二分图的讲解
二分图及其应用
求最大匹配举例
①取一个初始匹配M={Bb,Cc,Dd}. ②用标记法从点A开始求得一条增广路:=(AcCe)(左图). ③用调整匹配M:将中属于M的边删去并将其中不属于M的
其它边添加到M中得到比M多一边的新匹配M’(如右图 示). ④因对M’用标记法只能从E或F开始,但都不能求出M’的 任何增广路,故判定M’是一个最大匹配.
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匈牙利算法：
初始时最大匹配为空 for 二分图左半边的每个点i do 从点i出发寻找增广路径。如果找到，则把它取反
（即增加了总了匹配数）
如果二分图的左半边一共有n个点，那么最多找n 条增广路径。如果图中共有m条边，那么每找一 条增广路径（DFS或BFS）时最多把所有边遍历一 遍，所花时间也就是m。所以总的时间大概就是O （n * m）。
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例2：工作分配问题
问题 某教研室有4位教师:A,B,C,D. A能教课程5;B能教 1,2;C能教1,4;D能教课程3.能否适当分配他们的任务,使4 位教师担任4门不同课并且不发生安排教师教他不能教的 课的情况?
此问题可归结为二分图的数学模型: G={A,B,C,D},E,{1,2,3,4,5},(X,y)E,如果X能教y.一 个满足要求的工作分配正是一个含有4条边的一个最大匹 配.
for(i=0;i<n;i++) { if(mark1[i]) { if(!v[i].empty()){ memset(mark2,true,sizeof(mark2)); for(j=0;j<v[i].size();j++) { point = v[i][j]; if(!mark2[point]) continue; mark2[point] = false; if(list[point] == -1 || dfs(point)) { list[point] = i; num++; break; } } } mark1[i] = false; } } if(flog || list[0] != -1) cout << num-1 << endl; else cout << num << endl; } int main() { int i,j,s,d; while(cin>>n) { if(n == 0)break; v.clear(); v.resize(n); cin >> m >> edge; for(i=0;i<edge;i++) { cin >> j >> s >> d; v[s].push_back(d); } Solve(); } return 0; }
高压开关柜二次图识读讲解,电气人看图必备~
二次图内符号含义学习二次图前应该首先知道二次图内各符号所代表的含义或装置。
下面表格中列举了本图中一些常见符号：进线柜一次接线示意图进线开关柜交流电流回路1、计量回路计量回路的作用主要是将小电流传至智能电度表中，用于电能的计算。
检修或更换电度表时切记勿将电流互感器二次侧开路。
2、测量回路测量回路主要是将小电流传至综保装置，用于电流的检测。
后台显示的电流即取于此处。
3、线路保护回路此图中故障录波的作用就是实时监控电流变化，在发生故障时为判断故障提供判断依据，提高故障处理速度。
4、母线保护回路同样是监控电流变化，达到故障设定值作用于跳闸或告警。
5、零序保护回路线路柜后面都可看到在电缆上装有零序电流互感器，作用就是监控零序电流，将信号传至小电流选线装置柜用于告警及故障查找，再传至综保装置用于告警或跳闸。
进线开关柜交流电压回路1、电度计量图中DFY也相当于一个接线端子，不过次接线端子上带有短接片，即可将电流互感器短路，也可将电压互感器开路。
进线开关柜开入开出原理图1、综保装置外部开入开出接线图此图中QA为柜内控母小空开，QF、S8、S9、S均为断路器内部触点，S8为试验位置触点，S9为工作位置触点，在试验位置时S8闭合，离开实验位置时S8断开，到达工作位置时S9闭合，离开后S9断开。
S为断路器储能触点，储能成功闭合，未储能断开。
QK为开关柜上远方/就地转换开关，JD为接地刀触点，接地刀合上就闭合，接地刀拉开为断开。
6LP为开关柜上置检修状态压板。
2、综保装置内部开入开出接线图图中KKJ为合后位置继电器，可以用于区分是正常分闸还是故障分闸。
TWJ为跳位继电器，用于综保上跳位指示。
HWJ为合位继电器，用于综保上合位指示。
进线开关柜控制原理图上图为开关柜的控制原理图，看懂此图也就知道了我们的开关柜是怎么控制的，都经过哪些设备控制分合的。
QA为控制小母线空开，In为综保装置，KK为合分闸转换开关，HC为合闸线圈，TQ为分闸线圈，Y1为合闸闭锁电磁铁，LP都为压板，DL为断路器内辅助触点。
Ku二分图最大权匹配(KM算法)hn
Maigo的KM算法讲解(的确精彩)顶点Ｙｉ的顶标为B［i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[ｉ,j]。
在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(ｉ,j),A［i]+B[j]>=w［i,ｊ]始终成立。
KM 算法的正确性基于以下定理：* 若由二分图中所有满足A［i］+B[j]=ｗ[ｉ,ｊ］的边（i，ｊ)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
这个定理是显然的。
因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图,那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图,那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。
所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A［ｉ]＋B[j]>=w[i,j]恒成立,令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，Ｂ[ｊ］＝0。
如果当前的相等子图没有完备匹配,就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了,是因为对于某个Ｘ顶点,我们找不到一条从它出发的交错路。
这时我们获得了一棵交错树,它的叶子结点全部是X顶点。
现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值ｄ,Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：两端都在交错树中的边(i，j）,A［i]+B[j]的值没有变化。
也就是说,它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(ｉ，ｊ)，A[i］和B[j]都没有变化。
也就是说,它原来属于(或不属于)相等子图，现在仍属于(或不属于)相等子图。
X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i，ｊ)，它的Ａ［ｉ]+B[j]的值有所增大。
它原来不属于相等子图,现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中,Ｙ端不在交错树中的边（i,j),它的A［ｉ]+B[j]的值有所减小。
也就说,它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图,因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。
离散数学课件_8 图的基本概念
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9 2014-9-23
第六节 哈密尔顿图(2)
(1) 设 G=(V,E) 是哈密尔顿图，则对 V 的任 意非空子集 S均有W(G-S) ≦|S|, 其中GS表示在G中删除S中的点以及以S为端点 的边后所构成的图； W(G-S) 表示 G-S 的 连通分支数; (2)设G=(V,E)是n阶无向简单图，若对G中 任 意 不 相 邻 的 顶 点 u,v 都 有 d(u)+d(v) ≧n-1,则G存在哈密尔顿路，因此G是半 哈密尔顿图； (3) 设 G 是 n 阶简单图，则是哈密尔顿图当 且仅当其闭包是哈密尔顿图.
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11 2014-9-23
第七节 二分图(2)
(2)图G的匹配M是最大匹配当且仅当G不含 M的可扩路; (3)设G=(V,E)为二分图,顶点划分为V= V1 ∪ V2 ,则G存在饱和V1的每个顶点匹配 的充要条件是对任何S V1均有 |N(S)|≧|S|； 3.算法：匈牙利算法，解决了二分图的匹 配问题。
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6 2014-9-23
第五节 欧拉图(1)
欧拉图是一类非常著名的图，之所以如 此，不仅是因为欧拉是图论的创始人， 更主要是欧拉图具有对边（弧）的“遍 历性”. 1.概念有:欧拉路,欧拉图,半欧拉路,半欧 拉图,割边等；
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7 2014-9-23
第五节 欧拉图(2)
2.结论有:(1)无向连通图G是欧拉图的充要 条件是G中每个顶点的度均为偶数； (2)设G是无向连通图，则G是半欧拉图 的充要条件是G恰含有两个奇数度点. 3.算法:在欧拉图中找欧拉路的Fleury算法.
第八章 图的基本概念
完全2-分图的l-边-连通度
完全2-分图的l-边-连通度
王斌;罗光耀
【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(24)3
【摘要】连通图G所谓的l-边-连通度(ι-edge-connectivity),就是使图G成为至少ι个分支所必须去掉的最少边数,记作λι(G),即λι(G)=min{ㄧE'
ㄧ∶E'E(G),ω(G-E')≥ι}.研究了完全2-分图的ι-边-连通度,得到了定理:设
G=G[V1,V2]是一个完全2-分图,V1=r,V2=s,r+k=s,k≥0为整数.则图G的(k+2)-边-连通度为(k+1)r,即λk+2(G)=r(k+1).
【总页数】3页(P223-224,227)
【作者】王斌;罗光耀
【作者单位】重庆工商大学,理学院,重庆400067;重庆工商大学,理学院,重庆400067
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.三次图的完全扩容图的连通度 [J], 萨如拉;阿勇嘎
2.3-正则Cayley图的l-边-连通度 [J], 雷澜
3.二部图2-等周边连通度最优的充分条件 [J], 段晋芳;原军
4.关于二分图的线连通度的一个结论 [J], 潘登斌
5.关于二分图的线连通度的一个结论 [J], 潘登斌
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二分图概念性质(通俗版)
二分图的定义二分图的定义非常简单，有两组顶点，一组顶点记为L ，另一组记为R ，L 和R 没有公共的元素，并且所有的边都是连接L 和R 中的点的，对于L 和R 本身，它们内部的任何两个点都没有边相连，这样的无向图就叫二分图。
《组合数学》上这样讲解：二分图可描述为：一，顶点的集合；二，将该顶点集分成两部分的一个划分；三，连接一部分的一个顶点与另一部分的一个顶点的边的集合。
二分图是无向图，那么什么样的无向图是二分图呢？有以下定理：定理：无向图G 为二分图的充分必要条件是，G 至少有两个顶点, 且其所有回路的长度均为偶数。
证明：至少两个顶点，这个显然，把这个条件忽略掉，着重考虑回路长度为偶数这一条件。
先证充分性：由于图中可能有回路也可能无回路，无回路的情况应该最简单，自然考虑分类讨论。
于是，分类讨论后，充分性的证明转化成以下两个命题：a)所有无回路的无向图都是二分图；b)所有有回路且回路长度为偶数的无向图都是二分图。
对于a) ，因为无回路无向图总是能把它画成一棵树，所以，这个命题等价于：所有的树都是二分图。
到这里，命题a) 证明显然，因为有一种很简单的从树构造二分图的方法：令树的奇数层的结点为集合L ，令树的偶数层结点为集合R ，这样就从树得到了一个二分图。
再看命题b) ，可以把b) 转化为a) 。
对于图中的每一个回路，我们都从中拿掉一条边，这样可以消灭所有的回路，由a) 知消灭掉所有回路之后的图是二分图。
把此时得到的二分图画成一棵树，拿掉一条边后的回路此时就是树中的一条路径，并且路径的长度为奇数，这就意味着路径的头结点和尾结点所在层数的编号一个是奇数一个是偶数，用上面的从树构造二分图的方法知，头结点和尾结点分别在集合L 中和集合R 中，我们再把拿掉的这条边加上去，只不过是在L 和R 中的两个顶点间连接了一条边，图仍然是原来的二分图。
至此，充分性得证。
再证必要性。
假设二分图中的一条回路是(v0, v1, v2, …, vm, v0) ，由于是二分图，相邻顶点必不属于同一个集合，用L 标记属于集合L 的点，用R 标记属于集合R 的点，不妨假设v0 属于L ，则上面的回路可以标记为L, R, L, R, …, L, R ，由此可见，回路必有偶数个顶点，因此必有偶数条边。
二分图优质PPT课件
• int n,m;//X,Y集合的个数
• bool path(int i)
•{
•
for(int j=0;j<m;j++)//依次遍历另一半的所有结点
•
if(g[i][j]==1&&!mark[j])
•
{
•
mark[j]=1;
•
if(match[j]==-1||path(match[j]))
•
//由于逻辑运算符的短路功能，match[i]==-1的话不会继续递归。
最大匹配，若|M|=min{|V1|,|V2|}，则M为G的一个 完备匹配。如果同时满足|V1|==|V2|，则M为G的 完美匹配
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匈牙利算法
• 匈牙利算法是计算二分图最大匹配数的算法 • 匈牙利算法本质上查找增广路径，找到则最大匹
配数加一 • 增广路径
设 G V1,V2,E是一个二分图，M是图G的一个匹配， L是G中的一条路，如果L是由属于M和不属于M的 边交替出现组成，则称L为G的交替路。如果交替 路的始点和终点都是不饱和点，则称L为G的增广 路(Extensible Path)。
• 假设每个工人只能做一种 工作，每种工作只能由一 个工人做。求怎么安排总 效益最高。
甲 乙丙丁 A3 4 64 B6 4 53 C7 5 34 D6 3 22甲 工人只能做部分工作。如右边
二分图所示，没有边表示工人
不能做这种工作。
乙
• 明显，甲做A，乙做B，丙做D，
⑤ 增广路径是交错路径。即路径上的所有第奇数条边都不在 原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。（原有的 匹配是(1,5)和(2,6)，这两条配匹的边在图2给出的增广路 径中分边是第2和第4条边。而增广路径的第1、3、5条边 都没有出现在图1给出的匹配中。）
学习二等分
学习二等分1．通过操作活动让幼儿感知很多物体(图形)能够分成相等的二份，并知道整体大于部分，部分小于整体及等分后的一份叫整体的二分之一。
2．培养幼儿探求知识的兴趣及解决问题的水平。
【活动准备】1．幼儿人手一份不同形状、不同颜色的图形(◇□△○)，操作材料若干(绸带、橡皮泥、米、苹果)。
【活动过程】一、幼儿第一次尝试(探索实物的二等分)1．提出要求：今天老师给小朋友绸带、，橡皮泥、米、苹果。
请小朋友动脑筋把这些实物分成两个相同的部分，就是分后的两个部分是一模一样的(重复一次，加以强调)，能够利用尺子、剪刀这些工具来分。
2．幼儿尝试，教师巡视鼓励幼儿积极动手、动脑，遇到问题自己想办法解决(时间5分钟)。
3．反馈尝试结果。
二、幼儿第二次尝试学习几何图形的二等分，探索怎样的图形能够“二等分”1．提出要求：(出示几何图形)生活中有很多的东西可二等分，今天老师给你们准备的是几何图形，现在请小朋友用折的办法把几何图形二等分，看看是不是所有的图形都能够二等分。
2．幼儿尝试，教师巡视，引导幼儿能够相互讨论。
(放音乐)3．幼儿反馈尝试结果。
三、游戏“抢金钥匙”1．讲解要求和玩法(出示背景图)。
下面我们来玩抢金钥匙的游戏，游戏时我们分成三组，每组都要回答很多题目，就是区别这些卡片上的实物是不是二等分，记住每人只答一题，答对了前进一步，再请后面的小朋友答，后面的若答错了，请别的小朋友帮忙，哪队先拿到金钥匙哪队为胜，回答是不是二等分声音一定要响亮。
2．幼儿游戏，教师判断幼儿答得是否准确，如错误禁止前进。
3．游戏结束。
总结。
【算法】二分图的判定
【算法】⼆分图的判定⼆分图的判定 给定⼀个具有n个顶点的图。
要给图上每个顶点染⾊，并且要使相邻的顶点颜⾊不同。
判断是否能最多⽤两种颜⾊进⾏染⾊。
题⽬保证没有重边和⾃环。
概念：把相邻顶点染成不同颜⾊的问题叫做图的着⾊问题。
对图进⾏染⾊所需要的最⼩颜⾊数称为最⼩着⾊度。
最⼩着⾊度为2的图称作⼆分图。
分析：如果只⽤两种颜⾊，那么确定⼀个顶点的颜⾊之后，和它相邻的顶点的颜⾊也就确定了。
因此，选择任意⼀个顶点出发，依次确定相邻顶点的颜⾊，就可以判断是否可以被2种颜⾊染⾊了。
这个问题⽤深度优先搜索可以简单实现。
#include <bits\stdc++.h>using namespace std;#define MAX_V 1000//输⼊vector<int> G[MAX_V]; //图int V; //顶点数int color[MAX_V]; //顶点的颜⾊（1 or -1）//顶点v，颜⾊cbool dfs(int v,int c){color[v] = c;//把当前顶点相邻的顶点扫⼀遍for(int i = 0;i < G[v].size(); i++){//如果相邻顶点已经被染成同⾊了,说明不是⼆分图if(color[G[v][i]] == c) return false;//如果相邻顶点没有被染⾊,染成-c,看相邻顶点是否满⾜要求if(color[G[v][i]] == 0 && !dfs(G[v][i],-c)) return false;}//如果都没问题，说明当前顶点能访问到的顶点可以形成⼆分图return true;}void solve(){//可能是不连通图，所以每个顶点都要dfs⼀次for(int i = 0;i < V; i++){if(color[i] == 0){//第⼀个点颜⾊为 1if(!dfs(i,1)){cout << "No" << endl;return;}}}}int main(){//输⼊}。
二分图匹配Hopcroft-Carp算法详解
⼆分图匹配Hopcroft-Carp算法详解⼆分图基本最⼤匹配 集合X中有n个点，集合Y中有m个点，X与Y间共有E条边。
匈⽛利算法 O(n*m) . jpg 每次从⼀个结点出发搜索匹配点，当且仅当搜到的结点未匹配或匹配后更优时，匹配。
1 #include<cstdio>2 #include<string>3 #include<cstring>4 #include<vector>56const int N = 1000 + 10;78int n, m, e, mry[N];9bool vis[N];10 std::vector <int> Q[N];1112int read() {13int x = 0, f = 1;14char c = getchar();15while (!isdigit(c)) {16if (c == '-') f = -1;17 c = getchar();18 }19while (isdigit(c)) {20 x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);21 c = getchar();22 }23return x * f;24 }2526bool DFS(int u) {27int size = Q[u].size();28for (int i = 0; i < size; ++ i)29if (!vis[Q[u][i]]) {30 vis[Q[u][i]] = 1;31if (!mry[Q[u][i]] || DFS(mry[Q[u][i]])) {32 mry[Q[u][i]] = u;33return1;34 }35 }36return0;37 }3839int main() {40 n = read(), m = read(), e = read();41for (int i = 1; i <= e; ++ i) {42int u = read(), v = read();43if (u <= n && v <= m) Q[u].push_back(v);44 }45int ans = 0;46for (int i = 1; i <= n; ++ i) {47 memset(vis, 0, sizeof vis);48if (DFS(i)) ++ans;49 }50 printf("%d\n", ans);51return0;52 }匈⽛利算法 Hopcroft-Carp 算法 O(sqrt(n)*E) 由于⽹上对HC的讲解很少，因此我想在这⾥讲讲HC。
二分图
二分图又称双分图、二部图，指顶点可以分成两个不相交的集使得在同一个集内的顶点不相邻（没有共同边）的图。
特性∙最小边覆盖集的基数等于最大独立集的基数∙最大独立集的基数与最大匹配的基数之和，等于顶点数目∙连通的二部图：o最小顶点覆盖集的基数等于最大匹配的基数图为二分图当且仅当……∙没有奇数圈∙点色数为2问题简介设G=(V,E)是一个无向图。
如顶点集V可分区为两个互不相交的子集V1,V2之并，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个不同的子集。
则称图G为二分图。
二分图也可记为G=(V1,V2,E)。
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备，完美匹配。
算法描述求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。
但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。
因此，需要寻求一种更加高效的算法。
下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)。
增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
由增广路的定义可以推出下述三个结论：1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
2－将M和P进行异或操作(去同存异)可以得到一个更大的匹配M’。
3－M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。
算法轮廓：(1)置M为空(2)找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止时间空间复杂度时间复杂度邻接矩阵：最坏为O(n^3) 邻接表：O(mn) 空间复杂度邻接矩阵：O(n^2) 邻接表：O(m+n)样例程序Program Hungary;CosntMax=100;VarData:Array[1..Max,1..Max] of Boolean;Result:Array[1..Max] of Longint;State:Array[1..Max] of Boolean;M,N1,N2,I,T1,T2,Ans:Longint;Function Dfs(P:Longint):Boolean;VarI:Longint;BeginFor I:=1 to N2 doIf Data[P,I] and Not(State[I]) Then BeginState[I]:=True;If (Result[I]=0) or Dfs(Result[I]) Then BeginResult[I]:=P;Exit(True);End;End;Exit(False);End;BeginReadln(N1,N2,M);Fillchar(Data,Sizeof(Data),False);For I:=1 to M do BeginReadln(T1,T2);Data[T1,T2]:=True;End;Fillchar(Result,Sizeof(Result),0);Ans:=0;For I:=1 to N1 do BeginFillchar(State,Sizeof(State),0);If Dfs(I) Then Inc(Ans);End;Writeln(Ans);End.。
二分图
二分图二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。
设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
1定义简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集。
2辨析示例区别二分图，关键是看点集是否能分成两个独立的点集。
上图中U和V构造的点集所形成的循环圈不为奇数，所以是二分图。
上图中U和V和W构造的点集所形成的的循环圈为奇数，所以不是二分图。
3必要条件无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。
证先证必要性。
设G为二分图<X，E，Y>。
由于X，Y非空，故G至少有两个顶点。
若C为G 中任一回路，令C=(v0,v1,v2，…，v l-1,v l=v0)其中诸vi(i=0,1，…，l）必定相间出现于X及Y中，不妨设{v0,v2,v4，…，v l=v0}ÍX{v1,v3,v5，…，v l-1}ÍY因此l必为偶数，从而C中有偶数条边。
再证充分性。
设G的所有回路具有偶数长度，并设G为连通图（不失一般性，若G不连通，则可对G的各连通分支作下述讨论）。
令G的顶点集为V，边集为E，现构作X，Y，使<X，E，Y>=G。
取v0ÎV，置X={v|v=v0或v到v0有偶数长度的通路}Y=V-XX显然非空。
现需证Y非空，且没有任何边的两个端点都在X中或都在Y中。
由于|V|≥2并且G为一连通图，因此v0必定有相邻顶点，设为v1，那么v1ÎY；故Y不空。
设有边（u,v），使uÎX，vÎX。
那么，v0到u有偶数长度的通路，或u=v0；v0到v有偶数长度的通路，或v=v0。
K M 算 法 详 解 ( 2 0 2 0 )
【原创】我的KM算法详解0.二分图二分图的概念二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。
设G=(V, E)是一个无向图。
如果顶点集V可分割为两个互不相交的子集X和Y，并且图中每条边连接的两个顶点一个在X中，另一个在Y中，则称图G为二分图。
可以得到线上的driver与order之间的匹配关系既是一个二分图。
二分图的判定无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。
判断无向连通图是不是二分图，可以使用深度优先遍历算法（又名交叉染色法）。
下面着重介绍下交叉染色法的定义与原理首先任意取出一个顶点进行染色,和该节点相邻的点有三种情况:1.如果节点没有染过色，就染上与它相反的颜色，推入队列，2.如果节点染过色且相反，忽视掉，3.如果节点染过色且与父节点相同，证明不是二分图，return二分图博客推荐交叉染色法博客推荐：交叉染色法判断二分图另外附上二分图的性质博客：二分图的一些性质1.KM算法初步KM算法全称是Kuhn-Munkras，是这两个人在1957年提出的，有趣的是，匈牙利算法是在1965年提出的。
?增广路径增广路径定义：若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M 的一条增广路径（举例来说，有A、B集合，增广路由A中一个点通向B中一个点，再由B中这个点通向A中一个点……交替进行）增广路径有如下特性：?1. 有奇数条边?2. 起点在二分图的X边，终点在二分图的Y边?3. 路径上的点一定是一个在X边，一个在Y边，交错出现。
?4. 整条路径上没有重复的点?5. 起点和终点都是目前还没有配对的点，其他的点都已经出现在匹配子图中?6. 路径上的所有第奇数条边都是目前还没有进入目前的匹配子图的边，而所有第偶数条边都已经进入目前的匹配子图。
奇数边比偶数边多一条边?7. 于是当我们把所有第奇数条边都加到匹配子图并把条偶数条边都删除，匹配数增加了1.例如下图，蓝色的是当前的匹配子图，红色表示未匹配的路径，目前只有边x0y0，然后通过x1找到了增广路径：x1y0-y0x0-x0y2?增广路径有两种寻径方法，一个是深搜，一个是宽搜。
二分图与平面图
设G是无向图，G是二分图当且仅当G中所有回路的长度均为 偶数。
•=13.5平面图
平面图的概念
定义13.7
如果能将无向图G画在平面上使得除顶点外无边相交，则 称G是可平面图，简称平面图。画出的无边相交的图称为G的 平面嵌入。无平面嵌入的图称为非平面图。
Q (b)
(d)
<e)
(a) , (b)显然是平面图。同样地，图(c) , (d)也是平
面图。如果将图(c) , (d)分别表示为图(e) , (f),则很容
易看出这个事实。
反捉无论怎样画，总有边相交，图（c）是其中一种情况 图（b）I[.和图（a）的情况相同。
主要结论:
(1) K K,3都不是平面图 ⑵ 设GgG、若G为平面图，则G也是平面图 (3) 设G jG,若G为非平面图，则G也是非平面图，由此
可知，Kn(n>6), K,虐4)都是非平面图.
(4) 平行边与环不影响平面性.
"本草小结
_2LZ_
后刖中 序序序
C编码
完 全最 二优 叉树 树 心
k
5 S 巴k
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3
算
S法破 圈 法算Fra bibliotek法构造算法
最小生成树有序树
二叉树
生成树
根树
所有回路长 度为偶数
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-=二分图及判定定理
定义13.4
无向图G=<V,E〉中的结点集合V如果可以划分成两个不相交的子 集X和Y ，使得G中的每一条边的一个端点在X中而另一个端点在Y中， 则称G为二部图 或二分图，记为G=<X,E,Y〉。
d1
虹定义13・5」
设G=<X,E,Y〉是一个二分图，若G是一个简单图，并且X中 的每个结点与Y中的每个结点均邻接，则称G为完全二分图。如 果|X|二m =n,在同构的意义下，这样的完全二分图只有一 个，记为Kg。
学习二等分和四等分
学习二等分和四等分活动目标1.等分教学的主要要求是使幼儿初步理解整体与部分的关系，即整体大于部分，部分小于整体。
2.教幼儿学习等分，主要是通过等分几何形体，也可以适当选用幼儿熟悉的实物，如苹果、西瓜、饼干等，以帮助幼儿理解等分的实际含义。
3.本活动的主要内容是学习二等分和四等分。
重点和难点是在等分后，要让幼儿将整体与部分、部分与部分之间，进行反复比较。
让幼儿理解整体大于部分，部分小于整体。
等分的每一部分一样大。
二等分的图形为原图形的一半，四等分的图形为4份里的一份。
活动准备准备圆形、正方形、长方形、三角形纸每人2张，西瓜、蛋糕、饼干等各一份，剪刀每人1把。
活动过程1.幼儿分组操作，学习二等分。
1把幼儿分成4组，分别发给圆形、正方形、长方形、三角形等状的纸，请幼儿想办法把它们分成一样大的两份并剪开。
分别从组中请个别幼儿回答是如何分的?有几种分法?C）教师小结：把一个圆形分成相等的二份叫二等分。
圆形纸片任意对边折可分成二等分，三角形纸片上下对边折或左右对边折可二等分，而长方形和正方形有多种分法，可以对边折按对角线折以及过中心点对折。
2.幼儿分组操作，学习四等分。
（1）把幼儿分成三组，分别发给每人两张圆形或正方形或长方形纸，请幼儿把它们分成相等的4份，大家一起讨论四等分的方法。
（2)教师小结：把一个物体或形体等分为4份，叫四等分。
圆形四等分的方法是对折再对折，长方形四等分的方法是上下或左右对折再对折，正方形四等分的方法是上下、左右对折再对折，或用二条对角线分成四等分。
3.通过重叠比较，让幼儿理解部分与整体的关系(1）让幼儿把分出来的1份和原来的1张纸对比，哪个大?哪个小?再把分出来的2份进行比较，2份一样大吗?分出的每1份是原来的多少？(2）教师小结：分出来的1份比一张纸小，它是原来的一半，分出来的2份同1张纸一样大。
知道四等分后的图形是原图形4份中的一份。
4.幼儿集体活动。
（①）观察上图，看看四等分后的一份是多少。
二等分图形
数学：图形二等分活动目标：1、学习将圆和正方形进行二等分。
2、探索同个图形不同的二等分方法，发展幼儿的观察力和尝试能力。
活动准备：正方形、圆形的纸片若干、剪刀活动过程：一、复习圆形、正方形。
教师：小朋友，今天小白兔家的新房子造好了，他买来了许多漂亮的窗纸。
瞧，这些是什么图形？有什么特征？（圆形：没有角。
正方形：四个角，两条长边，两条短边）教师：小朋友很棒，都还记得以前学过的知识。
二、探索圆的二等分教师：小白兔想把这些好看的窗纸贴在新窗子上。
可是，窗纸太大了，要分成相等的两份才能用，小白兔不会分，小朋友愿意帮忙吗？教师：开动脑筋想个办法，用什么办法把圆形分成相等的两份，我请坐的好的小朋友到老师这边来分，分好后用剪刀剪开。
教师：他是怎样分的？那你怎么知道分出来的两份是一样大？有什么办法？（幼儿回答：可以比较、量）教师：老师知道一个最简单的办法，将两个半圆边对边完全重叠在一起，就能检查出是不是一样大了。
小结：把一个图形分成大小相等的两份叫二等分。
三、探索正方形的二等分。
教师：小白兔圆形的窗纸分好了，可是他还想把正方形的窗纸也分成大小相等的两份呢，你们再帮帮他，好吗？教师：老师为你们准备了正方形的纸，你们试一试，看能用什么方法把正方形的纸分成一样大的两份，分好后剪开。
（幼儿尝试操作，将正方形二等分，教师巡回观察幼儿操作，对分得好的幼儿及时给予表扬，并鼓励幼儿想想有几种分法）教师：小朋友，你们分好了吗？我请坐的好朋友说说你是怎么分的？（出示给幼儿看并展示在黑板上），怎么知道分出来的两份是否一样大？（用重叠的方法比较）教师：有哪些小朋友的分法是跟他一样的？有不同的分法吗？小结：小朋友想出了正方形二等分的两种方法，真聪明。
原来，有的图形只有一种二等分的方法，而有的图形有好几种二等分的方法。
四、练习操作图形的二等分。
教师：小白兔为了感谢你们，他决定送蛋糕给你们做礼物，但是，他想将蛋糕分成相等的两份，留一半给他吃呢。
二分图带权匹配 KM算法与费用流模型建立
[二分图带权匹配与最佳匹配]什么是二分图的带权匹配？二分图的带权匹配就是求出一个匹配集合，使得集合中边的权值之和最大或最小。
而二分图的最佳匹配则一定为完备匹配，在此基础上，才要求匹配的边权值之和最大或最小。
二分图的带权匹配与最佳匹配不等价，也不互相包含。
我们可以使用KM算法实现求二分图的最佳匹配。
方法我不再赘述，可以参考tianyi的讲解。
KM算法可以实现为O(N^3)。
[KM算法的几种转化]KM算法是求最大权完备匹配，如果要求最小权完备匹配怎么办？方法很简单，只需将所有的边权值取其相反数，求最大权完备匹配，匹配的值再取相反数即可。
KM算法的运行要求是必须存在一个完备匹配，如果求一个最大权匹配(不一定完备)该如何办？依然很简单，把不存在的边权值赋为0。
KM算法求得的最大权匹配是边权值和最大，如果我想要边权之积最大，又怎样转化？还是不难办到，每条边权取自然对数，然后求最大和权匹配，求得的结果a再算出e^a就是最大积匹配。
至于精度问题则没有更好的办法了。
[求最小(大)权匹配的费用流建模方法]求最小(大)权匹配，可以用最小(大)费用最大流的方法。
和二分图最大匹配的构图方法类似，添加附加源S和附加汇T，从S向二分图X集合中每个顶点连接一条权值为0，容量为1的有向边，从Y集合中每个顶点向T也连接一条权值为0，容量为1的有向边。
然后把原有的边变成容量为1，权值不变的有向边。
求从S到T的最小(大)费用最大流，就能求得最小(大)权匹配。
上述建模求最大权匹配的方法求得的一定是最佳匹配(如果存在完备匹配)，因为S到X集合每条边全部满流。
如下图所示，最小费用最大流为2。
要求最大权匹配(不一定完备匹配)。
如下图，只需再引入一个顶点A，从X集合的每个顶点向A连接一条容量为1，权值为0的边，然后再由A向T连接一条权值为0，容量不小于|X|的边，求最大费用最大流，这时是100。
最小权匹配也类似，不过新加的边权要为一个极大值，大于所有已有边权值。
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例 3个图的匹配数 依次为3, 3, 4.
4
匹配 (续)
设M为G中一个匹配 vi与vj被M匹配: (vi,vj)M v为M饱和点: M中有边与v关联 v为M非饱和点: M中没有边与v关联 M为完美匹配: G的每个顶点都是M饱和点
例 关于M1, a,b,e,d是饱和点 f,c是非饱和点
M1不是完美匹配
(1)
(2)
(3)
6
Hall定理
定理(Hall定理) 设二分图G=<V1,V2,E>中，|V1||V2|. G中存 在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k 个顶点至少与V2 中的k个顶点相邻(k=1,2,…,|V1|). 由Hall定理不难证明, 上一页图(2)没有完备匹配.
定理 设二部图G=<V1,V2,E>中, 如果存在t1, 使得V1中每个 顶点至少关联 t 条边, 而V2中每个顶点至多关联t条边，则G 中存在V1到V2的完备匹配.
注意: n 阶零图为二分图.
2
二分图的判别法
定理 非平凡无向图G=<V,E>是二分图当且仅当G中 无奇数长度的回路
例 下述各图都是二分图
3
匹配
设G=<V,E>, 匹配(边独立集): 任2条边均不相邻的边子集 极大匹配: 添加任一条边后都不再是匹配的匹配 最大匹配: 边数最多的匹配
匹配数: 最大匹配中的边数, 记为1
M2是完美匹配
M1
M2
5
二分图中的匹配
定义 设G=<V1,V2,E>为二部图, |V1||V2|, M是G中最 大匹配, 若V1中顶点全是M饱和点, 则称M为G中V1 到V2的完全匹配. 当|V1|=|V2|时, 完备匹配变成完美 匹配.
例 图中红边组成各图的一个匹配，(1)为完备的, 但不是完 美的; (2)不是完备的, 其实(2)中无完备匹配; (3) 是完美的.
10.4 二分图
二分图 完全二分图 匹配 极大匹配 最大匹配 匹配数 完备匹配
1
二分图
定义 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 分成V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二分图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G 是简单图, 且V1中每个顶点均与V2中每个顶点都相 邻, 则称G为完全二分图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|.
Hall定理中的条件称为“相异性条件”, 第二个定理中的条
件
称为 t 条件. 满足 t 条件的二部图一定满足相异 某课题组要从a, b, c, d, e 5人中派3人分别到上海、广州、 香港去开会. 已知a只想去上海，b只想去广州，c, d, e都表 示想去广州或香港. 问该课题组在满足个人要求的条件下， 共有几种派遣方案？
解 令G=<V1,V2,E>, 其中V1={s, g, x}, V2={a, b, c, d, e}, E={(u,v) | uV1, vV2, v想去u},
其中s, g, x分别表示上海、广州和香港. G如图所示.
G 满足相异性条件，因而可给 出派遣方案，共有9种派遣方案 (请给出这9种方案).