函数值域的求法大全
函数值域的十种求法
函数值域的十种求法
1、通过定义域的极限来求函数值域：由于函数表示法中的变量x的取值范围是定义域，而函数值f(x)的取值范围则可以通过定义域极限的方法来求得。
2、通过函数定义关系来求函数值域：由于函数在定义域内有一定的定义关系，所以可以根据函数定义关系来求函数值域。
3、由于函数在定义域内有一定的性质，所以可以根据函数性质来求函数值域。
4、由于函数在定义域内有一定的对称性，所以可以根据函数的对称性来求函数值域。
5、由于函数在定义域内有一定的单调性，所以可以根据函数的单调性来求函数值域。
6、根据函数的奇偶性来求函数值域：如果函数在定义域内具有奇偶性，则可以根据函数的奇偶性来求函数值域。
7、由于函数在定义域内有一定的常数性，所以可以根据函数的常数性来求函数值域。
8、根据函数增减性来求函数值域：如果函数在定义域内具有增减性，则可以根据函数的增减性来求函数值域。
9、由于函数在定义域内有一定的循环性，所以可以根据函数的循环性来求函数值域。
10、根据函数的图像形状来求函数值域：如果函数在定义域内具有特定的图像形状，则可以根据函数的图像形状来求函数值域。
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数值域的十种求法
函数值域的十种求法函数值域是一种数学概念，它描述了一个函数的结果范围，是数学研究的基础。
求函数值域的方法有多种，每种方法都有不同的优劣。
本文介绍了求函数值域的十种方法，及其优势和劣势，以供参考。
一、定义法定义法是求取函数值域最为简单的方法，只要将函数的定义式扩大至所有可能被求出的范围即可。
定义法最大的优势在于可以精确求出函数值域，大大减少误差，使得函数值域的求解更有可靠性。
但是，定义法也有其缺点，即求解过程会很繁琐，在有多个参数的函数中，会消耗大量的计算时间。
二、图像法图像法是一种简单易行的求函数值域的方法，它只需要将函数的图像表示出来，然后从图像中观察出函数值域的范围即可。
图像法的优势在于求解速度快，只需要对函数的图像做一次有限次的绘制，就可以直观了解函数的值域，而无需进行耗时的计算。
但是，图像法本身并不能精确求出函数值域，无法判断一些细微的函数特征，从而可能导致求得的函数值域不够准确。
三、五行式五行式是一种常见的求函数值域的方法，它将参数组合为五个不同的行，分别代表不同的极限情况，然后从五行式中求取函数值域。
五行式的最大优势就在于可以根据函数本身的特征，从而排除掉一些不必要的计算，减少运算量，大大提高求解的效率。
但是，五行式也存在一定的局限性，它无法正确处理复杂的函数，也不能处理参数过多的函数。
四、三角形法三角形法是一种求函数值域的经典方法，它将参数抽象出来，将参数空间细分为多个三角形，并将每个三角形中的值域分别求取出来。
三角形法的最大优势在于可以将参数空间剖分为有结构的模块，并在不同模块之间建立联系，从而大大减少计算量。
但是，三角形法也有其不足，即它只能处理二元函数的值域求解，而且在一些复杂函数的情况下，其求解精度也无法保证。
五、基于函数本质的求法基于函数本质的求法是一种综合的求值域的方法，它的原理是从函数的定义本质出发，抽象出函数的特征，并对参数和函数值域之间的联系进行分析，最后求解出函数值域。
求函数值域的方法大全
求函数值域的方法大全
1、极限法：极限法是求函数值域的一种重要技术，可以用来求函数
的极值。
原理是找到函数的变量的极限，在此极限处求函数的极值。
求极
限的方法有四种：求不等式的极限，求一元函数的极限，求二元函数的极限，求多元函数的极限。
2、求导法：求导法是求函数的最值的经典方法。
原理是求函数的导数，当导数当0的时候，其点处就会是极值点，可以分别求函数的一次导
数和二次导数，分析二次导数的符号可以判断函数的极值点属性，从而有
效解决函数求极值问题。
3、几何法：几何法是求函数最值问题的一种有效方法。
原理是利用
函数的图象特征，以图形分析的方法在实值空间中求解函数的极值、拐点，从而求函数的最值。
因为函数图象的研究具有直观性，使用几何法能够比
较快速地解决函数最值问题。
4、范数法：范数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。
这种方法利用范数的基本性质，即大于等于零、对称
性以及三角不等式，一般使用二范数求解，其核心思想是将函数转化为范
数的格式，得出最值的解。
5、参数法：参数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。
函数值域求法大全
函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
本文介绍了十一种函数值域求法。
首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。
再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。
其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。
还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。
除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。
这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。
总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。
换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。
其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。
换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。
例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。
代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。
由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。
因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。
又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。
解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。
由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。
故函数的值域是：$[2,4]$。
3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。
1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。
2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。
4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。
解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。
例13.求函数y sinx cosx的值域。
解：由三角函数的性质可知。
1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。
函数的值域求法大全
y1 2 x 5 , y 2 log3 x 1 解：令
则 y1 , y 2 在[2，10]上都是增函数 所以 y y1 y 2在[2，10]上是增函数 1 y 2 log 2 1 当x=2时， 8 y max 25 log3 9 33 当x=10时， 故所求函数的值域为： 1 ,33
y x 2 6x 13 4 • 例6. 求函数 值域。 5x 6 4 6y
x • 解：由原函数式可得：
4 6y x 则其反函数为： 5y 3
5y 3
• • 故所求函数的值域为： , 3
5
3 x ，其定义域为： 5
五函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有 界性，反客为主来确定函数的值域
3 min 3
8
七、数形结合法
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的 距离公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法.
• 的值域。 y • 解：原函数可变形为： (x 3) 2 (0 2) 2 (x 2) 2 (0 1) 2 • 上式可看成x轴上的点 P(x,0)到两定点 A(3,2), B(2,1) 的距离之和， • 由图可知当点P为线段与x轴的交点时， • ymin | AB | (3 2) 2 (2 1) 2 43， • 故所求函数的值域为 [ 43,]
三判别式法
dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零). 2
1 x x • 求函数 y 2 1 x
的值域。
• 解：原函数化为关于x的一元二次方程
函数值域求法大全
022解 （ 1 ） 令
u=x2+2x=(x+1)2 -1,得u∈〔-1,+∞), 则y=2u≧2-1=1/2；
故值域是y ∈ 〔1/2,+∞).
01
令u=x2+2x+1=-(x1)2+2≦2,
02 且u>0,
03
故y=log1/2u的 定义域为（0，2] 上的减函数，
04
即原函数值域的为 y ∈〔-1,+∞)。
y [ 2 , 2 ]
(1 ) y 2 x 2 2 x ;
01
例6 求下列函 数的值域：
(2 ) y lo g 1 ( x 2 2 x 1 ).
分析：求复合函数 的值域，利用函数 的单调性采用换元 法先求出外层函数 的值域作为内层函 数的定义域，然后 求原函数的值域， 要特别注意内层函 数的定义域的取值 范围。
例11 求函数
y=√x22x+10+√x2 +6x+13的值
域。
分析：本题求函数的 值域可用解析几何与 数形结合法解之。
B(-3,2)
y A(1,3)
P
o
x A1(1,-3)
解：函数变形为 y=√(x-1)2+(0-3)2+√(x+3)2+(0-2)2.
y
将上式可看成为x轴上点
A(1,3)
P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的 B(-3,2)
解法1：不难看出y≥0,且可得定义域为3≤x≤ 5,原函数变形为：
解法2：(判别 式法).
两边平方移项得:y2-2=2√(x-3)(5-x), 再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2≥ 0, y看成常数,方程有实根的条件是 △ =162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4) ≥ 0, 注意到y2>0得y2-4≤0 即0<y2≤4而y2-2≥0 即有√2≤y≤2, ∴y∈[√2,2].
函数求值域的15种方法
函数求值域的15种方法求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值上才能可以被定义。
它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在哪里。
求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的方法。
1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，以及变化的临界点来考虑函数的值域。
2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而求出函数的定义域。
3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函数属于哪个集合。
4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值范围。
5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。
6. 求根法：通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的有效值。
7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。
8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。
9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。
10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。
11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。
12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的值。
13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。
14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的值域。
15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。
以上就是15种求解函数域的方法。
上述15种方法都可以用来帮助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解决问题。
根据实际情况，选择合适的方法，有助于我们获得更好的结果，但这也取决于我们是否能够正确掌握这些求解函数域的方法。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。
在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。
1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。
例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。
2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。
例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。
通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。
3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。
例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。
4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。
5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。
6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。
函数值域求法大全课件
• 通过进一步化简，得到$y = t + \frac{1}{t} - 2$。
示例解析
• 根据不等式性质，当$t > 0$时，$y \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} 2 = 0$。
• 当且仅当$t = 1$时取等号，因此 $y$的值域为$\lbrack 0, +\infty)$。
函数域求法大全件
• 反表示法 • 判式法 •元法
01
引言
函数值域的概念
函数值域定义
函数值域是指函数在定义域内所 有可能的输出值的集合。
函数值域的表示
函数值域通常用闭区间或开区间 的形式表示，如 [a, b] 或 (a, b)。
函数值域的重要性
确定函数的输出范围
通过求函数的值域，可以确定函数在 定义域内的所有可能输出值的范围， 从而更好地理解函数的性质和行为。
示例解析
示例
求函数$y = frac{1}{x}$的值域。
解析
将原函数转化为$x = frac{1}{y}$的形式，即反函数形式。由于$x$不能为0，所以$y$不能为无穷大，因此原函数 的值域为$y in (-infty, 0) cup (0, +infty)$。
05
判式法
定义与特点
定义
判别式法是一种通过判断一元二次方程实数根的情况，从而确定二次函数值域的方法。
解析
将函数$f(x) = x^2 2x$转化为二次函数形 式，得到$f(x) = (x 1)^2 - 1$。利用判别 式法，当Δ = b^2 4ac = 0时，函数取得 最小值-1，因此函数的 值域为$[-1, +infty)$。
示例2
求函数$f(x) = x^2 + 4x + 3$的值域。
求函数值域的方法大全
求函数值域的方法大全函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域可以帮助我们了解函数的整体走势和性质。
下面是一些常见的方法帮助我们求函数值域。
1.用图形法求值域：使用图形来观察函数的形状和趋势，根据图形的有界性和单调性来确定函数值域的范围。
例如，如果函数是上凸的，那么它的值域可能是从函数的最小值开始一直到正无穷大。
如果函数是下凸的，那么它的值域可能是从负无穷大到函数的最大值。
2.用定义法求值域：通过函数的定义式，将自变量的范围带入函数，计算函数的输出值，从而找到函数的可能取值。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以把不同的x值代入函数中，并记录下函数的输出值，得到一个可能的值域的集合。
3.用反函数法求值域：如果函数具有反函数，可以通过求反函数的定义域来求原函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x，定义域为非负实数，因此原函数的值域也是非负实数。
4.用导数法求值域：对于给定范围内的函数，利用导数求得函数的驻点和拐点，结合函数的单调性和图像的形状来求值域。
例如，当函数的导数为零时，这些点可能是函数的最大值或最小值，通过比较这些点的对应函数值，可以确定函数的值域的上下界。
5.用极限法求值域：当函数的定义域是无界的时候，可以利用函数的极限来求值域。
通过求函数在正无穷大和负无穷大时的极限，可以确定函数的值域的上下界。
6.用解析法求值域：对于一些特定形式的函数，可以通过解析方法求值域。
例如，对于一次函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数，如果a>0，则函数的值域是从负无穷大到正无穷大的实数集合。
7.用二次函数求值域：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，可以通过将二次函数转化为顶点形式来求值域。
首先通过求导数找到二次函数的极值点（即顶点），然后结合函数的开口方向和顶点的y坐标，可以确定二次函数的值域。
8.用指数和对数函数求值域：对于指数函数f(x)=a^x和对数函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1，可以利用指数和对数函数的性质来求值域。
函数求值域15种方法
函数求值域15种方法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2.函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。
⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷可以用函数的单调性求值域。
⑸其他。
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。
解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数的值域。
解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数值域的求法大全
函数值域的求法大全值域为R（注意判别式）；对数函数y=logax(a>0,a≠1)的定义域为R+，值域为R；指数函数y=ax(a>0,a≠1)的定义域为R，值域为(0,+∞)；三角函数y=sin x，y=cos x的值域均为[-1,1]；反三角函数y=arcsin x的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]；y=arccos x的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]；y=arctan x的定义域为R，值域为(-π/2,π/2)。
利用函数的单调性来求值域对于单调递增函数f(x)，其值域为[f(a),f(b)]；对于单调递减函数f(x)，其值域为[f(b),f(a)]。
利用反函数来求值域设函数f(x)的反函数为g(x)，则f(x)的值域等于g(x)的定义域，即f(x)的值域为{x|g(x)∈R}。
利用配方法来求值域对于形如y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的二次函数，可通过配方法将其化为y=a(x+p)2+q的形式，其中a>0，(p,q)为顶点坐标，此时，y的值域为[q,+∞)或(−∞,q]。
利用不等式来求值域对于形如y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的二次函数，可通过求解不等式ax2+bx+c≥0来确定其值域。
以上是常见的求值域的方法，不同的函数类型可能需要不同的方法来求值域。
在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，结合图像、单调性、反函数等性质进行分析，才能得出正确的结果。
剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落，然后再小幅度的改写每段话。
求函数值域是数学中常见的问题。
下面介绍两种常用的方法：单调性法和换元法。
单调性法是指利用函数的单调性来确定函数的值域。
具体来说，可以先找到函数在给定区间内的单调区间，然后比较区间两端点的函数值，从而确定函数的最大值或最小值。
当顶点横坐标是字母时，需要根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。
函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。
下面就函数的值域的求法，举例说如下。
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
求函数值域的十种方法
求函数值域的常用方法函数的值域是指函数能够取到的所有可能的输出值。
确定一个函数的值域有很多常用的方法，下面将介绍其中一些常用的方法。
1.求极限。
当自变量趋于无穷大或无穷小时，函数的极限可以帮助确定函数的值域。
如果一个函数的极限存在，并且随着自变量的增大或减小而无限接近一些确定的值，那么该函数的值域一定包含该极限值。
2.分析函数的定义域。
函数的定义域是指函数的自变量的取值范围。
如果函数在定义域上是连续的，并且没有间断点，那么函数的值域可以通过分析函数在定义域上的取值范围来确定。
3.分析函数的图像。
函数的图像是函数在坐标平面上的表示。
通过观察函数的图像可以初步估计函数的值域。
如果函数的图像在一些区间上单调递增或递减，并且没有振荡现象，那么该函数的值域将是该区间的闭区间。
4.求函数的导数。
函数的导数描述了函数的变化趋势。
通过求函数的导数可以确定函数的极值点，从而确定函数的值域。
当函数的导数在一些点处为零，并且在该点的左侧和右侧具有不同的符号，那么该点就是函数的极值点。
函数在极值点取到最大值或最小值时，该值一定属于函数的值域。
5.利用奇偶性。
一些函数具有奇偶性，即在定义域内满足一定的对称性。
如果函数是偶函数，则函数的值域在对称轴上具有对称性，可以根据对称轴的函数值确定其值域。
如果函数是奇函数，则函数的值域在原点上具有对称性。
6.利用函数的周期性。
一些函数具有周期性，即在定义域内满足重复性。
如果函数是周期函数，那么其值域也是周期性的，可以通过分析一个周期内的函数值来确定其值域。
7.求函数的反函数。
有些函数存在反函数，通过求反函数可以确定函数的值域。
反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。
8.利用已知的数学性质。
根据一些已知的数学性质来确定函数的值域，例如三角函数的取值范围是[-1,1]，对数函数的定义域是正实数，指数函数的值域是正实数等。
以上是常用的一些方法来确定函数的值域。
在实际问题中，可以结合多种方法来确定函数的值域。
函数求值域15种方法
函数求值域15种方法方法一：对于已知函数，可以通过求函数的表达式来确定函数的值域。
例如对于f(x)=x^2+1需要求值域，可以将其表示为y=x^2+1，然后观察x和y的关系，可以得到y的值域为[1,+∞)。
方法二：对于一些简单的函数，可以使用数学知识来确定其值域。
例如对于 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值域为[-1, 1]，因此 f(x) 的值域也是[-1, 1]。
方法三：对于复合函数，可以通过将内部函数的值域代入外部函数中来确定整个函数的值域。
例如对于f(x)=√(x^2+1)，内部函数g(x)=x^2+1的值域为[1,+∞)，将值域代入外部函数，可以得到f(x)的值域也是[1,+∞)。
方法四：对于分段函数，可以分别求解不同区间上函数的值域，然后将这些值域合并得到整个函数的值域。
例如对于f(x)={x,x<0;x^2,x≥0}，可以分别求解x<0和x≥0的情况，得到f(x)的值域为(-∞,0]∪[0,+∞)。
方法五：利用函数的奇偶性来确定函数的值域。
如果函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)，那么函数的值域关于原点对称；如果函数是偶函数，即f(-x)=f(x)，那么函数的值域关于y轴对称。
根据函数的奇偶性可以推断出函数的值域。
方法六：利用函数的周期性来确定函数的值域。
如果函数有周期T，那么函数的值域在一个周期内是相同的。
可以通过观察函数的图像或者函数的性质来确定函数的周期，并进一步确定函数的值域。
方法七：利用函数的极限来确定函数的值域。
可以求函数在正无穷和负无穷的极限，根据极限的性质来确定函数的值域。
如果函数在正无穷的极限是一个确定的值，那么函数的值域是有界的；如果函数在正无穷的极限趋近于正无穷，那么函数的值域是无界的。
方法八：利用函数的导数来确定函数的值域。
可以求函数的导数，然后分析导函数的正负性和极值点，从而确定函数的值域。
如果导函数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间上是单调递增的，可以确定函数的值域；如果导函数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间上是单调递减的，可以确定函数的值域。
求函数值域的十三种方法
求函数值域的十三种方法求函数值域是数学中常见的问题，通过求函数值域可以了解函数的取值范围，对于解决实际问题和理论分析都有重要意义。
下面将介绍求函数值域的十三种方法。
一、观察法观察法是最直观的方法，通过观察函数的定义域和性质，可以初步确定函数的值域。
例如，对于一个关于实数的二次函数，如果其开口向上，则可以判断其值域为大于等于最低点的y坐标的实数集合。
二、代数法代数法是通过运用代数运算的方法求函数值域。
例如，对于一个有理函数，可以通过求其对应的分式函数的极限来确定函数的值域。
三、图像法图像法是通过绘制函数的图像来求函数值域。
通过观察图像的变化趋势，可以确定函数的值域。
例如，对于一个周期函数，可以通过绘制其一个周期内的图像，然后根据图像的波动范围确定函数的值域。
四、导数法导数法是通过求函数的导数来求函数值域。
通过分析导数的增减性和极值点，可以确定函数的值域。
例如，对于一个单调递增函数，其值域为整个定义域；对于一个有界函数，其值域为一个闭区间。
五、反函数法反函数法是通过求函数的反函数来求函数值域。
通过求反函数的定义域，可以得到函数的值域。
例如，对于一个严格单调增函数，其反函数的定义域即为函数的值域。
六、极限法极限法是通过求函数的极限来求函数值域。
通过分析函数的极限可以确定函数的趋势和边界，从而确定函数的值域。
例如，对于一个无界函数，可以通过求其极限来确定函数的值域。
七、积分法积分法是通过求函数的积分来求函数值域。
通过分析函数的积分可以确定函数的曲线下面积，从而确定函数的值域。
例如，对于一个连续非负函数，可以通过求其积分来确定函数的值域。
八、级数法级数法是通过求函数级数的和来求函数值域。
通过分析级数的收敛性和和的性质，可以确定函数的值域。
例如，对于一个幂级数函数，可以通过求级数的收敛域来确定函数的值域。
九、微分方程法微分方程法是通过求函数满足的微分方程来求函数值域。
通过求微分方程的解析解或数值解，可以确定函数的值域。
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函数值域的求法大全题型一 求函数值：特别是分段函数求值例 1 已知 f ( x ) ＝ 1 ( x ∈ R ，且 x ≠ － 1) ， g ( x ) ＝ x 2 ＋ 2( x ∈ R ). (1)求 f (2)，g (2)的值； (2)求 f [g (3)]的值.解 (1) ∵ f ( x )＝ ， ∴ f (2) ＝ ＝ 3. 又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝＝12.反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系 f 的具体含义，然后将变量代入解 析式计算，对于 f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意 f [g (x )]与 g [f (x )]的区别.x ＋1跟踪训练 4 已知函数 f (x )＝ .(1)求 f (2)；(2)求 f [f (1)].x ＋1 2＋1 3解 (1) ∵ f ( x )＝x ＋ 2 ， ∴ f (2) ＝2 ＋ 2 ＝ 4.5.已知函数 f (x )＝x 2＋x －1.(1)求 f (2)，f (1x )； (2)若 f (x )＝5，求 x 的值. 解 (1) f (2) ＝ 22＋ 2 － 1 ＝ 5， 1 1 1 1 ＋ x －x 2 f (x )＝x 2＋x －1＝ x 2 .(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2，或 x ＝－3. (3)4.函数f (x )对任意自然数x 满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，f (0)＝1，则f (5)＝ __________ . 答案 6解析 f (1)＝f (0)＋1＝1＋1＝2，f (2)＝f (1)＋1＝3，(2)f (1)＝ 1＋1 1＋2 22＝23，f [f (1)]＝f (32)＝ 23＋13＋25 8.f（3）＝f（2）＋1＝4，f（4）＝f（3）＋1＝5，f（5）＝f（4）＋1＝6.二、值域是函数 y=f（x）中 y 的取值范围。
常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（ 3 ）函数单调性法（4）配方法（ 5 ）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7 ）分离常数法（8）判别式法（9 ）复合函数法（10）不等式法（11 ）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b（a 0）的定义域为R，值域为R；k y = （k0）反比例函数x的定义域为｛x|x 0｝，值域为｛y|y 0｝；二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0）的定义域为R，当a>0时，值域为｛y|y(4ac4-a b2)｝；当a<0时，值域为｛y|y(4ac4-a b2)｝.例 1 求下列函数的值域2① y=3x+2(-1 x 1) ② f(x)=- 2(1 x 3)3x③ y = x+ (记住图像)x解：①∵-1 x1，∴-3 3x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②略③当x>0 ，∴y = x + =( x - ) + 2 2 ，xx当x<0 时，y = -( - x +)=－( - x - ) - 2 -2 王新奎新疆屯敞-x-x∴值域是(-,-2][2，+).(此法也称为配方法) 函数 y = x + 1 的图像为：x二次函数在区间上的值域(最值)：例 2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①y =x 2 -4x +1； ②；y =x 2 - 4x +1, x[3,4] ③ y =x 2 - 4x + 1, x[0,1] ； ④y =x 2 - 4x + 1, x[0,5] ；解：∵y =x 2 -4x +1=(x -2)2 - 3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域 R ，∴x=2 时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.②∵顶点横坐标 2[3,4]，当 x=3 时，y= -2 ； x=4 时，y=1 ；∴在[3,4]上， y min =-2， y max =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标 2[0,1]，当 x=0 时，y=1；x=1 时，y=-2,∴在[0,1]上， y min =-2， y max =1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标 2[0,5]，当 x=0 时，y=1；x=2 时，y=-3, x=5 时，y=6,∴在[0,1]上， y min =-3， y max =6；值域为[-3，6].注：对于二次函数 f (x )=ax 2 +bx +c (a 0),⑴若定义域为 R 时，①当a>0时，则当x = - b 时，其最小值y = (4ac - b 2 ) ； 2a y min = 4a②当a<0时，则当x = - b 时，其最大值y = (4ac -b 2); 2aymax= 4a⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0 是否属于区间[a,b].①若x 0[a,b],则 f (x 0)是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时， 再比较 f (a ), f (b ) 的大小决定函数的最大(小)值.②若x 0 [a,b],则[a,b]是在 f (x )的单调区间内，只需比较 f (a ), f (b )的大小即可决定 函数的最大(小)值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数 y=3+ 2 -3x的值域解：由算术平方根的性质，知2 - 3x≥0，故3+ 2 -3x≥3。
∴函数的值域为3,+) .2、求函数y = x1 2-2x+5 , x0,5的值域x = 1时, y min= 4解：对称轴x = 1 0,5x = 5时, y max = 20值域为4,201 单调性法例 3 求函数 y=4x－1- 3x (x≤1/3)的值域。
设f(x)=4x,g(x)= － 1-3x,(x ≤ 1/3), 易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x- 1- 3x在定义域为x≤1/3 上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y≤4/3}。
小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+ 4-x的值域。
(答案：{y|y≥3})2 换元法例 4 求函数y = x+2 1- x的值域解：设1- x = t，则y = -t2+ 2t +1 (t0)对称轴t =10,+），且开口向下 当t =1时 ，y max = 2值域为（-,2点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确 定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分 广泛。
练习：求函数 y= x -1-x 的值域。
（答案：{y|y ≤－3/4} 求1+sin x cos x 的值域；sin x + cos x例5 （三角换元法）求函数y = x + 1-x 2 的值域y = cos + sin = cos +sin = 2 sin(+ )原函数的值域为- 1 , 2则可设a = sin ,- (或设a =cos ,0) 2）若题目中含有a 2 +b 2 =1 则可设a = cos ,b =sin，其中0 23）若题目中含有 1- x 2 ，则可设x =cos ，其中04）若题目中含有 1+x 2 ，则可设x =tan，其中-225)若题目中含有x +y =r (x0,y 0,r0)，则可设x = r cos 2,y = r sin 2其中3 平方法 例5 (选)求函数 y = x -3+ 5- x 的值域 解：函数定义域为： x3,5y 2 =(x -3)+(5-x )+2 -x 2 +8x -15由 x 3,5, 得-x 2+8x -150,1y 22,4原函数值域为2 ,24 分离常数法解：-1 x 1设 x = cos 0,-1, 2小结：（1）若题目中含有 a1，x - 1例6 求函数y = x x +-12 的值域由y = x +2-3 =1- 31 ，可得值域y y 1小结：已知分式函数y = ax +b （c0） ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量 cx+ d的要求）内，值域为y y a；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），ad b - 采用部分分式法将原函数化为y = a + c （ad bc ），用复合函数法来 c cx + d求值域。
练习例 8求函数 y = 9x -3x + 2 (x0,1) 的值域解：（换元法）设3x =t ，则 1t3 原函数可化为求函数y =2x -14 x + 6的值域求函数y = x 33x + 1的值域练习： y = x + x +1 的值域1,+y =t 2-t +2, 对称轴t = 11,3t =1 时,y min =2 ; t =3 时, y max =8 值域为2,8t 1 01t1 0 y 1原函数的值域为 (0,1)解法一：（逆求法）x 2 = 1+ y 0 - 1 y 11 - y原函数的值域为- 1,1）解法二：（换元法）设x 2 +1=t ，则2t 1 0 22-1 y 1 原函数值域即得解法三：（判别式法）原函数可化为 （y -1）x 2 +0x + y +1=01） y = 1时 不成立 2) y1时，00-4(y -1)(y +1)0-1 y 1-x 2+2x的值域解：(换元法)令 t = -x + 2x = -(x -1) +1 ，由指数函数的单调性知，原函数的值域为1,+例10 求函数 y = 2x （x0） 的值域解：（图象法）如图，值域为（0,1（换元法）设3x +1= t ，3x +1 -1 3x + 1 =1- 13x + 1例 13 函数 y 的值域例 9 求函数 y=(t 1)-1y 1综合1)、2)值域{y | -1y1}解法四：(三角换元法)x R设x =tan-,，则y = -1-tan = - cos 22(-,) cos2(-1,11+ tan2原函数的值域为{y | -1 y1}例 14 求函数y = 的值域2x2-4x +3解法一：(判别式法)化为2yx2-4yx+(3y-5)=01) y = 0 时，不成立2) y0时，0得(4y)-8y(3y-5)00y 50 y 5综合1)、2)值域{y|0y5}5解法二：(复合函数法)令2x2-4x+3=t，则y = 5t =2(x-1)2+1 10y 5 所以，值域{y|0y5}例 15 函数y = x + 1+ 1的值域x解法一：(判别式法)原式可化为x2 +(1- y)x+1=00 (1-y)2-40 y3或y-1原函数值域为(-,-13, +)解法二：(不等式法)1)当x0时， x + 12 y 3x综合1)2)知，原函数值域为(-,-13 , +)解法一：(判别式法)原式可化为 x 2 +(2-y )x +2- y =00 (2- y )2 -4(2- y )0 y 2 或y - 2x - 1 y -2 舍去 原函数值域为2 , +)解法二：(不等式法)原函数可化为 y = (x +1) +1= x +1+ 12 (x -1) x +1x + 1当且仅当x =0时取等号，故值域为2, +)x 2 + 2x + 2例17 (选) 求函数y =x +x 2+x 1+2解：(换元法)令x +1 = t ，则原函数可化为y =t +1 (-1t3)ax 2 + bx + c小结：已知分式函数y = ax +bx +c (a 2 +d 2 0) ，如果在其自然定义域内可采用 dx 2 + ex + f判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可 以化为二次式一次式选)y =一次式 (或 y = 一二次次式式) 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数a y = x + a(x0)的单调性去解。