函数值域的求法大全

函数值域的求法大全

题型一 求函数值：特别是分段函数求值

例 1 已知 f ( x ) ＝ 1 ( x ∈ R ，且 x ≠ － 1) ， g ( x ) ＝ x 2 ＋ 2( x ∈ R ). (1)求 f (2)，g (2)的值； (2)求 f [g (3)]的值.

解 (1) ∵ f ( x )＝ ， ∴ f (2) ＝ ＝ 3. 又∵g (x )＝x 2＋2，

∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝

＝12.

反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系 f 的具体含义，然后将变量代入解 析式计算，对于 f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意 f [g (x )]与 g [f (x )]的区别.

x ＋1

跟踪训练 4 已知函数 f (x )＝ .

(1)求 f (2)；(2)求 f [f (1)].

x ＋1 2＋1 3

解 (1) ∵ f ( x )＝x ＋ 2 ， ∴ f (2) ＝2 ＋ 2 ＝ 4.

5.已知函数 f (x )＝x 2＋x －1.

(1)求 f (2)，f (1x )； (2)若 f (x )＝5，求 x 的值. 解 (1) f (2) ＝ 22＋ 2 － 1 ＝ 5， 1 1 1 1 ＋ x －x 2 f (x )＝x 2＋x －1＝ x 2 .

(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2，或 x ＝－3. (3)

4.函数f (x )对任意自然数x 满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，f (0)＝1，则f (5)＝ __________ . 答案 6

解析 f (1)＝f (0)＋1＝1＋1＝2，f (2)＝f (1)＋1＝3，

(2)f (1)＝ 1＋1 1＋2 22

＝23，f [f (1)]＝f (32

)＝ 23＋1

3＋2

5 8.

f（3）＝f（2）＋1＝4，f（4）＝f（3）＋1＝5，f（5）＝f（4）＋1＝6.

二、值域是函数 y=f（x）中 y 的取值范围。

常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）

（ 3 ）函数单调性法（4）配方法

（ 5 ）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）

（7 ）分离常数法（8）判别式法

（9 ）复合函数法（10）不等式法

（11 ）平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

求值域问题

利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b（a 0）的定义域为R，值域为R；k y = （k0）反比例函数x的定义域为｛x|x 0｝，值域为｛y|y 0｝；

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0）的定义域为R，

当a>0时，值域为｛y|y(4ac4-a b2)｝；当a<0时，值域为｛y|y(4ac4-a b2)｝.

例 1 求下列函数的值域

2

① y=3x+2(-1 x 1) ② f(x)=- 2(1 x 3)

3x

③ y = x+ (记住图像)

x

解：①∵-1 x1，∴-3 3x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]

②略

③当x>0 ，∴y = x + =( x - ) + 2 2 ，xx

当x<0 时，y = -( - x +)=－( - x - ) - 2 -2 王新奎新疆屯敞

-x-x

∴值域是(-

,-2][2，+).(此法也称为配方法) 函数 y = x + 1 的图像为：

x

二次函数在区间上的值域(最值)：

例 2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①y =x 2 -4x +1； ②；y =x 2 - 4x +1, x

[3,4] ③ y =x 2 - 4x + 1, x

[0,1] ； ④y =x 2 - 4x + 1, x

[0,5] ；

解：∵y =x 2 -4x +1=(x -2)2 - 3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

①

∵抛物线的开口向上，函数的定义域 R ，

∴x=2 时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.

②

∵顶点横坐标 2

[3,4]，

当 x=3 时，y= -2 ； x=4 时，y=1 ；

∴在[3,4]上， y min =-2， y max =1；值域为[-2，1]. ③

∵顶点横坐标 2

[0,1]，当 x=0 时，y=1；x=1 时，y=-2,

∴在[0,1]上， y min =-2， y max =1；值域为[-2，1]. ④

∵顶点横坐标 2

[0,5]，当 x=0 时，y=1；x=2 时，y=-3, x=5 时，y=6,

∴在[0,1]上， y min =-3， y max =6；值域为[-3，6].

注：对于二次函数 f (x )=ax 2 +bx +c (a 0),

⑴若定义域为 R 时，

①当a>0时，则当x = - b 时，其最小值y = (4ac - b 2 ) ； 2a y min = 4a

②当a<0时，则当x = - b 时，其最大值y = (4ac -b 2)

; 2a

y

max

= 4a

⑵若定义域为x

[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0 是否属于区间[a,b].

①若x 0

[a,b],则 f (x 0)是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时， 再比较 f (a ), f (b ) 的大小

决定函数的最大(小)值.

②若x 0 [a,b],则[a,b]是在 f (x )的单调区间内，只需比较 f (a ), f (b )的大小即可决定 函数的最

大(小)值.