2018年上海中学自招数学试卷

2018年上海中学自招数学试卷

一. 填空题

1. 已知111a b a b +=+，则b a a b

+=

2. 有 个实数x

3. 如图，ABC 中，AB AC =，CD BF =，BD CE =，

用含A ∠的式子表示EDF ∠，则EDF ∠=

4. 在直角坐标系中，抛物线2234

y x mx m =+-

(0)m >与x 轴交于A 、B 两点，若A 、B 两 点到原点的距离分别为OA 、OB ，且满足1123OB OA -=，则m = 5. 定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，72r <且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆

A 且沿着圆A 的圆周滚动一圈，若动圆

B 开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r

共有 个可能的值

6. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有

一船不空也不满，则学生共有 人

7. 对于各数互不相等的正整数组12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在i j <时有i j a a >，则称i a 与j a 是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组123(,,,a a a

456,,)a a a 的逆序数为2，则654321(,,,,,)a a a a a a 的逆序数为

8. 若n 为正整数，则使得关于x 的不等式

11102119

n x n <<+有唯一的整数解的n 的最大值为

二. 选择题

9. 已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的积，

则符合条件的整数a 的个数为（ ）

A. 3

B. 4

C. 6

D. 8

10. 如图，D 、E 分别为ABC 的底边所在直线上的两点，DB EC =，过A 作直线l ，作DM ∥BA 交l 于M ，作EN ∥CA 交l 于N ，设ABM 面积为1S ，ACN 面积为2S ，则

（ ）

A. 12S S >

B. 12S S =

C. 12S S <

D. 无法确定

11. 设1p 、2p 、1q 、2q 为实数，则12122()p p q q =+，若方程甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则（ ）

A. 甲必有实根，乙也必有实根

B. 甲没有实根，乙也没有实根

C. 甲、乙至少有一个有实根

D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定

12. 设222212310071352013a =+++⋅⋅⋅+，2222

12310073572015

b =+++⋅⋅⋅+，则以下四个选项中最 接近a b -的整数为（ ）

A. 252

B. 504

C. 1007

D. 2013

三. 解答题

13. 直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC （B 、D 位于AC 的两侧），M 、N 分别是AC 、BD 中点，且M 、N 不重合.

（1）线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论；

（2）若30BAC ︒∠=，45CAD ︒∠=，4AC =，求MN 的长.

14. 是否存在m 个不全相等的正数1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a (7)m ≥，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值；若不存在，说明理由.

参考答案

一. 填空题

1. 1-

2. 11

3. 1902

A ︒-∠ 4. 2 5. 11

6. 44

7. 13

8. 220

二. 填空题

9. C 10. B 11. C

12. B

二. 解答题

13.（1）垂直；（2.

14. 6m k =，2k ≥，k 为正整数.