线性代数—解线性方程组的消元法(精选)
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
常见的解题方法技巧：
1.高斯消元法：用于解决线性方程组的方法，通过
消去未知数的系数，使方程组的每一行的未知数
只有一个。
2.高斯-约旦消元法：用于解决线性方程组的方法，
通过消去未知数的系数，使方程组的每一行的未
知数只有一个，并通过交换方程的顺序来解决无
解或多解的情况。
3.矩阵消元法：用于解决线性方程组的方法，将方
程组写成矩阵形式，通过消去未知数的系数，使
矩阵的每一行的未知数只有一个。
4.高斯-约旦分解法：用于解决线性方程组的方法，
通过将方程组写成两个矩阵的乘积的形式。
5.广义逆矩阵法：用于解决线性方程组的方法，通
过求出矩阵的广义逆（也叫做伪逆），将方程组写
成矩阵的形式，求解未知数的值。
6.矩阵的特征值与特征向量：用于解决矩阵的本征
值问题的方法，通过求解矩阵的特征方程，求得
矩阵的特征值与特征向量，并利用它们来求解其
他问题。
7.奇异值分解：用于解决矩阵的奇异值分解问题的
方法，将矩阵分解为三个矩阵的乘积的形式，并利用它们来求解其他问题。
8.广义逆矩阵的求法：用于求解矩阵的广义逆（也叫做伪逆）的方法，包括计算机辅助的方法和数学计算的方法。
（完整版）解线性方程组的消元法及其应用
（完整版）解线性方程组的消元法及其应用解线性方程组的消元法及其应用朱立平曲小刚)教学目标与要求通过本节的学习，使学生熟练掌握一种求解方程组的比较简便且实用的方法—高斯消元法，并能够熟练应用消元法将矩阵化为阶梯形矩阵和求矩阵的逆矩阵.教学重点与难点教学重点：解线性方程组的高斯消元法，利用消元法求逆矩阵教学难点：高斯消元法，利用消元法求逆矩阵.教学方法与建议先向学生说明由于运算量的庞大，克莱姆法则在实际应用中是很麻烦的，然后通过解具体的方程组，让学生自己归纳出在解方程组的时候需要做的三种变换，从而引出解高阶方程组比较简便的一种方法—高斯消元法，其三种变换的实质就是对增广矩阵的初等行变换，最后介绍利用消元法可以将矩阵化为阶梯形矩阵以及求矩阵的逆。
教学过程设计1. 问题的提出由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克莱姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该方法是很麻烦的.引例解线性方程组4x1 2x2 5x3 4 (1)x1 2x2 7 (2)2x1 x2 3x3 1 (3)x1 2x2 7 (1)(1) ( 4) (2)x1 2x2 7 (1)解(1)(1) (2) 4x1 2x2 5x3 4 (2)(1) ( 2) (3)6x2 5x3 24 (2)2x1 x2 3x3 1 (3) 5x2 3x3 13 (3)5 X i 2x 2 7（2）（）（3）66x 2 5x 3 24 7 X 3 7 6用回代的方法求出解即可.问题：观察解此方程组的过程，我们总共作了三种变换：（1 ）交换方程次序，（2）以不等于零的数乘某个方程，（3）一个方程加上另一个方程的k 倍.那么对于高阶方程组来说，是否也可以考虑用此方法.2. 矩阵的初等变换定义1阶梯形矩阵是指每一非零行第一个非零元素前的零元素个数随行序数的增加而增加的矩阵.定义2下面的三种变换统称为矩阵的初等行变换：i. 互换矩阵的两行（例如第i 行与第j 行，记作r i r j ），ii.用数k 0乘矩阵的某行的所有元素（例如第 i 行乘k ，记作kr i ），iii. 把矩阵某行的所有元素的k 倍加到另一行的对应元素上去（例如第j 行的k 倍加到第i 行上，记作r i kr j ）.同理可以定义矩阵的初等列变换 .定义3如果矩阵A 经过有限次初等变换变为矩阵B ，则称矩阵 A 与B 等价，记作A ~B .注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵3.咼斯消兀法对」般口丁 II 阶线性方程组a 〔1 X 1812X 2 a 1n Xnb (1)a 21 X 1 a 22X 2a 2n X nb 2 (2)(3.1)an 1 X1a n2X 2ann Xnb n(n)若系数行列式detA 0,即方程组有唯一解，则其消元过程如下:第一步，设方程（1）中X i 的系数a M 0将方程（I ）与（1）对调，使对调后的第一个方程 X i第二步，设a 22） 0，保留第二个方程，消去它以下方程中的含X 2的项，得(1) ⑵(3)的系数不为零.作i並(D(i 2,3,a 11n ），得到同解方程组(0)anX1(0)a 12 X 2 (0) a 1 n Xn b 1(0) (1) a ?2 X 2(1) a 2n X nby(1)a n2X 2(1)a nn X n(3.2)接下来的回代过程首先由（3.4）的最后万程求出X n ，依次向上代入求出 X n1,X n 2, X 1即可?高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是注：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等行变换（某个方程乘非零常数k ；一个方程乘常数 k 加到另一个方程，对换两个方程的位置），将其化为同解的阶梯形方程组，这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为阶梯矩阵?因此，求解线性方程组时不能对增广矩阵施行对换矩阵的两列以外的列变换，若对换矩阵的两列，相应地未知兀也要对换4.应用（1）化矩阵为阶梯形例1试用消元法化 A 为阶梯形矩阵，1 2 1 0 22 4 2 6 6A2 1 0 2 33333 4解(0) 耳1 X1a^x 2 a 22)x 2(0)&13 X 3(1) a 23 X3a 33)X 3(0) a 1n Xn a 2nX n a 3?X n附 byb 32)a%a n^X nb n (3)照此消兀，直至第 n 1步得到三角形方程组J0)」o ）jo) J°)a 〔i x 〔 a 〔2 X 2 a 13 X 3 a1 n Xnb 1(1) a ?2 X 2 (1) a 23 X 3 (1) a 2n Xn by(2)a 33 X 3(2)a 3n X nb 32)(3.3)(3.4)a11a 12a1 nb 1 (A,b)a21 a22a2nb 2an1n2annb na (0)a (0)a11a12 a*a (0)a1n b 1(0) a22a 23)a2nbyf 2)33a(2)b 32)f 2)n3a(2)nnb n (2)r2 —r 1 a11r 931『afa(0)12「3b (0)a (1) a 22 )2a 42)rr3r 1*11a(1)22a 2^r4by于 arn Ta11a(1)an2事 byr n吧r矿a ：0〉aja(0)a 13 a，0〉 a (0) a 22)a23 a*b 21)f 2)33a 3?b 32)(n 1)(n 1)annn(n 1) ann xn』1)b n1 2 1 02 121 02 『2 2r 1r 32r10 0 0 6 2 r 2 『332 2 1 『4 3r 2 Ar 44r10 3 2 2 10 0 6 20 9 6 3 2 09 632110 2 1121 020 32 2 1 r4-r 3 232 2 1B0 0 0 6 2 0 0 0 6 20 031则B 即为所求的与 A 等价的阶梯形矩阵求逆矩阵利用初等行变换求逆矩阵的方法主要分为以下三步 :a ）将矩阵A 与冋阶的单位方阵 I 拼成(A, I) ;b ）对A 施行初等行变换，目标是将 A 变换成 I ;c ）当A 变换为时，原来的 I 变换成A 1，即（A,1）(I, A 1)主：若将A, I 拼成 A，只能施行初等列变换，A II A1?求矩阵A 的逆矩阵11 1A1 02 .1 2 11 11 1 0 01 11 1 0（ 1）『1解(A, 1)=1 020 1 00 1 1 1 112 1 10 0 1 『3『10 1 1 2 1 0 “『3『211 1 1 i 1 0 0『1 『『3 1 『3 0 0 ； 4 3 20 1 1! 11 0 0 1 0\ 32 10 0 1 : 2 1 『1 1 『20 0 1 21 14 3 2 1所以A 32 12 1 1。
W084线性代数-3.1 线性方程组的消元解法
解线性方程组
2x1 x1
2x2 2x2
x3 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
解
2x1 x1
2x2 2x2
4
x3 x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
2
x1
2x2 3x2
(9
/
x3 2)x3
6 0
2x2 (7 / 2)x3 13
2
x1
2x2 3x2
0 0 1 2
可以看出用消元法解线性方程组的过程 实质上就是对
该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程 解线性方程组
时 为了书写简便 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可
2x1
2x2 3x2
8 9
x3 2
2
x1
2
x2 x2
8 3
x3 2
2x1
x2
2 3
x3 2
xxx121 x3
233
0001
5 1 0 0
1 1 0 0
1 2
0 0
0021
0001
1 1 0 0
2 1 6 0
3 4
3 0
2911
都是阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1 且
线性方程组的消元法
1.2 消元法与矩阵初等变换的关系
定义
定义 2 设 n 元线性方程组
1( 3 )
2
x1
x 2 x2
2x x3
3
2 2
x3 4
(1) ， (2) ， (3) ，
解得 x3 4 ，x2 6 ，x1 12 ．
系数矩阵是阶梯形矩阵的方程组称为阶梯形方程组。
（4-1）
1.1 消元法
定义
消元法解线性方程组的实质是反复地对方程组进行变换，得到阶梯形方程组．而所作的 变换，也只有以下三种类型．
线性代数
1.1 消元法
例题
例1
2x1 x2 5x3 2
解线性方程组
x1
x2 2x3 2
x1 2x2 x3 4
(1) ， (2) ， (3) ．
解：为了更方便地表达解题过程，可用符号来表示，符号含义如下： (1) (2) 表示交
换方程 (1) 与 (2) ； (2) 2(1) 表示方程 (2) 减去方程 (1) 的 2 倍，类似地， (3) (1) 表示方程 (3)
加方程 (1) ， (3) (2) 表示方程 (3) 减去方程 (2) ； 1 (3) 表示方程 (3) 乘以 1 ．
2
2
消元法解方程组的过程表示如下．
2x1 x2 5x3 2 (1)
x1 x2 2x3 2 (1)
x1
x2 2x3 2
(2) (1)(2) 2x1 x2 5x3 2
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
消元法求解常系数线性微分方程组
消元法求解常系数线性微分方程组下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!消元法求解常系数线性微分方程组导言在微积分和线性代数领域，线性微分方程组是一类重要的数学问题，它们在物理学、工程学以及其他科学领域中有着广泛的应用。
【VIP专享】1--消元法
x1 2 x2 4 x3 3
6x2 9x3 0
5 x1 7 x2 x3 28
r1 ( 2 ) r2
1 2 4 3 0 6 9 0
5
7
1
28
x1 2 x2 4 x3 3
6x2 9x3 0
5 x1 7 x2 x3 28
x1 2 x2 4 x3 3
1 2 4 3 阶
梯
( Ab) 1 2 4 3 0 2 3 0 形
5
7
1
28
0
0
13
26
矩 阵
解线性方程组的第 2 个步骤： 对 增广矩阵 进行初等行变换，将之化作阶梯形矩阵。
接下来，判断线性方程组是否有解。准则： 阶梯形矩阵的最后一个首元是否在最后一列。 若在最后一列，则原来的线性方程组无解。否则有解。
x1 c1
x2 xn
c2 cn
线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 .................................................
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
若常数项 b1，b2， ，bn 全为0，则称方程组为齐 次线性方程组； 否则称为非齐次线性方程组。
若 x1 c1，x2 c2， ，xn cn 满足方程 组，则称之为方程组的一个解。
通常我们将线性方程组的解写成列向量 的形式，并称之为一个解向量：
系数矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22 am 2
... a1n
...
用高斯消元法求解线性代数方程组
用高斯消元法求解线性代数方程组12341115-413-2823113-21041513-21719x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111X *⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（X*是方程组的精确解）1 高斯消去法1.1 基本思想及计算过程高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。
为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。
⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)(323034)(5253)(6432321321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（23-）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（24-）后加到方程（III ）上去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-II -=-I =++III)(20223)(445.0)(64323232321x x x x x x x 将方程（II ）乘（5.03）后加于方程（III ），得同解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-II -=-I =++III)(42)(445.0)(6432332321x x x x x x 由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。
下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a （1-1）如果a 11 ≠ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得)1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x 其中)0(11)0()1(1a a aij j =， j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)0(，i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n+ 1） 从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)1(1,2)1(22)1(22)1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x（1-2） 其中n i a m a a iji ij ij ,,2)1(1)1( =⋅-=，1,,3,211)1(11+==n j a a m i i由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。
3.3 线性方程组的消元解法
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x3=2， x2 =3-2x3 =-1， x1=3+2x2-4x3=-7。
方程组的解为
x1=x2=-
7 1。
x3= 2
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2 最新课件
6
首页
上页
返回
下页
结束
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
10499
0 0
1 -1 -2 -2 0000
，
00000
R (A )=R (A ,b)=2 4 , 故方程组有无穷多解.
方程组的一般解为
x1 = 9 - 4x3 x2 =- 2 + x3
- 9x4 + 2x4
(x3, x4任意)
则方程组的通解为：
x1=- 9 - 4c1 - 9c2
x2=- 2 + c1 + 2c2
x3 =
c1 c1
x4 =
c2
(c1,c2 R)
首页
上页
最新课件
返回
下页
结束
12
铃
例3．解线性方程组
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 x2 + x3 - 4x4 = 1 。
x1 + 2x2 + 3x3 - x4 = 4 2x1 + 2x2 - x3 - x4 =- 6
解线性方程组的消元法
注： 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则 E ( i , j ) 1 E ( i , j ) ；
1 变换 ri k 的逆变换为 ri ， k 1 1 则 E ( i ( k )) E ( i ( )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri ( k )rj， 则 E ( ij ( k ))1 E ( ij ( k )) .
2 3 1 1
1 2 0 7 r r ( 4) x 2 x 7 0 6 5 24 ( 1 ) r r ( 2) 1 2 (1)( 4 ) ( 2 ) (1)( 2 ) ( 3) ( 2 ) 6 x 5 x 24 2 3 0 5 3 13 5 x2 3 x3 13 (3)
ai(1) 1 i (1) (2) a22
(i 3,
n)
照此消元，直至第 n 1步得到三角形方程组
(0) (0) (0) 0) a11 x1 a12 x 2 a13 x3 a1(n x n b1( 0) (1) (1) (1) (1) a x a x a x b 22 2 23 3 2n n 2 ( 2) ( 2) ( 2) a33 x3 a 3 x b n n 3 ( n 1) ( n 1) a x b nn n n
(0) 11
a12 a 22
a1n a2n
a n 2 a nn
a a a
(0) 13 (1) 23 ( 2) 33
b1 b2 a r r bn a
n n1 11
a21 r1 a11 a r3 31 r1 a11 r2
线性代数之——消元法
线性代数之——消元法1. 消元的思想针对下⾯的⽅程，我们⽆法直接得到⽅程的解。
x− 2y= 13x+ 2y= 11但如果我们将第⼆个⽅程减去第⼀个⽅程的 3 倍，上⾯的⽅程组就变成了下⾯这样。
x− 2y= 18y= 8这时候，我们就可以直接得到y=1，进⽽从第⼀个⽅程得到x=3。
可以看到，消元之后，⽅程组变成了⼀个下三⾓（upper triangular）的形式，然后我们就可以⽤回带法（back substitution）来快速地解出⽅程组的解。
进⾏消元的那⼀⾏的第⼀个⾮零值称为主元（pivot），消元时候的乘数就等于待消项的系数除以主元，在上⾯的例⼦中，乘数 3=3/1。
⼀般地，乘数可以表⽰为l ij=第i⾏待消去项的系数第j⾏的主元4x− 8y= 43x+ 2y= 11如果我们改变了第⼀个⽅程，那么乘数就等于 3/4。
消元之后，所有的主元都位于下三⾓的对⾓线上，并且主元不能是 0。
4x− 8y= 48y= 82. 消元的失效⽆解x− 2y= 13x− 6y= 11消元后x− 2y= 10y= 8这种情况下，我们遇到了 0y=8，说明原⽅程组⽆解。
从⾏图像中，我们也可以看到，两条平⾏的直线⽆法相交于⼀点。
⽽在列图像中，两个在同⼀⽅向上的向量不可能线性组合出不在这个⽅向上的向量。
⽆穷解x− 2y= 13x− 6y= 3消元后x− 2y= 10y= 0这种情况下，我们遇到了 0y=0，任何的y值都满⾜要求，此时y是“⾃由”的，确定了y之后x则由第⼀个⽅程确定。
从⾏图像中，我们也可以看到，两条直线相同，因此整条直线都是交点。
⽽在列图像中，左边的两个向量和右边的向量⽅向都相同，有⽆穷多个线性组合都可以产⽣右边的向量。
对于有n个⽅程的⽅程组，如果我们得不到n个主元，那么消元就会导致 0≠0，⽆解或者 0=0，⽆穷解，只有正好有n个主元的时候，⽅程组才有解，但我们可能需要进⾏⽅程的交换。
需要⾏交换0x+ 2y= 43x− 2y= 5消元后3x− 2y= 52y= 4⼀开始，第⼀⾏的主元为 0，⾏交换后，我们得到了两个主元 3 和 2，然后，⽅程就有了正常的解。
线性代数 高斯(Gauss)消元法ppt课件
线
2x1 8x2 6x3 6 ③
性
方 程 组
② 2① ③ ①
x1 x2 2 x3 1 3x2 3x3 0 3x2 x3 2
① ② ③
“回代”求解得：
x1 2, x2 1, x3 1.
①② ③ 0.5
③①
2
x1 x1
x2 2x3 1 ① x2 x3 2 ②
线 性
解
(2) 可知方程组有无穷多解， 即对任意的 x2，有
方 程 组
x1 x2
2x2 x2，
7，
x3 2 .
其中 x2 为自由未知量。
即
x1 2 7 x2 k 1 0 ,
( k 任意)
x3 0 2
注意体会求解“结果”的写法及表达方式。
10
§4.2 高斯(Gauss)消元法
x1 4x2 3x3 3 ③
x1 x2 3x2
2x3 3x3
1 0
2x3 2
继续“消元”得：
x1
x2
2 1
x3 1
3
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 启示 四 章
线 性 方 程 组
事实上，从上述对线性方程组的求解过程中可知： 真正参与运算的是线性方程组的系数项和常数项， 而未知量并不需要参与运算。
2
x1 x1
x2 2x3 1 x2 x3 2
x1 4 x2 3 x3 3
① ② ③
② 2① ③ ①
x1 x2 2 x3 1 3x2 3x3 0 3x2 x3 2
① ② ③
2 1 1 2 1 1 2 1 2 8 6 6 1 1 2 1 2 1 1 2 1 4 3 3 1 1 2 1 0 3 3 0 0 3 1 2
1线性方程组的消元解法
dr1 0 时，方程组有解
r( A ) r( Ab )
r n 时，方程组有唯一解 r( A ) r( Ab ) n r n 时，方程组有无穷多解 r( A ) r( Ab ) n
即： 线性方程组化为阶梯形后，有 r( A ) r( Ab ) 无解
r( A ) r( Ab ) n 唯一解
x1
13 7
3 7
c1
13 7
c2
x2
4 7
2 7
c1
4 7
c2
x3 c1
x4
c2
四、齐次线性方程组的求解 1、定理3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
是： r( A ) n
例5 解齐次线性方程组
x1 x2 5 x3 x4 0
x1 x2 2 x3 3x4 0
则方程组可写为： AX b
Ab
a11 a12 a1n b1
a21 a22 a2n b2
am1
am2
amn
bm
2、求解步骤：
① 写出增广矩阵
② 化为阶梯形
③ 判断是否有解，如有解
④ 进行回代
称为增广矩阵
化为阶梯形
a'
11
x1
a' 12 x2 a' 22 x2
1 0 1 7
0
1
4 1
8 9
2 4
方程组有无穷多个解
引例3 线性方程组
x31x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3x4
1
2
2x1 x2 2x3 2x4 3
解：消元得
x1
2x2 5x2
3x3 x4 4x3 1