有趣的数阵图(一)

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09 第九讲有趣的数阵图(一)

第7讲有趣的数阵图（一）【知识导航】1、认真分析数阵图中隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口。

通常选择使用次数多的数作为关键数。

2、依据数阵图中的条件，建立所求的和与关键数的关系式，一般采用试验的方法，确定关键数的数值及相等的和。

3、数字比较复杂的图形，可采用化简数据，消去公共部分，设立未知量等方法。

基本训练1、把1—7这七个数分别填入下图中的七个圆圈内，使每条直线上的三个圆圈内各数之和都相等。

2、把1--11这11个数，分别填入下图的辐射型数阵图中，使每条线上三个○内数的和相等。

3、将1--9这9个数分别填入下图中，使每条线段上五个○内数的和相等。

4、把1—7这七个数分别填入圆圈内，使图中每个圆和每条直线上的三个数和都相等。

5、把1—9这九个数填入圆圈内，使每条对角线五数之和相等，大小正方形四角上四数之和也相等。

拓展提高6、下图中四个圆被相互分割成八个部分，在这八个部分中分别填入1或2，使得各圆内三个数字之和互不相同。

7、把1--10这10个数分别填入下图复合型数阵图中，使每条线上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内的和边相等。

8、把4—9分别填入下图中的圈内，使每个圆周上四个数的和尽可能最大。

9、下图的六条线分别连着九个圆圈，其中一个圆圈里的数是6，请选出九个连续自然数（包括6在内），填入圈内，使每条线上各数的和都等于23。

10、把1-10这十个自然数填入图中的10个方格中，要求图中3个2×2的正方形中四数之和相等，那么这个和的最小值是几？想一想，算一算下图像十字路口的红绿灯吗？请你在每盏灯处分别填入1～9中的任何一个数字，让相连的每三个数相乘的得数都相同。

你能行吗？。

《有趣的数阵图》PPT课件

精选课件
14
把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
2 4 17 635
精选课件
15
把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于15。
6 31 5 4 72
精选课件
16
将1-6这六个数字填入下图的圆圈中，使每个大圆圈上4个数字之和为14。
1+2+3+4+5+6+7=28 A：（30-28）÷2=1 134567八个数分为两组，使每组中两个数字之和：
10-1=9 则2+7=3+6=4+5
精选课件
5
练一练：将 1～7入下图的○内，使得每条边上的三个数字之和都等于12。
通关小诀窍：确定中间值
3 5 4 6 2
7 1
三条数之和： 3×12=36 2-8数之和：
精选课件
9
将2-10这九个数填入下图圆圈内，使每条线上三个数字相加之和为 22.
2
3
4
5
1A0
6
7
8
9
精选课件
10
将1、2、3、4、5、6填在下图中，使每条边上三个数之和等于9。
A1
6
5
B2
4
C3
三条边数字总和： 3×9=27
1-6六数之和： 1+2+3+4+5+6=21
A+B+C=27-21=6 故只能选1，2，3
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 A：48-45=3 12456789八个数分为两组，使每组中四个数字之和：

奥数有趣的数阵图

有趣的数阵图一教学要求：1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法;2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力,以及联想、试探归纳等思维能力;教学过程：一、导入新课语：如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里,那么这种图形,我们就称它为数阵图;它是一种趣味性很强的游戏,它的形式很多,大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵;二、探索新课：1、教学例1：将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中,使横行、竖列三个数的和相等,填在中间的公关位置,;再分别填入;2,所以我们先假设,顶点,再推出,其它的点3、教学例3：把1～9这九个数,填入到方格中,解题思路：先观察数,1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6而5在中间其余的成对来填;方法有多种;4、教学例4：把1、2、3、5、6、7、填入右表,使每行三个数和相等,竖列二数也相等;解题思路：有2行3列,而1＋2＋3＋5＋6＋7＝24,所以每行为12,这样分成1、5、6；2、3、7两组;每列和是24÷3＝8,所以：1、7；2、6；3、5;答案多种;1、填上合适的数,2、用1～5填空;使每一边和为3、填上数,使横、竖、斜和为4、使横、竖、斜和相等;教学要求：12、培养学生活跃的思维能力教学过程：一、导入新课：同学们都会正确计算有余数的除法,其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识,所以我们运用它还可以解决不少的数学难题;今天,我们将继续学习余数的妙用二;二、探索新知：1、教学例4：体育课排队,老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数,最后一个人报2,这一排有人;A、26B、27C、28D、32吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题解题思路：答案必须是5的倍数还要加2,所以我们经过计算发现可以选BD;2、教学例5:……共一百个数字;问：这100个数字中,8出现几次100个数字的和是多少解题思路：从数字的排列看,我们发现每6个数重复一次,所以周期数是6,总数是：100,我们就列算式：100÷6＝16 (4)再看8排在第几位它排在第4位,所以8出现的次数是6＋1＝7次第二个问：我们可以先算出每一个周期的数字和是多少1＋4＋2＋8＋5＋7＝27所以：27×6＝162再加上最后一次出现的数字：1＋4＋2＋8＝15得：162＋15＝1773、教学例6：1、2、3、4、5、6、7七盏灯各有一个开关,开始第2、4、6盏灯亮着,一个小朋友从第1到第7,再从第1到第7,拉了2000次,问这时那些灯亮着湖北省黄冈市第三届小学生智力竞赛试题解题思路：我们可以先找出每盏灯拉了多少次;列式：2000÷7＝285……5那么：灯号：1234567次数：85285原来：关开关开关开关现在：关开关开关关开双数时,不变；单数时,就变;三、全课小结：我们,要合理利用有余数除法的余数,还有它的变化公式;余数＝被除数－商×除数商＝被除数－余数÷除数除数＝被除数－余数÷商被除数＝商×除数＋余数四、课堂练习：1、老师把50张卡片依次发给甲、乙、丙、丁,第45章发给谁2、方方和明明用同一个数做除法,方方用12去除,明明用15去除,方方除得的商是32还余6,明明的计算结果你知道了吗安徽省马鞍山市三年级数学竞赛试题3、写1～100这100个数中,数字“6”写了多少次．．．．奇思巧解1．、．要把．．7．棵小树种成．．．．．6．行．,．每行有．．．3．棵．,．应当怎么样种．．．．．． 2．、．有．9．颗外形完全相同的珠子．．．．．．．．．．,．其中．．8．颗是珍珠．．．．,．另一颗是假珠．．．．．．,．且假．．珠比珍珠重．．．．．,．问用天平称．．．．．,．至少称几次可把假珠找出来．．．．．．．．．．．．3．、．有．100．．．个零件．．．,．分装成．．．10．．袋．,．每袋装．．．10．．个．,．其中．．9．袋里面装的都是．．．．．．．50．．克．,．另．1．袋里面的零件每个都是．．．．．．．．．．49．．千克．．,．这．10．．袋混在一起．．．．．,．你能用．．．秤称一次．．．．,,．．就把装．．．49．．千克重的那一袋零件找出来吗．．．．．．．．．．．．．4．、．老两口带着儿子．．．．．．．,．女儿．．,．和一条狗外外出旅游．．．．．．．．．,．途中过一条河．．．．．．,．渡．口有一条空船．．．．．．,．最多能载．．．．50．．千克．．,．而老两口各重．．．．．．50．．千克．．,．儿子和．．．女儿各重．．．．25．．千克．．,．狗重．．10．．千克．．,．请问他们怎么样才能渡过河去．．．．．．．．．．．．． 5．、．在一个街心花园．．．．．．．,．把．10．．棵树载成五行．．．．．．,．每行．．4．棵．,．应当怎么样栽种．．．．．．． 6．、．有．12．．只形状大小完全一样的零件．．．．．．．．．．．．,,．．其中有一只重量较轻的不是．．．．．．．．．．．．合格品．．．,．你能用天平只称三次就打出这只不合格的产品吗．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7．、．有．A ．、．B ．、．C ．三个金属球．．．．．,A ．．最重．．,C ．．最轻．．,A>B>C,．．．．．．．另外有一个球．．．．．．D,．．试用无法码的天平称两次．．．．．．．．．．．,．确定．．D ．依照重量排顺序排在每几位．．．．．．．．．．．． 8．、．有一个人带着一只狼．．．．．．．．．,．一只羊．．．,．和一筐菜过河去．．．．．．．,．当这个人在时．．．．．．,．狼不吃羊．．．．,．羊不敢吃菜．．．．．,．渡过河时只有一条船．．．．．．．．．,．能承载人及一件东．．．．．．．．西．,．问怎么样渡能使人、狼、羊、菜．．．．．．．．．．．．．．,．安全渡过河去．．．．．．9．、．有一只旧天平．．．．．．,．只剩下二个砝码．．．．．．．,．一只是．．．5．克．,．另一个是．．．．30．．克．,．如．果使用这台天平．．．．．．．,．把．300．．．克的药粉分成三份．．．．．．．．,．一份是．．．50．．克．,．一份是．．．100．．．克．,．一份是．．．150．．．克．,．最少得称几次．．．．．．10．．、．21．．只桶装饲料．．．．．,．有．7．桶装的满满的．．．．．．,．有．7．桶每桶只装了一半．．．．．．．．,．有．7．桶空的．．．,．如果不允许把饲料倒来倒去．．．．．．．．．．．．,．要求连桶带饲料平均分给三位．．．．．．．．．．．．．饲养员．．．,．问你怎么办．．．．．鸡兔同笼问题1.鸡兔同笼,上有三十五头、下有九十四足,问鸡兔各有几只2.鸡兔同笼,共有头100个,足316只,那么鸡有几只,兔有几只3.30枚硬币,由2分和5分组成,共值9角9分,2分硬币有和5分的各有几个4.小明花了6角4分钱买8分和4分的邮票共10张,其中8分和4分的邮票各有多少张5.有钢笔和铅笔共27盒,共计300支.钢笔每盒10支,铅笔每盒12支,则钢笔和铅笔各有多少盒6.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,有雨的天每天只能采12个,它连着8天共采松籽112个,这几天当中有几天在下雨7.某中学利用,暑假进行军训活动,晴天每日行35里,雨天每日行22里,13天共行403里,这期间雨天有几天8.44名学生去划船,一共乘坐10只船,其中大船可以坐6人,小船坐4人,问大船和小船各有几只9.学校开展植树活动,辅导员带领15名同学去种56棵树苗,男同学每人种4棵,女同学每人种3棵,这样刚好把树苗种完,这15名同学中有男女同学各几名10.三一班的同学在献爱心活动中共有34名同学捐款,共捐了89元,这些同学有捐2元的,有捐5元,求捐2元和捐5元的同学各有多少名1.有28位小朋友排成一行.从左边开始数第10位是爱华,从右边开始数他是第几位2.纽约时间是香港时间减13小时.你与一位在纽约的朋友约定,纽约时间4月1日晚上8时与他通电话,那么在香港你应几月几日几时给他打电话3.名工人5小时加工零件90件,要在10小时完成540个零件的加工,需要工人多少人4.大于100的整数中,被13除后商与余数相同的数有多少个5.四个房间,每个房间里不少于2人,任何三个房间里的人数不少8人,这四个房间至少有多少人6.在1998的约数或因数中有两位数,其中最大的是哪个数7.英文测验,小明前三次平均分是88分,要想平均分达到90分,他第四次最少要得几分8.一个月最多有5个星期日,在一年的12个月中,有5个星期日的月份最多有几个月9.将0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中,选出六个填在下面方框中,使算式成立,一个方框填一个数字,各个方框数字不相同.□+□□=□□□问算式中的三位数最大是什么数10.有一个号码是六位数,前四位是2857,后两位记不清,即2857□□但是我记得,它能被11和13整除,请你算出后两位数.11.某学校有学生518人,如果男生增加4％,女生减少3人,总人数就增加8人,那么原来男生比女生多几人12.陈敏要购物三次,为了使每次都不产生10元以下的找赎,5元、2元、1元的硬币最少总共要带几个硬币只有5元、2元、1元三种.13.右图是三个半圆构成的图形,其中小圆直径为8,中圆直径为12,14.幼儿园的老师把一些画片分给A,B,C三个班,每人都能分到6张.如果只分给B班,每人能得15张,如果只分给C班,每人能得14张,问只分给A班,每人能得几张15.两人做一种游戏：轮流报数,报出的数只能是1,2,3,4,5,6,7,8.把两人报出的数连加起来,谁报数后,加起来的数是123,谁就获胜,让你先报,就一定会赢,那么你第一个数报几16.一本小说的页码,在印刷时必须用1989个铅字,在这一本书的页码中数字1出现多少次17.把23个数：3,33,333,…,33…323个3相加,则所得的和的末四位数是多少18.将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数,使得两个1之间有一个数字,两个2之间有二个数字,两个3之间有三个数字,两个4之间有四个数字,那么这样的八位数中最小的是19.从1,2,3,…,2004,2005这些自然数中,最多可以取几个数,才能使其中每两个数的差不等于420.有一个电话号码是六位数,其中左边三个数字相同,右边三个数字是三个连续的自然数,六个数字之和恰好等于末尾的两位数,这个电话号码是多少21.若a为自然数,证明10│a2005－a1949．22.给出12个彼此不同的两位数,证明：由它们中一定可以选出两个数,它们的差是两个相同数字组成的两位数．23.求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位数．24.设2n＋1是质数,证明：12,22,…,n2被2n＋1除所得的余数各不相同．25.试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除．26.有甲乙两种糖水,甲含糖270克,含水30克,乙含糖400克,含水100克,现要得到浓度是%的糖水100克,问每种应取多少克27.一个容器里装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,用水加满,再倒出1升,用水加满,这时容器内的酒精溶液的浓度是28.有若干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,在加300克4%的盐水,混合后变成%的盐水,问最初的盐水是多少千克29.已知盐水若干克,第一次加入一定量的水后,盐水浓度变为3％,第二次加入同样多的水后,盐水浓度变为2％;求第三次加入同样多的水后盐水的浓度;30.有A、B、C三种盐水,按A与B的数量之比为2：1混合,得到浓度为13％的盐水；按A与B的数量之比为1：2混合,得到浓度为14％的盐水；按A、B、C的数量之比为1：1：3混合,得到浓度为％的盐水,问盐水C的浓度是多少答案1.从右边开始数,他是第19位.2.4 月2日上午9时.名工人.4.有5个.13×7+7=98＜100,商数从8开始.但余数小于13,最大是12,有13×8＋8＝112,13×9＋9＝126,13×10＋10=140,13×11＋11=154,13×12＋12＝168,共5个数.5.至少有11人.人数最多的房间至少有3人,其余三个房间至少有8人,总共至少有11人.6.最大的两位约数是74.1998＝2×3×3×3×377.第四次最少要得96分.88＋90-88×4=96分8.最多有5个月有5个星期日.1月1日是星期日,全年就有53个星期日.每月至少有4个星期日,53-4×12=5,多出5个星期日,在5个月中. .和的前两位是1和0,两位数的十位是9.因此加数的个位最大是7和8.10.后两位数是14.285700÷11×13=1997余129余数129再加14就能被143整除.11.男生比女生多32人.男生4％是3＋8=11人,男生有11÷4％=275人,女生有518-275=243人,275-243=32人.12.最少5元、2元、1元的硬币共11个.购物3次,必须备有3个5元、3个2元、3个1元.为了应付3次都是4元,至少还要2个硬币,例如2元和1元各一个,因此,总数11个是不能少的.准备5元3个,2元5个,1元3个,或者5元3个,2元4个,1元4个就能三次支付1元至9元任何钱数.班每人能得35张.设三班总人数是1,则B班人数是6/15,C班人数是6/14,因此A班人数是：15.第一个数报6.对方至少要报数1,至多报数8,不论对方报什么数,你总是可以做到两人所报数之和为9.123÷9＝13……6.你第一次报数6.以后,对方报数后,你再报数,使一轮中两人报的数和为9,你就能在13轮后达到123. 17.甲26又2/3天,乙40天又1/321.甲、乙两地相距540千米,原来火车的速度为每小时90千米;25.一班48人,二班42人29.最少5个,最多7个。

第四讲-有趣的数阵图学生版-奥数教程-讲义

第四讲有趣的数阵图经典精讲:数阵图: 将一些数按照一定的要求排列成各种各样的图形。

数阵图是一种趣味性很强的填数游戏, 它的形式多样, 绚丽奇妙。

这里给同学们介绍三种形式的数阵图, 即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

（一）辐射型数阵图（像雪花）从一个中心出发, 向外作若干条射线, 在每条射线上安放同样多个数, 使其和是一个不变的数。

突破关键：确定中间数, 多算的次数, 公共的和线数x公共的和=数和+中心数x重复次数【例1】把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中, 使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

【例2】把1—7这七个数分别填入图1中的各○内, 使每条线段上三个○内数的和相等。

【课堂练习】将1～11这11个数分别填入图11中的方格内, 每个数只许用一次, 使相邻两个或三个方格内数的和都相等。

（二）封闭型数阵图（像围墙）多边形的每条边放同样多的数, 使它们的和都等于一个不变的数。

突破关键：确定顶点上的数字, 公共的和边数x公和=数和+重叠数和【例3】把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内, 使每条边上三个○内数的和相等。

（本题有24种填法, 你能想出几种？）【例4】将2—9这八个数分别填入右图的○里, 使每条边上的三个数之和都等于18。

【课堂练习】1.1—10这十个数, 分别填在图9中五边形五条边上的十个○内, 并使五条边上的三个○内数的和相等。

2.把1—8这8个数, 填入图13中的八个○内, 使每条线段上的四个数的和, 与每个四边形四个顶点上的四个数的和都相等。

（三）复合型数阵图既有辐射型数阵图的特点, 又有封闭型数阵图的特点。

突破点: 找出关键位置重复次数。

【例5】将1～7这七个数分别填入下图的○里, 使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。

【课堂练习】1.将1.2.3.4.5.6六个数字填入图中的小圆圈内, 使每个大圆上四个数字的和是16。

2. 将1—8这八个数, 分别填入图10中两个圆圈的八个○内, 使每个圆圈上五个○内数的和分别为20、21.22。

人教版小学三年级数学第讲数阵图(一)

第16讲数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。

例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

第五讲有趣的数阵图

例2 把1~7填入下图中,使每条线段上三个内的数的和相等.
分析：中心圆填入的数是公共数，它参与3条线的连加，这意味着每一条线的另外两数相加的和相等即可，将1-7 这7个自然数分组组合便可得到如下的结果：（1）1、（2，7）、（3，6）、（4，5）由此可得中心圆是1。（2）4、（1，7）、（2，6）、（3，5）由此可得中心圆是4。（3）7、（1，6）、（2，5）、（3，4）由此可得中心圆是7。
分析：每个面上4个数之和为18，把这几个数前后配对（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5）。
小数学家们，接下来是你们大展身手的时候咯！加油！
ห้องสมุดไป่ตู้
小朋友们，周六晚上见 ~~
例（3）在下图各圆空余部分填上1、2、4、 6，使每个圆中4个数的和都是15。
3 7
5
分析：由于每个圆中4个数的和为15，求出上圆的和为15-3-5=7，易知1+6=7；左圆另外两个圆的和为15-3-7=5，易知1+4=5；右圆另外两个圆的和为15-5-7=3，易知1+2=3。则中间数一定为1。
有趣的数阵图
让猴博士告诉你
将一些数按照一定的规律排列而成的图形，通常叫做数阵图。数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图: 封闭型数阵图辐射型数阵图复合型数阵图
例1 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个内的数的和都等于9.
分析：因为 1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21 ，而每条边上的三个数的和为9，则三条边上的和为 9×3 = 27 ， 27－21 = 6 ，这个 6 就是由于三个顶点都被重复算了一次。所以三个顶点的和为 6 ，在 1-----6中，只能选1、2、3 填入三个顶点中，再将4、5、6填入另外的三个圈即可。

五年级下册数学奥数课件有趣的数阵图人教版共25张

两数之和为14
解答数阵图的关键是重叠数，所以填数阵时，一般优先考虑重叠数。可以把这个数用括号或字母表示，列出等式，再根据条件解答出来。
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
2
3
1
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
4
36+a+b=42
5
7
8
a+b=6
1+5=6或2+4=6
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
不论这5个数填在哪里，从整体来看，5个数都加了1次，其中有1 个数还多加了一次，得到了2个和，也就是6个数相加等于2×9=18。
例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和等于9。
假设重叠数是a 1+2+3+4+5+a=9×2
15+a=18 a=3
将1～9分别填入下图的九个圆圈中，使每条边相加的和等于17。
1+2+…+8+9=45
17×3-45=6 三个顶点重叠一次，即三个顶点数之和为6
6=1+2+3
1
89
6
4
2573
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
按照前面学习的方法，先列出一个等式，再考虑三个未知的数吧。

四年级奥数讲义：有趣的数阵图(一)

四年级奥数讲义:有趣的数阵图（一）大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图，幻方发展较快，因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益.先看例题.例 1 下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？分析为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I代替（上右图）.经观察，I=A+B+C+D.题目要I尽可能小，最极端的想法，希望A、B、C、D只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法，但1＋2给予G、H、E、F 中某值为3与A、B、C、D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4.那么退而求之，不妨先设A=1.如先考虑B，B尽可能小，最好，B=2，从而决定了E=3，C≠3，D≠3.这样一来，C，D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突，而C=5，D=4，又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突.在碰了钉子后，回看在A=1设定后，不应随随便便先填B的值.从结构上看，因为B，C 地位对称，不妨先考虑D.D尽可能小，最好设D=2，B、C至少取3、5，若如此，由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾.所以，B、C可能取3、6.从而形成了:A=1、D=2、B、C取3、6（B，C地位对称）.这样一来其他字母所代表的值就立即推出，不妨设B=3，C=6，A+B=E=4，C+D=6+2=8=F；A+C=1+6=7=G，B+D=3+2=5=H，恰好满足E+F=4+8=12=I；G+H=7+5=12=I；综上所述:A=1，D=2，B=3，C=6决定了其他值，且决定了I=12.是一个较小的I的值，自然要问I值还可能比12小吗？分析I的值有三种不同的获得方式:I=A+B+C+D=E+F=G+H.3I=A+B+C+D+E+F+G+H，而8个字母最少是代表1、2、…、7、8的情况.3I≥（1+2+…+7+8）=36，I≥12.现已推出了使I=12的一种填法，所以是最佳方案了.例2 如右图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，并求出x所代表的数.分析经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如:（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.解: x+18=17×2x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.例3 在下图中的各题中，将从1开始的连续自然数填入各题的圆圈中，要使每边上的数字之和都相等，中心处各有几种填法？（每小题请给出一个解）分析1 图（A）中的中心圆填入的数设为x，x参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意:1+2+3+…+7+2x=3S即28+2x=3S或28+2x≡0（mod 3）借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x≡0，1，2三个值，很轻松地解出:x≡1（mod3），回复到x取值范围为1，2，…，7.有x1=1，x2=4，x3=7，得到:x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；由此看出关键在求S（公共和）及x（参与相加次数最多的圆中值）.此方法对下面解（B）、（C）、（D）.都适用.注意:每条线上的数字之和随着中心数的变化而变化.分析2 我们分析图（B），首先应该考虑中心数，（B）题共10个数，由于中心数比其他数多使用了二次（总共使用三次）.如果中心数用x表示，三条边的数码总和应为:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2x=55+2x同理，因为是3条边，所以55+2x应是3的倍数55+2x≡0（mod 3），把x≡0、1、2代入试验，得x≡1（mod 3），即x=1、4、7、10.四种解.①当x=1时，55+2x=57，57÷3=19②当x=4时，55+2x=63，63÷3=21③当x=7时，55+2x=69，69÷3=23④当x=10时，55+2x=75，75÷3=25读者可按照上面相似的规律自己去分析一下图中（C）、（D）两题.解:（A）图:中心数可以为1、4、7，有三种填法，请读者补充其他两种解法.（B）图:中心数可以为1、4、7、10.有四种填法，请你补充其他三种填法.（C）图:中心数可以为1、5、9.有三种填法，请你补充其他两种填法.（D）图:中心数可以为1、6、11.有3种填法，请你补充其他两种填法.例 4 在下左图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x是多少？分析为了便于说明问题，我们用字母表示各个圆圈内所表示的数，如上右图所示:根据题意，我们观察:因为每一条直线上的三个数中，当中的数是两边的两个数的平均数.所以可以得出:D=（13+17）÷2=15.还可以得出以下三式:C=（B+15）÷2 （1）A=（13+B）÷2 （2）C=（A+17）÷2 （3）将上述三个算式进行变形，成下面三个算式:2C=B+15 （4）2A=13+B （5）2C=A+17 （6）用（4）式减去（5）式得出:2C-2A=2C-A=1C=A+1将C=A+1代入（6）式得到:2（A+1）=A+17，A=15.x=19.即:解:（略）例5 如下左图有5个圆，它们相交后相互分成几个区域，现在两个区域里已分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圈内的数的和都是15.分析为了便于说明，我们用字母表示其他的7个区域.如上右图.根据题意可以得出:A=5、G=9，九个区域中数的总和为:（2+3+4+5+6+7+9）+10+6=52，而每个圆圈内数的和是15，五个圆圈内数的总和为:15×5=75，又75-52=23，由此得出重叠的部分的四个数A、C、E、G的和是23.由于A=5和G=9已经填好，因此，余下的两个部分C+E 的和是:23-5-9=9，此时9只有两种分解的可能:2+7=9、3+6=9.在E、F、G这个圆圈内，∵G=9，∴E不能填6、7.也不能填3（否则F也等于3），只能填2，这样，E=2，C=7.解:例6 如下左图所示4个小三角形的顶点处共有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三顶点上的数之和相等，问这6个质数的积是多少？分析为了叙述方便，我们用字母表示图中圆圈里的数.如上右图所示.通过观察，我们不难发现，小三角形A1B2C2和小三角形A2B2C2有两个共同的顶点B2，C2，而这两个小三角形顶点上数字的和相等.因此A1=A2.同理有B1=B2，C1=C2，所以，此图只能填A、B、C三个质数（两个A、两个B、两个C.以下:A1=A2记为A，B1=B2记为B，C1=C2记为C）∵6个圆圈中的6个质数之和为20，即:2×（A+B+C）=20A+B+C=10.∴10分成三个质数之和只能是10=2+3+5.这样，A、B、C分别是2、3、5.这时所填6个数的积是:2×2×3×3×5×5=900.解:例7 能否将自然数1～10填入五角星各交点的“○”内使每条直线上的4个数字之和都相等？分析与解答不能，用反证法.假设可以填成数阵图，观察发现:十个点中的每一个点恰好是两条直线的公共点.因而全部直线（共5条）上数字总和，应该等于全部点上数字总和的2倍.记每条直线上数字和为S，则有5S=（1+2+3+…+10）×2，从而解出S=22.10和1必同在某一直线上.不然，如含有10的两条直线都不含有1，这样，这两条线上8个数字（10自然被计上两次）之和（本应为2S）大于等于2×10+2+3+4+5+6+7=47＞44=2S.形成矛盾.所以10、1必处同一直线.此外，有三个数字与10不同线，不妨记为x、y、z.显然x+y+z=｛10数总和｝-｛其余七个数和｝而这｛其余七个数和｝恰好为2S-10.所以x+y+z=55-2×22+10=21.已推出10，1共线.进一步看出，1无论在什么位置都与x、y、z三数中的两个共线.设1与x、y共线，此线上另一数设为v.则有1+x+y+v=22，从而x+y+v=21.前已证x+y+z=21，因而导致v=z的矛盾.其他情况推证类似，所以没有题设的填法.习题九1.将1～9这九个数字分别填入右图中的九个圆圈中，使各条边上的四个圆圈内的数的和相等.2.将0.01、0.02、…、0.09这九个数分别填入右图九个圆圈内，使每条边上的四个圆圈内的数之和都等于0.2.（此题与题1共用一图）3.在右图的空白的区域内分别填上1、2、4、6四个数，使每个圆中的四个数的和都是15.。

有趣的数阵图一

教学内容：有趣的数阵图（一）教学时间：第一、二课时教学目的：1、掌握数阵图的基本特征。

2、按要求填出数阵。

教学重难点：寻找解题突破口。

教学过程：一、宣布本课学习内容：二、通过例题学习数阵的知识。

1、例1：将1—6填入右图的6个圆圈内，使三角形每条边上的三个数的和都等于S，请你指出S的取值范围。

①试着独立填一填。

②如果让你把所有的答案都填出，你能做到吗？③讲解：三个角上的三个数最小是1、2、3；最大是4、5、6，所以，S的取值范围是9、10、11、12。

④从9、10、11、12四个和中选一个，填出数阵。

2、例2：将1—6填入下图的6个圆圈内，要求四条线上的数字之和都相等。

⑴当每条线上的和是10时，A是多少？⑵当每条线上的和是9时，B是多少？①观察：这6个数哪一个数最特殊？为什么？②求A：1~6的和是21，用21×2-40=2③求B：如右图，用21-18=3④独立填出两个答案。

⑤小结：观察、找特征。

3、例3：将1—9这9个数字填入下图的9个圆圈内，使每个三角形和直线上的3个数字的和都相等。

①计算出1~9的和，用45除以3得15，所以每个和是15。

（为什么？②找规律：在1—9中，三个数的和为15的，只有两种情况：1+9+5和1+8+6。

③填数，调整。

4、例4：将1—9这9个数字填入下图的9个小三角形中，使大三角形每条边上的5个小三角形之和相等，那么这个和的最大值是多少？最小值是多少？①观察：找出每个数用几次。

②如右图，三个阴影三角形上的数字各用了一次，其它的都用了两次。

这三个数最大是7、8、9；最小是1、2、3。

所以，和最小是45×2-24=66；最大是45×2-6=84。

③试验填出：5、例5：把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、14这11个数填入右图的11个○内，使7个加法算式成立，求出□中的数，并填入□中。

①观察数阵，你发现了什么规律？②讲解：将数阵划分为三个区。

一起学奥数--有趣的数阵图

擦掉1、5、9（留意这三个数的位置），剩下的数首尾相加，
和相等。
4
8
2
随便挑选一组，填到左图圆圈内。
分析例4、5，图形特征与数字特征相同的情况下，填数的方式雷同。
例6、把1~11这十一个数分别填入下图中的各个○内，使每条线段上三个○内的数的和都等于22。
1
10 5 6 11 9 2
78
4
3
【分析】图形特征：这是中心辐射型，中间圆圈重复使用五次。数字特征：1-11为11个连续自然数，呈等差数列。与
4组数列分别填在三个顶角，构建成的直线的和不同，所以基本解有4个。而每组三个数在三个顶点的位置又有6种方式。所以合计填法为： 4×6=24种。
本题可以通过确定直线最小值和最大值，计算出公共点的和，再分类讨论，剔除不合适的组。方法相对原始，但不容易漏掉。
例3、把1~12这十二个数，分别填在下图中正方形四条边上的十二个 ○内，使每条边上四个○内数的和都等于22，试求出一个基本解。
因为1-12是一个等差数列，确定1-4为四个顶角，且按逆时针方向排列后，可以把剩下的分成5-8，9-12两组，分别填在直线上对应的位置。
最后一步的规律必须让学生领会。可以把和都为22的条件去掉做讲解
例4、把1~7这七个数分别填入下图中的各个圆圈内，使每条线段上三个 ○内的数的和相等。
7
2
1
4 5
例：将1~16分别填入下图中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都是34，图中已填好八个数，请将其余的数填完。
9 15 5
10
【分析】图形特征：左图中有16个圆圈，要填的数字为16个，且16 个圆圈可以在大圆上组成4个扇形，4个扇形上的数字之和都为34

数阵

数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。

例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

【精品奥数】四年级上册数学思维训练讲义-第六讲有趣的数阵图(一) 人教版(含答

第六讲有趣的数阵图（一）第一部分：趣味数学有趣的数独技巧数独技巧是建立在数独基础上的，数独顾名思义——每个数字只能出现一次。

数独是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数字谜题。

数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格。

在这八十一格中给出一定的已知数字和解题条件，利用逻辑和推理，在其他的空格上填入1-9的数字。

使1-9每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次。

所以不少教育者认为数独是训练头脑的绝佳方式。

数独解法全是由规则衍生出来。

基本解法分为两类思路，一类为排除法，一类为唯一法。

更负责的解法，最终也会归结到这两大类中。

第二部分：奥数小练观察是解决问题的根据。

通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。

【例题1】请你把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等，应怎样填？【思路导航】为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如上图（2）。

设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k，则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k3a+b+c+d+e+f+g=3k2a+（a+b+c+d+e+f+g）=3k2a+（1+2+3+4+5+6+7）=3k2a+28=3ka为1、4或7.若a=1，则k=10，直线上另外两个数的和为9.在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6=4+5=9，因此得到一个解为：a=1，b=2，c=3，d=4，e=7，f=6，g=5.若a=4，则k=12，直线上另外两个数的和为8.在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8，因此得到第二个解为：a=4，b=1，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5.若a=7，则k=14，直线上另外两个数的和为7.在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+4=7，因此得到第三个解为：a=7，b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4.【答案】共得到三个解：如下图练习1：1.把1～7这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等，请给出所有填法。

(完整版)小学三年级奥数--数阵图

数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。

重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。

试一试：练习与思考第1 题。

例2 把1～5 这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[（1+2+3+4+5）+5] ÷2=10。

奥数：有趣的数阵图

有趣的数阵图（一）教学要求：1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。

2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。

教学过程：一、导入新课语：如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。

它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵。

二、探索新课：1、教学例1：将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中，使横行、竖列三个数的和相解题思路：找出中间数，填在中间的公关位置，再剩下的数中，找一对和相等的数。

再分别填入。

2解题思路：由于三个顶点上的数3、教学例3：把1～9解题思路：先观察数，1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6而5在中间其余的成对来填。

方法有多种。

4、教学例4：把1、2、3、5、6、7、填入右表，使每行三个数和相等，竖列二数也相等。

解题思路：有2行3列，而1＋2＋3＋5＋6＋7＝24，所以每行为12，这样分成（1、5、6）；（2、3、7）两组。

每列和是24÷3＝8，所以：（1、7）；（2、6）；（3、5）。

答案多种。

三、课堂练习：1、填上合适的数,2、用1～534、使横、竖、斜和相等。

教学要求：12教学过程：一、导入新课：同学们都会正确计算有余数的除法，其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识，所以我们运用它还可以解决不少的数学难题。

今天，我们将继续学习余数的妙用（二）。

二、探索新知：1、教学例4：体育课排队，老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个人报2，这一排有（）人。

A、26B、27C、28D、32《吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题》解题思路：答案必须是5的倍数还要加2，所以我们经过计算发现可以选B D。

2、教学例5:……共一百个数字。

问：这100个数字中，8出现几次100个数字的和是多少解题思路：从数字的排列看，我们发现每6个数重复一次，所以周期数是6，总数是：100，我们就列算式：100÷6＝16 (4)再看8排在第几位它排在第4位，所以8出现的次数是6＋1＝7（次）第二个问：我们可以先算出每一个周期的数字和是多少1＋4＋2＋8＋5＋7＝27所以：27×6＝162 再加上最后一次出现的数字：1＋4＋2＋8＝15得：162＋15＝1773、教学例6：1、2、3、4、5、6、7七盏灯各有一个开关，开始第2、4、6盏灯亮着，一个小朋友从第1到第7，再从第1到第7，拉了2000次，问这时那些灯亮着（湖北省黄冈市第三届小学生智力竞赛试题）解题思路：我们可以先找出每盏灯拉了多少次。

数阵图(一)(含详细解析)

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第6题【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图【难度】2星【题型】填空【解析】为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8，又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是。

新三第11讲-有趣的数阵图

有趣的数阵图传说大禹治水的时候，一只灵龟从水中翩然浮出。

令人称奇的是，这只乌龟的背上竟刻有一幅图（如图①所示）。

如果将图上的点转化成数字，一个点记为一个“1”，那么图①就转变成了数字图（图②）。

研究这幅数字图你会发现：每一行、每一列，甚至每一条对角线上的三个数的和都相等。

像上面的图②这样，把一些数按照定要求排列成各种图形，使图形中的每一条直线段或若干条线段的数字和相等，这样呈现的图形，就叫作数阵图。

数阵图可以是正方形，还可以是长方形、三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形……但不管是哪一种形状的数阵图，填写时都应注意两点：1．抓住数阵中的“特殊数”，比如两线交点上的数、长方形和正方形的顶点上的数……这些数与其他数相比，往往重复计算了多次，因而不妨作为解决数阵问题的一个突破口。

2．确定突破口后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法求解其他数。

但有时因为数字存在不同的组合方法，因此答案往往不是唯一的。

【例1】将1、2、3、4、5这五个数分别填入右图中，组成一个“十字数阵图”，使图中横行三个数的和与竖列三个数的和相等。

分析图中最中间的那个数最特殊，因为横行三个数相加和竖行三个数相加都算了它，即它被算了2次。

因此不妨把它当作解决问题的突破口。

假设它填1，剩下的四个数刚好可以分成2 + 5 = 3 + 4，因而得到本题的一个解；假设它填2，由于剩下的四个数不能分组成两组，使两组的和相等。

所以2不能填在中间；同样的方法，尝试中间填3、4、5。

〖即学即练1〗将10、13、16、19、22分别填入图中，使图中横行的三个数与竖行中三个数的和相等。

【例2】将1、2、3、4、5、6、7这七个数字分别填入图中，使得每条直线上的数字和为11。

右下角“NT”处填的数字是几?分析除“NT”处的数外，其他六个数刚好分在两条直线上，即其他六个数的和为11 × 2 = 22。

〖即学即练2〗（1）把1～7这七个数填入图中的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于14；如果每条边上三个数的和等于10，那么中间数应该填几?（备用）（2）把16、17、18、19、20、21、22、23、24分别填入下图中的九个圆圈内，使每条直线上的和都等63。

有趣的数阵图

例4
将1~6六个数字填入下图，使四条线每条线上个数之和都等于10。
例5
把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入图中的正方形的各个圆圈中，使得正方形每边上的三个数的和都等于15。
练一练： 1、把30、40、50、80、90这五个数填入下图的五个圆圈里，使每条直线上三个数相加的和相等。
例1
把11、12、13、14、15填入下面的五个空格内，使横行、竖列三个数相加的和相等。
12
13
11
14
15
例2：请你把1~7这七个自然数，分别填在右图的圆圈内，使每条直线上三个数的和相等。应怎样填？
例3 把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数填入右面的方格内，使每一横行、每一竖列和两条对角线上的数之和都等于15。
挑战思维例6 将1~7这七个自然数分别填入下图的七个o内，使得三个大圆周上的四个数之和都等于13，请给出一种符合要求的填法。
试一试：把1~8这八个数分别填入下图中的八个o内，使每个圆圈上五个数的和都等于21。
挑战思维例7
右图的六条线分别连着9个o,其中一个o里的数是 6.请你选9个连续的自然数（包括6在内），填入 o内，使每条线上的各数之和都等于23。
试一试：
下图中4个圆共被分成12个区域，其中已有6个区域内填有数，请将1~12中的另6个数填入其它区域，使得每个圆中4个数的和都是28。
练一练：
Hale Waihona Puke 2、把1~9九个数分别填入下图中的九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等。
练一练： 3、把1234567891011填入下图中，使得每条线段上的三个数的很都相等。
练一练： 4、把10~15六个数分别填入下图中的六个0内使每条边上的三个0内的数字和都等于37。

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