二分图的讲解

Hall定理中的条件称为“相异性条件”, 第二个定理中的条
件
称为 Fra Baidu bibliotek 条件. 满足 t 条件的二部图一定满足相异性条件.
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一个应用实例
例 某课题组要从a, b, c, d, e 5人中派3人分别到上海、广州、 香港去开会. 已知a只想去上海，b只想去广州，c, d, e都表 示想去广州或香港. 问该课题组在满足个人要求的条件下， 共有几种派遣方案？
10.4 二分图
二分图 完全二分图 匹配 极大匹配 最大匹配 匹配数 完备匹配
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二分图
定义 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 分成V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二分图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G 是简单图, 且V1中每个顶点均与V2中每个顶点都相 邻, 则称G为完全二分图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|.
注意: n 阶零图为二分图.
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二分图的判别法
定理 非平凡无向图G=<V,E>是二分图当且仅当G中 无奇数长度的回路
例 下述各图都是二分图
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匹配
设G=<V,E>, 匹配(边独立集): 任2条边均不相邻的边子集 极大匹配: 添加任一条边后都不再是匹配的匹配 最大匹配: 边数最多的匹配
匹配数: 最大匹配中的边数, 记为1
M2是完美匹配
M1
M2
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二分图中的匹配
定义 设G=<V1,V2,E>为二部图, |V1||V2|, M是G中最 大匹配, 若V1中顶点全是M饱和点, 则称M为G中V1 到V2的完全匹配. 当|V1|=|V2|时, 完备匹配变成完美 匹配.
例 图中红边组成各图的一个匹配，(1)为完备的, 但不是完 美的; (2)不是完备的, 其实(2)中无完备匹配; (3) 是完美的.
解 令G=<V1,V2,E>, 其中V1={s, g, x}, V2={a, b, c, d, e}, E={(u,v) | uV1, vV2, v想去u},
其中s, g, x分别表示上海、广州和香港. G如图所示.
G 满足相异性条件，因而可给 出派遣方案，共有9种派遣方案 (请给出这9种方案).
例 3个图的匹配数 依次为3, 3, 4.
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匹配 (续)
设M为G中一个匹配 vi与vj被M匹配: (vi,vj)M v为M饱和点: M中有边与v关联 v为M非饱和点: M中没有边与v关联 M为完美匹配: G的每个顶点都是M饱和点
例 关于M1, a,b,e,d是饱和点 f,c是非饱和点
M1不是完美匹配
(1)
(2)
(3)
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Hall定理
定理(Hall定理) 设二分图G=<V1,V2,E>中，|V1||V2|. G中存 在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k 个顶点至少与V2 中的k个顶点相邻(k=1,2,…,|V1|). 由Hall定理不难证明, 上一页图(2)没有完备匹配.
定理 设二部图G=<V1,V2,E>中, 如果存在t1, 使得V1中每个 顶点至少关联 t 条边, 而V2中每个顶点至多关联t条边，则G 中存在V1到V2的完备匹配.
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