，它们的纵坐标相同，所以直线PQ 平行于x 轴又2l 平行于x 轴，且不经过P ，Q 两点，所以直线1l ∥2l ；（3）由已知得，直线1l 的斜率112k =，直线2l 的斜率212k = 因为12k k =，所以1l ∥2l ；7、解：（1）由已知得，直线2l 的斜率232k =. 又直线1l 的斜率123k =- 因为1232123k k ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，所以1l ⊥2l ；（2）由已知得，直线2l 的斜率()216123k ---==---，又直线1l 的倾斜角是45°.所以直线1l 的斜率1tan 451k =︒=. 因为()12111k k =-⨯=-，所以1l ⊥2l ；（3）由已知得，直线1l 的斜率153k =-，直线2l 的斜率235k =因为1253135k k =-⨯=-，所以1l ⊥2l ； 8、解：设点D 的坐标为(),x y ，由已知得，直线AB 的斜率3AB k =，直线CD 的斜率3CD y k x =-，直线CB 的斜率2CB k =-，直线AD 的斜率11AD y k x +=-. 由CD ⊥AB ，且CB ∥AD ，得313121yx y x ⎧⨯=-⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，解得0,1x y ==，所以，点D 的坐标为()0,1.B 组 1、解：因为点P 在x 轴上，所以设点P 的坐标为(),0x .直线PM 的斜率22PM k x -=-，直线PN 的斜率25PN k x =- 因为∠MPN 是直角，所以有PM ⊥PN ，1PM PN k k =-，即22125x x -⨯=---解得1x =，或6x =. 所以，点P 的坐标是()1,0，或()6,0.2、解：由已知得，直线1l 的斜率133k m -=+，直线2l 的斜率212k =-. （1）若1l ∥2l ，则3132m -=-+，解得3m =. （2）若1l ⊥2l ，则31132m -⎛⎫⨯-=- ⎪+⎝⎭，解得92m =-. 3、解：由已知得，AB边所在的直线的斜率AB k =, BC边所在的直线的斜率BC k =CD边所在的直线的斜率2CD k =, DA边所在的直线的斜率DA k =方法一：因为(12AB BC k k ==-，所以AB ⊥BC. 同理，BC ⊥CD ，CD ⊥DA. 因此，四边形ABCD 是矩形方法二：因为(1AB BC k k ==-，所以AB ⊥BC. 又因为BC DA k k =，所以BC ∥DA. 同理，AB ∥CD. 因此，四边形ABCD 是矩形4、解：如图，符合条件的四边形有两个.由已知得，直线BC 的斜率312363BC k -==--,直线CD 的斜率2CD k =-. 直线AD 的斜率52AD n k m -=-,直线AB 的斜率16AB n k m -=-（1）当AD ⊥DC ，AB ∥CD 时，1AD CD k k =-，即()5212n m -⨯-=-- ① ABCD k k =，即126n m -=-- ②由①，②得185m =，295n =. 所以，点A 的坐标为1829,55⎛ ⎝⎭（2）当BC ⊥AB ，AD ∥BC 时，1BC AB k k =-，即12163n m -⎛⎫⨯-=- ⎪-⎝⎭③AD BC k k =，即5223n m -=-- ④ 由③，④得8613m =，2513n =.所以，点A 的坐标为8625,1313⎛⎫⎪⎝⎭. 综上，185m =，295n =或8613m =，2513n =. 5、解：直线l 的斜率()2222232232123m m m m k m m m m m ----==+-+---. 由tan 451k =︒=，得2223121m m m m --=+-. 解得1m =-，或2m =-. 当1m =-时，点A 的坐标是()3,2-，点B 的坐标是()3,2-，A ，B 是同一个点，不符合条件. 当2m =-时，点A 的坐标是()6,1，点B 的坐标是()1,4-，符合条件. 所以，2m =- 6、解：如图，在线段AB 上取点M ，连接MP ，AP ，BP. 观察图形，可知AP MP BP k k k ≤≤，即11k -≤≤.因此，倾斜角的范围是045α︒≤≤︒，或135180α︒≤≤︒. 3．2直线的方程练习（P95） 1、（1）)13y x +=-；（2）)223y x -=；（3）30y -=；（4）)24y x +=+.2、（1）1, 45°；（2，60°.3、（1）22y x =-；（2）24y x =-+；4、（1）1l ∥2l ；（2）1l ⊥2l .练习（P97） 1、（1）123102y x --=---；（2）500550y x --=--2、（1）123x y +=，即3260x y +-=（2）156x y +=-，即65300x y -+=，图在右方 3、解：（1）设直线l 的方程为1x ya b+=，因为由直线l 过点()0,5，且在两坐标轴上得截距之和为2，所以 051a b+=， 2a b +=，解得3a =-，5b =.因此，所求直线的方程是135x y+=-，即53150x y -+= （2）设直线l 的方程为1x ya b+=，因为直线l 过点()5,0，且在两坐标轴上得截距之差为2，所以501a b+=， 2a b -=，解得5a =，3b =或5a =，7b = 因此，所求直线的方程是153x y +=，或157x y+=即35150x y +-=，或75350x y +-=练习（P99） 1、（1）()1282y x +=--，化成一般式240x y +-=；（2）20y -=；（3）()()234253y x ---=----，化成一般式10x y +-=；（4）1332x y +=-，化成一般式230x y --= 2、（1）-3, 5；（2）54, -5；（3）12-, 0；（4）76,23. 3、（1）当B ≠0时，直线l 的斜率是AB-；当B=0时，直线l 的斜率不存在.（2）当C=0，A ，B 不全是零时，方程0Ax By C ++=表示通过原点的直线.习题3.2 A 组（P100）1、（1）)28y x +=-360y ---=；（2）20x +=；（3）47y x =-+，即470x y +-=；（4）()()182841x y ---=----，即260x y +-=；（5）20y -=；（6）143x y +=-，即34120x y --=. 2、解法一：直线AB 的斜率73151AB k -==-；直线AC 的斜率1231101AC k -==-.又直线AB 与直线AC 有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线.解法二：直线AB 的斜率1AB k =，所以，经过A ，B 的直线方程是31y x -=-把点C 的坐标()10,12代入方程，得10-12+2=0，满足方程. 所以点C 在直线AB 上，因此A ，B ，C 三点共线3、解：已知两点A ()7,4-，B ()5,6-,则线段AB 的中点M 坐标是()1,1.因为直线AB 的斜率56AB k =-，所以，线段AB 的垂直平分线的斜率是65. 因此，线段AB 的垂直平分线的方程是()6115y x -=-，即6510x y --=.4、解法一：由已知，线段AB 的中点E 的坐标是36,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段AC 的中点F 的坐标是()1,4.经过E ，F 的直线的两点式方程是36231642y x --=--，化成一般式290x y +-=. 解法二：由已知，线段AB 的中点E 的坐标是36,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线BC 的斜率()321642BC k --==---.因为连结线段AB ，AC 中点的直线平行于BC 所以，经过AB ，AC 中点的直线的方程是()31622y x -=--，即290x y +-=. 5、解：因为直线y x =A ()2,3-)32y x +=-，即240x ---=. 6、解：设弹簧原长为b ，弹性系数为k ，弹簧的长度l 与所挂物体重量G 之间关系的方程为l b kG -=. 由题意，当4G =时，20l =，所以204b k -= ①当5G =时，21.5l =，所以21.55b k -= ② ①，②联立，解得 1.5k =， 14b =因此，弹簧的长度l 与所挂物体重量G 之间关系的方程为 1.514l G =+. 7、解：设铁棒的长()l m 与温度()t C ︒之间的关系为t kt b =+.由题意，当40t =时，12.506l =，所以4012.506k b += ①当80t =时，12.512l =，所以8012.512k b += ② ①，②联立，解得 0.00015k =， 12.500b =.因此，铁棒的长度l 与温度t 之间的关系的方程为0.0001512.500l t =+. 所以，当100t =时，12.515l =.8、解：由已知，()4,0A ，()0,3B ，()4,0C -，()0,3D -.AB 边所在直线的方程是143x y+=，即34120x y +-=； BC 边所在直线的方程是143x y+=-，即34120x y -+=；CD 边所在直线的方程是143x y+=--，即34120x y ++=；DA 边所在直线的方程是143x y+=-，即34120x y --=.。

高中数学人教A版必修二第三章3.2.2直线的两点式方程课件(1)

可以！
例1. 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b)其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
解：将A(a,0），B(0,b)代入两点式得：
y0 xa b0 0a
y
l
B(0,b)
即 x y 1. ab
O
A(a,0) x
直线的截距式方程
x y 1 ab
在x轴上的截距
5 5
kl 2 3 2
将A(3,-5)，k=-2代入点斜式，得
y-(-5) =-2(x-3)
【问题2】设直线l经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，
(其中x1≠x2，y1≠y2 )，你能写出直线l的方程吗？
当
x1
x2
时，k
y2 x2
y1 x1பைடு நூலகம்
取 P( x1, y1 )，代入点斜式方程得
x
y
1.
aa
巩固提高
1.求经过点A(-3,4)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程.
2.∆ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3).求： (1)AC边所在直线的方程； (2)BC边的垂直平分线所在直线方程.
课堂小结
1.直线的两点式方程
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
不是!
与坐标轴平行的直线没有两点式方程！
【问题4】若点P1 (x1 , y1 )，P2( x2 , y2)中有x1 ＝x2 或y1= y2 ，此时过这两点的直线方程是什么？
当x1 ＝x2 时方程为： x ＝x１
当 y1= y2时方程为： y = y１
【问题5】经过任意两点P1( x1, y1 )，P2 ( x2 , y2 )的直线方程都可以表示为( y y1 )( x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 )?

高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件

5 1
23
(4)倾斜角 900，斜率不存在.
高中数学人教A版必修2第三章3. 1.1倾斜角与斜率课件
高中数学人教A版必修2第三章3. 1.1倾斜角与斜率课件
题型二
斜率公式的应用
例2、经过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线l的
下列哪些说法是正确的（
）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 F
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
F
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是 00或1800 F
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等F
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 T
F 、直线斜率的范围是R
T
高中数学人教A版必修2第三章3. 1.1倾斜角与斜率课件
x2 )
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂直,α=900
高中数学人教A版必修2第三章3. 1.1倾斜角与斜率课件
练习：高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件
y
y
y
y
α
o
x o α x oα x o α x
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不是
高中数学人教A版必修2第三章3. 1.1倾斜角与斜率课件
下图中直线l1，l2，l3的倾斜角大致是一个什么范围内的角？
y l3
l2 l1

高中数学必修2第三章直线与方程总结

第三章直线与方程知识点总结代县中学高二数学组一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向；②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）；②垂直：斜率k 不存在；③范围：斜率 k ∈ R 。

当 α=0°时，k=0当0<α<90°时，k.>0当α=90°时，k 不存在当90°<α<180°，k<03、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）；②斜率k 值于两点先后顺序无关；③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：判断方法一：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=①平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=；<2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直②垂直：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即；<2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

③重合：斜率都存在时：2121,b b k k ==；④相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）判断方法二：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，①1l ∥2l ⇔ 122112211221A B A B B C B C =≠≠且或A C A C ，当（A ，B ，C 不为0时）212121C C B B A A ≠= ②1l ⊥2l ⇔12120A A B B +=③重合：A 1B 2=A 2B 1且B 1C 2=B 2C 1或A 1C 2=A 2C 1，212121C C B B A A == ④相交：A 1B 2≠A 2B 1 ，2121B B A A ≠ 二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式：1=+by a x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。

人教版高中数学必修2第三章直线与方程-《3.2.3直线的一般式方程》教案

3.2.3 直线的一般式方程整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.三维目标1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.重点难点教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77yx +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式. 推进新课新知探究提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线?③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零. 结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式. 注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下：应用示例例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6). 化成一般式，得4x+3y-12=0. 变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线? （2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? （3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交? （4）系数满足什么条件时,是x 轴? （5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点, 证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0. 答案：（1）C=0；（2）A≠0且B≠0；（3）B=0且C≠0；（4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上, ∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0. ∴A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________. 答案：-32例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y=2x＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6. 即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”. 变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程. 答案：x+3y-3=0或x+2y=0. 知能训练课本本节练习1、２、３. 拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系. 解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点. 课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练. 作业习题3.2 A 组11.。

人教版高中数学必修2第三章3.2直线的方程：3.2.1 直线的点斜式方程

§3.2.1直线的点斜式方程
一、复习引入:
1.倾斜角
• x轴正方向与直线向上方向之间所成的角α.
y
l
倾斜角
α
O
x
倾斜角的范围： 0 180
一、复习引入: 2.斜率小结
• 1.表示直线倾斜程度的量
• ①倾斜角: 0°≤α<180°
• ②斜率: k=tanα(α≠900)
• 2.斜率的计算方法:
2
2
• 课本P95. 1,2,3,4.
P94．例2：
y l1
b1
l2
x b2
分析：
（1）l1 // l2 k1 k2,且b1 b2. （2）l1 l2 k1 k2 1
上述成立的前提条件：有斜率且非零！
练习
3、求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰直角三角形的直线方程。
说明：①斜率要存在！②方程(1)是有缺点的直线；而方程(2)表示一条完整的直线.
(1)直线l上任意一点的坐标都是方程(2)的解(满足方程)； (2)坐标满足方程(2)的任意一组解都是直线l上点.
特殊情况:
y
P0(x0,y0)
y0
l
(1)l与x轴平行或重合时: 倾斜角为0° 斜率k=0
x O
直线上任意点纵坐标都等于y0
斜率
截距
说明:(1)当知道斜率和截距时用斜截式.
(2)斜率k要存在，纵截距b∈R.
练习
• 1.求下列直线的斜率k和截距b.
• (1) y-2x+1=0;(1) y 2x 1, k 2,b 1.
• (2) 2y-6x-3=0.(2) y 3x 3 , k 3,b 3 .