绝对值的三角不等式公式证明
绝对值三角不等式公式
绝对值三角不等式公式
绝对值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。
绝对值三角不等式公式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。
一个是||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，这个不等式当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）|a+b|=|a|+|b|成立。
当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，||a|-|b||=|a±b|成立。
另一个是||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，这个等号成立的条件刚好和前面相反，当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，|a-b|=|a|+|b|成立。
当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）时，||a|-|b||=|a-b|成立。
三角不等式证明设ABC为一个三角形，记△ABC，延长BA
至点D，使DA=CA，连接DC.则因DA=AC，∠ADC=∠ACD（等边对等角，《几何原本》命题5）所以∠BCD大于∠ADC（整体大于部分公理）由于DCB是三角形，∠BCD大于∠BDC，而且较大角所对的边较大（大角对大边，命题19）所以DBBC，而DA=AC则
DB=AB+AD=AB+ACBC.。
第一讲(二)(1)：绝对值三角不等式
定理2: 如果a,b,c是实数,则
|a-c||a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立. 证明:根据定理1,有: |a-c|=|(a-b)+(b-c)| |a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.
9
知识应用
例1 已知 0， | x a | ，| y b | . 求证：| 2 x 3 y 2a 3b | 5 .
例:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
有更一般的结论：
|f(x)|<g(x) |f(x)|>g(x) -g(x)<f(x)<g(x) f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x)
-2 0 2 -a a 类比：|x|<3的解 |x|>3 的解 -a<x<a 归纳：|x|<a（a>0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|x|<-2的解
|x|>a (a>0) |x|>-2的解 X>a 或 x<-a
引伸：
如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解？
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是
巩固练习：
求下列不等式的解集
① |2x+1|<5
② 3|1-4x|>9 ③ |4x|<-1
（-3，2） （-∞，-1/2）∪（1，+ ∞）
R
④ |x2-5x|>-6
⑤ 3<| 2x+1 | <5
绝对值不等式的证明及应用
绝对值不等式的证明及应用一、绝对值有关性质回顾：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②ab a b =,aa b b= (0)b ≠ ③22a a =④0a ≥ ⑤a a a -≤≤⑥x a a x a ≤⇔-≤≤ x a x a a ≥⇔≥≤-或 二、绝对值不等式：定理：绝对值三角不等式：a b a b a b-≤±≤+.(代数形式)a b a b a b -≤±≤+(向量形式)几何解释:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(0b a b ab +≤+≥取等号） 证明:方法一：()22+a b a b +≤, 2222+22a ab b a ab b +≤++, 22ab ab ≤,而22ab ab ≤显然成立,∴(0a b a b ab +≤+≥取等号）||||||a b a b +=====+||||||a b a b +===<==+方法二：（选修4-5证法） 当ab ≥0时, ||,ab ab =||,ab ab =-当ab ＜0时综上，a b a b +≤+ 0ab ≥当时，取等号， 方法三：（原人教版教材证法） ∵a a a -≤≤ ① b b b -≤≤ ②①+②：()a b a b a b -+≤+≤+， 逆用性质x a ≤得：a b a b +≤+推论1：123123.......n a a a a a a a +++≤++ ，当123,,,......n a a a a 都非正或都非负时。
a b a b -≤+.证明:方法一:当0a b -<时显然成立,当0a b -≥时，两边平方,()22a b a b-≤+, 222222a ab b a ab b -+≤++, 22ab ab -≤,而22ab ab -≤显然成立,∴a b a b -≤+,(当0ab <时取等号). 方法二:直接利用定理1a ab b a b b a b b =+-≤++-=++.当()()0a b b +-≥时,取等号.即()00a b b ab +≤⇒≤,取等号. 合在一起得:a b a b a b -≤+≤+.(当0ab ≤时左边取等号,当0ab ≥时右边取等号)(当0ab ≥时左边取等号, 当0ab ≤时左边取等号)证明:只需利用已有结论把a b a b a b -≤+≤+中的b 用b -代替即得到定理3.b ac b c -≤-+-证明：a b a c c b a c c b a c b c-=-+-≤-+-=-+-，（当()()0a c c b --≥时，取等号）几何解释：设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
绝对值三角不等式 课件
证明:∵m 等于|a|,|b|和 1 中最大的一个,|x|>m,
|| > ≥ ||
|| > ||,
||
||
>
≥
||
∴
⇒
∴ + 2 ≤
+ 2 = +
2
||
|| > |b|.
|| > ≥ 1
||
2
|| ||
<
+ 2 =2.故原不等式成立.
2
||
||
∴-4≤y≤4.
∴yma x=4,y min =-4.
迁移与应用
如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为空集,求参数 a
的取值范围.
解:只要 a 不大于|x-3|+|x-4|的最小值,则|x-3|+|x-4|<a 的解集
为空集,而|x-3|+|x-4|=|x-3|+|4-x|≥|x-3+4-x|=1,
=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|
<|x+a-1|
=|Байду номын сангаас-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|
<1+|2a|+1
=2(|a|+1),
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
迁移与应用
已知 f(x)=x2 -2x+7,且|x-m|<3,求证:|f(x)-f(m)|<6|m|+15.
绝对值三角不等式的证明方法
绝对值三角不等式的证明方法绝对值三角不等式是解决三角函数不等式问题的重要方法之一。
在证明绝对值三角不等式时，我们可以采用以下简单的策略。
1. 利用三角函数的定义：- 对于正弦函数，我们有sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。
- 对于余弦函数，我们有cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))。
2. 利用绝对值的性质：- 任何数x的绝对值为|x|，即x的绝对值是x的非负值。
- 绝对值函数满足|x| = -x 当且仅当x ≤ 0。
3. 利用三角函数的周期性：- 正弦和余弦函数的周期都是2π。
即sin(x + 2π) = sin(x) 和cos(x + 2π) = cos(x)。
下面是一个例子，展示了利用以上策略证明绝对值三角不等式的方法：假设我们要证明sin(x) ≤ |cos(x)|，即正弦函数的值永远小于等于余弦函数的绝对值。
证明过程：1. 根据三角函数的定义，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。
2. 将右边的cos(x)替换为|cos(x)|，因为余弦函数的绝对值是非负的。
即sin(x) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
3. 根据绝对值的性质，我们知道|cos(x)|^2 = cos^2(x)。
因此，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
4. 由于平方根函数的值永远是非负的，所以sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
5. 根据三角函数的周期性，我们可以在等式两边加上2π的整数倍，不改变不等式的成立性。
因此，sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2) 可以转变为sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x + 2πn)|^2)，其中n为整数。
6. 综上所述，我们证明了sin(x) ≤ |cos(x)|。
根据以上证明方法，我们可以尝试证明其他类似的绝对值三角不等式。
高中数学课件第一节 绝对值不等式
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第一节
绝对值不等式
结束
3．如果关于 x 的不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不是空集，求 实数 a 的取值范围．
解：注意到||x－3|－|x－4||≤|(x－3)－(x－4)|＝1，－1≤|x－ 3|－|x－4|≤1.若不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集是空集， 则有 |x－3|－|x－4|≥a 对任意的 x∈R 都成立， 即有(|x－3|－|x－ 4|)min≥a， a≤－1.因此， 由不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不 是空集可得，实数 a 的取值范围是 a>－1.
1 1 2t－1<2x<1，t－ <x< ，∴t＝0. 2 2 2．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，求实数 k 的取值范围．
[试一试]
解：法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，－1,2 在 数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于 |PA|－|PB|>k 恒成立． ∵|AB|＝3， 即|x＋1|－|x－2|≥－ 3.故当 k<－3 时，原不等式恒成立．
为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个
函数的图象，利用函数图象求解．
数学
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第一节
绝对值不等式
结束
[练一练]
1．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.
解：法一：分类讨论去绝对值号解不等式． 1 3 1 1 当 x> 时，原不等式转化为 4x≤6⇒x≤ ；当－ ≤x≤ 时，原 2 2 2 2 1 不等式转化为 2≤6，恒成立；当 x<－ 时，原不等式转化为－ 2
绝对值三角不等式
（一）绝对值的定义： 对任意实数a，
a (当a 0时) a （当 0 a 0时） a（当a 0时）
问题
我们已学过积商绝对值的性质， 哪位同学能回答？
a a ab a b ， b 0. b b
2 2 当 a 0 时，有： x ax a xa
同理，与原点距离大于3的点对应的实数 可表示为：
x 3
如图
探究
用恰当的方法在数轴上把|a| ， |b| ，|a+b| 表示出来，你能发现它们之间有何关系？
定理;b| ≤|a| +|b| ，
当且仅当ab≥0时，等号成立。
定理2 如果a,b,c是实数,那么
a c a b b c
证明： | x 2 y 3z | | x | | 2 y | | 3z |
| x | | 2 || y | | 3 || z |
| x |
3
| x | 2 | y | 3 | z |
, | y |
6
, | z |
9
2 3 | x | 2 | y | 3 | z | 3 6 9
或 x a.
（二）绝对值的几何意义：
实数a的绝对值 |a|，表示数轴上坐标为 a的点A到原点的距离（图1）。
|a| O
A
x
如：|-3|或|3|在数轴上分别等于点A或点B 到坐标原点的距离。
由绝对值的几何意义可知，A、B之间的点 与坐标原点的距离小于3，可表示为：
x 3
即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立
如何证明定理2? 你能给出定理2的几何解释吗?
绝对值三角形不等式公式推导
绝对值三角形不等式公式推导绝对值三角形不等式公式推导一、引言绝对值三角形不等式是解决绝对值不等式问题的基本工具之一，在数学中有着广泛的应用。
它主要用于解决包括代数和几何问题在内的多种数学问题。
在本文中，我将深入探讨绝对值三角形不等式的导出过程，并结合具体例子进行解释，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
二、绝对值三角形不等式公式的基本定义为了全面了解绝对值三角形不等式的公式推导过程，我们需要先了解其基本定义。
假设a和b是实数，那么绝对值三角形不等式可以表达为：|a + b| ≤ |a| + |b|这一不等式是指，两个数的绝对值之和不大于其各自绝对值的和。
这一概念对于处理绝对值的复杂运算问题起到了重要的作用。
接下来，我将详细介绍绝对值三角形不等式的推导过程，帮助读者全面理解这一概念。
三、绝对值三角形不等式公式的推导过程为了推导绝对值三角形不等式的公式，我们可以利用数轴的性质和绝对值的定义进行推导。
我们假设a和b是实数且a≥0，b≥0。
现在，我们来看一下具体的推导过程：1. 我们假设a≥0，b≥0。
根据数轴的性质，a和b对应的点分别为A 和B，那么|a|和|b|分别表示点A和B到原点的距离。
2. 现在，我们考虑点C，它表示a+b对应的实数。
根据数轴的性质，我们可以知道|a+b|表示点C到原点的距离。
3. 根据三角形两边之和大于第三边的性质，我们可以得出结论：|a + b| ≤ |a| + |b|通过以上推导过程，我们可以得出绝对值三角形不等式的公式。
这一推导过程清晰地展现了绝对值三角形不等式的基本原理和应用。
四、绝对值三角形不等式公式的应用举例为了更好地理解绝对值三角形不等式的应用，我们可以通过具体的例子来说明。
例1：求解|2x + 1| ≤ 5的解集。
解：根据绝对值三角形不等式的公式，我们可以得出：|2x + 1| ≤ 5-5 ≤ 2x + 1 ≤ 5-6 ≤ 2x ≤ 4-3 ≤ x ≤ 2|2x + 1| ≤ 5的解集为-3 ≤ x ≤ 2。
绝对值三角不等式
例 1 ； 解 不 等 式 1 3 x 4 6
解 : 原不等式等价于下列不
等式组
3 x 4
1
3 x 4 6
即
3x
6
4 3x
1或 4
3x 6
4
1
x
1或 10 x 3
x
2 3
5 3
解得 10 x 5 或 1 x 2
3
3
3
故原不等式的解集为
10 3
,
思想．零3０点-当分(Xx区-<1-间)2+法时(X，+2原) 不≥等5 式同解于
X<-2
X≤-3
-(X-1)-(X+2) ≥5
综合上述知不等式的解为x2或 x-3
3.型如|ax+b|+|cx+d|≥k(k∈R)不等式解法
例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或
（当且仅当 ab ≥ 0 时，等号成立.）
证明:10 .当ab≥0时,
a b | a b |,
20. 当ab<0时,
a b | a b |,
| a b | ( a b ) 2 a2 2ab b2
| a b | ( a b ) 2 a2 2ab b2 | a |2 2 | a b | | b |2
如果把 a, b 换为向量 a, b ，根据向量加法的三 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
ab
b a
推论 1 a1 a2
ab
a
b
an ≤ a1 a2 an
定理2 如果a、b、c是实数,
绝对值三角不等式
又∵|(x－a)－(y－a) | ≤|x－a|＋|y－a|，
∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，
如 取 x ＝ 3 ， y ＝ 1 ， a ＝ － 2 ， m ＝ 2.5 ， |3 － 1| ＜
2×2.5，但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，
∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故
证明: 当ab0时, ab=|ab|
|a+b| a b
2
2
2
a 2ab b
2
2
| a | 2 | ab | | b |
2
| a | | b | a b
当 ab < 0 时, ab |ab|,
|a+b| a b a 2ab b
之间的距离，即线段AB的长度
用恰当的方法在数轴上把 |a|, |b|, |a+b|表示出来，
同学们观察能发现它们之间有什么关系？ ab>0 O a
a + b b
x
a+ b
b
a O a+b
x
b
a+b
O a
ab<0 x
a O
b
x
定理1: 如果a, b是实数,
则 | a + b | | a | + | b |,
当且仅当 ab 0 时,等号成立.
如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 a , b,
能得出什么结果?
定理1的几何意义
绝对值三角不等式 课件
证明：|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)| ≤|2(x－a)|＋|3(y－b)| ＝2|x－a|＋3|y－b|
＜2×4ε＋3×6ε＝ε.
某段铁路线上依次有A、B、C三站，AB＝5 km，BC＝3 km.在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站出发，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C 站．在实际运行中，假设列车从A站正点发车在B站停留1分 钟，并在行驶时以同一速度v km/h正点发车，在B站停留1 分钟，并在行驶时以同一速度v km/h匀速行驶．列车从A站 到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列 车在该站的运行误差．
绝对值三角不等式
1．解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对 值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等 式．主要的依据是绝对值的意义．
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的 数的绝对值．
x，如果x＞0 即|x|＝0，如果x＝0 .
－x，如果x＜0
练习1：求下列各数的绝对值：
(1)3 (2)－8 (3)0
①当 0＜v≤3700时，(*)式变形为30v0－7＋48v0－11≤2， 解得 39≤v≤3700； ②当3700＜v≤41810时，(*)式变形为
300 480
解得 39≤v≤3700； ②当3700＜v≤41810时，(*)式变形为 7－3v00＋4v80－11≤2， 解得3700＜v≤41810； ③当 v＞41810时，(*)式变形为 7－3v00＋11－4v80≤2， 解得41810＜v≤1495.
若|a－b|＞c，|b－c|＜a，求证：c＜a. 证明：由|a－b|＞c，及|b－c|＜a得 c－a＜|a－b|－|b－c|≤|(a－b)＋(b－c)| ＝|a－c|＝|c－a|. 由c－a＜|c－a|知c－a＜0，故c＜a.
绝对值三角不等式课件
【防范措施】 正确求参数的取值范围 应用绝对值三角不等式求参数的取值范围是重点考查题型 ,解 答本题的关键是,正确应用绝对值三角不等式求出最值,再根 据题意,求出参数的取值范围,如本例关键是对条件关于x的不 等式|x-3|+|x-4|>a的解集不是R的正确理解.
【类题试解】若不等式|x-1|+|x+3|≥a恒成立，则a的取值范 围是______. 【解析】因为a≤|x-1|+|x+3|恒成立，故a小于等于 |x-1|+|x+3|中的最小值， 又|x-1|+|x+3|=|1-x|+|x+3|≥|1-x+x+3|=4, 故a≤4,即a的取值范围是(-≦,4］. 答案：(-≦,4］
2.函数y=|x－1|+|x－5|的最小值为______,此时x的取值范围 是_____. 【解析】|x－1|+|x－5|=|x－1|+|5－x| ≥|x－1+5－x|=4， 当且仅当(x－1)(5－x)≥0, 即1≤x≤5时等号成立. 答案：4 ［1,5］
类型 三
含绝对值不等式的证明
【典型例题】
(x－4)(x－ 3) 0， 当且仅当 3|， | x－4 || x－
即x≤3时, f(x)取最大值1.
【变式训练】1.若不等式｜x-a｜+｜x-2｜≥1对任意的实数x均成立， 则实数a的取值范围是_____.
2.函数y=|x－1|+|x－5|的最小值为______,此时x的取值范围是_____.
【变式训练】若不等式｜x-a｜+｜x-2｜≥1对任意的实数x均 成立，则实数a的取值范围是_____. 【解析】|x-a|+|x-2|≥1恒成立， 绝对值不等式的几何意义：数轴上 x到a与x到2的距离之和的 最小值为1. 当a=1或a=3时，对任意的x距离和的最小值为1，所以当a≤1 或a≥3时该不等式恒成立, a∈(-≦,1］∪［3,+≦). 答案：(-≦,1］∪［3,+≦)
如何巧用绝对值三角不等式解题
绝对值三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.显然，当且仅当ab ≥0时等号成立.由该不等式可推出定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时等号成立；定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时等号成立.绝对值三角不等式在解答含有绝对值的不等式、函数问题中应用广泛，下面结合实例,来谈一谈如何巧妙运用绝对值三角不等式解题.一、求解绝对值不等式问题绝对值不等式问题有很多种，如解绝对值不等式、证明绝对值不等式、求绝对值不等式中参数的取值范围.解答此类问题，通常需先将不等式进行合理的变形，然后根据绝对值三角不等式将不等式进行放缩，以便使不等式左右两边的式子成为同构式，再利用函数的单调性来解不等式，或将问题转化为函数最值问题，利用函数的性质、图象来解题.例1.若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是_____．解：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.解答本题,主要利用了绝对值三角不等式.将问题转化为解绝对值不等式，通过解不等式，便可求得参数的取值范围.例2.已知二次函数f ()x =ax 2+bx +c 满足||f ()-1≤1，||f ()0≤2，||f ()1≤1，试证明：当||x ≤1时，不等式||f ()x ≤178成立.证明：由||f ()-1≤1，||f ()0≤2，||f ()1≤1，得ìíîïïf ()-1=a -b +c,f ()0=c,f ()1=a +b +c,即ìíîïïïïa =12f ()1-f ()0+12f ()-1，b =12f ()1-12f ()-1，c =f ()0，因此||f ()x =||ax 2+bx +c =|||éëùû12f ()1-f ()0+12f ()-1x 2|||+éëùû12f ()1-12f ()-1x +f ()0=|||12f ()1()x 2+x +f ()0()1-x 2|||+12f ()-1()x 2-x ≤12||f ()1|x 2+x +||f ()0|1-x 2+12·||f ()-1|x 2-x ≤12||x ||x +1+2||1-x 2+12||x ||x -1=12||x ·()x +1+2()1-x 2+12||x ()1-x =||x +2()1-x 2，当||x ≤1时，||x +2()1-x 2=||x +2()1-||x 2=-2·æèöø||x -142+178，其最大值为178，因此||f ()x ≤178.我们需先通过整体代换，用f ()-1、f ()1、f ()0来表示f ()x ，而||f ()x 中含有多个绝对值，为了证明不等式||f ()x ≤178，需巧妙利用绝对值三角不等式，将目标式进行放缩，从而去掉部分绝对值符号，将问题转化为求||x +2()1-||x 2的最值.二、解答含有绝对值的函数最值问题求解含有绝对值的函数最值问题，可巧用绝对值三角不等式，将含有绝对值的式子进行适当的放缩，使其简化，然后根据绝对值三角不等式取“=”的条件来寻找目标式取得最值时自变量的值.运用绝对值三角不等式，能使含有绝对值的函数最值问题变得简单，可省去许多对绝对值进行分类讨论的过程.例3.求函数y =||x +1+||x +2+…+||x +99的最小值.解：由绝对值三角不等式可得：||x +1+||x +99≥||()x +1-()x +99=98，当且仅当()x +1()x +99≤0时成立，即当-99≤x ≤-1时，“=”成立，因此，当-99≤x ≤-1时，()||x +1+||x +99min=98，当-98≤x ≤-2时，()||x +2+||x +98min =96，当-97≤x ≤-3时，()||x +3+||x +97min =94，⋯，当-51≤x ≤-49时，()||x +49+||x +51min =2，可得当x =-50时，y =||x +1+||x +2+…+||x +99=98+96+…+2+0=2450，即y =||x +1+||x +2+…+||x +99的最小值为2450.运用绝对值不等式求解含有绝对值的函数最值问题，需充分关注绝对值三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |取“=”时的情况.总之，在解答含有绝对值的不等式、函数问题时，同学们要注意将问题与绝对值三角不等式关联起来，灵活运用绝对值三角不等式,将含有绝对值的式子进行放缩，使其简化，再根据绝对值不等式、函数的性质来解题.（作者单位：江苏省南通市海门证大中学）思路探寻45。
绝对值三角不等式课件
与其他数学知识的结合
绝对值三角不等式与函数
绝对值三角不等式可以应用于函数的性质和图像分析，例如判断函数的单调性、求函数 的极值等。
绝对值三角不等式与数列
在数列的项间关系和求和问题中，绝对值三角不等式可以用来处理带有绝对值的项，简 化计算过程。
在实际生活中的应用
交通规划
在交通路线的规划中，绝对值三 角不等式可以用于计算最短路径 ，优化交通网络。
答案与解析
答案
$(1,0)$ 或 $(0,1)$ 或 $( - 1, - 1)$ 或 $(1, - 1)$
VS
解析
根据绝对值的性质，将不等式转化为 $2a = 2(a + 1)$，解得 $a = -1$，再代入原 式得到 $(b, a) = (0, -1)$ 或 $(1, -1)$。
THANKS
在数列求和中的应用
总结词
绝对值三角不等式可以用于简化数列求和的过程，特别是对于一 些项之间存在一定关系的数列。
详细描述
通过利用绝对值三角不等式，可以将数列中的绝对值项进行放缩， 从而将数列求和问题转化为更容易处理的形式。
举例
例如，对于数列 { a_n }，其中 a_n = |a_(n-1) - a_(n-2)|，可以利 用绝对值三角不等式得出其求和结果。
03
绝对值三角不等式的应用
在不等式证明中的应用
总结词
绝对值三角不等式是证明不等式 的重要工具之一，它可以用于简
化不等式的证明过程。
详细描述
绝对值三角不等式可以用来证明 一些复杂的不等式，通过将不等 式中的绝对值项进行放缩，将其 转化为更容易处理的形式，从而
简化证明过程。
举例
例如，要证明 |a+b| ≤ |a| + |b| ，可以利用绝对值三角不等式直
数学课件：1.4 绝对值的三角不等式
题型一 题型二 题型三
反思对于含有两个绝对值以上的代数式,通常利用分段讨论的方 法转化为分段函数,进而利用分段函数的性质解决相应的问题.利 用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”,有时也能产生比较好的 效果,但这需要准确地处理“数”的差或和,以达到所需要的结果.
故选项A成立. 同理,由|c|-|a|≤|a-c|,得|c|-|a|<b,
∴|c|<|a|+b=|a|+|b|.故选项B成立.
而由选项A成立,得|c|-|a|>-|b|,由选项B成立,得|c|-|a|<|b|,
∴-|b|<|c|-|a|<|b|,
即||c|-|a||<|b|=b.故选项C成立. 由选项A成立知选项D不成立,故选D. 答案:D
题型一 题型二 题型三
利用绝对值的三角不等式求函数的最值
【例2】 求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值. 分析:若把x-3,x+1看作两个实数,则所给的代数式符合两个数绝 对值的差的形式,因而可以联想到两个数和(差)的绝对值与两个数 绝对值的和(差)之间的关系,进而可转化求解.另一种思路是:含有 这种绝对值函数式表示的是分段函数,所以也可以视为是分段函数 求最值.
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5已知|x-a|<1,求证:|a|-1<|x|<|a|+1.
证明:∵|x-a|=|a-x|,根据绝对值不等式定理可得||x|-|a||≤|x-a|, ∴|x|-|a|≤|x-a|<1或|a|-|x|≤|x-a|<1, ∴|x|<|a|+1或|a|-1<|x|. ∴|a|-1<|x|<|a|+1.
1、4绝对值三角不等式
解析 |x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|＜h＋k.
1
2
3
4
5
解析
答案
|a|－|b| |a|＋|b| 3.已知|a|≠|b|，m＝ ，n＝ ，则 m，n 之间的大小关系是 |a－b| |a＋b|
A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.m≤n √
解析
|a|－|b| |a－b| m＝ ≤ ＝1. |a－b| |a－b|
当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
b a ∵ab≠0，a与b同号， b a b a ∴|a＋b|＝|a|＋|b|≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正确.
1 2 3 4 5
解析
答案
跟踪训练 3 |f(2)|≤7.
设 f(x) ＝ ax2 ＋ bx＋ c，当 |x|≤1 时，恒有 |f(x)|≤1 ，求证：
ab 例.3. 已知 | a | 1, | b | 1, 求证 1 1 ab
ab (a b)2 证明： 1 1 2 1 ab (1 ab)
a 2 2ab b2 1 2ab a 2 b2
1 a 2 b2 a 2 b2 0
|a|＋|b| |a＋b| 又 n＝ ≥ ＝1， |a＋b| |a＋b|
∴m≤n.
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解析
答案
4. 已知 x∈R ，不等式 |x ＋ 1| － |x － 3|≤a 恒成立，则实数 a 的取值范围为 A.(－∞，4] C.[1,3] B.[4，＋∞) √ D.[－1,3]
解析 |x＋1|－|x－3|≤|(x＋1)－(x－3)|＝4，
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绝对值的三角不等式公式证明
绝对值三角不等式是一个非常强大且非常有用的数学公式，它可以帮助我们精确地解决很多问题。
它的数学形式可以表述为：|x-y| < = a+b，其中x、y、a、b 都是实数，|x-y|表示x-y的绝对值。
绝对值三角不等式的证明由单射定理开始，它是数学中一个基本定理，其定义可以表达为：如果a＞b，则存在c＞0，使得a - c < b。
根据这个定理，关于x、y、a、b之间的关系可以写成更加清楚的等式形式：a-b<x-y < a+b。
接下来，假设y-x>0，也就是说x<y，此时有y-x<a+b，带入单射定理可得a-(y-x)<b，也就是说a-y+x < b，整理得x-y<a+b，故可证|x-y|<=a+b。
同理，如果y-x<0，也就是说x>y，此时有x-y<a+b，根据单射定理可得a-(x-y)<b，整理得a-x+y<b，故可证|x-y|<=a+b。
综上所述，可以看出绝对值三角不等式的证明基于单射定理，从而为我们提供了一个精确地解决数学问题的有效方法。
正是由于绝对值三角不等式的重要性和有效性，它被广泛用于各种数学领域中，如超越几何、微积分、概率论等。