高中数学周期函数、公式的总结、推导、证明过程

周期公式

序号公式T理解或者公式特点例题1

自变量的和不是常数，两个自变量之差是

常数，两个函数值相加为常数。

2

即是上一个公

式的特例

2a

两个自变量之差是常数。两个函数值相加

为常数。

32a正负号，倒数，两个自变量之差是常数。

44a类似第3个公。

52a类似第3个公式。

6

例如：

整理后：

令x=x+1得到：

6a

两个函数值之和等于另一个函数值，且两

个作为加数的函数的自变量是

7

图像向左平移a个单位，和向左平移b个

单位重合。原来两个点x坐标差的距离就

是他们的周期。两个自变量之差是常数，

两个函数值相等。

8

函数f(x)的图像S有两个对称轴

x=a,x=b（a≠b）

2|a-b|

对称轴多和偶函数以及一个函数图像的自

对称这两个知识点相关

9

函数f(x)的图像S有两个对称中

心和（a≠b）

2|a-b|

对称中心多和奇函数以及一个函数图像的

自对称这两个知识点相关

10

函数f(x)的图像S有一个对称中

心和一条对称轴x=a，（a

≠b）

4|a-b|

知识点涉及奇函数、偶函数以及函数图像

的自对称

以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。

解周期问题，两种方法：1.列举多个数据，找寻规律和周期；2.通过抽象函数直接得到周期。

1.已知f(X)是R上不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有，则

解：令x=0，f(0)=0;

令，；

令，；

令，；

∴

2.定义在R上的函数f(x)满足，则f(2009)=

解：整理，

得到

令x=x+1得到，

由公式6知道周期为6，即，x>0

f(2009)=。

由公式

得

3.已知函数f(x)满足，，则f(2010)=

思路：消元和赋值。

令，则，

根据公式6知道，f(x+6)=f(x)，

∴。

令y=0，则，

∵ x 不恒为零，∴

∴。

下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程，并总结了推导周期过程的一般思路。因为word 输入数学公式太过麻烦，所以手写了出来，以图片的形式奉上。