二分图匹配与网络流问题
信息学竞赛中的的最大流与最小割
信息学竞赛中的的最大流与最小割在信息学竞赛中的最大流与最小割信息学竞赛是一项旨在提高学生信息学知识和解决问题能力的竞赛活动。
其中，最大流与最小割是解决网络流问题的重要算法。
本文将对最大流与最小割的基本概念、算法及其在信息学竞赛中的应用进行介绍。
一、最大流与最小割的概念在图论中，最大流与最小割是两个相互关联的概念。
最大流指在一个网络中，从源点到汇点的最大可行流量；而最小割是指将网络切割成两个部分，使得从源点到汇点的流量最小。
最大流问题和最小割问题是互为对偶的，可以通过计算最大流来求解最小割，或者通过计算最小割来求解最大流。
二、最大流与最小割的算法1. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早被提出的最大流算法之一。
算法通过不断在残留网络中找增广路径来增加流量，直到无法找到增广路径为止。
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度取决于路径的选择，可以达到O(EF)，其中E是边的数量，F是最大流的大小。
2. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是基于Ford-Fulkerson算法的一种实现，它使用BFS寻找最短增广路径。
由于BFS保证了路径长度的最小化，Edmonds-Karp算法的时间复杂度为O(VE^2)，在稀疏图中效果明显优于Ford-Fulkerson算法。
3. Dinic算法Dinic算法是一种高效的最大流算法，它使用了分层图和阻塞流的思想。
分层图是通过BFS构建的，用于寻找增广路径；而阻塞流用于快速计算最大流。
Dinic算法的时间复杂度为O(V^2E)。
三、最大流与最小割在信息学竞赛中的应用最大流与最小割在信息学竞赛中的应用非常广泛。
例如，可以用最大流算法解决二分图匹配问题，即将图中的点分为两个集合，使得任意相邻的两个点属于不同的集合，并找到最大的匹配数量。
最大流还可用于解决任务分配、资源分配等问题。
此外，最小割在信息学竞赛中也有重要的应用。
图论：二分图多重匹配
图论：⼆分图多重匹配使⽤最⼤流和费⽤流解决⼆分图的多重匹配之前编辑的忘存了好⽓啊。
本来打算学完⼆分图的乱七⼋糟的匹配之后再去接触⽹络流的，提前撞到了之前我们说的⼆分图最⼤匹配和⼆分图最⼤权匹配有⼀个特点，那就是没个点只能与⼀条边相匹配如果规定⼀个点要与L条边相匹配，这样的问题就是⼆分图的多重匹配问题然后根据边是否带权重，⼜可以分为⼆分图最⼤多重匹配和⼆分图最⼤权多重匹配（⼆分图多重最佳完美匹配）⾸先给出⼆分图多重最⼤匹配的做法：在原图上建⽴源点S和汇点T，S向每个X⽅点连⼀条容量为该X⽅点L值的边，每个Y⽅点向T连⼀条容量为该Y⽅点L值的边原来⼆分图中各边在新的⽹络中仍存在，容量为1（若该边可以使⽤多次则容量⼤于1），求该⽹络的最⼤流，就是该⼆分图多重最⼤匹配的值然后给出⼆分图多重最优匹配（⼆分图多重最⼤权匹配）的做法：在原图上建⽴源点S和汇点T，S向每个X⽅点连⼀条容量为该X⽅点L值、费⽤为0的边，每个Y⽅点向T连⼀条容量为该Y⽅点L值、费⽤为0的边原来⼆分图中各边在新的⽹络中仍存在，容量为1（若该边可以使⽤多次则容量⼤于1），费⽤为该边的权值。
求该⽹络的最⼤费⽤最⼤流，就是该⼆分图多重最优匹配的值这道题⾥⾯，⼀共有X⽅点这么多的电影，每个电影需要拍摄多少天就是对应的X⽅点L值，然后每⼀天是⼀个Y⽅点，由于每⼀天只能拍摄⼀部电影，所有Y⽅点的L值均为1下⾯介绍⼀下实现：int n,sum,cnt,ans;int g[maxn],cur[maxn];int str[25][10];struct Edge{int u,v,next,cap,flow;}e[maxm];这⾥⾯的cur数组是g数组的临时数组str⽤来保存每⼀个电影可以在哪⼀天拍摄Edge是⽹络流图⾥⾯的边void addedge(int u,int v,int c){e[++cnt].u=u;e[cnt].v=v;e[cnt].cap=c;e[cnt].flow=0;e[cnt].next=g[u];g[u]=cnt;e[++cnt].u=v;e[cnt].v=u;e[cnt].cap=0;e[cnt].flow=0;e[cnt].next=g[v];g[v]=cnt;}建图的时候，注意怎么赋值的接下来根据题意建图：for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=7;j++)scanf("%d",&str[i][j]);scanf("%d%d",&d,&w);sum+=d;addedge(0,i,d); //容量为需要多少天for(int j=1;j<=7;j++)for(int k=0;k<w;k++)if(str[i][j]) addedge(i,20+k*7+j,1);}for(int i=21;i<=370;i++) addedge(i,371,1);ans=maxflow(0,371);0为源点，371为汇点sum最后进⾏⼀个统计，和源点出发的最⼤流量进⾏⽐较，如果相等，说明电影排的开然后是求最⼤流的⼀个板⼦int maxflow(int st,int ed){int flowsum=0;while(bfs(st,ed)){memcpy(cur,g,sizeof(g));flowsum+=dfs(st,ed,INF);//cout<<"#"<<flowsum<<" ";}return flowsum;}具体的DFS和BFS这⾥不作为重点，以后再说下⾯给出完整的实现：1 #include<cstdio>2 #include<cstring>3 #include<algorithm>4using namespace std;5const int INF=1000000000;6const int maxn=1005;7const int maxm=20005;8int n,sum,cnt,ans;9int g[maxn],cur[maxn];10int str[25][10];11struct Edge{int u,v,next,cap,flow;}e[maxm];12void addedge(int u,int v,int c)13 {14 e[++cnt].u=u;e[cnt].v=v;e[cnt].cap=c;15 e[cnt].flow=0;e[cnt].next=g[u];g[u]=cnt;1617 e[++cnt].u=v;e[cnt].v=u;e[cnt].cap=0;18 e[cnt].flow=0;e[cnt].next=g[v];g[v]=cnt;19 }20int q[maxn],vis[maxn],d[maxn];21bool bfs(int st,int ed)22 {23 memset(q,0,sizeof(q));24 memset(vis,0,sizeof(vis));25 memset(d,-1,sizeof(d));26 vis[st]=1;d[st]=0;27int h=0,t=1;28 q[t]=st;29while(h!=t)30 {31 h=h%maxn+1;32int u=q[h];33for(int tmp=g[u];tmp;tmp=e[tmp].next)34 {35if(!vis[e[tmp].v]&&e[tmp].cap>e[tmp].flow)36 {37 vis[e[tmp].v]=1;38 d[e[tmp].v]=d[u]+1;39if(e[tmp].v==ed) return true;40 t=t%maxn+1;41 q[t]=e[tmp].v;42 }43 }44 }45return false;46 }47int getpair(int x)48 {49if(x%2==0)50return x-1;51else return x+1;52 }53int dfs(int x,int ed,int a)54 {55if(x==ed||a==0) return a;56int flow=0,f;57for(int tmp=cur[x];tmp;tmp=e[tmp].next)58 {59if(d[e[tmp].v]==d[x]+1&&(f=dfs(e[tmp].v,ed,min(a,e[tmp].cap-e[tmp].flow)))>0)60 {61 e[tmp].flow+=f;62 e[getpair(tmp)].flow-=f;63 a-=f;64 flow+=f;65if(a==0) break;66 }67 }68return flow;69 }70int maxflow(int st,int ed)71 {72int flowsum=0;73while(bfs(st,ed))74 {75 memcpy(cur,g,sizeof(g));76 flowsum+=dfs(st,ed,INF);77//cout<<"#"<<flowsum<<" ";78 }79return flowsum;8081 }82void init()83 {84 sum=cnt=0;85 memset(g,0,sizeof(g));86 }87int main()88 {89int T,d,w;90 scanf("%d",&T);91while(T--)92 {93 init();94 scanf("%d",&n);95for(int i=1;i<=n;i++)96 {97for(int j=1;j<=7;j++)98 scanf("%d",&str[i][j]);99 scanf("%d%d",&d,&w);100 sum+=d;101 addedge(0,i,d); //容量为需要多少天102for(int j=1;j<=7;j++)103for(int k=0;k<w;k++)104if(str[i][j]) addedge(i,20+k*7+j,1);105 }106for(int i=21;i<=370;i++) addedge(i,371,1);107 ans=maxflow(0,371);108if(ans==sum) printf("Yes\n");109else printf("No\n");110 }111return0;112 }据说这是典型的最⼤流题⽬，然⽽为了强⾏安利⼀波⼆分图的多重匹配，就不说成那个了。
二分图匹配(匈牙利算法)
设G=(V,{R})是一个无向图。
如顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属两个不同的子集。
则称图G为二分图。
v给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
v选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)v如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
最大匹配在实际中有广泛的用处，求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。
但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。
因此，需要寻求一种更加高效的算法。
匈牙利算法是求解最大匹配的有效算法，该算法用到了增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M 的一条增广路径。
由增广路径的定义可以推出下述三个结论：v 1. P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
v 2. P经过取反操作（即非M中的边变为M中的边，原来M中的边去掉）可以得到一个更大的匹配M’。
v 3. M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。
从而可以得到求解最大匹配的匈牙利算法：v(1)置M为空v(2)找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替Mv(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止根据该算法，我选用dfs (深度优先搜索)实现。
程序清单如下：int match[i] //存储集合m中的节点i在集合n中的匹配节点,初值为-1。
int n,m,match[100]; //二分图的两个集合分别含有n和m个元素。
bool visit[100],map[100][100]; //map存储邻接矩阵。
bool dfs(int k){int t;for(int i = 0; i < m; i++)if(map[k][i] && !visit[i]){visit[i] = true;t = match[i];match[i] = k; //路径取反操作。
二分图
匈牙利算法和KM算法简介
二分图的概念
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊 模型。 设G=(V,{R})是一个无向图。如顶点集V可分 割为两个互不相交的子集，并且图中每条边 依附的两个顶点都分属两个不同的子集。则 1 2 3 4 5 称图G为二分图。
1
2
3
4
最大匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M 的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个 顶点，则称M是一个匹配。 选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹 最大匹 配问题(maximal matching problem) 配问题 如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中 某条边相关联，则称此匹配为完全匹配 完全匹配，也 完全匹配 称作完备匹配。 完备匹配。 完备匹配
KM算法
穷举的效率－n！，我们需要更加优秀的算法。 定理： 设M是一个带权完全二分图G的一个完备匹配，给 每个顶点一个可行顶标(第i个x顶点的可行标用lx[i] 表示，第j个y顶点的可行标用ly[j]表示)，如果对所 有的边(i,j) in G,都有lx[i]+ly[j]>=w[i,j]成立(w[i,j]表示 边的权)，且对所有的边(i,j) in M,都有lx[i]+ly[j]=w[i,j] 成立，则M是图G的一个最佳匹配。证明很容易。
匈牙利算法
在主程序中调用下面的程序即可得出最大匹 配数。 Bmatch := 0; For I:=1 to n do Bmatch := Bmatch + find(i); Writeln(Bmatch); 一个关于二分图的性质： 最大匹配数＋最大独立集＝X＋Y
最佳匹配
如果边上带权的话，找出权和最大的匹配叫 做求最佳匹配。 实际模型：某公司有职员x1,x2,…,xn,他们去 做工作y1,y2,…,yn,每个职员做各项工作的效 益未必一致，需要制定一个分工方案，使得 人尽其才，让公司获得的总效益最大。 数学模型：G是加权完全二分图，求总权值 最大的完备匹配。
数学建模-图论
图论导引
问题3:四色猜想 地图或地球仪上，最多用四种颜色就可把每一 国的版图染好，使得国界线两侧异色。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加 之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进 程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过 程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在 1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电 子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。
有向图：
1, 若vi是ei的始点 aij 1, 若vi是ei的终点 0, 若v 与e 不关联 i i
无向图：
1, 若vi与v j 关联 aij 0, 若vi与v j 不关联
图的矩阵表示
例6：写出右图与其基本图 的关联矩阵 解：分别为：
图论的基本概念
几个基本定理：
1、对图G V，E ，有 d v 2 E .
vV
2、度为奇数的顶点有偶数个。
3、设G V，E 是有向图， 则 d v d v E .
vV vV
子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
基 本 概 念
定义１ 在无向图 G=(V,E)中： （１） 顶点与边相互交错的有限非空序列 w (v0 e1v1e2 vk 1ek vk ) 称为一条从 v 0 到 v k 的通路，记为 Wv0vk （２）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为 Tv0vk （３）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为 Pv 0 v k 始点和终点相同的路称为圈或回路.
数学建模图论模型
任意两点均有通路的图称为连通图。
连通而无圈的图称为树，常用T=<V,E>表示树。
若图G’是图 G 的生成子图，且G’又是一棵树， 则称G’是图G 的生成树。
例 Ramsey问题
图1
图2
并且常记: V = v1, v2, … , vn, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}ek=vivj , |E | = m
称点vi , vj为边vivj的端点 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的 始点和终点. 该图称为n,m图
8
对于一个图G = V, E , 人们常用图形来表示它, 称其 为图解 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
4、P'代替P,T'代替T,重复步骤2,3
定理2 设 T为V的子集，P=V-T，设 (1)对P中的任一点p,存在一条从a到p的最短路径,这条路径仅有P中的
点构成, (2)对于每一点t,它关于P的指标为l(t),令x为最小指标所在的点, 即:
l(x)mli(tn )} t{ ,T
(3)令P’=P Ux,T’=T-{x},l’(t)表示T'中结点t关于P'的指标,则
解：用四维01向量表示人,狼,羊,菜例在过河西河岸问的题状态(在
岸则分量取1;否则取0)，共有24 =16 种状态; 在河东岸 态类似记作。
由题设，状态(0,1,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,1,1)是不允许的
其对应状态：(1,0,0,1)， (1,1,0,0)，(1,0,0,0)也是不允许
程序设计竞赛常用算法
程序设计竞赛常用算法1.排序算法：排序是一个基本的算法问题，常见的排序算法有冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序等。
这些排序算法有各自的优势和适用场景，需要根据具体问题需求选择合适的算法。
2.图论算法：图论是程序设计竞赛中经常出现的重要领域。
常见的图论算法有深度优先（DFS）、广度优先（BFS）、Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法、拓扑排序、最小生成树等。
这些算法可以用于解决最短路径、连通性、最大流最小割等问题。
3.动态规划：动态规划是一种常用于解决优化问题的算法。
该算法通过将问题分解成子问题，并记录子问题的解来求解原问题的最优解。
常见的动态规划算法有背包问题、最长公共子序列（LCS）、最大子序列和等。
4.字符串处理算法：字符串处理是程序设计竞赛中常见的问题。
常见的字符串处理算法有KMP算法、哈希算法、字符串匹配等。
这些算法可以用于解决模式匹配、字符串、字符统计等问题。
5.数学算法：数学算法在程序设计竞赛中也经常被使用。
常见的数学算法有质因数分解、素数筛、快速乘法、高精度计算等。
这些算法可以用于解决数论、计算几何、概率等问题。
6.图形算法：图形算法主要用于处理图像和几何图形。
常见的图形算法有扫描线算法、凸包算法、几何运算等。
这些算法可以用于解决图像处理、三维建模等问题。
7.树和图的遍历算法：树和图的遍历算法是程序设计竞赛中常用的算法之一、常见的树和图的遍历算法有先序遍历、中序遍历、后序遍历、深度优先（DFS）、广度优先（BFS）等。
这些算法可以用于解决树和图的构建、路径等问题。
8.最大匹配和最小割算法：最大匹配算法用于求解二分图的最大匹配问题，常见的算法有匈牙利算法。
最小割算法用于求解图的最小割问题，常见的算法有Ford-Fulkerson算法。
这些算法可以用于解决网络流和二分图匹配等问题。
9.贪心算法：贪心算法是一种常用于优化问题的算法。
该算法通过每一步选择局部最优解来达到全局最优解。
利用匈牙利算法求完美匹配例题
一、概述匈牙利算法是一种用于求解二分图最大匹配的经典算法，它的时间复杂度为O(n^3)，在实际应用中具有广泛的用途。
本文将通过一个具体的例题，详细介绍利用匈牙利算法求解完美匹配的具体步骤和方法。
二、问题描述假设有一个二分图G=(V, E)，其中V={U,V}，U={u1,u2,u3}，V={v1,v2,v3}，E={(u1,v1),(u1,v2),(u2,v2),(u3,v3)}，现在希望求解这个二分图的最大匹配。
三、匈牙利算法详解1. 初始化：需要初始化一个大小为|U|的数组match[]，用来记录每一个U中的顶点匹配的V中的顶点，初始化为-1，表示初始时没有匹配的顶点。
2. 寻找增广路径：通过遍历U中的每一个顶点，逐个寻找增广路径。
对于每一个未匹配的顶点，都尝试进行增广路径的寻找。
3. 匹配顶点：如果找到了一条增广路径，将增广路径上的顶点逐个匹配，并更新match[]数组。
4. 寻找最大匹配：重复上述步骤，直至无法继续寻找增广路径为止，此时match[]数组中记录的就是二分图的最大匹配。
四、具体例题求解接下来通过一个具体的例题来详细介绍匈牙利算法的求解过程。
假设有一个二分图G=(V, E)，其中V={U,V}，U={u1,u2,u3}，V={v1,v2,v3}，E={(u1,v1),(u1,v2),(u2,v2),(u3,v3)}。
首先初始化match[]数组为{-1,-1,-1}。
（1）对u1进行增广路径的寻找由于u1未匹配，从u1开始寻找增广路径。
首先考虑与u1相连的v1和v2。
对v1进行匹配，得到match[0]为1。
对v2进行匹配，得到match[0]为1。
（2）对u2进行增广路径的寻找由于u2未匹配，从u2开始寻找增广路径。
考虑与u2相连的v2。
对v2进行匹配，得到match[1]为2。
（3）对u3进行增广路径的寻找由于u3未匹配，从u3开始寻找增广路径。
考虑与u3相连的v3。
对v3进行匹配，得到match[2]为3。
网络流匹配汇总
算法思想
从X部分的每个顶点开始寻找一条M-增广路径，找到 增广路径之后沿着该路径更新得到一个更大的匹配
X
Y
0
0
1
1
2
2
(图三)
算法过程图解
X
Y
X
Y
X
Y
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
从X的顶点0开始,搜索到Y中 顶点0,获得条M-增广路径
X
Y
0
0
2
2
由此M-增广路径更新得到 0-0匹配
X
Y
算法代码实现
/*G[x][y]表示二部图 M[Y]表示匹配，记录Y中每个顶点对应的匹配，若M[3]=5表示Y中的３和X中的5匹配,最开始M全部初始化为-1 A[X]用于记录DFS时X中顶点是否已经访问*/ #define X 10 #define Y 20 int G[X][Y],M[Y],A[X];
是M-增广路径
也是M-增广路径
(图二)
不是M-增广路径
二部图基数匹配算法
二部图的表示
由于二部图的每个部分内部没有边，这允许我们用 更少的空间来存储二部图的结构.若G[i][j]=1就表示 X部分的第i个顶点与Y部分的第j个顶点有一条边， 那么（图三）可表示为：
1 0 1 G[3][3] 1 1 0
寻找M-增广路算法
输入：一个匹配和一个没被匹配覆盖的顶点u
algorithm augmenting path; begin
initialize LIST={u}; label node u ; while LIST≠φdo begin
匈牙利匹配算法的原理
匈牙利匹配算法的原理匈牙利匹配算法（也被称为二分图匹配算法或者Kuhn-Munkres算法）是用于解决二分图最大匹配问题的经典算法。
该算法由匈牙利数学家Dénes Kőnig于1931年提出，并由James Munkres在1957年进行改进。
该算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是图的顶点数。
匹配问题定义：给定一个二分图G=(X,Y,E)，X和Y分别代表两个不相交的顶点集合，E表示连接X和Y的边集合。
图中的匹配是指一个边的集合M，其中任意两条边没有公共的顶点。
匹配的相关概念：1.可增广路径：在一个匹配中找到一条没有被占用的边，通过这条边可以将匹配中的边个数增加一个，即将不在匹配中的边添加进去。
2. 增广路径：一个可增广路径是一个交替序列P=v0e1v1e2v2...ekvk，其中v0属于X且不在匹配中，v1v2...vk属于Y且在匹配中，e1e2...ek在原图中的边。
3.增广轨：一个交替序列形如V0E1V1E2...EkVk，其中V0属于X且不在匹配中，V1V2...Vk属于Y且在匹配中，E1E2...Ek在原图中的边。
增广轨是一条路径的特例，它是一条从X到Y的交替序列。
1.初始时，所有的边都不在匹配中。
2.在X中选择一个点v0，如果v0已经在匹配中，则找到与v0相连的在Y中的顶点v1、如果v1不在匹配中，则(v0,v1)是可增广路径的第一条边。
3. 如果v1在匹配中，则找到与v1相连的在X中的顶点v2，判断v2是否在匹配中。
依此类推，直到找到一个不在匹配中的点vn。
4.此时，如果n是奇数，则(n-1)条边在匹配中，这意味着我们找到了一条增广路径。
如果n是偶数，则(n-1)条边在匹配中，需要进行进一步的处理。
5.如果n是偶数，则将匹配中的边和非匹配中的边进行颠倒，得到一个新的匹配。
6.对于颠倒后的匹配，我们再次从第2步开始，继续寻找增广路径。
7.重复步骤2到步骤6，直到找不到可增广路径为止，此时我们得到了最大匹配。
数学建模-二分图匹配
解题思路：本题是一道典型的二分图最大匹配 题。采用匈牙利算法。本题的构图是这样的， 左右两边的x和y，分别是x学生，y课程。那么 已知哪些学生可以学哪些课，也就是在x的点 和 y的点之间首先连上线。求xy的最大匹配。如果 有P个学生做了课代表，那么就是P门课程都有 课代表了。
例题1 Courses（hdu1006）
X学生
1 2 3
Y课程
1 2 3
样例 3
（1）建图
3 3 1 2 3 2 1 2 1 1
例题1 Courses（hdu1006）
X学生
1 2 3
Y课程
1 2 3
X学生
1 2 3
Y课程
1 2 3 连接 x1-y1 x2-y2 得到此 匹配， 匹配数 为2.
（1）建图
（2）
例题1 Courses（hdu1006）
（5）
（4）
例题1 Courses（hdu1006）
X学生
1
2 3
Y课程
1
2 3 1 2 3 1 2 3
1
2 3
1
2 3
（1）
1 2 1 2 1 2
（2）
1 2
（3）
3
3
3
3
（4）
（5）
#include<iostream> int link[303][303]; int used[303],mathy[303]; using namespace std; int P,N; int find(int x) {//x学生可以匹配到某课程 么 //可以返回1，不可以返回0 … } int MMG() { //计算最大匹配数， 调用了find … } int main( ) {int x,y,i,j; int cases; scanf("%d",&cases);
网络流问题及其求解方法
网络流问题及其求解方法网络流问题是指在一个有向图中，给定网络的容量限制，找到从源点到汇点的最大流量。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，比如在运输、通信、电力等领域。
本文将介绍网络流问题以及几种常见的求解方法。
1. 网络流问题的定义网络流问题可以用有向图来表示。
图中的每条边具有一个容量，表示该边能够通过的最大流量。
同时，图中有一个源点，表示流量的起点，以及一个汇点，表示流量的终点。
问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量。
2. 求解方法一：最短增广路径算法最短增广路径算法是一种基于广度优先搜索的方法。
算法的思想是在图中不断寻找增广路径，即从源点到汇点且每条边的流量都满足容量限制的路径。
然后通过增加路径上的流量来更新网络的流量，并继续寻找下一个增广路径。
直到找不到增广路径为止，即可得到最大流量。
3. 求解方法二：最大流-最小割定理最大流-最小割定理是网络流问题的一个重要性质。
该定理指出，网络的最大流量等于它的最小割。
最小割是指将网络分成两个部分，一部分包含源点，另一部分包含汇点，并且割边的总容量最小。
根据该定理，可以通过寻找最小割来求解网络流问题。
4. 求解方法三：Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种经典的求解网络流问题的方法。
该算法通过不断寻找增广路径来更新网络的流量，直到无法再找到增广路径为止。
算法的关键在于如何选择增广路径，一种常见的选择策略是使用深度优先搜索。
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度与最大流的大小有关，一般情况下为O(fE)，其中f为最大流量，E为图中边的数量。
总结：网络流问题是一个重要的优化问题，在实际应用中具有广泛的应用。
本文介绍了网络流问题的定义以及几种常见的求解方法，包括最短增广路径算法、最大流-最小割定理和Ford-Fulkerson算法。
这些算法都可以有效地求解网络流问题，并在实践中得到广泛应用。
通过研究网络流问题及其求解方法，可以为实际问题的建模和解决提供有力的工具。
饱和度算法
饱和度算法饱和度算法饱和度算法是一种优化算法，用于解决最大化问题，例如最大化网络流、最大匹配等问题。
该算法的基本思想是通过不断增加流量来达到最大流或最大匹配。
1. 背景在网络流问题中，我们需要在一个有向图中找到从源点到汇点的最大流。
这可以看作是一个优化问题，我们需要找到一种方法来使得从源点到汇点的流量尽可能大。
2. 算法原理饱和度算法通过不断增加每条边上的流量来逼近最优解。
具体地说，我们从源点开始遍历图，并将每个节点标记为“未访问”。
然后我们选择一条未访问的边，并将其标记为“已访问”。
接着我们检查这条边所连接的节点是否已经被访问过。
如果该节点已经被访问过，则说明该节点已经被包含在某条路径中。
我们接着检查路径上所有边的饱和度（即已经满载的程度）。
如果所有边都没有达到饱和度，则我们可以增加路径上所有边的流量，并继续遍历图。
如果该节点还没有被访问过，则我们将其标记为“已访问”，并继续遍历图。
当我们无法找到未访问的边时，我们就完成了一次遍历。
如果我们成功地增加了某些边的流量，则我们可以继续进行下一次遍历。
3. 算法优化饱和度算法可以通过一些优化来提高效率。
以下是一些常用的优化技巧：（1）路径选择：在每次遍历中，我们可以使用不同的路径选择策略来尽可能快地找到最大流或最大匹配。
（2）增广路：在每次遍历中，我们可以使用增广路算法来寻找一条从源点到汇点的路径，并将该路径上所有边的流量都增加到最大。
（3）预处理：在开始算法之前，我们可以对图进行预处理，例如计算每个节点的入度和出度等信息，以便更快地找到最大流或最大匹配。
4. 算法应用饱和度算法可以用于解决各种最大化问题，例如最大网络流、最大匹配、最小割等问题。
以下是一些常见的应用场景：（1）网络流问题：饱和度算法可以用于寻找从源点到汇点的最大流，并计算出每条边上所承载的流量。
（2）二分图匹配问题：饱和度算法可以用于寻找一个二分图中的最大匹配，并计算出每个节点所匹配的节点。
网络流24题题解
⽹络流24题题解⽹络流24题by ctldragon到⽬前为⽌，还有数字梯形问题和机器⼈路径规划问题未完成。
⽹络流24题主要考建模，算法都不难（餐⼱计划问题显然要拆点，把⼀天拆成早上和晚上。
源点 s 向每天晚上连⼀条容量为所需餐⼱数，费⽤为 0 的边，表⽰获得脏餐⼱。
每天早上向汇点 t 连⼀条容量为所需餐⼱数，费⽤为 0 的边，表⽰提供⼲净餐⼱。
每天晚上可以向第⼆天晚上连⼀条容量为 inf ，费⽤为 0 的边，表⽰将脏餐⼱留在第⼆天。
i −m 天向 i 天连⼀条容量为 inf ，费⽤为 f 的边，表⽰快洗。
i −n 天向 i 天连⼀条容量为 inf ，费⽤为 s 的边，表⽰快洗。
然后就愉快的跑最⼩费⽤最⼤流了。
远古代码：by ctldragon s 0t 0inf 0i −m i inf f i −n i inf s #include<bits/stdc++.h>#define re register#define int long longusing namespace std;const int inf=0x3f3f3f3f;int n;int p,ft,fcost,st,scost;int s,t;struct node{int v,nxt,flow,dis;}a[1000000];int head[20000],cnt=1;void add(int u,int v,int flow,int dis){a[++cnt].v=v;a[cnt].flow=flow;a[cnt].dis=dis;a[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;}int dis[20000],pre[20000];bool vis[20000];bool SPFA(){queue<int>q;memset(vis,false,sizeof vis);memset(pre,0,sizeof pre);while(!q.empty())q.pop();for(re int i=0;i<=2*n+1;i++)dis[i]=inf;dis[s]=0;vis[s]=true;q.push(s);while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();vis[u]=false;for(re int i=head[u];i;i=a[i].nxt){int v=a[i].v;if(!a[i].flow)continue;if(dis[v]>dis[u]+a[i].dis){dis[v]=dis[u]+a[i].dis,pre[v]=i;if(!vis[v])vis[v]=true,q.push(v);}}}if(dis[t]==inf)return 0;return 1;Processing math: 44%n 个⽉之前的代码了，码风极其奇怪/kk家园 / 星际转移问题⾸先并查集判断⼀下地球和⽉球是否连起来，没连起来就是⽆解。
利用图论解决优化问题
利用图论解决优化问题
图论是一种数学领域，研究的对象是图。
图是由节点和边构成的一种数学结构，可以用来描述不同事物之间的关系。
在实际应用中，图论被广泛应用于解决各种优化问题。
一、最短路径问题
最短路径问题是图论中的经典问题之一。
通过图论的方法，可以很容易地找到两个节点之间最短路径的长度。
这在现实生活中经常用于规划交通路线、通讯网络等方面。
二、最小生成树问题
最小生成树问题是指在一个连通加权图中找到一个权值最小的生成树。
利用图论的方法，可以高效解决这个问题，从而在一些应用中节省资源和成本。
三、网络流问题
网络流问题是指在网络中找到从源点到汇点的最大流量。
通过图论中流网络的模型，可以有效地解决网络流问题，这在交通调度、物流运输等领域有着重要的应用。
四、最大匹配问题
最大匹配问题是指在一个二分图中找到最大的匹配数。
图论提供了有效的算法来解决最大匹配问题，这在稳定婚姻问题、任务分配等方面有着广泛应用。
五、旅行商问题
旅行商问题是一个著名的优化问题，即求解访问所有节点一次并回到起点的最短路径。
通过图论的技术，可以找到最优解，帮助旅行商节省时间和成本。
总的来说，图论在解决优化问题方面有着重要的作用。
通过构建合适的图模型，并应用相关算法，可以高效地解决各种优化问题，为现实生活中的决策提供科学依据。
希望未来能有更多的研究和应用将图论与优化问题相结合，为人类社会的发展贡献力量。
基于二分图匹配的任务分配算法
基于二分图匹配的任务分配算法在现代的科技发展中，任务分配算法是一个非常重要的领域。
它可以帮助我们在许多领域中提高效率和减少成本。
其中，在商业领域、工业领域和科学领域等方面，任务分配算法都有着极其广泛的应用。
而基于二分图匹配的任务分配算法是其中一种比较常见的方法。
首先，什么是二分图？简单来说，二分图就是一种特殊的图形结构。
在二分图中，所有的结点被分为两个部分，而两个部分之间的边只存在于不同的部分之间。
此外，在一张二分图中，不存在连向同一部分中的两个结点的边。
在二分图中进行任务分配的基本思路就是将任务和执行者分别作为两个部分的结点，并且需要保证任务和执行者之间一一对应。
也就是说，一个执行者只能处理一个任务，而一个任务也只能指定一个执行者进行处理。
这样一来，任务和执行者之间的匹配就可以通过二分图进行处理。
二分图匹配的常用算法有很多，而其中比较常见的算法是匈牙利算法。
匈牙利算法的基本思路是通过不断寻找增广路的方法来不断扩展前一个匹配的结果。
在匈牙利算法中，每个执行者都会依次尝试处理任务，如果任务还没有被其他执行者处理，并且执行者有能力处理该任务，那么该任务就会被分配给该执行者。
如果任务已经被其他执行者分配了，那么该执行者就会尝试寻找其他任务，直到找到自己可以处理的任务为止。
如果该执行者无法找到自己可以处理的任务，那么他就会放弃这一轮任务分配。
通过这种方式，匈牙利算法能够保证任务和执行者之间始终保持一一对应关系，从而实现高效的任务分配。
除了匈牙利算法，基于二分图匹配的任务分配算法还有很多其他的方法。
例如，可以通过网络流算法来解决二分图匹配问题。
在网络流算法中，二分图中的每个结点都被视为一个顶点，并且每个顶点之间的边都被赋予一个流量值。
通过不断调整流量值，网络流算法可以找到最优的任务分配方案。
此外，还可以使用线性规划算法、遗传算法等其他算法来解决二分图匹配问题。
不同的算法有不同的优点和适用范围，具体选择哪种算法需要根据具体的应用场景来决定。
最小顶点覆盖算法
最小顶点覆盖算法
最小顶点覆盖算法是一种常见的图论算法，用于求解图中的最小顶点覆盖问题。
在图论中，顶点覆盖是指在一个无向图中，选取一些顶点，使得每条边至少有一个端点被选中。
最小顶点覆盖问题就是在所有可能的顶点覆盖中，选取顶点数最小的一组。
最小顶点覆盖算法的基本思想是将顶点覆盖问题转化为二分图最大匹配问题。
具体来说，将原图中的每个顶点拆成两个节点，分别表示该顶点被选中和不被选中两种状态。
然后，将原图中的每条边转化为连接两个状态节点的边。
这样得到的二分图中，一个顶点覆盖就对应着一个匹配，而最小顶点覆盖问题就转化为了二分图最大匹配问题。
求解二分图最大匹配问题的常用算法有匈牙利算法和网络流算法。
匈牙利算法是一种基于增广路的贪心算法，时间复杂度为O(V^3)，其中V为二分图中的节点数。
网络流算法则是一种更为通用的算法，可以求解各种图论问题，时间复杂度为O(EV^2)，其中E为二分图中的边数。
最小顶点覆盖算法的应用非常广泛，例如在计算机网络中，可以用来优化路由算法和链路调度；在社交网络中，可以用来发现社区结构和关键节点；在生物信息学中，可以用来分析基因调控网络和蛋白质相互作用网络等。
最小顶点覆盖算法是一种非常重要的图论算法，可以用来解决许多实际问题。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的算法，并注意算法的时间复杂度和空间复杂度，以保证算法的效率和可行性。
ACM资料
最优比率生成树
0/1分数规划
度限制生成树
连通性问题
强大的DFS算法
无向图连通性
割点
割边
二连通分支
有向图连通性
强连通分支
2-SAT
最小点基
有向无环图
拓扑排序
有向无环图与动态规划的关系
二分图匹配问题
一般图问题与二分图问题的转换思路
组合数学
解决组合数学问题时常用的思想
逼近
递推 / 动态规划
概率问题
Polya定理
计算几何 / 解析几何
计算几何的核心：叉积 / 面积
解析几何的主力：复数
基本形
点
直线，线段
多边形
凸多边形 / 凸包
凸包算法的引进，卷包裹法
数论计算
求N的约数个数
求phi(N)
求约数和
快速数论变换
……
素数问题
概率判素算法
概率因子分解
数据结构
组织结构
二叉堆
左偏树
二项树
胜者树
跳跃表
样式图标
斜堆
reap
统计结构
树状数组
虚二叉树
线段树
8. 调用系统的qsort, 技巧很多，慢慢掌握.
9. 任意进制间的转换
第二阶段：
练习复杂一点，但也较常用的算法。
如：
1. 二分图匹配（匈牙利），最小路径覆盖
2. 网络流，最小费用流。
3. 线段树.
4. 并查集。
5. 熟悉动态规划的各个典型：LCS、最长递增子串、三角剖分、记忆化dp
二分图及匹配算法
Chapter 3
二分图最佳匹配
-二分图最佳匹配-
定义：图G中权值和最大的完全匹配。
Kuhn－Munkras算法：该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标） 来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标 为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法 执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。 KM算法的正确性基于以下定理： 若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等 子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。 KM算法流程： (1)初始化可行顶标的值； (2)用匈牙利算法寻找完备匹配； 这样做是O（n^4）的
-稳定婚姻问题-
Байду номын сангаас
求婚拒绝算法（Gale-Shapley算法/延迟认可算法）： 先对所有男生进行单身标记，称其为单身狗男。当存在单身狗男时，进行 以下操作：
①选择一位单身狗男在所有尚未拒绝她的女生中选择一位被他排名最优先 的女神；
②女神将正在追求她的单身狗男与其现任进行比较，选择其中排名优先的 男生作为其男友，即若单身狗男优于现任，则现任被抛弃为前任；否则保 留其男友，拒绝单身狗男。 ③若某男生被其女友抛弃，则重新变成单身狗男，至①重复。
Chapter 5
稳定婚姻问题
-稳定婚姻问题-
你们班上有n位男生和n位女生，每个人对异性都有一个排序，表示对他们 的爱恋程度。现在你的任务是使他们凑成CP，使他们的爱情坚不可摧！ 满足一下条件的爱情不是坚不可摧的： 男生u和女生v不是CP，但他们爱恋对方的程度都大于爱恋现任 的程度。 因为这样男生u和女生v会抛下已经是CP的那个她/他，另外组成一对。于 是乎多出了两位前任，这样就会让人再也无法相信爱情了！ 怎么能避免悲剧的发生呢？
atcoder 构造 -回复
atcoder 构造-回复题目：[AtCoder构造]：图论算法在竞赛编程中的应用- 从入门到进阶引言：竞赛编程在近年来逐渐兴起，吸引了越来越多的程序员和数学爱好者。
在这个领域中，AtCoder是一个备受推崇的竞赛平台，其提供了一系列的编程竞赛以及算法问题，旨在锻炼参与者的思维能力和编程技能。
在AtCoder竞赛中，图论算法是经常被使用的工具之一。
本文将逐步介绍图论算法在AtCoder竞赛中的应用，从初级到高阶层级。
第一步：理解AtCoder平台AtCoder平台是一个日本的在线编程竞赛平台，提供了多样的比赛和习题，其中包含一些经典的图论算法问题。
参与者需要使用编程语言来解决这些问题，并在规定的时间内提交答案。
了解AtCoder平台的基本使用方法，包括问题的范围和相应的评判标准，是解决问题的第一步。
第二步：入门级图论算法在参与AtCoder竞赛时，一些入门级的图论算法是不可或缺的。
其中最基础的算法是深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
这两种算法可用于解决图的遍历问题，找到图中的所有节点或从起点查找到目标节点。
另一个重要的算法是最短路径算法，其中最经典的是Dijkstra和Floyd-Warshall算法。
这些算法可以用于求解从一个节点到另一个节点的最短路径或最小权重的路径。
第三步：图的表示和存储在AtCoder竞赛中，理解如何有效地表示和存储图是至关重要的。
最常用的图表示方法是邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵使用一个二维矩阵来表示图的连接关系，可以较容易地进行节点间的查询。
而邻接表则使用链表或数组来表示每个节点的邻居节点，占用的存储空间较小。
根据问题的要求和输入规模，选择合适的图表示方法对于算法的效率至关重要。
第四步：拓扑排序与有向无环图拓扑排序是一种对有向无环图（DAG）进行排序的算法。
在AtCoder竞赛中，拓扑排序经常用于解决任务调度和依赖关系的排序问题。
在这种排序中，对于每个节点，它的所有依赖节点都必须在它之前排列。
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墙
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草地
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【模型一】 在问题的原型中，草地，墙这些信息不是我们 所关心的，我们关心的只是空地和空地之间的联系。 因此，我们很自然想到了下面这种简单的模型： 以空地为顶点，有冲突的空地间连边，我们可 以得到右边的这个图 ：
例题1 NOIP2010，第三题 关押罪犯
将N个人分成两组，其中M对人有Ci的不 和谐值，如果有不和谐值为Ci的两人在 同一组，那么就会有Ci的不和谐值。 要求找出一个分组方案，使得最大不和 谐值最小。 N<=20000 M<=100000
例题解答
直接做不好下手 由于要求最大值最小，即一个上界，所 以我们可以二分这个上界 那么我们就能确定哪些人不能在一组(不 和谐值大于上界的) 我们新建一张图，把不能在一组的人之 间连边，此时我们只需判断这个图能否 构成二分图即可。 复杂度O(MlogM)，实现简单
残量网络与增广轨
残量网络G’=(V,E,C),其中V,E与原网络G 相同，C为G中的容量-当前流量（即剩余 可流量） 增广轨就是一条S-T的不包含可流量为0 的边的路径 许多最大流算法都是通过不断找增广轨 进行增广从而得到最大流 定理：当前流为最大流当且仅当无增广 轨
一个重要的问题
增广一次，增加1的流量后无增广轨了，而最大流却不是 1. 我们可以走1-2-4和1-3-4得到2的流量
完全匹配
匹配边的端点为所有图中顶点
二分图的判定
判定一个无向图能否构成二分图 算法：BFS，复杂度O(M) 我们从任一点开始，令其在二分图左边 ，然后开始BFS，每次搜到的点放对面即 可，直至所有点放完或出现矛盾 正确性： 对于每个连通量而言，一个点如果确定 ，其他点均确定，而这个点放左，放右 实际上是对称的方案
最大流流量=最小割容量
引理:对于任一可行流F和任一割K，均有
当所有割边满流时等号 设F*为最大流，P*为最小割 我们找到一个割集P
aK aK
F (S ) F ( K ) C ( K ) Cap( K )
由引理得 F * ( S ) Cap( P*) ( P, P)之间的边必然满流 对于 且由割与最小割的关系 F * (S ) Cap( P) Cap( P*) 所以 F * (S ) Cap( P*)
Hopcroft-Karp算法
借用Dinic分层思想 每次对二分图分层(把二分图看做网络) 再用匈牙利算法，但是每次只走 a标号+1=b标号的边 可以证明最多进行 N 次分层 每次用O(M)的时间找增广轨 复杂度 O( N * M ) 目前已知的最快二分图匹配算法
小结
时间复杂度 网络流算法 匈牙利算法 Hopcroft-Karp 算法 O(N2*M) O(N*M) O(N0.5*M) 代码长度 较长 短 中等 思维难度 较低 低 中等
例题解答
但是O(M^2)的判断太慢 考虑到平面图的性质：边数与点数同阶 （在本题中可以3*N-6条边作为上限，如 果超过则直接判非平面图） 所以复杂度为O(N^2*T)
网络流
现在想将一些物资从S运抵T，必须经过一些中转站。 连接中转站的是公路，每条公路都有最大运载量。 每条弧代表一条公路，弧上的数表示该公路的最大运 载量。最多能将多少货物从S运抵T？ V1 V3 4 7 4 1 2 S 4 6 T
平面图的判定不好做 考虑问题特殊性 1，每条边其实有 两种画法，在里面 或在外面 2，每条边在里面或 外面可能会与其他边在里面或外面矛盾 （如蓝色与绿色矛盾）
例题解答
我们把每条边在里面，在外面这两种选 择看成两个点，那么一共有2M个点 用O(M^2)的时间判断每两个点是否矛盾 如果矛盾就连条边(保证自己选了，则矛 盾的都不选，或自己不选，矛盾的必选) 我们把每条边在里面与在外面连条边 (保证两个选择只选一个) 那么如果这个图能构成二分图，则原问
1
1
2 3 4 5
水平方向的块编号 竖直方向的块编号
3 4
2
把每个横向块看作X部的点，竖向块看作Y部的点，若 两个块有公共的空地，则在它们之间连边。于是，问题转 化成这样的一个二分图：
由于每条边表示一个空地，有冲突的空地之间必有 公共顶点，所以问题转化为二分图的最大匹配问题。
例
赛车问题
问题描述
问题的求解目标是寻求图G的最大独立集，即求G的 独立数α (G)。一般图的α (G)是很难计算的。 独立集是原图点集的一个子集，其中任意两点之间 没有边。 显然这一模型不是属于一些特殊的图，给我们设计 算法带来很大的麻烦。
【模型二】
我们将每一行，每一列被墙隔开，且包含空地的连续区域称 作“块”。显然，在一个块之中，最多只能放一个机器人。我 们把水平方向的这些块编上号；同样，把竖直方向的块也编上 号。
S2这个源点与S2S这条弧都可以不要，只需规定最多扩展M次流量即可
则称之为网络流图，记为G = (V,E,C)
可行流
对于网络流图G，每一条弧(i,j)都给定一个非负数fij，这一组 数满足下列三条件时称为这网络的可行流，用f表示它。 1. 流量限制 每一条弧(i,j)有fij≤Cij 2. 流量平衡 除源点S和汇点T以外的所有的点vi，恒有： ∑j(fij)= ∑k(fjk) 该等式说明中间点vi的流量守恒，输入与输出量相等。 3. 对于源点S和汇点T有 ， ∑i(fSi)= ∑j(fjT)= V(f) 该等式说明源点流出量等于汇点流入量等于网络流流量
B[j]:=true L[j]为0或者Find(L[j])为真 //L数组记录右边每点匹配的左边点
L[j]:=I ,find:=true,exit； //找到就退出，返回真
Find:=false; //没找到 End Function 主程序 For I:=1~N
Fillchar(B,0,sizeof(B)) If find(i) then inc(Ans);
阿 P与阿Q都是四驱车好手，他们各有N辆四驱车。为了一比高下，他 们约好进行一场比赛。
这次比赛共有M个分站赛，赢得分站赛场次多的获得总冠军。
每个分站赛中，两人各选一辆自己的赛车比赛。分站赛的胜负大部分 取决于两车的性能，但由于种种原因（如相互之间的干扰），性能并不 是决定胜负的唯一指标，有时会出现A赢B、B赢C、C赢D、D又赢A的局 面。幸好有一种高智能机器，只要给定两辆四驱车，就能立刻判断谁会 赢，在总比赛前它就已经把阿 p的每辆车与阿q的每辆车都两两测试过了， 并且还把输赢表输入了电脑。 另外，由于比赛的磨损，每辆四驱车都有自己的寿命（即它们能参加 分站赛的场次），不同的四驱车寿命可能不同，但最多不会超过 50场。 两辆四驱车最多只能交手一次。 现给定N、M（1<=N<=100，1<=M<=1000）、N*N的一个输赢 表、每辆四驱车的寿命，并假设每次分站赛两人都有可选的赛车，请你 计算一下阿P最多能够赢得多少个分站赛。
由于匈牙利算法简单好写，并且实际表现非常优秀，所 以推荐优先选择匈牙利算法。
例题 机器人布阵
有一个N*M(N,M<=50)的棋盘，棋盘的每一格是三种类型 之一：空地、草地、墙。机器人只能放在空地上。在同 一行或同一列的两个机器人，若它们之间没有墙，则它 们可以互相攻击。问给定的棋盘，最多可以放置多少个 机器人，使它们不能互相攻击。
构
图
1、建立N个点代表阿P的N辆车，分别以1到N标号； 2、建立N个点代表阿Q的N辆车，分别以N+1到2N标号；
3、如果阿P的第I辆车能够跑赢阿Q的第J辆车，则加一条弧IN+J， 容量为1，表示两辆四驱车最多只能交手一次； 4、增加一个源点S，S与 1到N中的每一个结点I都连一条弧SI， 容量为阿P的第I辆车的寿命；
复杂度为O(N^2*M)
二分图的最大匹配
算法一：网络流 算法二：匈牙利算法 算法三：Hopcroft-Karp算法
网络流算法解二分图最大匹配
对于二分图G 新建源点S，汇点T S连向左边所有点，容量为1 原图所有边容量为1 右边所有点连向T，容量为1 对此网络求最大流，最大流流量即为最 大匹配数。
反向弧
刚才产生的问题在于没有“后悔”的机 会 怎么解决？ 回溯搜索？复杂度上升至指数级。 我们给每条边增加一条反向弧 即对于(i,j,c)我们增加边(j,i,0) 当(i,j,c)被增广了X的流量后，我们把反 向弧的可流量增加X
割切
将所有点划分为两个点集。 其中S和T在不同点集 割的容量为两点集之间的边的容量和 右图割容量： 8+4+4+1 =17
例题2 HNOI 2010 Planar
给定一个图，此图有一个包含所有顶点 的环（可以认为1-2-3-..-N-1） 判断此图是否为平面图 平面图
若能将无向图G画在平面上，使得任意两条 边不相交（可以在端点重合），则为平面图
T组数据 T<=100 N<=200 M<=10000
例题解答
匈牙利算法
依然是找增广轨的思想 循环每个左边点
以此点为起点找增广轨 如果找到则增广
循环N个点，每次找增广轨最多要找M次 复杂度O(Nion Find(i):boolean 循环每个i邻接的点j