第九章压杆稳定51587
第九章--压杆的稳定
Pcr
cr
A
a
b
d
4
2
380133N
丝杠的工作稳定安全系数为：
nst
Pcr P
380133 80000
4.75
4 [nst ]
校核结果可知，此千斤顶丝杠是稳定的
例9-5 简易起重机起重臂OA长l=2.7m，由外径D=8cm，内 径d=7cm的无缝钢管制成，材料Q235钢，规定的稳定安全 系数[nst]=3，试确定起重臂的安全载荷。
对于柱屈曲（压杆稳定）：
y M ( y) EI
力学上 ——载荷在横向干扰力产生的变形上引起 了弯矩
数学上 ——是一个求解微分方程的问题
3、杆端约束情况的简化 （1）柱形铰约束 （2）焊接或铆接
（3）螺母和丝杠连接
l0 / d0 1.5时,可简化为铰支座;l0 / d0 3时,简化为固定端;
cr
S
cr ab
③临界应力总图
P
2E
cr
2
s s a
b
P 2E
P
L
i
2.抛物线型经验公式
①P < < s 时： cr a1b12
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
c 时，由此式求临界应力
2E 0.56 S
②s < 时： cr s
(2)计算最小刚度平面内的临界力和临界应力。 截面的惯性矩为：
Iy
20 123 12
2880cm4
相应惯性半径：
iy
Iz 3.46cm A
其柔度为：
l
iy
0.5 400 3.46
第九章-压杆稳定.docx
第九章压杆的弹性稳定分析与稳定性设计材料力学教案学6孝时时本内容教1・学2.3. J 的重点和难点弹性体平衡构形稳定性的基本概念确定分叉荷载的平衡方法：欧拉压杆、其他刚性支承压杆柔度、大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆临界压力总图；压杆失效的不同类型与稳定性设计准则掌握稳定性的基本概念与用平衡方法确定的压杆分叉荷载。
掌握柔度的概念与大、中、小柔度杆的区分、临界应力的计算。
目解压杆失效和稳定性设计准则。
重点: 1)2) 稳定性的基本概念。
欧拉杆与其他刚性支承压杆的临界应力计算式。
柔度的概念以及常用结构钢的P，S的计算。
难点: 1) 不同形状截面压杆的mh的确定常用结构钢的教口」的措）方法作业用简单模型教具表演在临界压力下的压杆的平衡构形和提高承载能力学So第九章 压杆的弹性稳定分析与稳定性设计刚体的平衡位形和弹性体的平衡构形都存在稳定与不稳定问题。
本章首先介绍关于弹性体平 衡构形稳定性的基本概念。
然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚 性支承条件下弹性压杆的临界荷载。
最后介绍两种工程屮常用的压杆稳定设计方法。
§ 9-1弹性体平衡构形稳定性的基本概念1.弹性稳定性的静力学判别准则结构构件或者机器零件在荷载作用下，在某一位置保持平衡，这一平衡位置称为 平衡构形。
例如弹性压杆具有直线平衡构形和弯曲平衡构形两种形式。
图 9-la当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离初始平衡构形；件仍能回复到初始平衡构形，外界扰动使其偏离初始平衡构形； 始平衡构形是不稳定的。
此即判別弹性稳定性的静力学准则。
不稳定的平衡构形在任意微小的外界挠动下，都要转变为其它平衡构形或失稳，程称为屈曲或失稳。
通常，屈曲将导致构件失效一一称屈曲失效。
由于这种失效具有突发性, 常给工程带来灾难性后果。
2.弹性压杆的平衡构形及分叉屈曲轴向受压的理想细长直杆， 当轴向压力小于一定数值时， 压杆只有一种稳定的直线平衡 构形；当轴向压力大于一定数值时，压杆存在直线或者屈曲的两种可能的平衡构形，而且直线平 衡构形在微小侧向干扰力作用下立即会转变成不稳定的屈曲平衡构形，这种现象称为平衡构形分 叉。
第九章 压杆稳定课件
∴ F = cr
π 2EI
l
2
—— 欧拉公式
上式即为两端铰支细长压杆临界力F 上式即为两端铰支细长压杆临界力 cr的计算 细长压杆临界力 公式,由欧拉( 年首先导出, 公式,由欧拉(L.Euler)于1744年首先导出,所 ) 年首先导出 以通常称为欧拉公式.应该注意, 以通常称为欧拉公式.应该注意,压杆的弯曲是 欧拉公式 在其弯曲刚度最小的平面内发生, 在其弯曲刚度最小的平面内发生,因此欧拉公式 中的I应该是截面的最小形心主惯性矩. 中的 应该是截面的最小形心主惯性矩. 应该是截面的最小形心主惯性矩
26
表91 各种支承条件下细长压杆的临界力
支承情况 两端铰支 一端固定 一端铰支 Fcr 两端固定, 两端固定, 但可沿纵向 相对移动 Fcr 一端固定 一端自由 Fcr 两端固定, 两端固定, 但可沿横向 相对移动 Fcr
Fcr 失 稳 时 挠 曲 线 形 状
l l
l 0.7l l 2l l 0.5l
10
平衡的三种状态: 平衡的三种状态: 体系受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡 状态,当干扰消除后, 能够恢复到原有的平衡 状态,当干扰消除后,它能够恢复到原有的平衡 状态,则原有平衡状态称为稳定平衡状态. 状态,则原有平衡状态称为稳定平衡状态. 稳定平衡状态
稳定平衡状态
11
当干扰消除后, 不能够恢复到原有的平衡状 当干扰消除后,它不能够恢复到原有的平衡状 能够在新的状态维持平衡, 态,但能够在新的状态维持平衡,则原有平衡 状态称为随遇平衡状态 随遇平衡状态. 状态称为随遇平衡状态.
浅拱失稳
9
稳定性:指构件或体系保持其原有平衡状态的能力. 稳定性:指构件或体系保持其原有平衡状态的能力. 或体系保持其原有平衡状态的能力 失 稳:指构件或体系丧失原始平衡状态的稳定性, 指构件或体系丧失原始平衡状态的稳定性, 由稳定平衡状态转变为不稳定状态. 由稳定平衡状态转变为不稳定状态. 在工程实际中,为了保证构件或结构物能够 在工程实际中,为了保证构件或结构物能够 构件或结构 安全可靠地工作,构件除了满足强度 刚度条件 安全可靠地工作,构件除了满足强度,刚度条件 强度, 外,还必须满足稳定性的要求. 还必须满足稳定性的要求. 稳定性的要求
第九章 压杆稳定
301106 478MPa
Fcr 478 nst 11.5 [nst ] Fmax 41.6
所以满足稳定要求。
[例5] 某液压油缸活塞直径 D 65mm ，油压 p 1.2MPa 。活塞 P 220MPa， 杆长度 l 1250 mm ，材料为35钢， E 210 GPa ，
长度系数μ
Fcr
2 EI
l2
μ=1
μ0.7
μ=0.5
μ=1
0.5l
[例2] 求下列细长压杆的临界力， 解：图(a) F
E 200GPa ,l 0.5m 。
F
10
50103 12 I min 10 4.1710 9 m 4 12
2 I min E 24.17200 Fcr 67.14kN 2 2 ( 1l ) (0.70.5)
AB杆满足稳定性要求
P 280MPa， [例4] 空气压缩机的活塞由35钢制成， s 350MPa ，
E 210 GPa 。长度 l 703mm，直径 d 45 mm ，最大压力
Fmax 41.6kN ，规定安全系数为 [nst ] 8 ~ 10 。试校核其稳定性。
9.3 9.8 9.14
2E 2 210 109 97 对所用材料35钢来说： 1 6 P 220 10
由于 1 ，所以前面用欧拉公式进行的试算是正确的。
l
§9-5 提高压杆稳定性的措施
EI Fcr 2 ( l )
2
欧拉公式
Fcr
越大越稳定
减小压杆长度 l
减小长度系数μ（增强约束） 增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） 增大弹性模量 E（合理选择材料）
第九章 压杆稳定
π EI 64 Fcr = = (l)2 ( l)2
2
π2E
π d4
为原压杆的
2 2
（2）
F正 cr F圆 cr
π 2 EI 正 ( l)2 I正 = 2 π EI 圆 = I 圆 2 ( l)
πd 4 4 a π 12 = 12 = = 4 4四根细长压杆中那一根最先失稳？ 当压力逐渐加大，四根细长压杆中那一根最先失稳？ 材料和直 径均相同
压杆的稳定性条件可表示为: 压杆的稳定性条件可表示为: 稳定性条件可表示为
Fcr n= ≥ nst F
Fcr F≤ = [Fst ] nst
F为压杆的实际工作压力。 为压杆的实际工作压力。 为压杆的实际工作压力
（1）稳定安全系数 一般比 强度安全系数高； 强度安全系数高； （2）稳定性计算的三类问题
λ ≥ λP
压杆的柔度 细长比： 压杆的柔度或细长比： 柔度或 欧拉公式的适用范围： 欧拉公式的适用范围：
λ=
l
i
满足此式的压杆，称 满足此式的压杆， 大柔度杆或 P 为大柔度杆或细长杆
λ ≥λ
λP 仅与材料的性质有关，如，Q235钢： 仅与材料的性质有关， Q235钢
三、中、小柔度杆的临界应力 当柔度小于 直线公式
π 2E λP = ≈100 σP
时，采用经验公式计算临界力
其中： 为与材料有关的常数。 σcr = abλ 其中：a 、b 为与材料有关的常数。 a σs —— 塑性材料 适用范围： 适用范围：σcr = a bλ ≤ σb —— 脆性材料 a σs (σb ) = λ0 λ≥
直线公式的适用范围： λP 直线公式的适用范围：
令
λ=
l
i
i
第9章 压杆稳定 课件
第9 章 压杆稳定
物体平衡的稳定性
随遇平衡 不稳定平衡
稳定平衡
第9 章 压杆稳定
压杆稳定性的几个概念
? 稳定失效：指构件在某种外力 （例如轴向压力）作用下，其 平衡形式发生突然转变。
? 稳定平衡状态 ：当承受的载荷 小于 某一确定值 Fcr 时，压杆保持直线 平衡状态。此时给杆加一 横向干扰 力，杆便发生微小弯曲，干扰力去 掉后，杆件将在平衡位置附近摆动， 最终恢复到原来的直线平衡位置。 这说明压杆原来的平衡状态是稳定 的。
对于细长杆件 ，受压 开始时轴线为直线，接着 被压弯，发生大的弯曲变 形，最后折断。
例：如图所示发动机 配气机构中的 挺杆，在推 动摇臂打开气阀时，受到 压力作用。
摇臂
气阀
挺杆
第9 章 压杆稳定
内燃机的 连杆
撑杆跳运动员用的 杆
第9 章 压杆稳定
勃兰登堡门 （BRANDENBURGER TOR ）： 它建于 1788年~1791年，一直是德国统一的象征。
第9 章 压杆稳定
失稳曲线
w ? A sin n? x
l
n=1
n=2
n=3
l
第9 章 压杆稳定
附：求二阶常系数齐次微分方程 y ??? p y ?? 的q 通? 解0
特征方程为 r 2 ? pr ? q ? 0 ① 两个不相等的实 根r1，r2 通解
y ? C1e r1x ? C2e r2x ② 两个相等的实根 r1＝r2 通解
EI
d2y dx2
?
k
2y
?
0
第9 章 压杆稳定
x
Pcr
通解为：
d2y dx2
?
k
2y
第9章压杆稳定资料
第九章 压杆稳定
§9.1 §9.2 §9.3
§9.4 §9.5 §9.6
压杆稳定的概念 两端铰支细长压杆的临界压力 其他支座条件下细长压杆的 临界压力 欧拉公式的适用范围 经验公式 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施
目录
§9.1 压杆稳定的概念(The basic concepts of columns)
临界压力
269103 N 269kN
目录
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
(Euler’s Formula for other end conditions ) 对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法：
1、从挠曲线微分方程入手 2、比较变形曲线
B
l
A
l
C
一端固定一端自由
Fcr
在材料力学中，衡量构件是否具有足够的承载能力， 要从三个方面来考虑：强度、刚度、稳定性。
稳定性 — 构件在外力作用下，保持其原有 平衡状态的能力。
目录
§9.1 压杆稳定的概念
工程实际中有许多稳定性问题，但本章主要讨论压杆 稳定问题，这类问题表现出与强度问题截然不同的性质。
F
目录
§9.1 压杆稳定的概念
2 EI
(2l ) 2
目录
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
Fcr
Fcr
B
l
4
D
l
2
C
l
A
4
两端固定
Fcr
2EI
(0.5l ) 2
B
0.7l
l
C
A
一端固定 一端铰支
Fcr
2EI
第九章_压杆稳定
第 1 页/共 2 页9-5 未失稳失，轴向压缩 T F L L ∆=∆TEA F TL L EAFL L l l T F αα=⇒=∆=∆， 临界状态 kN 3.109)5.0(22cr ==L EIF π由cr F F =得，温升C EALEI T l ︒==2.29422απ 9-8 由铰B 平衡，22BC AB F F F +=，ABBC F F =θtan F 最大时，AB F 与BC F 均达到临界值2222)sin ()cos (βπβπAC EI F AC EI F BC AB ==， )arctan(cot cot tan 22βθβθ==⇒， 9-10 柔度临界值 p2p σπλE = （1）5.72p =λ，（2）8.65p =λ，（3）6.73p =λ 9-12 AB 与BC 均为两力杆，由铰B 平衡可得 F F BC 75=（压） 柔度 m m 320m 5.215.216=====i l i l，，，其中μμλ 稳定因素 06.028002==λϕ稳定许用应力 MPa 6.0][][st ==σϕσ st ][MPa 58.0σσ<==AF BC ，满意稳定性条件。
9-15 组合压杆的临界力cr F 为杆BC 与AB 临界力的最小值柔度临界值 1002==PP E σπλ P ACAC P BC BC i AC i BC λλλλ>=====1047.0100，大柔度杆，由欧拉公式N 1094.0)7.0(N 1004.1622622⨯==⨯==AC EIF BC EIF AC BC ππ，N 1094.06cr ⨯==⇒AC F F许用压力 kN 376][stcr ==n F F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛======kN 416MPa 8.82][MPa 1.207BC kN 376MPa 6.76][MPa 4.191AC st cr st cr F F ，，：，，：σσσσ 9-17 杆AC ，强度许用应力 MPa 118][st ==n σσ 最大弯矩 26132bh W F M B ==， 最大应力 kN 6.95][41][2max =≤⇒≤=bh F W M B σσσ 杆CD ，柔度P iCD λλ>==200，大柔度杆 由欧拉公式 MPa 3.4922cr ==λπσE 稳定许用应力 MPa 4.16][st cr st ==n σσ 压力 F F CD 31=应力 kN 5.15][3][st st =≤⇒≤=A F AF CD σσσ 结构的许可荷载 kN 5.15][=F。
第九章压杆稳定5257057页PPT
y z
l
x
h b
分析
在xy平面内可视为两端铰支 在xz平面内可视为两端固定
（1）在xy平面失稳
y
x
h
z
l
b
I I z 4.51 0 8m 4
1（两端铰支）
Fcr
2 EI
l 2
220 0 10 94.510 8
11.22
61.7kN
（2）在xz平面失稳
y
x
h
z
l
b
I I 13 0 23 0 1 0 12 2 1 0 8m 2 y 12
欧拉公式的适用范围为：
p
欧拉公式的适用范围为： p
为压杆的柔度
l
i
p
E p
p 是压杆本身材料的性质，与 压杆的 几何性质无关。
p 的杆件称为大柔度杆（细长压杆）。
结论： 只有对大柔度杆才能使用欧拉公式计 算压杆的临界压力和临界应力。
常用材料的 p 值
对于Q235普通碳钢 E20G6P , ap20M 0Pa
临界载荷 Fcr 的定义为：压杆在微弯状态
下，能够保持随遇平衡的最小轴向力。
n 0,
F 0, 不合题意
当 n1时 , F 将取最小值。
压杆失稳的临界载荷 Fcr 为：
Fcr
2EI
l2
欧拉公式
例题
杆的长度l = 30cm，横截面的 h = 1.0 cm
b= 0.1cm 材料的 E 20 G0 ,Pb a 40 M 0P
p
220 6109 100 20 0106
对于高强度铝合金 E7G 0 P , ap17M 5Pa
p 1 27 75 0 1 10 6 0 9 62 .8
北大材料力学-第九章压杆稳定
利用计算机仿真技术，建立压杆的有限元模型，通 过模拟压杆在不同受力状态下的响应，确定临界载 荷和失稳形式。
不同材料和截面形状的压杆稳定性
材料性质
不同材料的弹性模量、泊松比等 参数对压杆的稳定性有显著影响 。
截面形状
不同截面形状的压杆在相同外力 作用下的稳定性不同，例如圆形 截面、方形截面和工字形截面等 。
根据压杆的长度、截面尺寸和 材料属性等因素，通过欧拉公 式计算临界载荷，判断压杆是 否稳定。
经验公式
根据工程实践经验，总结出一 些经验公式，用于估算临界载 荷和稳定性。
试验法
通过试验测试压杆的临界载荷 和失稳形式，直接判断其稳定 性。
有限元分析
利用有限元分析软件模拟压杆 的受力状态和变形过程，评估 其稳定性。
02
压杆的临界载荷
欧拉公式
欧拉公式是计算等直压杆临界载荷的首要公式，它 表示压杆临界载荷与柔度之间的关系。
公式表达为：Fcr = π²EI/（μ²L₀），其中Fcr为临界载 荷，E为弹性模量，I为横截面惯性矩，μ为长度系数， L₀为压杆长度。
欧拉公式适用于细长等直压杆，当压杆长度与直径 之比大于或等于40时，才可视为细长杆。
当压杆受到周期性外力作用时， 会发生弯曲振动。
弯曲振动会导致压杆的应力波动， 从而影响其稳定性。
弯曲振动频率和振幅对压杆的稳 定性有重要影响，频率越高、振
幅越大，压杆越容易失稳。
弯曲振动对压杆稳定性的影响
弯曲振动会改变压杆 内部的应力分布，从 而影响其稳定性。
通过控制弯曲振动频 率和振幅，可以有效 提高压杆的稳定性。
优化结构设计
通过对压杆结构的合理设计， 如改变截面形状、增加支撑等 方式，提高压杆的稳定性。
第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定§9-1 压杆稳定的概念一、压杆稳定问题的提出在前面讨论的受压杆件，是从强度方面考虑的，根据轴向压缩强度条件来保证压杆的正常工作。
事实上，这仅对于短粗杆才是正确的，而对于细长杆，就不能单纯从强度方面考虑了。
例如，一根20.511mm ⨯的矩形截面钢杆（钢锯条），其屈服极限为780s MPa σ=，承受轴向力P 作用（图9-1-1）。
当杆很短时（5mm 左右），将它压坏所需要的压力1 4.29s P A KN σ==；当杆长达313mm 时，则只需要用2 2.4P N =的压力，就会使杆突然变弯而丧失承载能力。
这个例子中，21P P <<，这说明细长杆的承载能力并不取决于杆的抗压强度，而是与它受压突然变弯有关。
失稳：细长杆受压力时，不能保持原有直线状态的平衡而突然变弯的现象称为丧失稳定——失稳。
压杆的稳定性：受压杆件保持直线状态平衡的能力——稳定性。
由此可见，细长压杆的破坏形式是失稳。
因此，应考虑其稳定性问题，而不是强度问题。
二、平衡的稳定性为了研究压杆的稳定问题，需要弄清平衡的稳定性。
下面就借助于刚性小球的三种平衡状态来说明平衡的稳定性问题。
1、小球在凹面上的平衡——稳定平衡。
扰动后，小球能恢复原来的平衡状态。
（图9-1-2a ）2、小球在平面上的平衡——随遇平衡（临界平衡）。
扰动后，小球就在新的位臵平衡，即不恢复，也不继续偏离原位臵（图9-1-2b ）。
3、小球在凸面上的平衡——不稳定平衡。
扰动后，小球迅速偏离原来的平衡位臵，再也不能回到原来的平衡状态（图9-1-2c ）。
任何物体的平衡都有这三种状态，即稳定平衡，随遇平衡和不稳定平衡。
随遇平衡是物体从稳定平衡变为不稳定平衡的过渡状态——称为临界平衡。
上面小球的平衡状态的决定因素是——支承面的形状。
三、细长压杆的平衡状态现在回到我们的主题——压杆的稳定性问题上来。
对于受到轴向压力的细长杆，其直线状态的平衡是否也有稳定性问题呢？答案是肯定的。
第九章压杆稳定-文档资料88页
l
x
F=Fcr
y
F=Fcr
材料力学
中南大学土木建筑学院
12
M =Fcrw
E Iw MF crw
w Fcr w 0 EI
记
k 2 Fcr EI
wk2w0
通解 w=Asinkx+Bcoskx
边界条件Ⅰ： x = 0，w = 0
B=0
w=Asinkx
材料力学
m l2
引入 惯性半径 i I A
材料力学
中南大学土木建筑学院
34
临界应力
s cr
p2Ei2
m l 2
记 m l 称为实际压杆的柔度（长细比）
i
柔度 集中反映压杆的长度、约束条件、
截面尺寸和形状对临界应力的影响。
用临界应力表达的欧拉公式
s cr
p2E
2
相同面积条件下，临界应力
EI
x
Fcr FR
得： dd2xw2 k2wF ERI(lx)
w
x
l
解得： wAsinkxBcoskxFR(lx)
Fcr
y
材料力学
中南大学土木建筑学院
18
wAsinkxBcoskxFR(lx)
由杆端的边界条件：
x 0， w 0
Fcr B FR l 0
F cr
材料力学
中南大学土木建筑学院
7
F
B k
刚 性 杆
l
F
F
F
B
FR
B
FR
B
FR
微
直
小继 续线偏偏平
转
转
衡
第九章压杆稳定51587
• 19世纪末，加拿大人准备在圣劳伦斯河上建造一座大桥，选定桥址后却发现 桥址两岸恰好是印第安人的坟墓，一共86座。为了建桥，加拿大人迁走了这 些坟墓，而印第安人则满怀怨愤，他们公开诅咒这座桥要断三次！ • 1903年，魁北克铁路桥梁公司请了当时最有名的桥梁建筑师美国的特奥多 罗· 库帕来设计建造。该桥采用了比较新颖的悬臂构造，这样的结构非常流行, 库帕曾称他的设计是“最佳、最省的”。库帕自我陶醉于他的设计，而忘乎 所以地把大桥的长度由原来的500米加到600米，以成为世界上最长的桥。 。 但魁北克大桥却存在设计问题，自重过大而桥身无法承担。在接近完工时， 悲剧发生了。8月29日，魁北克大桥的南悬臂和一些中央钢结构像冰柱融化一 样坍塌并掉进了圣劳伦斯河中，发生事故时桥上一共有86个工人，死了75个。 • 大桥第一次倒塌后，加拿大人不信邪，经过事故调查，另请高明，继续建造 魁北克大桥，这次桥的规模扩大了。可是，在1916年9月11日，在吊装预制的 桥梁中央段时，大桥再次倒塌，这次事故中死了11人。由于这次事故属于施 工事故，所以原设计没有变更。后来，新的桥梁中央段终于被成功地吊装到 了两边的悬臂上。1919年8月，耗时近20年的魁北克大桥终于完工通车，这座 桥是当时全世界最长的悬臂桥，主跨度为549米。 • 至今，魁北克大桥已经先后断了两次，一共死了86人，正好和迁走的印第安 人的坟墓数相等，人们都感叹印第安人的诅咒竟然如此灵验！印第安人诅咒 的三次断桥已经发生了两次，那么，下一次会在什么时候呢？ • 1966—1970年，在魁北克大桥的旁边，又造了一座新的斜拉桥，一开始称 “新魁北克大桥”，后改名为Pierre-Laporte Bridge(皮埃尔-拉波特,可能是忌讳 “魁北克大桥”这几个字不吉利），这座桥主跨度为667.5米，超过了魁北克 大桥。现在，主要的交通都由这座新桥承担，老魁北克大桥有了喘息的机会， 大家也大可不必心惊胆战地过桥。
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y
其中令 : k2 F
EI
③微分方程的通解： A si kn x B ck ox s
④确定积分常数： x 0 x l ( 0 )( L ) 0
即 : A A s0i nkBL 0BcoksL0
B 0 A0
sik n L0 k l n(n 1,2,3......)
k n F
L EI
2.
挠曲线为半波正弦曲线
x l 时, 2
(l )
2
max
A
A为压杆中点挠度。
问题：压杆为空间实体，在轴向力作用下 如失稳，它朝哪个方向弯？ y
h
x
b 例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失z 稳弯曲？
（绕哪个轴转动）
Fy
Fz
x y=f (x)
zy
zy
x z=f (x)
xy平面内弯
xz平面内弯
绕z轴转动
位置。
(2) 当F等于某个临界值Fcr时，若没有干扰，杆件可保持直线 平衡状态，只要一加干扰，杆件将弯曲，干扰去掉后，杆件 保持在微弯状态下的平衡，不再回到原来的直线平衡形式， 我们说杆原来的直线平衡状态是不稳定的。
从上面的分析，我们知道：
F < Fcr F> = Fcr
压杆处于稳定平衡 压杆失稳
所谓稳定性，指的是构件保持其原有的平衡 形式的能力，是指平衡的稳定性。
• 至今，魁北克大桥已经先后断了两次，一共死了86人，正好和迁走的印第安 人的坟墓数相等，人们都感叹印第安人的诅咒竟然如此灵验！印第安人诅咒 的三次断桥已经发生了两次，那么，下一次会在什么时候呢？
• 1966—1970年，在魁北克大桥的旁边，又造了一座新的斜拉桥，一开始称 “新魁北克大桥”，后改名为Pierre-Laporte Bridge(皮埃尔-拉波特,可能是忌讳 “魁北克大桥”这几个字不吉利），这座桥主跨度为667.5米，超过了魁北克 大桥。现在，主要的交通都由这座新桥承担，老魁北克大桥有了喘息的机会， 大家也大可不必心惊胆战地过桥。
魁北克大桥第一次断桥（1907年）
魁北克大桥第二次断桥（1916年）
现在的魁北克大桥
多种形式的平衡都存在稳 定的问题,失稳现象在受压和受 扭的薄壁结构中也见过。
二、三种平衡形式
1. 稳定平衡
2. 不稳定平衡
3.随遇平衡
三.压杆失稳与临界压力
对于理想压杆（轴线笔直、杆的材料均匀，荷载的作用 线与轴线重合），它的平衡也有与上类似的三种形式：
2020/6/3
液压缸 顶杆
压杆
高压输电线路保持相间距离的受压构件
桁架中的压杆
脚手架中 的压杆
硬气功 顶枪
§9–1 压杆稳定性的概念
一.问题的提出
构件的承载能力：
①强度 ②刚度
③稳定性
工程中有些构件
具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
1881-1897年间，世界上曾有24座较大的 金属桁架结构的桥梁发生了整体破坏,分析其 破坏的原因，不是由于强度不足造成的，而是 由于部分受压杆件因为轴向压力超过一定的限 度而使其直线平衡形式变为不稳定引起的，也 就是失稳造成的,1907年,加拿大长达548米的魁 北克大桥在施工时突然倒塌,是由于两根受压杆 失稳引起的……
F<FCr
F=FCr
F>FCr
稳定的平衡
微弯平衡
不稳定的平衡
(1) 保持平衡。我们说，杆件在F的作用下处于稳定的平衡状态， 此时的平衡具有抗干扰性.在杆端加F小于某个临界值Fcr,钢条能 保持直线位置平衡状态。加干扰：用手指横向推动杆端，这时钢 条弯了，但手指一离开，钢条就来回摆动，最后回到原来的直线
• 19世纪末，加拿大人准备在圣劳伦斯河上建造一座大桥，选定桥址后却发现 桥址两岸恰好是印第安人的坟墓，一共86座。为了建桥，加拿大人迁走了这 些坟墓，而印第安人则满怀怨愤，他们公开诅咒这座桥要断三次！
• 1903年，魁北克铁路桥梁公司请了当时最有名的桥梁建筑师美国的特奥多 罗·库帕来设计建造。该桥采用了比较新颖的悬臂构造，这样的结构非常流行, 库帕曾称他的设计是“最佳、最省的”。库帕自我陶醉于他的设计，而忘乎 所以地把大桥的长度由原来的500米加到600米，以成为世界上最长的桥。 。 但魁北克大桥却存在设计问题，自重过大而桥身无法承担。在接近完工时， 悲剧发生了。8月29日，魁北克大桥的南悬臂和一些中央钢结构像冰柱融化一 样坍塌并掉进了圣劳伦斯河中，发生事故时桥上一共有86个工人，死了75个。
截面绕y轴转动
F x
பைடு நூலகம்
F 朝哪个方向弯?
临界压力公式中是对哪根轴的I？
Fcr维持微弯平衡状态最小的压力 ①各方向约束情况相同时：
I＝Imin––– 最小形心主惯性轴 ②使各F方cr向最约小束的情方况向不为同实时际：弯曲方向，I取 挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。
失稳:构件不能维持原有直线形状的平衡状态而 突然变弯,这一现象称丧失稳定,又叫失稳。
实际上，这种横向干扰是普遍存在的，象载荷 往往存在偏心，风力的存在，材料不均匀，或者杆 件存在初曲率等等，所以对压杆稳定性的研究具有 很实际的意义。
工程实际中的压杆不允许失稳。 从上面的分析，我们知道，研究压杆稳定性的 关键是确定：
Fcr ––– 临界压力 临界力
§9–2 细长中心压杆临界力的欧拉公式
1、两端铰支压杆的临界力:
假定压力已达到临界值Fcr ，杆已经处于微弯状态，如图， 从
挠曲线入手，求临界力Fcr。
F x
F ①弯矩： M(x)F
②挠曲线近似微分方程：
M F
M(x)Fcr
EI EI
F x
Fcrk20
EI
二阶常系数线性微分方程
临界力 Fcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 .
2EI
Fcr L2
2EI
Fcr L2
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
2、此公式的应用条件：
1.理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀） ； 2.线弹性小变形范围内； 3.两端为球铰支座。
注: 1.不考虑杆的轴向变形；不考虑剪切变形的影响。
• 大桥第一次倒塌后，加拿大人不信邪，经过事故调查，另请高明，继续建造 魁北克大桥，这次桥的规模扩大了。可是，在1916年9月11日，在吊装预制的 桥梁中央段时，大桥再次倒塌，这次事故中死了11人。由于这次事故属于施 工事故，所以原设计没有变更。后来，新的桥梁中央段终于被成功地吊装到 了两边的悬臂上。1919年8月，耗时近20年的魁北克大桥终于完工通车，这座 桥是当时全世界最长的悬臂桥，主跨度为549米。