2.3垂径定理

3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C A D O
B
4、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m， 拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。
C A D O B

4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.

C
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AmB (用三个字母).


圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●
O
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中 点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到 0.1m).
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. ∴AC
⌒
总结：
C
条件
结论 AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
CD为⊙O的直径 CD⊥AB
ห้องสมุดไป่ตู้
.O
A
E D
B
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1
D
A
B
E O
A
O
C B
E
O
A A
E C
B C D
D
O E C B D A E D
O B A E
O
B C

D O
B
练习：在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相 垂直且相等的两条弦，ＯＤ⊥ＡＢ 于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
C E A O · D B
讲解
如果圆的两条弦互相平 行，那么这两条弦所夹 的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：AC＝BD
⌒ ⌒
M C A
.O
N
D B
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂 直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM ＝ BM －DM ∴AC＝BD
若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
B
D
600
C
2、如图4，在⊙O中， AB为⊙O的弦，C、D是 直线AB上两点，且AC ＝BD求证：△OCD为等 腰三角形。
O
E
C
A
B
D
3、如图，两个圆都以 点O为圆心，小圆的弦 CD与大圆的弦AB在同一 条直线上。你认为AC与 BD的大小有什么关系？ 为什么？
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
圆的两条平行弦所夹的弧相等
垂径定理的推论2

如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?

老师提示:
这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
A C
●
B D
O
B
D
C
M
M
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.
2 2
O E B
A D
在a,d,r,h中，已知其中任 意两个量,可以求出其它 两个量.
思考题：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm ⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形 （2）求出AB、与CD间的距离。
A B A B
C O C D O
D
（1）
（2）
垂径定理
圆的相关概念

⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). 直径将圆分成两部分,每一部分都叫 做半圆(如弧ABC). B

m
A
●
O
D
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB(用 两个字母).
“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
讲解
垂径定理的应用
例1 如图，已知在⊙O中， A 弦AB的长为8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的 半径。
解 ： 连 接 OA， 作 OE AB于 E. 1 AE= AB=4 2 OA= AE2+OE2 =5
A H
M
· N 0
G
D
B
E
F
C
学生练习
已知：AB是⊙O直径，CD 是弦，AE⊥CD，BF⊥CD 求证：EC＝DF A E C D O
B
.
F
O A C
G
D B
随堂训练
已知P为 ⊙o 内一点，且OP＝2cm，如果⊙o 的半径是3cm ，则过P点的最长的弦等于 最短的弦等于_________。
M
.
O
A
P N
B
A C
O
B D
已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm, ⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为 (C ) A.1.5cm B.10.5cm; C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
M A
. O
B A C
C A O E
.
.O
N
D B
D
B
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
常用辅助线:
垂直于弦的直径
课 堂 小 结
请围绕以下两个方面小结本节课： 1、从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理及其推论
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
双基训练 5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C ) A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5 cm
试一试P93 12
挑战自我填一填

1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.

（
（ （
）
） ） ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.

⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （

右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?

C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
B
O

A
┗
●
M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
D
平分弦（不是直径）的直径 ．
垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 . 不是直径
活动一
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所 在的直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE 弧:AC=BC,AD=BD
C O ·
⌒ ⌒⌒ ⌒
D
F
A C E O B
13.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其 他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
A E
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个 D 半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合， ⌒ BC 、 ⌒ ⌒ AC , ⌒ AD分别与 BD重合．
B
即直径CD垂直于弦AB，平分 弦AB,并且平分AB及ACB
A
C
⌒
⌒
O ·
E D
B
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
垂径定理
12
O
B
(1)题
(2)题
方法归纳:
1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常 （1）连结半径；
（2）过圆心作一条与弦垂直的线段等 辅助线，为应用垂径定理创造条件。
问 题 ？
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ C A r
O A B
6.已知点P是半径为5的⊙O内 的一定点，且OP=4，则过P 点的所有弦中，弦长可能取 的整数值为（ C ）
A.5，4，3 B.10，9，8，7，6，5，4，3 C.10，9，8，7，6 D.10，9，8
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
2 35 1 的弦心距OF=____;CD=_____.
E
B
. O
变式： 如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8cm，CD是⊙O的直 径，CD⊥ＡB垂足为E，DE＝ 2cm,求⊙O的半径。 D
A . O
C E
B
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 O A E O A E O A
E
B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
垂径定理的推论1:
平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧． CD⊥AB吗？ CD⊥AB CD为直径 C ⌒ ⌒ 条件 结论 AC=BC AE=BE CD⊥AB ⌒ ⌒ AD=BD
D Ｏ Ｏ
·
B D
A
(E)
·
C
B
E A
垂径定理的逆定理

AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.

过点M作直径CD.

如图, 理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
C
在Rt△OAM和Rt△OBM中, A ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
M└
●
B O
D
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。
B
练习 2： 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB
5cm 的距离为3cm,则⊙O的半径为 .
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为 8cm，则这弓形所在圆的半径为 13cm .
C
A
C 4∟
O
·
3
B
8
A
D