二分图的匹配.

第九章二分图中的匹配

三个典型问题：

（1）在一个有禁止位置的m×n棋盘上，能放置非攻击型车的最多个数是多少？

（2）在一个有禁止位置的m×n棋盘上，能放置多米诺牌覆盖的最多个数是多少？

（3）一个公司有n个工作空缺，需要有一定技能的人填补，同时有m个人申请这些项工作，每人能胜任n项工作中的若干项，问最多有多少项工作能找到合适的

人选？

9.1 一般的问题描述

定义1：

令X={x1, x2, …,x m}, Y={y1,y2, …,y n},且X∩Y＝Ф，而△是序偶e=(x,y)的集合，其中x ∈X,y∈Y,那么三元组G＝（X，△，Y）称作二分图。

定义2：

令G＝（X，△，Y）是一个二分图，边集△的子集M，若M中没有两条边存在公共点，称M是二分图G的一个匹配。

定义3：

设G是一个二分图，定义ρ（G）＝{∣M∣:M是G的一个匹配}为二分图G的最大匹配边数。

9.2 匹配

定义1：

G＝（X，△，Y），X={x1, x2, …,x m}, Y={y1,y2, …,y n}，满足∣M*∣=ρ（G）的匹配M*称为二分图G的最大匹配。一般M*不唯一，且∣M*∣=ρ（G）≤min{m,n}。

寻找M*的困难点：

（1）若已知ρ（G），那么遍历所有可能的匹配会找到M*，但搜索量巨大；

（2）一般ρ（G）并不事先知道，要找到M*，并求出ρ（G）＝∣M*∣难度更大。

定义2：

令u和v是二分图G＝（X，△，Y）的任意两个顶点，连接u和v的互异顶点序列：γ：u=u0, u1, u2, …, u p-1, u p=v

使得任意两个相邻顶点有一条边连接，即：{ u0, u1},{ u1, u2},…, { u p-1, u p}∈△,那么称序列γ为二分图G的一个链。链长等于序列的边数p，若u=v, 链γ也叫圈。

定义3：

令M为二分图G＝（X，△，Y）中的一个匹配，令M是M的补集，即G的不属于M的边集合，M∪M＝△。令u和v是顶点，且u和v一个是左顶点（即属于X），一个是右顶点（即属于Y），若连接u和v的链满足下列性质：

（1）γ的第一、三、五、、、边属于M；

（2）γ的第二、四、六、、、边属于M；

（3）u和v都不与M的边相连。

那么称γ为关于匹配M的交错链，简称M-交错链。

M-交错链的性质：

（1）M-交错链γ的长是奇数2k+1, k≧0;

（2）设Mγ表示γ的属于M的边集合，Mγ表示γ的属于M的边集合，那么有：∣Mγ∣=∣Mγ∣＋1

例：

定理9.2.1:

令M为二分图G＝（X，△，Y）中的一个匹配，则M是最大匹配当且仅当不存在M-交错链。

推论9.2.1:

若M不是二分图G的最大匹配，那么必存在M-交错链。

进展：

得到了最大匹配的特征，即只需找M-交错链，找不到，则M就是最大匹配。

困难：

搜索M-交错链类似于穷举，算法上不可行，即在构造最大匹配的时候不知算法何时结束。

怎么办？

当找到一个匹配M时，希望能有一种方法直接直接验证其是否为最大匹配，若不是，则继续找（肯定能找到）；若是，则算法结束。

定义4：

令G＝（X，△，Y）是一个二分图，S是G的顶点X∪Y的子集，若G中任一条边的两个顶点至少有一个属于S，即：

{x,y}∩S≠Ф,对∀{x,y}∈△

则称S是G的一个覆盖。

例：

定义5：

令c（G）＝min{∣S∣:S是G的覆盖}，即c（G）是G的覆盖的最小顶点个数，称c （G）为G的覆盖数。显然，G的任一个覆盖S满足∣S∣≧c(G),把满足∣S∣＝c(G)的覆盖S称为G的最小覆盖。

****图的最小顶点覆盖问题是典型的NP难题。

引理9.2.2:

如果G是一个二分图，那么ρ（G）≦c（G）,即二分图G的最大匹配边数不会超过G 的覆盖数。

例：

求二分图G的最大匹配和最小覆盖的算法：

令G＝（X，△，Y）是一个二分图，其中X={x1, x2, …,x m}, Y={y1,y2, …,y n}，令M为得到的G的任一匹配。

（1）将X的所有不与M的边相关联的顶点标上（*），并称所有的顶点为未被扫描的，转（2）；

（2）如果在上一步没有新的标记（例如（*）,（y j））加到X的顶点上，则停止。否则，转（3）；

（3）当存在X的被标记但未被扫描的顶点时，选择一个被标记但未被扫描的顶点，比如x i, 用(x i)标记Y的所有顶点，这些顶点被不属于M且尚未标记的边连到x i。现在顶点x i是被扫描的，若X中不存在被标记但未被扫描的顶点时，转（4）；

（4）若在步骤（3）中没有新的标记加到Y中顶点上，则停止；否则，转（5）；

（5）当存在Y中被标记但未被扫描的顶点时，选择Y中一个被标记但未被扫描的顶点，比如y j, 用(y j)标记X 的所有顶点，这些顶点被属于M且尚未标记的边连到y j。现在顶点y j是被扫描的，若Y中不存在被标记但未被扫描的顶点时，转（2）；

例1：

如图，确定二分图G的最大匹配和最小覆盖。

算法的收敛性证明：

定义6：

突破点：存在Y中的被标记的点，该点不与M的边关联；

非突破点：算法终止，但未出现突破点，即Y中每一个被标记的顶点都与M的边关联。

结论：

在突破点情况，算法成功找到一个M-交错链，因此，可以构造一个比M更大的匹配，再重新应用匹配算法。

算法的正确性证明：

定理9.2.3:

设非突破点在匹配算法中发生，令X un由X中所有未被标记的顶点组成，并令Y lab由Y的所有被标记的顶点组成，则下列两个结论成立：

（1）S＝X un∪Y lab是二分图G的最小覆盖；

（2）∣M∣＝∣S∣，且M是G的最大匹配。

推论9.24(Konig定理)：

令G＝（X，△，Y）是一个二分图，则ρ（G）＝c（G）,即二分图G的最大匹配边数