经典垂径定理教案

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垂直于弦的直径（第一课时）教案
教学目标：
1、知识目标：通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；
掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。

2、能力目标：在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法；
在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决。

3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学
的热爱。

教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。

教学难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理。

教学用具：圆规，三角尺，PPT 课件 教学过程： 一、复习引入
1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称）
2、实验：探究圆的轴对称性。

如图（1），若将⊙O 沿直径AB 对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片 亲自实验，教师引导学生努力发现：
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线） 都是它的对称轴。

3、引入新知：如图（2），左图中AB 是⊙O 的弦，直径CD 与弦AB 相交，那么沿直径CD 所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB 是⊙O 的弦，直径C D ⊥AB,垂足为E 。

此时再沿直径CD 所在直线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容。

B
（1）
（2）
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二、新课
（一）猜想，证明，形成垂径定理
1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？
2、猜想：可能出现的位置关系是：
线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。

可能出现的数量关系是：
3、证明：
利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等。

板书：
4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

（二）分析垂径定理的条件和结论
1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象。

2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解。

练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？
3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直
线或线段。

（三）例题
例1 已知：如图（3），在⊙O中，弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm。

求：⊙O的半径。

变式（1）：如图（3），在⊙O中，圆心O到弦AB的距离
为3cm，⊙O的半径为5cm。

求：弦AB的长为多少？
总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决。

例2 已知：如图（4），在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
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求证:AC=BD.
（思路：垂径定理，全等三角形，等腰三角形）
变式（2）：再添一个同心圆，如图（5），则 AC BD 。

变式（3）：隐去图（4）中的大圆，得图（6），连接
OA ，OB ，设OA=OB ， 求证：AC ＝BD 。

变式（4）：隐去图（4）中的小圆，得图（7），连接
OC ，OD ，设OC=OD ， 求证：AC ＝BD 。

总结：在解与圆有关的证明题中，常做的辅助线是过圆心做弦的垂
线段。

遇到题目有一题多解的情况时，鼓励学生善于用最简单的方法解决，同时提醒学生注意解题的方法的归纳总结，做到举一反三，触类旁通。

三、小结
1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？
垂径定理的条件和结论：
① 经过圆心 得到 ① 平分弦
一条直线具有： ② 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ③ 平分弦所对的优弧
3、思考：若将条件中的②与结论中的①互换，命题成立吗？ 四、作业
1、整理垂径定理的证明过程。

2、变式（1）到变式（4）整理解题过程。

3、课本P82，练习2.
（4）
A
B
（7）。