第七章：牛顿迭代法,弦截法

弦截迭代公式为 xk 1 k 0 1 2 3
xk e xk xk ( xk xk 1 ) xk xk 1 ( xk xk 1 ) (e e )
xk 0.5 0.6 0.567 54 0.567 15
x* x3 0.567
练习 用弦截法求方程 x-lnx=2 在[2,4]内的一个根. 答案:
f ( x ) x ln x 2
取x0=2， x1=4经计算可得 x x3 3.146193221.
弦截法的计算框图
开始
输入x 0 , x1 ,
x 2 x1
f ( x1 ) ( x1 x0 ) f ( x1 ) f ( x0 )
| x 2 x1 | F x 0 x1 x1 x 2
x x3 0.567
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练习 用牛顿迭代法求方程 x-lnx=2 在[2,4]内的一个根.
答案:
f ( x ) x ln x 2
f ( x ) 1
相应的牛顿迭代公式为 xk 1 xk
取x0=3，经计算可得 x x3 3.146193221.
xk ln xk 2 xk (1 ln xk ) 1 xk 1 1 xk
T
出 输出 x 2
结束
弦截法的特点: 计算 xk+1 时要用到前两步的信息xk, xk-1, 即这种迭代法为 两步法. 使用这种方法必须提供两个初始值x0, x1.
几何意义
例 用弦截迭代法求上一节的方程 xex-1=0 在x=0.5附近的根。
答案: 方程化为 x-e –x=0, 令 f ( x) x e x
取初值 x0=1.5, 迭代5次可得 3≈1.732050808
问题 如何用牛顿法计算任意正数的算术平方根？ 是否还能用牛顿法计算一个正数的立方根？ 练习 用牛顿迭代法计算 115 . 答案: 10.723805
牛顿迭代法的优缺点: 优点: 公式简单, 使用方便, 易于编程, 收敛速
度快,易于求解非线性方程根的有效方法. 缺点: 计算量大, 每次迭代都要计算函数值与导数值.
Newton迭代公式
0 xk 1 xk
x
xk 1
f ( xk ) xk , k 0,1, 2, f ( xk )
一、牛顿迭代法(切线法)
2. 牛顿迭代法的收敛性 ——局部收敛
定理 如果在有根区间[a,b]上 f´(x)≠0，f″(x)连续且不变
号, 在 [a, b]上取初始近似根 x0 , 使得 f ( x0 ) f ( x) 0 则牛顿迭代法收敛.
一、牛顿迭代法
二、弦截法
一、牛顿迭代法(切线法)
1. 牛顿法的基本思想
把非线性方程线性化，用线性方程的解逐步逼 y 近非线性方程的解。 y f x 过曲线上的点pk(xk , f(xk))作切线， 取切线与轴的交点为 xk+1. pk x k , f ( x k ) 切线方程 y=f(xk)+f(xk)(x – xk) x* 点(xk+1, 0)满足该方程, 即 0= f(xk)+f(xk)(xk+1 – xk) 由此得 f(xk)(xk+1 – xk) = – f(xk) 若 f(xk )≠0, 则得
二、弦截法(割线法)
研究目的：在牛顿法基础上，构造既有 较高的收敛速度，又不须导数的迭代公式.
f ( x k ) f ( x k 1 ) 代替导数 f ( xk ) 思想： 用差商 x k x k 1
弦截迭代公式
f ( xk ) xk 1 xk ( xk xk 1 ), f ( xk ) f ( xk 1 ) k 1, 2,
一、牛顿迭代法(切线法)
3. 牛顿迭代法的计算步骤
(1)给出x0 , ε；
f ( x0 ) x x (2)计算 1 0 f ( x0 )
(3)若 x1 x0 , 则转(4)；否则 x0 x1 ，转(2);
(4)输出x1 , 结束.
例 用牛顿迭代法求方程 xex-1=0 在x=0.5
1 x
例 用牛顿迭代法计算 3 .
答案:
令 x 3 , 则x2-3=0, 求 3 等价于求方程 f ( x) x 2 3 0 的正实根. 因为 f´(x)=2x , 由牛顿迭代公式得
2 xk 3 1 3 xk 1 xk ( xk ) 2 xk 2 xk
k 0,1,2,
附近的根(取5位小数计算), 精度要求为ε=10–3. 答案: f ( x) xe x 1
f ( x) e x xe x
相应的牛顿迭代公式为 x k e xk 1 x k e xk xk 1 xk xk xk xk 1 xk e xk e 取x0=0.5，经计算可得