应用matlab解决排队论的问题

应用MATLAB 解决排队论的问题 背景介绍：

排队论起源于1909年丹麦电话工程师A.K.爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问题进行了研究。1917年爱尔朗发表了他的著名文章“自动交换机中的概率理论问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库存、医疗、教育、水利灌溉之类的排队系统问题，显示了强大的生命力。

排队是日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店去购买物品、病人到医院去看病常常需要排队。此时要求服务的数量超过服务机构的容量。也就是说到达的顾客不能立即得到服务，应而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话的占线问题，车站，码头等交通枢纽的堵塞和疏导，故障机器的停机待修。由于顾客到达和服务时间的随机性，可以说排队现象是不可避免的。

模型介绍：

1. 排队系统

1.1. 输入过程

顾客源：有限/无限 顾客流的分布： 泊松分布/一般分布

1.2 排队规则

排队方式：一直等待/一定时间后退出

1.3 服务规则

服务器数目：一个/多个

服务时间的分布：指数分布/一般分布

2. M/M/1模型

2.1 例子：

假设

1) 顾客按照速率为λ的泊松过程到达一个单个服务线的服务站。也就是说，相继达到者之间的时间是独立的具有均值1λ

的指数分布。 2) 在每个顾客到达时，如果服务器闲着，就直接进入服务，否者顾客就加入队

列。当服务线完成一个顾客的服务，这个顾客就离开系统，而队列中的下一个顾客（如果有）进入服务。

3) 相继的服务时间假定是独立的具有均值1μ

的指数分布。 参数：

λ：顾客按泊松过程到达的速率

μ：服务按指数分布的速率

n P ：系统中恰有n 个顾客的稳态概率

L ：系统中平均顾客数

Q L ：队列中平均等待的顾客数

W ：一个顾客在系统中所耗的平均时间

Q W ：一个顾客在队列中等待的平均时间

()E S ：一个顾客在服务系统中的时间

解：

如果系统中只有一个顾客，而且完成了服务，那么系统就变成空的了。顾客进入系统之前系统也是空的。由于顾客到达的速率为λ，而系统是空的平均时间为0P t 。服务的速率为μ，系统有一个人的平均时间为1Pt 。根据顾客进入系统的次数应等于离开的次数

0101Pt Pt P P λμλμ=⇒=

如果系统中有多个顾客，顾客可以以速率λ离开这个系统，或者以速率μ离开这个系统，因此顾客流将以速率()n P λμ+达到有n 个人的系统，n 个人的系统可能是原有1n +个人离开了一个人，也可能是原有1n -个人进来了一个人

()11n n n P P P λμλμ-++=+

⇔ 10P P λμ= 11,1n n n n P P P P n λλμμ+-⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭

迭代可得：00P P =

10

P P λμ= 2211010P P P P P P λλλλμμμμ⎛⎫⎛⎫=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1110n n n n n n P P P P P P λλλλμμμμ++-⎛⎫⎛⎫=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

由于n P 的和必须等于1 000011n n n n P P P λλμμ

∞∞==⎛⎫=== ⎪⎝⎭-∑∑ ⇒ 01P λμ=- 1

1,1n n P n λλμμ+⎛⎫⎛⎫=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

我们现在用极限概率n P 来计算L ，W ，Q L 和Q W 。

由于系统中的平均顾客数为一个顾客在系统中服务的时间段中进来系统的顾客： L W λ=

同理可得： Q Q L W λ=

系统中平均顾客数为，系统中顾客数的期望即：

1001n n n n L nP n λλλμμμλ

+∞∞==⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑ 则 1L

W λμλ

==- 1()()

Q W W E S W λμμμλ=-=-=- 2

()

Q Q L W λλμμλ==- 3. 问题分析

3.1 基于连续时间马氏链对M/M/1模型进行分析：

对于M/M/1，队长过程是一个连续时间的马氏链: 如果已知现在0t 系统中有k 个顾客：0t k ξ=，则将来时刻0t t >的対长将依赖于k 以及 i.

现在正在接受服务的k 个顾客在0(,]t t 内结束服务而离开的个数； ii.

在0(,]t t 内新到的顾客数； iii. 时刻0t 之后才开始接受服务的顾客0(,]t t 内结束服务而离开的个数。 由于指数分布的无记忆性，上述三个因素都与0t 时刻前的对长无关。

3.2 M/M/1的速率矩阵

00

()0000000()λλμ

μλλμλμμλ-⎛⎫ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪-+⎝

⎭

3.3 记λρμ

= i.

1ρ>，链为非常返； ii. 1ρ=，链为零常返；

iii. 1ρ<，此时平稳分布11,1n n P n λλμμ+⎛⎫⎛⎫=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

4. MATLAB 对Q W 的仿真模拟

=0.9μ 0.4λ=

4.1理论和仿真值的对比：请输入仿真顾客总数=10000

理论平均等待时间=2

理论平均排队时间=0.88889

理论系统中平均顾客数=0.8

理论系统中平均等待队长=0.35556 仿真平均等待时间=2.0753

仿真平均排队时间=0.9596

仿真系统中平均顾客数=0.8265

仿真系统中平均等待队长=0.38216