泛函分析习题及参考答案
泛函分析考试题型及答案

泛函分析考试题型及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 设函数空间E为所有连续函数的集合,定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx,则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案:A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案:B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案:A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案:B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案:A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案:B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案:B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案:A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案:B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 设X是赋范线性空间,如果对于X中的每一个序列{x_n},都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0,则称X是______空间。
答案:完备2. 设T是线性算子,如果T(X)是X的闭子空间,则称T是______算子。
答案:闭3. 设E是Hilbert空间,如果对于每一个x∈E,都有∥Tx∥≥∥x∥,则称T是______算子。
答案:正4. 设E是Banach空间,如果对于每一个序列{x_n}⊂E,都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛,则称E是______空间。
答案:自反5. 设E是线性空间,如果对于每一个序列{x_n}⊂E,都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞,则称E是______空间。
答案:序列完备三、简答题(每题10分,共30分)1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案:Hahn-Banach定理指出,如果X是一个赋范线性空间,p是X 的一个线性子空间,f是p上的一个线性泛函,并且存在一个常数M使得对于所有x∈p,有|f(x)|≤M‖x‖,则存在X上的一个线性泛函F,使得F|p=f,并且对于所有x∈X,有|F(x)|≤M‖x‖。
泛函分析期末试题及答案

泛函分析期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是泛函分析的主要研究对象?A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 点集答案:D2. 泛函是指将一个向量空间的元素映射到一个标量的函数。
以下哪个选项是泛函的定义?A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶空间答案:C3. 在泛函分析中,范数是一种度量向量空间中向量大小的方法。
以下哪个选项是范数的定义?A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶范数答案:B4. 下列哪个不是泛函分析中的基本定理?A. 嵌入定理B. 开铃定理C. Hahn-Banach定理D. Banach-Steinhaus定理答案:B5. 泛函分析中的内积是指满足一定条件的映射。
以下哪个选项是内积的定义?A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 内积空间答案:D二、填空题1. 完成下列范数的定义:范数是一个实值函数,对于一个向量空间中的向量x,满足以下三个性质:(1) 正定性:||x|| ≥ 0,且当且仅当x=0时,||x|| = 0;(2) 齐次性:对于任意实数a,||ax|| = |a| · ||x||;(3) 三角不等式:对于任意两个向量x和y,||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
2. 填写完整的Hahn-Banach定理的表述:设X是一个实或复数的线性空间,Y是X的一个线性子空间,f是定义在Y上的线性泛函,对于所有的y∈Y,有f(y) ≤ p(y),其中p是X上的一个次线性泛函,且满足p(y) ≤ p(x)对所有的x∈X成立,则存在一个定义在整个X上的线性泛函F,满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立,并且在Y上,F和f的限制是相等的。
三、计算题1. 对于给定的函数空间C[0,1],计算函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数。
解答:根据范数的定义,范数是一个实值函数,对于一个向量空间中的向量x,满足以下三个性质:(1) 正定性:||x|| ≥ 0,且当且仅当x=0时,||x|| = 0;(2) 齐次性:对于任意实数a,||ax|| = |a| · ||x||;(3) 三角不等式:对于任意两个向量x和y,||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
泛函分析试题及答案

泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中,以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度?A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案:B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间,f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子?A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案:B. f是连续的3. 在泛函分析中,以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性?A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案:B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间,f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子?A. f是单射且存在常数C>0,使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X,f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案:A. f是单射且存在常数C>0,使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中,内积运算满足线性性和_____________性。
答案:共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间,那么X是一个____________空间。
答案:Banach空间3. 在泛函分析中,将一个函数的导数定义为其_____________。
答案:弱导数4. 设X是一个线性空间,D是X上的一个有界线性算子。
如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩,那么D被称为______________。
答案:自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数,并给出一些范数的例子。
范数是定义在一个线性空间上的一种函数,用于衡量该空间中的向量的大小。
它满足以下三个性质:- 非负性:对于任意向量x,其范数必须大于等于0,即||x|| ≥ 0,并且当且仅当x为零向量时,范数等于0。
- 齐次性:对于任意向量x和任意实数α,有||αx|| = |α| ||x||,其中|α|表示α的绝对值。
《泛函分析》习题解答(不完全版)

( x1 , y) ( x1 , x2 ) ( x2 , y) , ( x2 , y ) (x2 , x1 ) (x1 , y ).
对两端关于 y A 取下确界, 可以得到 . inf ( x1 , y) ( x1 , x2 ) inf ( x2 , y) , inf (x2 , y ) (x2 , x1 ) inf (x1 ,y )
1 1
f ( x) L1 ([a, b]) , 需要证明: 对于任意的 0 , 存在 g ( x) C[a, b] , 使得
( f , g)
[ a ,b ]
| f ( x ) g ( x) | dx .
事实上, 首先根据积分的绝对连续性, 存在 0 , 使得当 E [a, b] , 只要 mE , 就有
x n , 0 x 1, f n ( x ) : 1, 1 x 2.
则 { f n ( x )} C ([0,2]) 在本题所定义的距离的意义下是 Cauchy 列, 因为
( f n , f m ) | f n ( x) f m ( x) | dx
因此, 根据 Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到
( f n , g ) | f n ( x ) g ( x ) | dx
0
1
| x n 0 | dx x n dx
0 0
1
1
1 0. n 1
但 g ( x) C ([0,2]) . (2) C ([a, b]) 的完备化空间是 L ([a, b]) . 因为 (i) 在距离 的意义下, C ([a, b]) 是 L ([a, b]) 的稠密子集. 事实上, 任意取定一个
《泛函分析》习题解答(不完全版)

第一章 练习题1. 记([,])C a b 是闭区间[,]a b 上连续函数全体构成的集合, 在([,])C a b 上定义距离如下:(,)|()()|,,([,])baf g f x g x dx f g C a b ρ=-∀∈⎰,(1)([,])C a b 按ρ是否完备?(2)(([,]),)C a b ρ的完备化空间是什么? 答:(1) 不完备, 例如对于[,][0,2]a b =以及1,2,n =,定义,01,():1,1 2.n n x x f x x ⎧≤<=⎨≤≤⎩则{()}([0,2])n f x C ⊂在本题所定义的距离的意义下是Cauchy 列, 因为111(,)|()()|110,(,).11n m n m n m f f f x f x dxx dx x dxm n n m ρ=-≤+=+→→∞++⎰⎰⎰另一方面, 点列{()}n f x 并不能在本题所定义的距离的意义下收敛到([0,2])C 中的某个元. 事实上, 在几乎处处收敛的意义下, 我们有0,[0,1)()()1,[1,2].n x f x g x x ∈⎧→=⎨∈⎩因此, 根据Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到11100(,)|()()|1|0|0.1n n nnf g f x g x dxx dx x dx n ρ=-=-==→+⎰⎰⎰但()([0,2])g x C ∉.(2) ([,])C a b 的完备化空间是1([,])L a b . 因为(i) 在距离ρ的意义下, ([,])C a b 是1([,])L a b 的稠密子集. 事实上, 任意取定一个1()([,])f x L a b ∈, 需要证明: 对于任意的0ε>, 存在()[,]g x C a b ∈, 使得[,](,)|()()|a b f g f x g x dx ρε=-<⎰.事实上, 首先根据积分的绝对连续性, 存在0δ>, 使得当[,]E a b ⊂, 只要mE δ<, 就有|()|3Ef x dx ε<⎰.因为()f x (Lebesque)可积, 故几乎处处有限, 即10N N mE ∞==,其中{[,]||()|}N E x a b f x N =∈>. 由此可以得到 lim ()0N N m E →∞=(因为{}N E 是渐缩集列并且[,]a b 的测度有限),故存在某个自然数N , 使得N mE δ<且|()|3NE f x dx ε<⎰,因此有|()|f x N ≤,[,]\N x a b E ∈.引入一个新函数定义为(),[,]\():0,,NN f x x a b E f x E ∈⎧=⎨⎩显然对于[,]x a b ∈恒有|()|f x N ≤. 由Lusin 定理, 存在连续函数()(,)g x C ∈-∞+∞和闭集[,]F a b ⊂, 使得([,]\)min{,/3}m a b F N δε<且|()|g x N ≤, 进而()()g x f x ≡,x F ∈.则()g x 限制在[,]a b 即为所求, 因为:[,](,)|()()|a b f g f x g x dx ρ=-⎰([,]\)|()()|a b F Ff xg x dx ⋃=-⎰[,]\|()()||()()|a b FFf xg x dx f x f x dx ≤-+-⎰⎰[,]\\(|()|)|()()||()()|NNa b FF E F E f x N dxf x f x dx f x f x dx⋂≤++-+-⎰⎰⎰[,]\|()|([,]\)a b Ff x dx Nm a b F ≤+⎰\|()|0NNF E F E f x dx dx ⋂++⎰⎰333εεεε<++=.(ii) 1(([,]),)L a b ρ是完备的空间.2. 设(,)X ρ是距离空间,A 是X 的子集,对任意的x X ∈,记(,)inf (,)y Ax A x y ρρ∈=,则(1)(,)x A ρ是x 的连续函数.(2) 若{}n x 是X 中的点列, 使(,)0n x A ρ→,{}n x 是否为Cauchy 列? 为什么? 证:(1) 任意取定12,x x X ∈, 对于任意的y X ∈根据三角不等式, 有1122(,)(,)(,)x y x x x y ρρρ≤+, 2211(,)(,)(,)x y x x x y ρρρ≤+.对两端关于y A ∈取下确界, 可以得到1122inf (,)(,)inf (,)y Ay Ax y x x x y ρρρ∈∈≤+, 2211inf (,)(,)inf (,)y Ay Ax y x x x y ρρρ∈∈≤+. 即1122(,)(,)(,)x A x x x A ρρρ≤+, 2211(,)(,)(,)x A x x x A ρρρ≤+.由此可得1212|(,)(,)|(,)x A x A x x ρρρ-≤.由此容易证明()f x (,)x A ρ=是X 上的连续函数, 实际上, (,)x A ρ还满足Lipschitz 常数等于1的Lipschitz 条件.(2) 答: 未必是Cauchy 列. 例如取X =R , 其中的距离是Euclid 距离. 对于{1,1}A =-, 对于1,2,n =, 定义点列为1(1).n n x n=-+对于点列{}n x ,不难验证,1(,)0n x A nρ=→; 但显然{}n x 不是Cauchy 列. 这里的原因就在于(,)x A ρ不是点到点之间的距离, 而是点到集合的距离, 当这个集合A 含有不止一个点时, (,)x A ρ不再具有点点之间距离的性质. 3. E 是nR 中的Lebesgue 可测集合, 试证()L E ∞按距离(,)esssup |()()|x Ef g f x g x ρ∈=-是不可分空间.证法一:记为方便起见, 设[,]E a b =. 定义[,]1,[,],()()0,(,].a x a f x x x b λλλχλ∈⎧==⎨∈⎩显然()f x λ有界,可测, 因此必属于([,])L a b ∞. 记{()|(,]}A f x a b λλ=∈.则([,])A L a b ∞⊂.既然对于不同的12,[,]a b λλ∈, 1f λ与2f λ不同的部分是正测度集, 容易看出A 的势是ℵ.进而有(不妨设12λλ<)1212121212[,][,]\0[,][,]\0[,][,][,][,]\0(,][,][,]\0(,)infsup |()()|inf sup |()()|inf sup |()()|infsup () 1.E a b x a b EmE E a b x a b E mE a a E a b x a b E mE E a b x a b E mE f f f x f x f x f x x x x λλλλλλλλλλρχχχ⊂∈=⊂∈=⊂∈=⊂∈==-=-=-==我们用反证法证明所需的结论.设([,])L a b ∞是可分的,则其必有可数的稠密子集123{,,,,,}i g g g g ,因此至少有一个i g 属于两个不同的1(,1/3)S f λ和2(,1/3)S f λ.而由三角不等式, 我们有12121(,)(,)(,)112.333i i f f f g g f λλλλρρρ=≤+≤+=这是一个矛盾. 因此([,])L a b ∞不可能是可分的.证法二:既然E 是正测度集,存在0R >使得((0,))0m S R E ⋂>. 不难验证, 存在一列正数1{}i i R ∞=满足:120i R R R R <<<<<<;且1([(0,)\(0,)])0i i m E S R S R +⋂>.对于每一个12(,,,,)i λλλλ=,其中0i λ=或1, 定义1(),[(0,)\(0,)]i i i f x x E S R S R λλ+=∈⋂,1,2,i =. 显然()f x λ有界,可测, 因此必属于()L E ∞. 记{()|{0,1}}A f x λλ=∈N ,其中{0,1}N 表示具有上述性质的λ的全体. 则()A L E ∞⊂.既然对于不同的,λμ∈{0,1}N , (不妨设1(,,,)i λλλ=, 1(,,,)i μμμ=且对于某个i ,0i λ=1i μ=)f λ与f μ不同的部分至少是正测度集1[(0,)\(0,)]i i E S R S R +⋂, 容易看出A 的势与{0,1}N 的势都是连续统的势ℵ.进而有11\0((0,)\(0,))\0((0,)\(0,))\01(,)inf sup |()()|infsup|()()|inf sup|| 1.i i i i F E x E F mF F E x E S R S R FmF i i F E x E S R S R F mF f f f x f x f x f x λμλμλμρλμ++⊂∈=⊂∈⋂=⊂∈⋂=≥=-≥-=-= 我们用反证法证明所需的结论.设()L E ∞是可分的,则其必有可数的稠密子集123{,,,,,}i g g g g , 因此至少有一个j g 属于两个不同的(,1/3)S f λ和(,1/3)S f μ.而由三角不等式, 我们有1(,)(,)(,)11.33j j f f f g g f λμλμρρρ=≤+≤+这是一个矛盾. 因此()L E ∞不可能是可分的. 补充题.证明[,]L a b ∞是不可分空间. 证:记{}[,]()a t K x a t b χ=<<,其中[,]1,,():0,.a t a x t x t x b χ≤≤⎧=⎨<≤⎩显然[,]K L a b ∞⊂, 且只要12,[,]t t a b ∈,12t t ≠, 则有12[,][,],a t a t K χχ∈, 且因为(不妨设12t t <)12(,]t t 的测度为正, 故1212[,][,][,][,][,]||||sup |()()|a t a t a t a t L a b ess x x χχχχ∞-=-1212(,](,]sup |()|1t t x t t x χ∈==.因此, 由(,)a b 是不可数集, 而K 的基数与(,)a b 的基数相同, 故也是不可数集,且K 中任何两个不同元的距离均为1.如果[,]L a b ∞是可分的, 因此有一个可数的稠密子集合{()|1,2,}k A f x k ==, 且11(,)3k k S f K ∞=⊇.但这是荒谬的, 因为上式左端只有可数多个开球, 右端有不可数多个元, 所以至少有K 中的两个不同的12[,][,],a t a t χχ属于同一个开球01(,)3k S f , 由此得到矛盾:121002[,][,][,][,][,][,][,]1||||||||||||112.333a t a t L ab a t k k a t L a b L a b f f χχχχ∞∞∞=-≤-+-<+= 此矛盾表明[,]L a b ∞不可能是可分的.4. 设([,])k C a b 是闭区间[,]a b 上具有k 阶连续导数的函数全体, 定义:()()[,](,)max |()()|,,([,])ki i k x a b i f g f x g x f g C a b ρ∈==-∈∑试证:(1)([,])kC a b 是完备的距离空间; (2)若定义||||(,0)f f ρ=,则(([,]),||||)kC a b ⋅是Banach 空间.证:(1) 这里只证明该距离是完备的. 设1{()}n n f x ∞=是([,])k C a b (0k =时, 0([,])C a b 就理解为[,]C a b )中该距离意义下的Cauchy 列. 因此当,m n →∞时,有()()[,]0(,)max |()()|0ki i m n m n x a b i f f f x f x ρ∈==-→∑.由此容易知道对于每一个0,1,,i k =, ()1{()}i n n f x ∞=是0([,])C a b 中的Cauchy 列. 根据0([,])C a b 的完备性,知()1{()}i n n f x ∞=收敛到0([,])C a b 中的某个元, 记其为()i f x , 则0()([,])i f x C a b ∈, 且()()()i i n f x f x −−→−−→,,0,1,,n i n →∞=,其中“−−→−−→”表示是一致收敛. 如果我们记0()()f x f x =,利用数学分析中函数序列一致收敛的分析性质, 可以得到12()()(),()(),,()().k kf x f x f x f x fx f x '''=== (*)例如, 因为1()()n f x f x −−→−−→', 故 1()()xxn aaf t dt f t dt −−→−−→'⎰⎰, 即1()()()xn n af x f a f t dt −−→−−→-⎰, 又0()()n f x f x −−→−−→及0()()nf a f a −−→−−→, 故 001()()()xaf x f a f t dt -=⎰.求导即可得到01()()f x f x '=, 即 1()()f x f x '=.归纳地可得(*).因此0()()f x f x =([,])kC a b ∈且()[,](,)max |()()|ki i n n x a b i f f f x f x ρ∈==-∑()()[,]max |()()|0ki i n x a b i f x f x ∈==-→∑.即([,])kC a b 是完备的距离空间. (2)证略.7. 证明有限维线性赋范空间是完备的.证:记该有限维(实)线性赋范空间为E , 是n 维的,范数记为||||x ,需要证明(,||||)E ⋅是完备的. 记E 中的一组基为:12,,,n v v v .因此对于任意的x E ∈, 存在唯一一组实数12,,,n x x x , 使得1122n n x x x x =+++v v v ,反之亦然.(i) 我们断言存在一个与x 无关的常数0K >, 使得||||||i x K x ≤, 1,2,,i n =. (*)首先定义一个映射:nf →为: 对于任意的12(,,,)n x x x n∈,121122(,,,):||||||||n n n f x x x x x x x ==+++v v v .则对于任意的,x y E ∈(1122n n y y y y =+++v v v )有1122||||(,,,)n n x y f x y x y x y -=---111||||||||||||n n n x y x y ≤-⋅++-⋅v v2222111()()||||||||n n n x y x y ≤-++-⋅++v v .由此容易知道f 是n R 上的连续函数. 记1B ∂是n R 中的单位球面, 即21121{(,,,)|1}nn k k B x x x x =∂==∑. 则对于任意的11(,,)n x x B ∈∂, 有1(,,)0n f x x >.(事实上, 若有1(,,)0n f x x =则111(,,)||||0n n n f x x x x =++=v v ,因此110n n x x ++=v v , 但12,,,n v v v 线性无关, 故必有120n x x x ====, 此与11(,,)n x x B ∈∂相矛盾. )注意到1B ∂是n R 中的有界闭集(紧子集), 连续函数f 必可在其上达到正的最小值1/0K >.现在我们可以证明式(*). 事实上, 对于任意的x E ∈,存在唯一的一组实数12,,,n x x x , 使得1122n n x x x x =+++v v v , 不失一般性, 可设0x ≠因此,12,,,n x x x 不全为零, 注意到111222111,,,n nnn kkk k k k x x x y B xxx ===⎛⎫ ⎪ ⎪=∈∂ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑,故111222211111222111()1,,,,nn nnnkkkk k k n nnn kkk k k k x x x f y xxxx x x f K xxx ======+++=⎛⎫ ⎪⎪=≥ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑v v v或2112211||||nn n kk x x x x xK==+++≥∑v v v .由此容易得出(*)式.(ii) 设()1{}k k x ∞=是E 中的基本列, 这里()()()()1122k k k k n n x x x x =+++v v v ,即()()||||0k l x x -→, 当,k l →∞.利用(*)式便可以得到对于每一个1,2,,i n =, 成立()()()()||||||0k l k l i i x x K x x -≤-→, 当,k l →∞.即()1{}k i k x ∞=是1中的基本列, 因此收敛. 设()(0)k i i x x →, (k →∞,1,2,,i n =).记(0)()(0)(0)1122k n n xx x x =+++v v v , 显然(0)x E ∈. 根据E 中收敛的等价性(即按范数收敛意味着每个分量收敛或即按坐标收敛), 容易得到()(0)||||0k x x -→, 当k →∞.因此(,||||)E ⋅是完备的.9. 设X 为线性赋范空间, 0X 是X 的线性闭子空间. 在X 中定义等价关系为0xy x y X ⇔-∈. 对任意的x X ∈, 以[]x 记x 的等价类, 令0/{[]|}X X x x X =∈.称0/X X 为商空间, 在0/X X 上定义线性运算如下: (i) [][][]x y x y +=+, ,x y X ∈, (ii) [][]x x λλ=, ,x X λ∈∈C .并定义0||[]||inf ||||y X x x y ∈=+.试证: 0/X X 按0||[]||x 也是一个线性赋范空间.证:(一) 0/X X 按照所定义的线性运算是线性空间 (证明略).(二) 0||[]||x 是0/X X 中的范数. 按照定义, 对于每一个 0[]/x X X ∈显然0||[]||inf ||||y X x x y ∈=+是一个确定的数, 因此00||||:/X X ⋅→R 是映射.(i) (非负性) 对于x X ∈, 显然0||[]||inf ||||0y X x x y ∈=+≥.(正定性) 当0[]=[0]=x X 时, 有00||[]||||[0]||inf ||||0y X x y ∈===.反之, 如果我们假设0000||[]||inf ||||0y X x x y ∈=+=, 需要证明 00[]=[0]=x X , 也只需证明00x X ∈. 事实上, 根据下确界的定义, 对每一个自然数1,2,k =, 存在0k y X ∈, 使得00000111||||||[]||inf ||||k y X x y x x y k k k∈+<+=++=, 由此得到一个序列0{}k y X ⊂且||||0k y x ⋅−−−→-.因为0X 是闭子空间因此00x X -∈故00x X ∈, 即00[]=[0]=x X . (ii) (正齐性) 对于,x X λ∈∈C , 如果0λ=, 则000x x X λ==∈, 故0[][0]0[][]x X x x λλ====. 如果0λ≠, 则当y 取遍0X 中的所有元时,yλ也取遍0X 中的所有元, 反之亦然, 因此 00||[]||inf ||||inf ||||||y X y X yx x y x λλλλ∈∈=+=⋅+||inf ||||||inf ||||yy X X yyx x λλλλλ∈∈=+=+||inf ||||||||[]||z X x z x λλ∈=+=⋅,(iii) (三角不等式) 设,x y X ∈. 设0,u v X ∈, 当,u v 取遍0X 中的所有元时, u v +也取遍0X 中的所有元, 反之亦然, 进而, ,u v 的取法是相互独立的, 因此0||[]||inf ||||u X x y x y u ∈+=++,inf ||||u v X x y u v ∈=+++()0,inf ||||||||u v X x u y v ∈≤+++inf ||||inf ||||u X v X x u y v ∈∈=+++00||[]||||||x y =+.也可用下面的证明方法: 对于任意的0ε>, 由下确界的定义, 存在0,u v X εε∈使得0||||||[]||x u x εε+<+, 0||||||[]||y v y εε+<+,因此可以得到0||[]||inf ||||||||u X x y x y u x y u v εε∈+=++≤+++||||||||x u y v εε≤+++ 00||[]||||[]||2x y ε<++.因为0ε>的任意性, 可得0||[]||x y +00||[]||||[]||x y ≤+.10. 设X 为线性赋范空间,1nn x∞=∑收敛, 即1kk nn S x==∑按X 中的范数收敛, 则11nn n n xx ∞∞==≤∑∑.证:记1kk n n S x ==∑.对于有限项之和, 利用三角不等式, 成立111||||kk k nn n n n n S xx x ∞====≤≤∑∑∑. (*)又因为1kk nn S x==∑在范数意义下收敛, 其极限自然可以记为1nn x∞=∑, 即1k n n S x ∞=→∑,再一次利用三角不等式, 可以得到当k →∞时11||||0k nk n n n S xS x ∞∞==-≤-→∑∑,即1||||k nn S x∞=→∑, 因此在(*)式中令k →∞, 可得11nn n n xx ∞∞==≤∑∑.11. 设{0}X ≠为线性赋范空间, 试证X 是Banach 空间当且仅当{|||||1}x X x ∈=是完备的.证:记{|||||1}T x X x =∈=.(必要性) 设X 是Banach 空间, {}n x T ⊂是T 中的Cauchy 列, 即||||1n x =且||||0m n x x -→(当,m n →∞).因为X 是Banach 空间, 故{}n x 收敛, 即存在0x X ∈, 使得||||0n x x ⋅−−→, 由三角不等式容易得到:||||||||||||x y x y -≤-,因此00||||||||||||0n n x x x x -≤-→,知0||||||||n x x →, 故0||||1x =因此0x T ∈, 即T 完备.(充分性) 设T 是完备的, 并设{}n x X ⊂是X 中的Cauchy 列, 即||||0m n x x -→当,m n →∞. 由||||||||||||0m n m n x x x x -≤-→,知{||||}n x 是1中的Cauchy 数列, 因此收敛, 即存在某个数A ∈使得||||n x A →.如果0A =, 显然{}n x 收敛于X 中的零元, 故不妨设0A >. 由此知当n 充分大时, 总有||||0n x >, 不失一般性, 可设对所有的n , 都有||||0n x >. 考虑新的点列:||||nn n x y x =, 显然n y T ∈. 进而 ||||||||||||m n m n m n x xy y x x -=- ||||||||||||||||m m m n m n n n x x x xx x x x ≤-+- 111||||||||||||||||m m n m n n x x x x x x =-+-, 由此易知{}n y T ⊂是T 中的Cauchy 列. 因为T 作为距离空间是完备的, 故{}n y 收敛, 即存在0y T ∈, 使得||||0n y y ⋅−−→. 最后我们断言: ||||0n x Ay ⋅−−→.事实上,0||||||||||||||||n n n n n x Ay x Ay x x x -=- 0||||||||n n n Ay x y x =-00||||||||n n n Ay x y y y x ⎛⎫≤-+-⎪⎝⎭00||||1||||n n n A x y y y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭0→.综上可得X 是Banach 空间.15.试证定理4中(f)式定义的(,)x y 的确满足内积分的定义.证明: 即要证明: 对于赋范线性空间(,||||)X ⋅, 如果范数满足平行四边形法则:2222||||||||2(||||||||)x y x y x y ++-=+(*)则由221(,):[||||||||]4x y x y x y =+--R (K =R 时) (f ’)或221(,):[||||||||4x y x y x y =+--C22||||||||]i x iy i x iy ++-- (K =C 时) (f)所定义的确实是内积. (i) 对于x X ∈,221(,)[||||||||4x x x x x x =+--C22||||||||]i x ix i x ix ++--2||||0x =≥,因为|1||1|i i +=-, 并且根据范数的性质2(,)00(,)||||0x x x x x x =⇔==⇔=C C .同理可证(,)0x x ≥R 且(,)00x x x =⇔=R . (ii)首先考虑K =R 时的情形, 对于,,x y z X ∈, 可将(,)(,)x z y z +R R 表示为如下形式: (,)(,)x z y z +R R221[||||||||4x z x z =+--22||||||||]y z y z ++-- ()()22221||||||||||||||||4x z y z x z y z ⎡⎤=+++--+-⎣⎦ 22142222x y x yx y x yz z ⎛⎫+-+-=++++-⎪ ⎪⎝⎭ 22142222x y x y x y x y z z ⎛⎫+-+---++--⎪ ⎪⎝⎭, 再由平行四边形法则222222x y x yx y x yz z +-+-++++-22222x y x y z ⎛⎫+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭; 222222x y x yx y x yz z +-+--++--22222x y x y z ⎛⎫+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭. 因此(,)(,)x z y z +R R 221222x y x yz z⎛⎫++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭2,2x y z +⎛⎫= ⎪⎝⎭R.进而, 令0y =可以得到(,)x z R 2,2x z ⎛⎫= ⎪⎝⎭R,这里利用了(0,)0z =R . 因为x 是任意的, 故可将x 换为x y +, 即可得到(,)x y z +R 2,2x y z +⎛⎫= ⎪⎝⎭R. 对照上述二式, 即有(,)(,)x z y z +R R =(,)x y z +R .(**)至于K =C 时的情形, 注意到从形式上看(,)=(,)(,)x y x y i x iy +C R R ,利用上述已经证明了的等式(**)不难得到(,)(,)x z y z +C C =(,)x y z +C .(iii) 首先考虑K =R 时的情形, 对于,x z X ∈和任意实数,s t ∈R , 由已经证明的(**)式有(,)(,)sx z tx z +R R =((),)s t x z +R ,可知函数():(,)f t tx z =R 满足如下的函数方程:()()()f s f t f s t +=+.(***)又():(,)f t tx z =R 关于t 是连续的, 因此必有()(1)(,)f t f t t x z ==R .(事实上, 由(***)式对于任意的正整数n 和m , 利用数学归纳法有()()f ns f s s s =+++()()()()f s f s f s nf s =+++=;进而取1s n =, 有11()(1)f f n n=, 因此 1()()(1)n nf nf f m m m==. 又(***)中取0s t ==可得(0)0f =, 取s t =-可得()()f s f s -=-. 因此对于所有的有理数, 均成立()(1)f s sf =.利用()f s 的连续性, 可知对所有的实数也成立. ) 因此得到(,)()(1)(,)tx z f t f t t x z ===R R .至于K =C 时的情形, 注意到由(f)221(,)[||||||||4ix y ix y ix y =+--C 22||||||||]i ix iy i ix iy ++--221[||||||||4ix y ix y =+--22||||||||]i x y i x y ++-- 22221[||||||||4i ix y i ix y =-++-22||||||||]i x y i x y ++-- 22[||||||||4ii x iy i x iy =--++22||||||||]x y x y ++-- (,)i x y =C .由此也容易得到, 对于t ∈C(,)(,)tx z t x z =C C .(iv) 当K =R 时, 容易知道221(,)[||||||||](,)4x y x y x y y x =+--=R R ;而当K =C 时, 直接计算也可得到221(,)[||||||||4x y x y x y =+--C 22||||||||]i x iy i x iy -++-221[||||||||4y x y x =+--22||||||||]i y ix i y ix --++ (,)y x =C .16.设D 是C 中单位开圆盘, 即{|||1}D z z =∈<C . dA 是D 上的面积测度, 2()a L D 定义为22(){|()|}a L D f f Df z dz =<∞⎰在中解析且|. (见课本第六页例4)在2()a L D 中定义内积为,()()Df g f z g z dA =⎰.试证(1)1()n n nz z ϕπ-=(1,2,n =)构成2()a L D 的正交基.(2) 若2()a f L D ∈的Taylor 展开式是0()kk k f z a z∞==∑, 则21kk a k ∞=<∞+∑;(3) 若2()ag L D ∈的展开式是0()kk k g z b z∞==∑, 则0,1k kk a b f g kπ∞==+∑.证:先给出一个预备性结果: 对于2()a f L D ∈,因为()f z 是解析函数, 因此可以展开为幂级数: 0()kk k f z a z∞==∑.由此可以断言:(),()n f z z ϕ=1.n a nπ- (*)事实上,因为()f z 是解析函数,幂级数kk k a z∞=∑在D 中内闭一致收敛, 即对于D 的任意闭子集F ,kk k a z∞=∑在F 上一致收敛. 对于01ε<<, 以下取闭子集F 为:{|||1}D z D z εε=∈≤-.容易知道D ε是D 中的闭子集.对于每一个1,2,n =, 注意到级数10kn k k a z z π-=∑在D ε中仍旧一致收敛, 以下的积分号和求和号可以交换顺序:(),()()()n n Df z z f z z dA ϕϕ=⎰0lim ()()n D f z z dA εεϕ→=⎰100lim kn k D k na z z dA εεπ∞-→==∑⎰10limk n k D k na z z dA εεπ∞-→==∑⎰10lim(cos sin )(cos(1)sin(1))k n k D k na r k i k n i n dAεεθθπθθ∞+-→==+⋅⋅---∑⎰2110lim(cos sin )(cos(1)sin(1))k n k k na d r k i k n i n rdrπεεθθθπθθ∞-+-→==+⋅⋅---∑⎰⎰1210lim(cos sin )(cos(1)sin(1))k n k k na r rdr k i k n i n d επεθθπθθθ∞-+-→==+⋅⋅---∑⎰⎰12110lim2n n na r dr εεππ---→=⎰210(1)lim 22nn n a nεεππ-→-= 1.n a nπ-=因此(*)式得证.(1) 首先证明{}111()n n n n n z z ϕπ∞∞-==⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭是正交集.事实上, 对于复数(cos sin )z r i θθ=+,根据所给的定义11112(),()(cos sin )(cos sin )m n m n Dm n n m Dz z z z dAmni i r dAϕϕππθθθθππ----+-==+-⎰⎰2(cos(1)sin(1))(cos(1)sin(1))n m Dmnr m i m n i n dAθθπθθ+-=-+-⋅⋅---⎰2120(cos(1)sin(1))(cos(1)sin(1))n m mnd r m i m n i n rdrπθθθπθθ+-=-+-⋅⋅---⎰⎰122(cos(1)(1)sin )(cos(1)sin(1))n m mnrrdr m i m n i n d πθθπθθθ+-=-+-⋅---⎰⎰121,,20,.mm m n mm n ππ⎧==⎪=⎨⎪≠⎩因此{}1()n n z ϕ∞=是正交集. 因为2()a L D 是完备的空间, 故只需再证{}1()n n z ϕ∞=是完备的即可得知其也是正交基. 设有2()a f L D ∈且{}1()()n n f z z ϕ∞=⊥. 因为()f z 是解析函数, 因此可以展开为幂级数:()k k k f z a z ∞==∑.根据(*)式,可以得到,对于每一个1,2,n =,0(),()n f z z ϕ=1.n a nπ-=由此即得10n a -=, (1,2,n =). 所以()0f z ≡. 即{}1()n n z ϕ∞=是完备的, 因此是2()a L D 中的正交基.(2) 既然{}1()n n z ϕ∞=是基,由Parseval 等式可以得到221(),()||||n n f z z f ϕ∞==<∞∑.利用(*)式,上式的左端可以表示为:2122211110(),().1n n n n n n n n f z z a aa nn n ϕπππ∞=∞∞∞--======+∑∑∑∑由此可得所预期的结论. (3) 对于0()kk k f z a z∞==∑和0()kk k g z b z∞==∑, 有10()()1kk k f z a z k πϕ∞+==+∑和10()()1kk k g z b z k πϕ∞+==+∑,利用内积的连续性和(*)式,10,(),()1kk k f g a z g z k πϕ∞+==+∑10(),()1kk k a z g z k πϕ∞+==+∑10(),()1kk k a g z z k πϕ∞+==+∑11kk k a b k k ππ∞=⎛⎫= ⎪++⎝⎭∑0.1k kk a b k π∞==+∑18.设H 是内积空间,{}n e 是H 中的正交集, 求证:1(,)(,)||||||||nnn x e y e x y ∞=≤⋅∑, (,x y H ∀∈).证: 对于任意的正整数k , 由Cauchy 不等式和Bessel 不等式可以得到22111(,)(,)(,)(,)kkkn n n n n n n x e y e x e y e ===≤⋅∑∑∑2211(,)(,)n n n n x e y e ∞∞==≤⋅∑∑||||||||x y ≤⋅,由k 的任意性, 知正项级数1(,)(,)nnn x e y e ∞=∑收敛, 因此级数1(,)(,)nnn x e y e ∞=∑绝对收敛,并且11(,)(,)(,)(,)||||||||nnnnn n x e y e x e y e x y ∞∞==≤≤⋅∑∑.19.试证2sin nt π⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭构成2([0,])L π的正交基, 但不是2([,])L ππ-的正交基. 证:(1) 首先证明{}112()sin n n n t nt ϕπ∞∞==⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭是2([0,])L π中的正交集. 事实上,[]022(),()sin sin 2cos()cos()2m n t t mtntdtm n t m n t dtππϕϕπππ==-+--⎰⎰1()1,,0,.m n m n ππ⎧--==⎪=⎨⎪≠⎩因此{}1()n n t ϕ∞=是2([0,])L π中的正交集. 同理, 也容易证明{}1()n n t ϕ∞=还是2([,])L ππ-中的正交集.(2) 因为2([0,])L π是完备的空间, 故只需再证{}1()n n t ϕ∞=是完备的即可得知其也是正交基.设有2([0,])f L π∈且{}1()()n n f t t ϕ∞=⊥. 将()f t 做奇延拓成为()f t :(),[0,],():(),[,0).f t t f t f t t ππ∈⎧=⎨--∈-⎩则()f t ∈2([,])L ππ-. 注意到对于1,2,n =, 利用{}1()()n n f t t ϕ∞=⊥,,()sin n f f t ntdt ππϕ-=⋅⎰()sin ()sin f t ntdt f t ntdt ππ-=⋅+⋅⎰⎰()sin ()sin f t ntdt f t ntdt ππ-=--⋅+⋅⎰⎰()sin ()sin f t ntdt f t ntdt ππ-=--⋅+⋅⎰⎰00()sin ()()sin f s n s ds f t ntdt ππ=-⋅-+⋅⎰⎰2()sin 0f t ntdt π=⋅=⎰.设{}{}00()cos n n n t nt ψ∞∞===,对于0,1,2,n =,利用()f t 是奇函数, 可得,()cos 0n f f t ntdt ππψ-=⋅=⎰.因此{}{}()10()()()n n n n f t t t ϕψ∞∞==⊥⋃.进而也容易得到()f t ⊥1cos sin cos sin ,,,,,,2t tnt ntπππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 又已经知道与{}{}{}{}1010()()sin )cos n n n n n n t t t nt ϕψ∞∞∞∞====⋃=⋃仅相差一个常数因子的三角函数系1cos sin cos sin ,,,,,,2t tnt ntπππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是2([,])L ππ-中的正交基, 因此()0f t =, a.e. [,]t ππ∈-,即有()0f t =, a.e. [0,]t π∈.因此{}1()n n t ϕ∞=是2([0,])L π中的正交基.(3) 注意到2sin nt π⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭在2([,])L ππ-中不是完备的, 例如对于恒等于常数1的函数2()1([,])f t L ππ≡∈-是非零元, 但对于1,2,n =,,1sin 0n f ntdt ππϕ-=⋅=⎰.因此, 2sin nt π⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭虽然是2([,])L ππ-的正交集, 但不是正交基.24. 试给出1([,])C a b 中列紧集的判别条件. 证:设子集1([,])A C a b ⊂且0x 是[,]a b 中一个数. 记{()|()}A f x f x A ''=∈及0{()|()}B f x f x A =∈.则A 是1([,])C a b 中的列紧集的充分必要条件是 (i) A '在([,])C a b 中有界; (ii) B 是R 中的有界集;(iii) A '是([,])C a b 中等度连续的集合.[充分性] 设1([,])A C a b ⊂满足条件(i), (ii)和(iii). 根据1([,])C a b 中范数的定义: 对于1([,])f C a b ∈,1([,])[,][,]:max |()|max |()|C a b x a b x a b ff x f x ∈∈'=+,容易看出,1([,])([,])C a b C a b k k f f f f −−−−→⇔−−−−→且([,])C a b k f f ''−−−−→因此只需证明A 和A '分别是([,])C a b 中的列紧集即可, 根据Arzela-Ascoli 定理, 这也只需证明A 和A '分别在([,])C a b 中有界且等度连续即可. 事实上, A '在([,])C a b 中有界性和等度连续已由所给条件得到保证(即(i)和(iii)). 还需证明A 在([,])C a b 中的有界性和等度连续性. 记A '在([,])C a b 中的一个界为A M ',B 作为R 中的有界集, 一个界纪为B M .对于任意的[,]x a b ∈, 利用中值定理, 有0000|()||()()||()||()()||()|().A B f x f x f x f x f x x f x M b a M ξ'≤-+'=-+≤-+ 此即表明[,]m a x |()|()A B x a b f x Mb a M '∈≤-+, 所以A 在([,])C a b 中有界,且界为()A B M b a M '-+. 进而对于,[,]x y a b ∈|()()||()()|||.A f x f y f x y M x y ξ''-=-≤-由此易知A 具有等度连续性.[必要性] 设A 是1([,])C a b 中的列紧集, 即对于A 的任何点列1{()}n n f x ∞=, 1{()}n n f x ∞=在1([,])C a b 中的范数(距离)1([,])[,][,]:max |()|max |()|C a b x a b x a b ff x f x ∈∈'=+意义下都有收敛的子列1{()}k n k f x ∞=. 因此, 1{()}n n f x ∞=和1{()}n n f x ∞='分别在([,])C a b 中有收敛的子列的1{()}k n k f x ∞=和1{()}k n k f x ∞='. 这表明, 根据Arzela- Ascoli 定理, A 和A '均是([,])C a b 中的列紧集, 因此A 和A '均在([,])C a b 中有界且等度连续, 因此得到(i)和(iii). 由A 的有界性, 可以知道集合0{()|()}B f x f x A =∈对于任意的0x [,]a b ∈都是R 中的有界集, 因此得到(ii). 26. 设(,)X ρ是紧距离空间,映射:f X X →满足1212((),())(,)f x f x x x ρρ<. (12x x ≠)则(1) f 是否有唯一的不动点? (2) f 是否为压缩映射?解答: (1) f 存在唯一的不动点, 证明如下: (存在性) 定义映射:h X →R 为()(,())h x x f x ρ=.由所给条件知此映射是连续的, 而X 是紧空间表明此映射能在X 中取得上下确界. 因此存在y X ∈, 使得()(,())inf ()x Xh y y f y h x ρ∈==.断言()inf ()0x Xh y h x ∈==,则y 是f 的不动点:()y f y =. 若不然, ()0h y >, 则在所给的条件中取()x f y =有(())((),(()))(,())()h f y f y f f y y f y h y ρρ=<=,此与y 达到()h x 的下确界相矛盾.(唯一性) 若还有z X ∈使得()z f z =但z y ≠. 仍由所给的条件, 有0(,)((),())(,)z y f z f y z y ρρρ<=<.这是个矛盾. 故必有z y =.(2) f 可以不是压缩映射. 反例如下:[反例1] 记[0,1]X =, 其中距离定义为两点之间的Euclid 距离: ,x y X ∀∈,(,):||x y x y ρ=-.因为X 是R 的闭子集, 因此是完备的, 显然也是紧的. 定义映射:T X X →为: 对于x X ∈,():1x T x x=+. 显然T 是自映射, 且有唯一的不动点0.对于任意的,x y X ∈, 设x y ≠, 则,x y 中至少有一个不为零, 由此容易得到||(,)11(1)(1)x y x y Tx Ty x y x y ρ-=-=++++ ||x y <-(,)x y ρ=.所以T 满足所需的条件, 但T 不是压缩映射, 因为,[0,1],[0,1](,)1supsup 1(,)(1)(1)x y x y x yx yTx Ty x y x y ρρ∈∈≠≠==++.因此不存在常数[0,1)α∈, 使得对于所有的,x y X ∈,(,)(,)Tx Ty x y ραρ≤.[反例2] 记1{0}1,2,X n n ⎧⎫=⋃=⎨⎬⎩⎭, 其中距离定义为两点之间的Euclid 距离: ,x y X ∀∈, (,):||x y x y ρ=-.因为X 是R 的闭子集, 因此是完备的, 显然也是紧的. 定义映射:T X X →为: 对于x X ∈,11,,():10,0,x T x n n x ⎧=⎪=+⎨⎪=⎩显然T 是自映射, 且有唯一的不动点0.对于任意的,x y X ∈, 设x y ≠, 如果,\{0}x y X ∈, 则有正整数,m n , m n ≠, 使得11,x y n m==, 且11||(,)11(1)(1)m n Tx Ty n m n m ρ-=-=++++ ||m n nm -<11(,)x y n mρ=-=; 如果,x y 中有一个为零, 例如0x =, 也有11(,)011Tx Ty m m ρ=-=++1m<(,)x y ρ=. 所以T 满足所需的条件, 但T 不是压缩映射, 因为例如对于 11,x y n m==, 当,m n →∞时, 成立11(,)11111(,)(1)(1)Tx Ty mnn m x y n m n mρρ-++==→++-,即不存在[0,1)α∈, 使得(,)(,)Tx Ty x y ραρ≤..补充题. 设二元函数(,)([,][,])g x y C a b a b ∈⨯,A 是([,])C a b 中的一个有界集, 记():(,)()()ba A F x g x y f y dy f x A ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎰.(i) 证明A 是([,])C a b 中的列紧集;(ii) 问当A 还是([,])C a b 中的闭集时, A 是不是紧集?证:(i) 因为(,)([,][,])g x y C a b a b ∈⨯, 不难得知A ⊆ ([,])C a b . 根据Arzela-Ascoli 定理, 只需再证明A 在([,])C a b 中有界且等度连续即可.(a) A 在([,])C a b 中有界, 即A 作为由连续函数组成的集合是一致有界的. 事实上, 如果记A 的一个界为M , |(,)|g x y 在[,][,]a b a b ⨯上的最大值为K , 则对于任意取定的()F x A ∈, 有某个()f x A ∈, 使得()(,)()baF x g x y f y dy =⎰, 由此得知|()|(,)()baF x g x y f y dy =⎰|(,)()|bag x y f y dy ≤⎰max |(,)|max |()|ba xb a y ba a y bg x y f y dy ≤≤≤≤≤≤≤⎰[,]||||bC a b af Kdy =⎰[,]||||()C a b f K b a ≤- ()KM b a ≤-.因此A 是([,])C a b 中有界集, 且A 的一个界为()KM b a -.(b) A 在([,])C a b 中等度连续. 对于()F x A ∈,有某个()f x A ∈, 使得()(,)()baF x g x y f y dy =⎰. 因为(,)([,][,])g x y C a b a b ∈⨯, 因此在[,][,]a b a b ⨯上一致连续, 故对于任意的0ε>,存在0δ>, 当,[,]x x a b '∈且||x x δ'-<时, 有|(,)(,)|g x y g x y ε'-< ([,]y a b ∀∈),由此可以得到|()()|(,)()(,)()bbaaF x F x g x y f y dy g x y f y dy ''-=-⎰⎰[(,)(,)]()bag x y g x y f y dy '=-⎰|(,)(,)||()|ba g x y g x y f y dy '≤-⎰max |()||(,)(,)|ba y ba f y g x y g x y dy ≤≤'≤-⎰[,]|||||(,)(,)|bC a b af g x y g x y dy '=-⎰()M b a ε≤-. 由此易知A 具有等度连续性.(ii) 当A 还是([,])C a b 中的闭集时, A 未必是紧集! 反例可以构造如下: 考虑([0,1])C 中的集合{|1,2,}k A x k ==,显然A 是([0,1])C 中的有界集, 一个界可以取为1.可以断言A 是([0,1])C 中的闭集, 因为对于任意的,klx x A ∈, 不妨设l k >, 则[0,1][0,1]max ||k lk l C x x x x x ∈-=-1k l k l kl kl kk k k k l l l l ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 对于任意固定的k , 当l 趋于无穷大时, 右端项趋向于1, 由此容易知道, 作为([0,1])C 中的子点列, 集合A 不是Cauchy 列, 因此不可能在([0,1])C 中有收敛的子列, 故集合A 没有聚点, 因此是([0,1])C 中的闭集.定义(,)1K x y =,显然(,)([0,1][0,1])K x y C ∈⨯. 对于上述的集合A , 不难计算{}11()|1,2,|1,2,1k A F x x dx k k k ⎧⎫=====⎨⎬+⎩⎭⎰ 显然, A 是([0,1])C 中列紧集,唯一的聚点是零函数,但零函数不在A 中,因此不是闭集. 补充题. 设A 是([,])C a b 中的一个有界集, 记():()()xa B F x f t dt f x A ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎰.证明B 是([,])C a b 中的列紧集.证:根据Arzela-Ascoli 定理, 需证明B 在([,])C a b 中有界且等度连续即可.(i) B 在([,])C a b 中有界, 即B 作为由函数组成的集合是一致有界的. 事实上, 如果记A 的界为M ,则对于任意取定的()F xB ∈, 有某个()f t A ∈, 使得()()xaF x f t dt =⎰, 由此得知|()|()|()|xxaaF x f t dt f t dt =≤⎰⎰[,]max |()|||||x xC a b a t baaf t dt f dt ≤≤≤=⎰⎰[,]||||()()C a b f b a M b a ≤-≤-.因此B 是([,])C a b 中有界集, 且B 的界为()M b a -.(ii) B 在([,])C a b 中等度连续. 对于()F x B ∈,有某个()f t A ∈, 使得()()xaF x f t dt =⎰.对于,[,]x x a b ∈|()()|()()xxaaF x F x f t dt f t dt -=-⎰⎰()|()|xxxxf t dt f t dt =≤⎰⎰[,]max |()|||||xxC a b a t bxxf t dt f dt ≤≤≤=⎰⎰||M x x ≤-. 由此易知B 具有等度连续性.补充题.证明课本20页定理8:对于距离空间(,)X ρ中的任何集合G , G '与G 均是闭集. 证:(i) 根据闭集的定义, 仅需证明()G G '''⊆.事实上, 设()y G ''∈, 则对于任意的0ε>((,)\{})S y y G ε'⋂≠∅.设((,)\{})x S y y G ε'∈⋂, 根据极限点的定义, 对于min{(,),(,)}0x y x y δρερ=->,有((,)\{})S x x G δ⋂≠∅.又(,)(,)S x S y δε⊆,因此有((,)\{})((,)\{})S y y G S x x G εδ⋂⊇⋂≠∅.注意到0ε>的任意性, 即可得到y G '∈. 因此G '是闭集. (ii) 需证明的是G G '⊆. 因为G G G '=⋃, 又()A B A B '''⋃⊆⋃,(*)故由(i)中已经证明了的结果, 有()G G G G G G G '''''''=⋃⊆⋃⊆⊆,因此G 是闭集.如下证明(*): 设y A B ''∉⋃, 则y A '∉, 且 y B '∉.由前者知存在某个00ε>, 使得0((,)\{})S y y A ε⋂=∅;由后者知存在某个10ε>, 使得1((,)\{})S y y B ε⋂=∅.取001min{,}δεε=, 则00δ>, 且0((,)\{})()S y y A B δ⋂⋃=∅,所以()y A B '∉⋃, 即(*)得证.。
泛函分析口算练习题及答案2023

泛函分析口算练习题及答案2023题一:设X是赋范空间,Y是巴拿赫空间,f∈L(X,Y),证明ε>0,存在δ>0,使得对于任意x∈X,当∥x∥<δ时,有∥f(x)∥<ε成立。
证明:由于f∈L(X,Y),根据巴拿赫空间的定义,存在常数M>0,使得对于任意x∈X,有∥f(x)∥≤M∥x∥成立。
取ε>0,设δ=ε/M,则对于任意x∈X,当∥x∥<δ时,有∥f(x)∥≤M∥x∥<M(ε/M)=ε,即∥f(x)∥<ε成立。
题二:设X是赋范空间,Y是巴拿赫空间,E是X的闭线性子空间,证明存在一个线性连续泛函f,使得E是f的核。
证明:考虑商空间X/E,定义映射π:X→X/E,映射π是线性映射。
由于E是闭线性子空间,根据商空间的定义,X/E是赋范空间。
取f(x)=0,其中x∈E,则对于任意x∈E,有π(x)=E,即π(x)=0。
根据线性映射的定义,f(x)是线性泛函。
同时,由于π是连续映射,根据连续映射的定义,f(x)是线性连续泛函。
又因为对于任意x∈E,有f(x)=0,即E是f的核。
综上所述,存在一个线性连续泛函f,使得E是f的核。
题三:设X是非空集合,d是X上的度量,则(X,d)是完备度量空间的充要条件是每个柯西序列都在X中收敛。
证明:充分性:设(X,d)是完备度量空间,取X中的柯西序列{xn},即对于任意ε>0,存在正整数N,使得当m,n>N时,有d(xm,xn)<ε成立。
根据柯西序列的定义,对于上述柯西序列,存在x∗∈X,使得lim(n→∞)d(xn,x∗)=0。
由度量的定义,当m,n>N时,有d(xm,x∗)≤d(xm,xn)+d(xn,x∗)<ε+d(xn,x∗)。
根据极限的定义,当n→∞时,有d(xn,x∗)→0。
因此,对于任意ε>0,存在正整数N,使得当n>N时,有d(xn,x∗)<ε成立,即柯西序列{xn}收敛于x∗。
必要性:设(X,d)中的每个柯西序列都在X中收敛,取X中的柯西序列{xn},根据题设,该柯西序列在X中收敛于某一元素x∗。
泛函分析课后习题答案

___ ___ ___
1 n
d ( x, y ) 1 d ( x, y )
t 在 [o, ) 上是单增函数, 1 t
___ d ( x, y ) d ( x, z ) d ( y , z ) d ( x, y ) 1 d ( x, y ) 1 d ( x, z ) d ( y , z )
1 n
x1 B ,使 d ( x0 , x1 )
1 1 。设 d ( x0 , x1 ) 0, 则易验证 U ( x0 , ) on ,这就 n n
证明了 on 是 开集 显然 n on B 。若 x on 则对每一个 n,有 xn B 使 d ( x , x1 ) ,因 1 n 1 此 xn x(n ) 。因 B 是闭集,必有 x B ,所以 on B 。证毕 n 1 4 设 d(x,y)为空间 X 上的距离,证明 d ( x, y ) 是 X 上的距离 证明 (1)若 d ( x, y ) 0 则 d ( x, y ) 0 ,必有 x=y (2)因 d ( x, y ) d ( x, z ) d ( y, z ) 而 于是 d ( x, y ) =
___
因此 f o (t ) A 由于 A 是开集,必有 0 ,当 f C[a,b]且 d ( f , f 0 ) 时, f A 定义,n=1,2。 。 。 。 。则 d ( f n , f 0 ) | t n t0 | 0(n ) 因此当 | t n t0 | 时, f n A 。 但是 f n (t n ) a | t t0 | | t n t0 | a ,此与 f n A 的必要条件:对 任意
t B ,有 f n (t ) a 矛盾
泛函分析答案

泛函分析答案:1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵2、 设E 为一线性空间,L 是E 中的一个子集,若对任意的x,y ∈L ,以及变数λ和μ均有λx +μy ∈L ,则L 称为线性空间E 的一个子空间。
子空间心室包含零元素,因为当λ和μ均为0时,λx +μy =0∈L ,则L 必定含零元素。
3、 设L 是线性空间E 的子空间,x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。
4、 设M 是线性空间E 中一个集合,如果对任何x,y ∈M ,以及λ+μ=1,λ≥0,μ≥0的λ和μ,都有λx +μy ∈M ,则称M 为E 中的凸集。
5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素,d(x,y)为其之间的距离,它必须满足以下条件:(1) 非负性:d(x,y)>0,且d(x,y)=0<―――>x=y (2) d(x,y)=d(y,x)(3) 三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义:设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }Td 2(x,y)=(21||niii x y=-∑)1/2d 1(x,y)=1||ni i i x y =-∑d p (x,y) = (1||np iii x y=-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i nx y ≤≤-6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)→0(n →∞),这时记作0lim nn xx -->∞=,或简单地记作x n →x 07、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数,其须满足以下条件: (1)||x||≥0,且||x||=0 iff x=0 (2)||λx||=λ||x||,λ为常数(3)||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E8、设E 为线性赋范空间,{x n }∞n=1是其中的一个无穷列,如果对于任何ε>0,总存在自然数N ,使得当n>N,m>N 时,均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。
泛函分析试卷与答案

泛函分析试卷与答案【篇一:泛函分析习题参考答案】证明:显然为空间x上的距离,试证:~d(y,x)也是xd(y,x)?1?d(y,x)上的距离。
~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0d(x,y)0xy。
~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)d(x,y);1?d(y,x)1?d(x,y)t1?1?1?t1?t的单调增加性及再者,最后,由d(x,y)?d(x,z)?d(z,y),可得~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)~~d(x,z)d(z,y)d(x,z)?d(z,y)。
1?d(x,z)1?d(z,y)、设二p?1,xn?(?1(n),?,?i(n),?)?lp,n?1,2,?,x?(?1,?,?i,?)?lp,则n??时,p??d(xn,x)i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时,?i(n)??i,i?1,2,?;(2)0,i1存在n?0,使得i?n?1i(n)p对任何自然数n成立。
(n)(n)必要性证明:由d(x,x)?ni??i??0可知,?i??i,i?1,2,?。
i1p由x?(?1,?,?i,?)?l。
p可知,,存在n1?0,使得i?n1?1p?(n)ii?(p?i?1pi(p2,并且n?n1时,2p由此可得,i?n1?1i(n)ppppi(n)??ii????p对n?n1成立。
i?n1?1i?n1?1p对于n?1,2,?n1,存在n2?0,i?n2?1i(n)pp。
取n?max?n1,n2?,则i?n?1(n)pip对任何自然数n成立。
0,存在k?0,使得充分性证明:由条件可知,i?k?1时,k(n)pi(2ip对任何自然数n成立,并且i?k?1pi(p2。
由(n)i??i可知,存在n?0,使得n?n i?1(n)ipp,并且d(xn,x)pi?1(n)i??ipi?1k(n)i??i?pi?k?1pi(n)ipi(n)??ii?1kp(n)ppp?(i)?(i)p2?p。
泛函分析考试题型及答案

泛函分析考试题型及答案
1. 单项选择题
(1) 泛函分析中,Banach空间的定义是:
A. 完备的赋范线性空间
B. 完备的有界线性空间
C. 完备的线性空间
D. 有界线性空间
答案:A
2. 填空题
(2) 在泛函分析中,如果线性算子T:X→Y是连续的,则称T为
________。
答案:有界线性算子
3. 计算题
(3) 设线性算子T:ℝ^n→ℝ^m,且T是连续的。
证明:如果T是单射的,则T是开映射。
答案:证明略。
4. 简答题
(4) 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案:Hahn-Banach定理指出,如果p是实数域上的线性泛函,定义在向量空间X的一个子空间M上,并且存在常数c>0使得对于所有x∈M,有|p(x)|≤c‖x‖,那么存在X上的线性泛函P,使得对于所有x∈M,P(x)=p(x),并且对于所有x∈X,有|P(x)|≤c‖x‖。
5. 论述题
(5) 论述闭图定理及其在泛函分析中的应用。
答案:闭图定理是泛函分析中的一个重要定理,它指出如果T:X→Y 是一个线性算子,并且T的图是X×Y中的闭集,则T是连续的。
这个
定理在研究线性算子的连续性时非常有用,因为它提供了一个判断线
性算子连续性的几何方法。
在泛函分析中,闭图定理可以用来证明一
些算子的连续性,或者在研究算子的紧性、有界性等性质时作为工具。
6. 证明题
(6) 证明:如果X和Y是Banach空间,T:X→Y是一个有界线性算子,那么T的值域是闭的当且仅当T*:Y*→X*是满射的。
答案:证明略。
泛函分析期末考试题库及答案

泛函分析期末考试题库及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 泛函分析中,下列哪个概念不是线性空间?A. 所有实数构成的集合B. 所有连续函数构成的集合C. 所有有界线性算子构成的集合D. 所有可测函数构成的集合答案:D2. 在Banach空间中,下列哪个性质是定义所必需的?A. 完备性B. 线性C. 有界性D. 连续性答案:A3. 希尔伯特空间中的内积满足哪些性质?A. 线性、对称性和正定性B. 线性、反对称性和正定性C. 线性、对称性和反对称性D. 反对称性、正定性和有界性答案:A4. 下列哪个定理是泛函分析中的闭图定理?A. Hahn-Banach定理B. Tychonoff定理C. Banach-Steinhaus定理D. Riesz表示定理答案:C5. 线性算子的有界性是指什么?A. 算子的值域是有界的B. 算子的核是有界的C. 算子的值域是完备的D. 算子的范数是有限的答案:D6. 在泛函分析中,紧算子的定义是什么?A. 算子的值域是紧集B. 算子的核是紧集C. 算子的值域是有限维的D. 算子是连续的且有界答案:A7. 下列哪个概念是泛函分析中对偶空间?A. 线性空间B. 赋范线性空间C. 线性算子D. 线性泛函构成的空间答案:D8. 在泛函分析中,弱收敛和强收敛的区别是什么?A. 弱收敛涉及内积,强收敛涉及范数B. 弱收敛涉及范数,强收敛涉及内积C. 弱收敛和强收敛是等价的D. 弱收敛和强收敛都是线性的答案:A9. 泛函分析中的单位圆盘是指什么?A. 所有模长小于1的复数构成的集合B. 所有模长等于1的复数构成的集合C. 所有模长大于1的复数构成的集合D. 所有实部大于1的复数构成的集合答案:B10. 泛函分析中,下列哪个定理是关于线性泛函的表示?A. Riesz表示定理B. Riesz-Fischer定理C. Riesz-Thorin插值定理D. Riesz-Szegö不等式答案:A二、填空题(每题2分,共20分)1. 在泛函分析中,如果一个线性算子是单射的,那么它的核是________。
泛函分析部分课后习题答案

T : R n E ,对于 1 , 2 n R n , 。
下证 T 为同构映射。 显 然 T 为 单 射 , 容 易 证 T 也 为 满 射 。 事 实 上 , 对 于 x E , 令
n
ci x, ei R, i 1, 2, n ,必有 T c1 , c2 cn ci ei x 。
f x 为
n
Cauchy 列 , 则 f n x , f n1 x 0 n , 由
f ni x f ni1 x f n , f n 1 0 n 知 f ni x 也为 Cauchy 列。由 Cauchy
由于时间和能力有限,只完成了部分习题,仅供参考,有错误的请指出,大家共同进步!——陈建军
习题 1 1、解: C a,b 按 是非完备的。
n1
令函数列 Pn x
i 0
b
xi ,显然 Pn C a,b ,且有 2i
b
Pn , Pn1 Pn1 Pn dx
T x1 , x2 , xn 0, x1 , x2 , xn 1 , S x1 , x2 , xn 0, x2 , xn 。易证 T,S 为线性算
子。取点 1,0, 0 R n ,显然有 TS 1, 0, 0 T 0,0, 0 0, 0, 0 ,
n k 1
fi x f ek ,显然 f X 且 fi i 1 为 X 的基。令 T : X X ,使得
f f e1 , f e2 , f en ,易证 T 为双射。命题得证。
泛涵分析考试题及答案

泛涵分析考试题及答案一、单项选择题(每题5分,共20分)1. 泛函分析中,下列哪个概念不是线性算子?A. 线性变换B. 线性映射C. 线性泛函D. 非线性映射答案:D2. 在希尔伯特空间中,以下哪个是完备的内积空间?A. 有限维欧几里得空间B. 无限维欧几里得空间C. 有界序列空间D. 所有实数序列空间答案:A3. 泛函分析中的紧算子是指什么?A. 有界算子B. 线性算子C. 将有界集映射到相对紧集的算子D. 将有界集映射到紧集的算子答案:D4. 下列哪个定理是泛函分析中的闭图定理?A. 开映射定理B. 闭图定理C. 赫尔德不等式D. 里斯表示定理答案:B二、填空题(每题5分,共20分)1. 在泛函分析中,如果一个线性算子的值域是整个空间,则称该算子为________。
答案:满射2. 泛函分析中的________定理是研究线性算子有界性的重要工具。
答案:一致有界性3. 希尔伯特空间中的________定理说明了每一个有界线性泛函都可以由一个唯一的向量表示。
答案:里斯表示4. 如果一个线性算子是连续的,并且它的逆算子也是连续的,则称该算子为________。
答案:有界可逆三、简答题(每题10分,共20分)1. 请简述泛函分析中弱收敛和强收敛的区别。
答案:在泛函分析中,弱收敛是指序列在空间中任意连续线性泛函下收敛,而强收敛则是指序列在空间的范数下收敛。
弱收敛是比强收敛更弱的收敛形式,它不要求序列的范数收敛到极限的范数,只要求序列在每一个连续线性泛函下收敛到极限。
2. 请解释泛函分析中的巴拿赫空间和希尔伯特空间的区别。
答案:巴拿赫空间是完备的赋范线性空间,它要求空间中的每一个柯西序列都收敛于空间内的某一点。
而希尔伯特空间是巴拿赫空间的一种特殊形式,它除了满足巴拿赫空间的性质外,还具有内积结构,使得空间中的向量可以进行内积运算,并且内积诱导了一个范数。
希尔伯特空间中的内积结构使得它在研究线性算子和泛函时具有更多的性质和工具。
刘炳初泛函分析部分习题解答

1 xi yi 2 i 1 xi y i
设点列 xn x1n , x2 n ,, xk n , , n 1,2, , x0 x10 , x2 0 ,, xk 0 , . 若 xn x0 , n . 下证: xi n xi 0 , n , i 1,2, . 由 xn x0 , n 知
d xm , x n 0 1 .
取 r max d x 1 ,x N 1 , d x 2 ,x N 1 , ,d x N ,x N 1 , 1. 则
xn S xN 1 , r .
故根据有界集的定义知,点列 xn 有界. (10)证明距离空间的完备子空间是闭子空间. 证 设 A X , d 且 A 完备,下证 A 是闭的. 设 xn A 且 xn x0 , n , 要证 A 闭,即证 x0 A . 由于 xn x0 , n ,则 xn 为 X 中的 Cauchy 列. 于 是 xn 也是 A 中的 Cauchy 列. 由 A 的完备性知, x0 A . 证毕 (11)证明如果距离空间是可分的,则它的任意子空间也是可分的;反之,如果 距离空间不可分,它的任子空间是否也不可分? 证 设 X , d 可分, A X 且 A 为 X 的可列稠密子集. 设 D 为 X 的任一子空间,
故
x m x0 X , n .
在(1)中令 m 有,
d x n , x0 .
所以
xn x0,
n .
~ (15)设 X 是完备距离空间, f 是 X 上的连续实函数族,且具有性质:对于每
~ 一 x X , 存在常数 M x 0 , 使得对于每一 F f ,F x M x . 证明存在开集 U ~ 及常数 M 0 ,使得对于每一 x U 及所有 F f , F x M .
应用泛函考试题及答案

应用泛函考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 泛函分析中,以下哪个概念描述了线性空间中元素的线性组合?A. 线性映射B. 线性泛函C. 线性算子D. 线性组合答案:D2. 在Banach空间中,以下哪个性质是完备性的等价条件?A. 每个有界序列都有一个收敛的子序列B. 每个序列都有一个收敛的子序列C. 每个有界线性泛函都有最小上界D. 每个线性泛函都有最小上界答案:A3. 以下哪个定理是泛函分析中研究紧算子的基本工具?A. Hahn-Banach定理B. Banach-Steinhaus定理C. Riesz表示定理D. 紧算子定理答案:D4. 线性算子的谱理论中,以下哪个概念描述了算子的非零特征值?A. 点谱B. 连续谱C. 剩余谱D. 离散谱答案:A5. 在泛函分析中,以下哪个概念用于描述两个线性算子之间的相似性?A. 同构B. 同态C. 同伦D. 同构同态答案:A二、填空题(每题2分,共10分)1. 如果线性算子T在Banach空间X上是紧的,那么对于X中的任何有界序列{$x_n$},序列{$T(x_n)$}在X中有一个收敛的子序列。
2. 在Hilbert空间中,Riesz表示定理表明每个连续线性泛函都可以表示为与一个固定向量的内积。
3. 线性算子的谱由所有复数$\lambda$组成,使得算子$\lambda I -T$没有有界逆。
4. 紧算子的一个重要性质是它们将有界集合映射到相对紧的集合。
5. 在泛函分析中,Banach空间的对偶空间是指其上所有连续线性泛函的空间。
三、简答题(每题10分,共20分)1. 请简述Hahn-Banach定理在泛函分析中的意义。
答:Hahn-Banach定理是泛函分析中的一个基本定理,它保证了在局部线性空间中定义的线性泛函可以扩展到整个空间,同时保持其范数不变。
这一定理在研究线性算子、线性泛函以及它们的性质时起着至关重要的作用。
2. 描述一下紧算子在泛函分析中的应用。
泛函分析试题及解答

∞
一 (X, ρ)是完备的距离空间,Ωn ⊂ X 列紧,n = 1, 2,…,问 Ωn 是
n=1
否列紧?若不列紧,如何增加条件使之列紧?
设 xn = Cn · e + yn,要证 x = C · e + y,y ∈ X0。
d(xn, xm) = xn − xm = (Cn − Cm)e + (yn − ym)
=| Cn − Cm | ·
e
+
yn Cn
− −
ym Cm
d | Cn − Cm |
其中 d = d( e, X0) > 0。 所以 | Cn − Cm |−→ 0。Cn −→ C,yn −→ y ∈ X0( X0 闭)。
要证明 E 中有界集是列紧集,由 Arzela-Ascoli 定理,只需要证明一
致有界和等度连续即可。只证等度连续:对于 ∀f (x) ∈ E, x, y ∈ [0, 1],都
有
| f (x) − f (y) |=|
y x
f
(t)dt
|
y x
|
f
(t)
|
dt。那么只需证
f
(t)
有界即
可。
考虑等价范数 f C1[0,1]= f C[0,1] + f C[0,1],由 (E , · C1 ) 和 (E , · C[0,1]) 的完备性,知 f (t) 有界。
f1 与 f2 结合为 f ,由 三 知 f 连续。
五 设 X 是 B 空 间 ,A, B ∈ L(X), 若 AB = BA, 则 对 ∀λ,Eλ = ker(λI − B) 一定是 A 的不变子空间。
泛函分析考试题型及答案

泛函分析考试题型及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 泛函分析中,下列哪个概念不是线性空间的基本元素?A. 向量B. 线性组合C. 线性映射D. 拓扑结构答案:D2. 在希尔伯特空间中,以下哪个性质不是内积空间必须具备的?A. 正定性B. 线性C. 对称性D. 交换性答案:D3. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理?A. 赫尔德不等式B. 闵可夫斯基不等式C. 贝叶斯定理D. 一致有界性原理答案:C4. 巴拿赫空间是指完备的赋范线性空间,以下哪个条件不是巴拿赫空间必须满足的?A. 线性B. 赋范C. 完备性D. 有限维答案:D5. 在泛函分析中,紧算子是指将有界集映射到相对紧集的线性算子,以下哪个性质不是紧算子必须具备的?A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 单射性答案:D6. 下列哪个概念不是泛函分析中的拓扑概念?A. 开集B. 闭集C. 连续性D. 线性映射答案:D7. 泛函分析中,下列哪个概念与巴拿赫空间无关?A. 赋范线性空间B. 完备性C. 紧性D. 线性答案:C8. 在泛函分析中,下列哪个性质不是线性泛函必须具备的?A. 线性B. 有界性C. 单射性D. 连续性答案:C9. 下列哪个定理不是泛函分析中解决方程问题的基本定理?A. 赫尔德定理B. 拉克斯-米尔格拉姆定理C. 贝祖定理D. 弗雷德霍姆选择定理答案:C10. 在泛函分析中,下列哪个概念不是线性算子的基本性质?A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 可逆性答案:D二、填空题(每题2分,共20分)1. 泛函分析中的线性空间必须满足向量加法和标量乘法的______性。
答案:封闭2. 希尔伯特空间中的内积必须满足正定性、线性、对称性和______性。
答案:共轭对称3. 巴拿赫空间是完备的______线性空间。
答案:赋范4. 紧算子将有界集映射到______集。
答案:相对紧5. 巴拿赫空间中的完备性是指空间中的每个柯西序列都收敛到空间内的某个元素,这种性质也称为______性。
(完整word版)泛函分析习题标准答案

(完整word版)泛函分析习题标准答案第⼆章度量空间作业题答案提⽰ 1、试问在R 上,()()2,x y x y ρ=-能定义度量吗?答:不能,因为三⾓不等式不成⽴。
如取则有(),4x y ρ=,⽽(),1x z ρ=,(),1z x ρ= 2、试证明:(1)()12,x y x y ρ=-;(2)(),1x y x y x yρ-=+-在R 上都定义了度量。
证:(1)仅证明三⾓不等式。
注意到21122x y x z z y x z z y ??-≤-+-≤-+- ?故有111222x yx z z y-≤-+-(2)仅证明三⾓不等式易证函数()1xx x=+在R +上是单调增加的,所以有()()a b a b ??+≤+,从⽽有1111a b a b a b++≤≤+++++++令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y zy x z x y z---≤++-+-+-4.试证明在[]b a C ,1上,)12.3.2()()(),(?-=ba dt t y t x y x ρ定义了度量。
证:(1)0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ(因为x,y 是连续函数) 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成⽴。
[]),(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dtt y t z dt t z t x dtt y t z dt t z t x dtt y t x y x bab ab aba ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明∑∑==≤??ni in i i x n x 1221证:∑∑∑∑=====?≤??ni in i n i i n i i x n x x 1212122118.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积21R R R ?=上定义了度量{}212/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证:仅证三⾓不等式。
泛函分析试题及答案

泛函分析试题及答案### 泛函分析试题及答案#### 一、选择题(每题5分,共20分)1. 泛函分析中,下列哪个概念不是线性空间的概念?A. 线性组合B. 线性映射C. 线性泛函D. 非线性变换答案:D2. 在Banach空间中,以下哪个条件不是完备性的必要条件?A. 空间中的每个Cauchy序列都收敛于空间内B. 空间是完备的C. 空间中存在一个完备的度量D. 空间中的每个有界序列都有一个收敛的子序列答案:C3. 泛函分析中,Hilbert空间的完备性是相对于哪种范数?A. 欧几里得范数B. 赋范范数C. 内积诱导的范数D. 以上都是答案:C4. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理?A. Hahn-Banach定理B. Riesz表示定理C. 闭图定理D. 微积分基本定理答案:D#### 二、填空题(每题5分,共20分)1. 线性泛函在定义域上的连续性等价于其在定义域的原点处的连续性,这是基于泛函分析中的________定理。
答案:Hahn-Banach2. 在Hilbert空间中,任意两个向量的内积满足平行四边形法则,即对于任意向量\( u \)和\( v \),有\( \|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 =2(\|u\|^2 + \|v\|^2) \),这是基于________定理。
答案:平行四边形3. 线性算子的谱半径公式为\( r(T) = \lim_{n \to \infty}\|T^n\|^{1/n} \),其中\( T \)是Banach空间上的有界线性算子,这是基于________定理。
答案:Gelfand公式4. 在泛函分析中,紧算子的定义是:如果对于空间中的每一个有界序列,其在算子下的像序列都有一个收敛的子序列,则称该算子为紧算子,这是基于________定理。
答案:Arzelà-Ascoli#### 三、简答题(每题15分,共30分)1. 简述Riesz表示定理的内容及其在泛函分析中的意义。
泛函分析期末考试题库及答案

泛函分析期末考试题库及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪个选项不是泛函分析中的基本概念?A. 线性空间B. 线性算子C. 微分方程D. 范数答案:C2. 希尔伯特空间中的内积满足的性质不包括以下哪一项?A. 线性B. 对称性C. 正定性D. 可逆性答案:D3. 以下哪个是紧算子的性质?A. 有界B. 可逆C. 连续D. 可微答案:A4. 以下哪个定理是泛函分析中的基本定理?A. 泰勒定理B. 格林定理C. 里斯表示定理D. 牛顿-莱布尼茨定理答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 在泛函分析中,一个线性空间的基是一组线性______的向量。
答案:无关2. 一个线性算子是______的,如果它将一个有界集映射到一个有界集。
答案:有界3. 一个线性算子是______的,如果它将一个紧集映射到一个紧集。
答案:紧4. 一个线性算子是______的,如果它在某个线性空间上是连续的。
答案:连续三、简答题(每题10分,共30分)1. 简述什么是线性空间,并给出其基本性质。
答案:线性空间是一个集合,其中的元素称为向量,满足加法和数乘两种运算,并且满足加法交换律、加法结合律、数乘分配律等性质。
2. 解释什么是紧算子,并给出一个例子。
答案:紧算子是一个线性算子,它将任意有界序列映射到一个收敛序列。
例如,考虑在L^2空间上的算子K,定义为K(f)(x) =∫f(t)sin(x-t)dt,它是一个紧算子。
3. 描述什么是希尔伯特空间,并说明其与欧几里得空间的关系。
答案:希尔伯特空间是一个完备的内积空间,它允许无限维向量的存在。
希尔伯特空间是欧几里得空间的推广,其中欧几里得空间是有限维的希尔伯特空间。
四、计算题(每题15分,共30分)1. 给定线性算子A: L^2(0,1) → L^2(0,1),定义为A(f)(x) =∫₀^x f(t)dt,证明A是一个紧算子。
答案:略2. 考虑在L^2(-1,1)上的算子B,定义为B(f)(x) = xf(x),证明B是一个有界算子,并求出其范数。
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泛函分析习题及参考答案一、在2R 中定义如下三种距离:21212(,),(,)x x x y y y R ==∈,1(,)d x y =21122(,)max{,}d x y x y x y =−−,31122(,)d x y x y x y =−+−,试证:212d d ≤≤3132d d d ≤≤,2322d d d ≤≤,从而这三种距离诱导出的极限是等价的。
二、设),(y x d 为空间X 上的距离,试证:),(1),(),(~x y d x y d x y d +=也是X 上的距离。
证明:显然,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =⇔=⇔=0),(0),(~。
再者,),(~),(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=;最后,由tt t +−=+1111的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤,可得 ),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++++=+++≤+= ),(~),(~),(1),(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤。
三、设1p ≥,1()()(,,,)i n n pn x l ξξ=∈ , ,2,1=n ,1(,,,)pi x l ξξ=∈ ,则n →∞时,1()1(,)0ppn n i i i d x x ξξ∞=⎛⎞=−→⎜⎟⎝⎠∑的充要条件为)1(n →∞时,()n i i ξξ→,1,2,i = ;)2(0ε∀>,存在0N >,使得()1pn p ii N ξε∞=+<∑对任何自然数n 成立。
证明:必要性证明,由1()1(,)0pp n n i i i d x x ξξ∞=⎛⎞=−→⎜⎟⎝⎠∑可知,()n i i ξξ→,1,2,i = 。
由1(,,,)pi x l ξξ=∈ 可知,0ε∀>,存在10N >,使得11(2pp i i N εξ∞=+<∑,并且1n N >时,()1(2pn p i ii εξξ∞=−<∑。
由此可得,11111()()111p p ppp pn n p i i i i i N i N i N ξξξξε∞∞∞=+=+=+⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟≤−+<⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑∑∑对1n N >成立。
对于11,2,n N = ,存在20N >,2()1pn p i i N ξε∞=+<∑。
取{}12max ,N N N =,则()1pn p i i N ξε∞=+<∑对任何n 自然数成立。
充分性证明,由条件可知,0ε∀>,存在0K >,使得()1()2p n p i i K εξ∞=+<∑对任何自然数n 成立,并且1()2pp i i K εξ∞=+<∑。
由()n ii ξξ→可知,存在0>N ,使得N n >时,()1Kpn p i ii ξξε=−<∑,并且()()()111(,)Kppppn n n n iii i i i i i i K d x x ξξξξξξ∞∞===+=−=−+−∑∑∑11()()111()()2pKpp p n n p p p i iii i i K i K ξξξξε∞∞==+=+⎛⎞≤−++<⎜⎟⎝⎠∑∑∑。
四、在],[b a L p)1(≥p 上定义距离:()1(,)()()bppad x y x t y t dt=−∫,则在此距离诱导的极限意义下,)(t x n 收敛于)(t x 的充要条件为)1()(t x n 依测度收敛于)(t x ;)2({})(t x n 在],[b a 上具有等度绝对连续的积分。
证明:必要性证明,由0),→x x n (ρ,可得0>∀σ,∫∫≥−−≥−)()()(σx x E pn Epn n dt x x dt t x t x)((σσ≥−⋅≥x x E m n p , ,2,1=n ,令∞→n ,可得0)((→≥−σx x E m n 。
即)(t x n 依测度收敛于)(t x 。
由)(t x 的积分绝对连续性可知,对任何0>ε,存在01>δ,使得E e ⊂,1δ<me 时,∫<eppdt t x 2))((1ε。
对上述0>ε,存在0>N ,使得N n >时,∫<−Eppn dt t x t x 2)()(1ε)(,从而ε<+−≤+−≤∫∫∫∫∫peppEpn peppepn pe pndt x dt x x dt x dt x x dt t x11111)()()()())(,即ε<∫pepndt t x1))(,对 ,1,+=N N n ,成立。
对于N n ,,2,1 =,易知存在02>δ,使E e ⊂,2δ<me 时,(∫<epn dt t x ε)()。
取),min(21δδδ=,则E e ⊂,δ<me 时,ε<∫pepndt t x1))(,对每个自然数n 成立。
即{})(t x n 在],[b a 上具有等度绝对连续的积分。
充分性证明,对任何0>ε,令)()(εε≥−=x x E E n n ,则0)(→εn mE 。
由此可知,对任何0>δ,存在0>N ,使得N n >时,δε<)(n mE 。
令)()(εε<−=x x E F n n ,则∫∫−+−=nnE F pn pn n pdt x x dt x x x x ),(ρ。
此时,pE pp E p E p n p n n n n dt x dt x dt x x ∫∫∫⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+≤−11)()(,p F p n a b dt x x n ε⋅−<−∫)(。
由积分的等度绝对连续性可知,对任何0>ε,存在0>δ,使得E e ⊂,δ<me 时,2))(1ε<∫pepn dt t x ,2))(1ε<∫pepdt t x 。
对上述0>δ,存在0>N ,使得N n >时,δε<)(n mE ,此时pE pn ndt x x ∫≤−ε)(。
于是对任何0>ε,存在0>N ,使得N n >时,1(,)(1)pn d x x b a ε≤+−⋅, 即)(t x n 收敛于)(t x 。
五、设B 是度量空间X 中闭集,试证必有一列开集 ,21n O O O ,,,包含B ,并且∩∞==1n n O B 。
证明:任取 ,2,1,1==n n n δ,令∪Bx n n x O ∈=)(δ,则n O B ⊂,并且n O 为开集),2,1( =n 。
任取∩∞=∈1n n O x ,则存在B x n ∈,使得nx x d n 1),(<),2,1( =n ,从而x x n →。
由于B 为闭集,因而B x ∈,即有∩∞==1n nOB 。
六、设X 为距离空间,21F F ,为X 中不相交的闭集,试证:存在开集21G G ,,使得Φ=21G G ∩,11F G ⊃,22F G ⊃。
证明:由Φ=21F F ∩,得0),(2111>∈∀F x d F x ,,0),(,1222>∈∀F x d F x 。
令2),(,2),(122211F x d F x d ==δδ,∪∪2211)(,)(222111F x F x x G x G ∈∈==δδ,则21G G ,分别为包含21F F ,的开集。
假设210G G x ∩∈,则211220110,,),(,),(F x F x x x d x x d ∈∈<<δδ,但是),(2),(2),(),(),(),(211221200121x x d F x d F x d x x d x x d x x d ≤+<+≤是一错误,故而 Φ=21G G ∩。
七、试证:∞l 是不可分的距离空间。
证明:设(){},1,0,,,,21=∈=∞n n l M ξξξξ ,则对于任何{}{}M y x n n ∈==ηξ,,当y x ≠时,,)sup 1n n d x y ξη=−=(。
显然,M 与二进制小数一一对应,因而是不可数的。
假设∞l 是可分的,则存在可数稠密子集{}n y ,使得任何∞⊂∈l M x 的邻域1(,3O x 中至少包含一个n y 。
对于任何两个不同的邻域1(,3O x 、1(,3O y ,M y x ∈,,必有11(,)(,)33O x O y =Φ∩,从而1(,)3O x x M ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭是一族互不相交的球,其总数是不可数的。
因此{}n y 至少也有不可数个,这与{}n y 是可数的相矛盾。
(或:由1,3n O y l M ∞⊃⊃∪()以及M 是不可数的,可知存在一个1(,)3n O y 包含M 中的两个不同点y x ,。
但(,)1d x y =,并且2,),)(,)3n n d x y d x y d y y ≤+<((,显然这是相互矛盾的。
) 八、设X 为距离空间,A 为X 中的子集,令),(inf )(y x d x f Ay ∈=,X x ∈,试证:)(x f 是X 上的连续函数。
证明:任取X x ∈0,对于X x ∈,有),(),(),(),(inf )(00x y d x x d y x d y x d x f Ay +≤≤=∈,对一切A y ∈成立。
从而)(),()(00x f x x d x f +≤,同理可得)(),()(00x f x x d x f +≤ 即有),()()(00x x d x f x f ≤−,从而)(x f 在0x 处连续。
因此)(x f 是X 上的连续函数。
九、试证:T 是距离空间X 到距离空间Y 中的连续映射的充要条件为Y 中任何闭集F 的原像F T1−是X 中的闭集。
证明:必要性证明,设F 为Y 中的闭集,任取{}1n x T F −⊂,n x x →,X x ∈,则n Tx F ∈。
由T 的连续性可知,n Tx Tx →,从而Tx F ∈,即1x T F −∈。
充分性证明,设X x ∈,任取{}n x X ⊂,n x x →。
假设n Tx Tx →不成立,则存在00ε>和子列{}k n x X ⊂,使得0(,)k n d Tx Tx ε≥。