江苏省南京市高淳区2019届中考二模数学试题(含答案)

南京市高淳区2019年中考二模数学试卷注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为
120
分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置
．．．．．．．上）
1．纳米（nm）是长度单位，1nm＝10-9m．某种花粉的直径为280nm，把280nm用科学记数法表示为（▲）m．
A．28×10-9 B．2.8×10-8C．2.8×10-7D．0.28×10-7
2．在圆柱、正三棱锥、正方体、球四个几何体中，其主视图与左视图不相同的几何体是（▲）
3．下列式子正确的是（▲）
A． 4 ＝2 B．(－3)2＝－3 C．a2·a3＝a6D．(a3)2＝a9
4．若一次函数y＝2x＋4与反比例函数y＝
k
x的图像有且只有一个公共点P，则点P在第（▲）象限．
A．一B．二C．三D．四
5．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是矩形，则下列结论中正确的是（▲）A．AB∥CD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：
x …－3－2－101 3 …
y …－27－13－335－3 …
下列结论：①a＜0；②方程ax2＋bx＋c＝3的解为x1＝0，x2＝2；③当x＞2时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（▲）
A．①②③B．①C．②③D．①②
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置
．．．．．．．上）
A. B. C. D.
7．比－4大3的数是 ▲ ．
8．方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝3，
x ＋2y ＝0
的解是 ▲ ．
9．若式子2x －3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ▲ ． 10．计算（12－
4
3
）×3的结果是 ▲ ． 11．甲、乙两人在相同的情况下各打靶10次，打靶的成绩如图，这两人10次打靶平均命中
环数都为7环，则s 2甲 ▲ s 2
乙 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．已知关于x 的方程x 2＋mx －3＝0的两个根为x 1、x 2，若x 1＋x 2＝2x 1x 2，则m ＝ ▲ ． 13．如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别与三角形三边相切于点D 、E 、F ，若∠DFE ＝55°，
则∠A ＝ ▲ °．
14．如图，点O 是边长为4的正六边形ABCDEF 的中心，M 、N 分别在AF 和AB 上，
且AM ＝BN ，则四边形OMAN 的面积为 ▲ ．
15．如图，在⊙O 中，弦BC 垂直平分半径OA ，若半径为2，则图中阴影部分的面积为 ▲ ． 16．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝4，点O 是AC 的中点，以O 为旋转中心，
将△ABC 绕点O 旋转一周，A 、B 、C 的对应点分别为A '、B '、C '，则BC '的最大值为 ▲ ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程 (2x －1)2＝3－6x ．
（第11题）
F
E
D
O
B A
（第13题）
（第15题）
E
B
A
C
D
F O
M
N （第14题）
O
A'
C B
A
B'
（第16题）
A
B
C
O
H
18．（6分）先化简，再求值：( 2a a 2－1－1
a －1)÷a ＋2a 2＋a
，其中a ＝－3．
19．（7分）为了解射击运动员小明的集训效果，教练统计了他集训前后的两次测试成绩（每
次测试射击10次），制作了如图所示的条形统计图． （1）填写下列表格：
（2）请你用所学的统计知识作出分析，从某个角度评价小明这次集训的效果．
20．（8分）在4件产品中有2件正品，2件次品．
（1）从中任取出1件产品，该产品为次品的概率是 ▲ ；
（2）若每次取出1件做检查（查完后不再放回），直到2件次品都找到为止．求经过2次检
小明集训前后射击成绩的条形统计图 （第19题）
10
集训前
集训后
查恰好将2件次品确定的概率．
21．（8分）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3200米．甲同学先步行200米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的1
3，公交车的速度
是乙骑自行车速度的3倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到8分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
22．（8分）在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 边上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠．
（1）如图①，若折叠后点C 与A 重合，用直尺和圆规作出直线DE ；(不写作法，保留作图痕迹) （2）如图②，若折叠后点C 落在AB 上的F 处，且DF ∥BC ，求证：四边形FECD 是菱形．
23.（7分）高淳固城湖大桥采用H 型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图.测得拉索AB 与水平桥面的夹角是45°，拉索CD 与水平桥面的夹角是65°，两拉索顶端的距离AC 为2米，两拉索底端距离BD 为10米，请求出立柱AH 的长（结果精确到0.1米）．
①
C B
②
（参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14）
24．（9分）2018年高淳国际慢城马拉松赛于11月18日(星期日)上午在南京市高淳区举行．某半程马拉松运动员从起点高淳体育馆出发，沿比赛路线跑到水慢城折返回终点高淳体育馆．设该运动员离开起点的路程s （km ）与跑步时间t （min ）之间的函数关系如图所示．其中从起点到水慢城用时35min ，根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）该运动员从起点到水慢城的平均速度为 ▲ km/min ；
（2）组委会在距离起点2.1km 处设立了一个拍摄点C ，该运动员从第一次过点C 到第二次过点C 所用的时间为68 min ． ①求AB 所在直线的函数表达式；
②写出图中B 点的坐标，并用文字说明点B
25．（9分）如图，矩形CDEF 两边EF 、FC 的长分别为8和6，现沿EF 、FC 的中点A 、B 截去一角成五边形ABCDE ，P 是线段AB 上一动点，试确定AP 的长为多少时，矩形PMDN 的面积取得最大值．
26．（10分）△ABC 中，AB ＝AC ＝10，B C ＝12，⊙O 是△（1）如图①，过A 作MN ∥BC ，求证：MN 与⊙O 相切；
（2）如图②，∠ABC 的平分线交半径OA 于点E ，交⊙O 于点D ．求⊙O 的半径和AE 的长．
甲
M
P
E D
C
B F
A
N
（第25题）
O
D
A
E
N
M
O
A
C
65°
45°
A H
D
B
（第23题）
（第24题）
s t
O
35 10.5
A
B
27．（10分）如图，在四边形OABC 中，AB ∥OC ，O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，点B 坐标为（2，23），∠BCO ＝60°，OH ⊥BC ，垂足为H ．动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动；动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动．两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P 运动的时间为t 秒． （1）求OH 的长．
（2）设PQ 与OB 交于点M ．
①探究：当t 为何值时，△OPM 为等腰三角形； ②线段OM 长度的最大值为 ▲ ．
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题
1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D
（第27题）
二、填空题
7．－1 8．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1
9．x ≥3
2 10．4 11．＜ 12．6 13．70°
14．4 3 15．4
3π－ 3 16．8
三、解答题
17．（6分）(2x －1)2＝3－6x ． 解：(2x －1)2＝－3(2x －1)……..1分
(2x －1)2＋3(2x －1)＝0……..2分 (2x －1)[ (2x －1)＋3]＝0……..4分 (2x －1)( (2x ＋2) ＝0 x 1＝1
2， x 2＝－1……..6分
(其他解法，参照给分) 18．（6分）先化简，再求值：(
2a a 2－1－1
a －1)÷a ＋2a 2＋a
，其中a ＝－3． 解：原式＝［2a
(a ＋1) (a －1)－a ＋1(a ＋1) (a －1)］·a (a ＋1)a ＋2……..3分
＝a －1(a ＋1) (a －1)·a (a ＋1)
a ＋2…….4分
＝a
a ＋2
……..5分
将a ＝－3代入，原式＝3……..6分 19．（7分）（1）填写下列表格：
……..5分
（2）小明集训前后两次测试成绩的中位数由集训前的8.5环上升到集训后的9环，
说明集训后成绩比前有进步，集训的效果较好．……..7分 (从其他角度分析评价参照给分) 20．（8分） （1）1
2……..2分
（2）分别记2件正品为A 1、A 2，2件次品记为B 1、B 2，列表如下：
以上共12个等可能的结果，所有结果中，恰好将2件次品确定（记为事件A ）的 有(A 2，A 1)、(A 1，A 2)、(B 2，B 1)、(B 1，B 2)，共4个结果． (7)
分 ∴P(A)＝412＝1
3．……..8分
21．（8分）
解：（1）设乙骑自行车的速度为x m/min ，
则公交车的速度是3x m/min ，甲步行速度是1
3x m/min ．………………….1分
由题意得：3200x －8＝200 13x ＋3200－200
3x
………….4分
解得x ＝200，…………….5分 经检验x ＝200原方程的解
答：乙骑自行车的速度为200m/min ．………….6分 （2）当甲到达学校时，乙同学还要继续骑行8分钟
8×200＝1600
答：乙同学离学校还有1600m……….8分 22．（8分）
（1）作图正确……….2分 （2）证明：
由折叠可知：CD ＝FD ，∠FDE ＝∠CDE ……….3分 ∵DF ∥BC ，∴∠FDE ＝∠DEC ……….4分 ∴∠CDE ＝∠DEC ∴CD ＝CE ……….5分 又∵CD ＝FD ， ∴FD ＝CE ……….6分
∵DF ∥BC ，∴四边形FECD 是平行四边形……….7分 ∵CD ＝FD ，∴四边形FECD 是菱形……….8分
E
B
②
E
D
C
B A
…….……..6分
（其他证法对照给分）
23．解：设AH 的长为 x 米，则CH 的长为（x －2）米.
在Rt △ABH 中，AH ＝BH tan45°，则BH ＝x ， ·················································· 2分 所以DH ＝BH －BD ＝x －10． ······································································· 3分 在Rt △CDH 中，CH ＝DH tan65°，即x －2＝2.14（x －10）， ······························· 5分 解得：x ＝17.01≈17.0． ················································································ 6分 答：立柱AH 的长为17米．········································································· 7分 24．解：（1）0.3． ··························································································· 2分
（2）①该运动员从出发点到拍摄点C 所用时间为：2.1÷0.3＝7，
所以，该运动员从出发点到第二次过点C 所用时间为：68＋7＝75（min ）．
所以，直线AB 上有点P （75，2.1） ····························································· 4分 设线段AB 所表示的s 与t 之间的函数表达式为s ＝kt ＋b ．
根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧35k ＋b ＝10.5，75k ＋b ＝2.1． 解得：⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－0.21，b ＝17.85． ∴AB 所在直线的函数表达式为s ＝－0.21t +17.85． ·········································· 6分 ②令s ＝0，得－0.21t +17.85＝0，解得t ＝85，即B （85，0）． ····························· 7分 点B 所表示的实际意义为小明用85min 跑完了全程． ······································ 9分 25．解：延长MP ，交EF 于点Q ．
设AP 的长x ，矩形PMDN 的面积为y ． ························································· 1分 ∵四边形CDEF 为矩形，∴∠C ＝∠E ＝∠F ＝90°．
∵四边形PMDN 为矩形，∴∠PMD ＝∠MPN ＝∠PND ＝90° ∴∠PMC ＝∠QPN ＝∠PNE ＝90°． ∴四边形CMQF 、PNEQ 为矩形．
∴MQ ＝CF ，PN ＝QE ，且PQ ∥BF ．…………3分 ∵EF 、FC 的中点分别为A 、B ，且EF ＝8，CF ＝6， ∴AF ＝4， BF ＝3， ∴AB ＝5 …………4分 ∵PQ ∥BF ，∴△APQ ∽△ABF ．
∴
AQ AF ＝PQ BF ＝AP AB ．即AQ 4＝PQ 3＝x
5
． 解得AQ ＝45x ，PQ ＝3
5x ．． ············································································ 6分
∴PN ＝QE ＝AQ ＋AE ＝45x ＋4，PM ＝MQ －PQ ＝6－3
5
x ．
∴y ＝PN ·PM ＝(45x ＋4)( 6－35x ) ＝－1225x 2＋12
5x ＋24．． ········································ 8分
当x ＝－12
5
2×(－1225
)
＝5
2时，y 取得最大值．
即当AP ＝5
2时，矩形PMDN 的面积取得最大值． ············································· 9分
26．（10分）
（1）作直径AD ，连接DC ∵AB ＝AC 且MN ∥BC
∴∠B ＝∠ACB ＝∠NAC ……….1分 ∵∠D ＝∠B ，∴∠D ＝∠NAC ……….2分 ∵AD 是直径，∴∠D ＋∠DAC ＝90° ……….3分 ∴∠NAC ＋∠DAC ＝90°， ∴∠OAN ＝90°，
又∵点A 在⊙O 上，∴MN 与⊙O 相切……….4分 （2）作直径AF ，EG ⊥AB ，连接OB 、OC ∵OB ＝OC ，AB ＝AC
∴O 、A 在BC 的垂直平分线上，即AF 垂直平分BC ….4分 ∵BD 平分∠ABC ， EG ⊥AB ，FH ⊥BC ， ∴EG ＝EH ，BG ＝BH ＝6 ……….5分
在Rt △ABH 中，∵AB ＝10，BH ＝6，∴由勾股定理得AH ＝8 设⊙O 的半径为x ，在Rt △OBH 中
由勾股定理得： (8－x )2＋6２
＝x 2，∴x ＝254 ，即⊙O 的半径为254 ……….7分
∵AB ＝10，BG ＝6，∴AG ＝4 ……….8分 由△AGE ∽△AHB 得：AG AH ＝AE
AB ……….9分
代入解得：AE ＝5 ……….10分 27．（10分）
（1）由已知在Rt △OAB 中，AB ＝2，OA ＝2 3 ∴AB ＝4，tan ∠AOB ＝
3
3
，
① F
②
∴∠AOB ＝30°，∴∠BOC ＝60° ……….1分
又∵∠BCO ＝60°，∴△BOC 是等边三角形 ……….2分 ∵OH ⊥BC ，∠BCO ＝60°，∴OH ＝2 3 ……….3分
（2）①△OPM 为等腰三角形时，则
（i ）若OM ＝PM ，则∠MPO ＝∠MOP ＝∠POC
∴PQ ∥OC ，此时△OPQ 是直角三角形，且∠MPO ＝30° ∴OP ＝2OQ ，即23－t ＝2t
∴t ＝233
……….5分 （ii ）若OP ＝OM ，则∠OPM ＝∠OMP ＝75°， ∴∠OQP ＝45°
过点P 作PE ⊥OA ，垂足为E ，则有EQ ＝EP
(23－t ) ＝t －12
(23－t ) ……….6分 解得t ＝2． ……….7分
（iii ）若 OP ＝PM ，则 ∠PMO ＝∠POM ＝30°，这时PQ ∥OA ， 这种情况不可能 ……….8分
……….10分。