第三章重点考点讲解自考概率论

y
lim 0 0
y
(3)
y
0时，FY
(
y)
lim
x
F
(
x,
y)
1
e3
y
y
0时，FY ( y)
lim F(x,
x
y)
lim 0
y
0
设二维随机变量(X,Y）的所有可能取值为(Xi ,Yj ), (i,j=1,2,…),( X, Y )在各个可能取值的概率为：
P{X xi ,Y y j} pij ,(i, j 1, 2,L ), 称P{X xi ,Y y j} pij ,(i, j 1, 2,L )为X ,Y的分布律
1. 二维随机变量及其分布函数 定义2 设(X,Y)为一个二维随机变量，称
F(x, y) P{X x,Y y}, x , y , 为X 与Y的分布函数.
边缘分布函数： FX (x) P{X x} P{X x,Y } F(x, ) lim F(x, y);
y
FY ( y) P{Y y} P{X ,Y y} F(, y) lim F(x, y). x
Y
例6 设(X,Y)的分布律为
X 1
1 1
2 2
1
判断X 与Y是否独立？
9
9
3
2
1
1
1
3
6
3
1
1
18
9
2 1
解：
6
1
2
3
3
X 与Y相互独立 P{X xi ,Y y j} P{X xi}P{Y y j}，
P{X 1,Y 1} P{X 1}P{Y 1}？
1 9
1 3
1 3
P{X 1,Y 2} P{X 1}P{Y 2}？
1
( X ,Y )的概率密度为
●
●
ຫໍສະໝຸດ Baidu
f
(
x,
y)
4,
1 x 0, 0 y 2x 1, 2
-0.5
0,
其他.
x
同理， 当0 y 1时，
fY ( y)
f (x, y)dx
0
0
y1 4dx =4x y 1
2 2y；
2
2
当y 0或y 1时， fY ( y) 0
故
2 2y，
0,
其他.
fX
(x)
8x 4，
1 2
x
0，
0，
其他.
2 2y，
fY ( y)
f (x, y)dx
0，
0 y 1， 其他.
( X , Y ) 的分布律还可以写成如下列表形式：
Y
X
y1 y2 …
yj …
x1
p11 p12 …
p1j …
x2
p21 p22 …
p2j …
…
…
…
…
xi
pi1
pi2
…
pij …
…
…
…
…
(X,Y) 的分布律具有下列性质:
(1) 0 ≤ Pij ≤1 ( i,j=1,2,… ) ;
(2) pij 1. ij
例1
设F
(
x,
y)
(1 0
e2
x
)(1
e3y ) 其他
x 0, y 0
求(1) F(2,3), (2) F(x) , (3)F( y),
解 (1) F (2,3) (1 e4 )(1 e9 )
(2)
x
0时，FX
(x)
lim
y
F ( x,
y)
1 e2x
x 0时，FX (x)
lim F(x, y)
2 1 2
9 33
二维连续型随机变量的独立性
对于二维连续型随机变量来说，
X 与Y 相互独立 f ( x, y ) fX ( x) fY ( y)
判断二维连续型变量是否独立的关键：求边缘概率密度
例4： (X ,Y )的概率密度为
f
(x,
y)
4,
1 x 0, 0 y 2x 1, 2
fX (x) f (x, y)dy, x ,
fY ( y) f (x, y)dx, y .
求x的边缘概率密度步骤：
(1) 画区域,
(2)
写公式 fX (x)
f (x, y)dy,
(3) 找x的最小值和最大值,
(4) 在区域内画竖线,产生两个交点， (5) 积分
将两个交点的y表示出来，
例2
Y1
2
X
0 0.1 0.1
1 0.25 0
求: (1)P{X=0};
(3)P{X<1,Y≤2};
（5）F(1,1)
3 0.3 0.25
(2)P{Y≤2}; (4)P{X+Y=2}；
F(1，1) P{X 1,Y 1}
例3 现有1, 2,3三个数字, X 表示从这三个数字中随机抽取
的一个整数,Y表示从1到X中随机抽取一个整数, 试求(X ,Y )的
求y的边缘概率密度步骤：
(1) 画区域,
(2)
写公式 fY ( y)
f (x, y)dx,
(3) 找y的最小值和最大值,
(4) 在区域内画横线,产生两个交点， 将两个交点的x表示出来，
(5) 积分
例4： 解：
( X ,Y )的概率密度为
f
(x,
y)
4,
1 x 0, 0 y 2x 1, 2
xy (4) 如果(X,Y)概率密度为 f (x, y)，则(X,Y)落
在区域D的概率为：
P(x, y) D f (x, y)dxdy.
D
连续型随机变量的边缘概率密度 定义：
对连续型随机变量( X ,Y ),分量X (或Y )的概率密度称为( X ,Y ) 关于X (或Y )的边缘概率密度,简称边缘密度,记为fX (x)(或fY ( y))，其中
1 2
2
题型五：随机变量的独立性
定义 若对任意实数x, y,有F (x, y)＝FX (x)FY ( y),
则称X 与Y相互独立. 上式等价于对任意实数x, y,有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}.
对于二维离散型随机变量来说，
X与Y相互独立的充要条件为：对一切i, j有 P{X xi ,Y y j} P{X xi}P{Y y j}，
则称 X ,Y 是连续型的二维随机变量,
函数 f x, y称为随机变量（X,Y )的概率密度 ,
或称为X与Y的联合密度函数.
概率密度 f (x, y)的性质：
(1) f (x, y) 0;
(2)
f (x, y)dxdy 1.
(3) 若f (x, y)在(x, y)处连续，则有
2F (x, y) f (x, y).
性质： 若 (X ,Y ) ~ UD , D1 D, 则
P{(X ,Y ) D1}
SD1 SD
面积之比
y
例5
设(X ,Y )服从区域D上的均匀分布， 0.5
其中D : x y, 0 x 1, y 0
D1
求P{X Y 1}
y=x
D
1
x
x+y=1
解：
1
P{X Y 1} SD1
SD
4 1
fY ( y)
f (x, y)dx
0，
0 y 1， 其他.
题型四：二维连续型随机变量的均匀分布的性质
定义3-6： 设D为平面上的有界区域,其面积为S且S 0,如果
f
(
x,
y)
1 S
,
(x, y) D,
0,
其他,
则称( X ,Y )服从区域D上的均匀分布，记作( X ,Y ) ~ UD.
分布律.
解：
XY 1
2
11 0 3
3
01
3
21 1
6
6
1
03
11
39 9
11 5
18 18
11 93 1 9
边 缘行 分加 布或 律列 的加 求 法 ：
定义3.5 若二维随机变量 X ,Y 的分布函数F x, y ,
F x, y x y f u,v dudv, x R, y R
0,
其他.
y y=2x+1
1
●
●
-0.5
x
( X ,Y )关于X的边缘概率密度为
fX (x) f (x, y)dy,
当
1 2
x
0时，f
X
(x)
f (x, y)dy
2x 1
2x 1
4dy =4y
0
0
8x 4；
故
f
X
(
x)
8x
4，
1 x 0， 2
0，
其他.
例4： 解
y
y=2x+1