概率论与数理统计(浙大版)第四章课件资料

4、设X ~ N (, 2 ),则E( X ) 5、设X服从参数为的指数分布,则E( X ) 1
10
定理：设Y是随机变量X的函数：Y g(X )g是连续函数,
X 是离散型随机变量，它的分布律为：
P( X xk ) pk , k 1, 2,
若 g(xk )pk绝对收敛，则有E(Y ) E[g( X )] g(xk )pk
定理：设Z是随机变量X ,Y的函数：Z g(X ,Y)g是连续函数,
若二维离散型随机变量 X,Y 的分布律为：
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1, 2,
则有E(Z) E[g(X ,Y )]
g(xi , y j )pij
i1 j1
这里设上式右边的级数绝对收敛，
解：X的分布律为：
X 01 2
X 01 2
8 28 21
pk 10 10 9 10 9
pk 4 5 8 45 1 45
E(X ) 0 4 1 8 2 1 2
5
45
45 9
例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？
绝对收敛
(即
x f x dx <)
则称积分
xf (x)dx
的值为随机变量X的数学期望，记为E(X )
即 E(X )
xf (x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 Xk k 1,2,
服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接
f
(
定义：设离散型随机变量X的分布律为：P( X xk ) pk k 1, 2,
若级数 xk pk绝对收敛，则称级数 xk pk的和为随机变量X
k 1
k 1
的数学期望，记为E X ,即 E X xk pk k 1
定义：设连续型随机变量X的概率概率为f x,若积分
xf (x)dx
解：X的密度函数为：f
解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，
则 X ~ b(5, 0.2)
设Y表示一周内所获利润，则
P(Y 10) P(X 0) (1 0.2)5 0.328,
其余同理可得，于是Y的分布率为：
Y 2 0
5 10
pk 0.057 0.205 0.410 0.328 于是 E(Y ) 5.21（6 万元）
例5：设 X (),求E( X )。
解：X的分布律为：P(X k) ke k 0,1,
k! X的数学期望为：
E( X ) k ke
k 0
k!
e
k 1
k 1
(k 1)!
0
e e
即 E(X )
例6：设 X U (a,b)，求E( X )。
解：X的概率密度为：
f
(
第四章 随机变量的数字特征
关键词：
数学期望 方差 协方差 相关系数
问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量
的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；
x)
1
0
e
x
x0 x0
0
组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。
是
解：
Xk
(k
1,
2)
的分布函数F ( x)
1
e
x
x0
0
x0
串联情况下，N min X1, X2 ,故N的分布函数为：
指 数 分 布 的
密
Fmin (x)
1 (1
F ( x))2
1
e
2x
0
x0 x0
f
min
(
x)
8
20 100
9
65 100
10
15 100
8.95
所以甲的成绩好于乙的成绩。
对于甲来说, 10 100
、80 100
、10 100
分别是8环、9环、10环的概率；
对于乙来说, 20 100
、65 100
、15 100
分别是8环、9环、10环的概率；
若用它们相应的概率表示，就得到了数学期望，
也称为均值(加权均值)。
k 1
k 1
X是连续型随机变量，它的概率密度为f (x)
若
g(x) f (x)dx
绝对收敛
则有E(Y ) E(g( X ))
g(x) f (x)dx
定理的重要意义在于我们求E(Y )时，不必算出Y的分布律或 概率密度，而只要利用X的分布律或概率密度就可以了。
上述定理也可以推广到两个或两个以上 随机变量的函数的情况。
§1 数学期望
例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩
如下：
甲 8 9 10
乙 8 9 10
次数 10 80 10
次数 20 65 15
评定他们的成绩好坏。
解：计算甲的平均成绩：
810 980 10 10 100 Nhomakorabea8
10 100
9
80 100
10
10 100
9
计算乙的平均成绩： 8 20 9 65 1015 100
x)
1 b－a
a xb
0
其他
X的数学期望为：
E( X ) xf (x)dx
b x dx a ba
ab 2
即数学期望位于区间(a, b)的中点
几种重要分布的数学期望
1、设X ~ b(n, p),则E( X ) np
2、设X ~ (),则E( X )
3、设X ~ U (a,b),则E( X ) a b 2
若二维连续型随机变量 X ,Y 的概率密度为：
则有E(Z ) E(g(X ,Y ))
g(x, y) f (x, y)dxdy
这里设上式右边的积分绝对收敛
特别地，E(X )
xf (x, y)dxdy
例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进
行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。
2
e
2x
0
x0 x0
度 函 数
根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N).
E(N)
x
0
2
e
2x
dx
xe
2x
|0
e
2x
dx
0
2
e
2x
|0
2
从而E
(
N
)
2
问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？
例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器
时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。