泛函分析习题及参考答案

泛函分析习题及参考答案

一、在2

R 中定义如下三种距离：2

1212(,),(,)x x x y y y R ==∈，

1(,)d x y =21122(,)max{,}d x y x y x y =−−，

31122(,)d x y x y x y =−+−

，试证：212d d ≤≤

3132

d d d ≤≤，2322d d d ≤≤，从而这三种距离诱导出的极限是等价的。

二、设),(y x d 为空间X 上的距离，试证：)

,(1)

,(),(~

x y d x y d x y d +=

也是X 上的距离。

证明：显然,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =⇔=⇔=0),(0),(~

。

再者，),(~)

,(1)

,(),(1),(),(~

y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=

；

最后，由

t

t t +−

=+11

11的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 )

,(),(1)

,(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++

++=+++≤+= ),(~),(~)

,(1)

,(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤

。

三、设1p ≥，1()

()

(,,,)i n n p

n x l ξξ=∈ ， ,2,1=n ，1(,,,)p

i x l ξξ=∈ ，则n →∞

时，1

()1(,)0p

p

n n i i i d x x ξξ∞

=⎛⎞=−→⎜⎟⎝⎠

∑的充要条件为)1(n →∞时，()

n i i ξξ→，1,2,i = ；

)2(0ε∀>，存在0N >，使得

()1

p

n p i

i N ξ

ε∞

=+<∑

对任何自然数n 成立。

证明：必要性证明，由1

()1(,)0p

p n n i i i d x x ξξ∞

=⎛⎞=−→⎜⎟⎝⎠

∑可知，()

n i i ξξ→，1,2,i = 。

由1(,,,)p

i x l ξξ=∈ 可知，0ε∀>，存在10N >，使得

11

(2

p

p i i N εξ∞

=+<∑

，并且

1n N >时，()1

(2

p

n p i i

i ε

ξξ∞

=−<∑。

由此可得，

11

111()

()1

11p p p

p

p p

n n p i i i i i N i N i N ξξξξε∞

∞∞=+=+=+⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟≤−+<⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝

⎠∑

∑∑对1n N >成立。

对于11,2,n N = ，存在20N >，

2()1

p

n p i i N ξε∞

=+<∑

。取{}12max ,N N N =，则

()1

p

n p i i N ξε∞

=+<∑

对任何n 自然数成立。

充分性证明，由条件可知，0ε∀>，存在0K >，使得

()1

()2

p n p i i K ε

ξ∞

=+<∑

对任何自然

数n 成立，并且

1

()2

p

p i i K εξ∞

=+<∑

。

由()n i

i ξ

ξ→可知，存在0>N ，使得N n >时，()1

K

p

n p i i

i ξξε=−<∑，并且

()()()1

1

1

(,)K

p

p

p

p

n n n n i

i

i i i i i i i K d x x ξ

ξξ

ξξ

ξ∞

∞

===+=−=−+

−∑∑∑

11()()1

11()()2p

K

p

p p n n p p p i i

i

i i i K i K ξ

ξξξε∞∞

==+=+⎛⎞

≤−++<⎜⎟⎝⎠

∑∑∑。 四、在],[b a L p

)1(≥p 上定义距离：()

1

(,)()()b

p

p

a

d x y x t y t dt

=

−∫

，则在此距离诱导的

极限意义下，)(t x n 收敛于)(t x 的充要条件为)1()(t x n 依测度收敛于)(t x ；)2({})(t x n 在

],[b a 上具有等度绝对连续的积分。

证明：必要性证明，由0),→x x n （ρ，可得0>∀σ，∫

∫

≥−−≥

−)

()()(σx x E p

n E

p

n n dt x x dt t x t x

)((σσ≥−⋅≥x x E m n p ， ,2,1=n ，令∞→n ，可得0)((→≥−σx x E m n 。即)(t x n 依测度收敛于)(t x 。

由)(t x 的积分绝对连续性可知，对任何0>ε，存在01>δ，使得E e ⊂，1δ

∫<

e

p

p

dt t x 2

))((1

ε

。对上述0>ε，存在0>N ，使得N n >时，∫

<

−E

p

p

n dt t x t x 2

)()(1

ε

）（，