垂径定理教学设计

垂径定理（第一课时）教学设计
兰甲明
【教学内容】§7．3垂径定理（初三《几何》课本P 76~P 78）
【教学目标】
1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。

2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。

3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。

【教学重点】垂径定理及其应用。

【教学难点】垂径定理的证明。

【教学方法】探究发现法。

【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。

【教学设计】
一、实例导入，激疑引趣
1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以
升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥
（如图）。

因它位于现在的历史文化名城河北省赵
县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存
最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被
誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁
界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。

2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4
米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离，
也叫弓高）为7.2米。

请问：桥拱的 半径（即AB 所在圆的半径）是多少？ ⌒
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。

（图1）
二、尝试诱导，发现定理
1．复习过渡：
①如图2(a)，弦AB 将⊙O 分成几部分？各部分的名称是什么？
②如图2(b)，将弦AB 变成直径，⊙O 被分成的两部分各叫什么？
③在图2(b)中，若将⊙O 沿直径AB 对折，两部分是否重合？
(a)
(b)
(a) (b) (c)
（图2） （图3）
2．实验验证：
让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。

从而得到圆的一条基本性质——
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。

3．运动变换：
①如图3(a)，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图3(b)，当AB ⊥CD 时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？
③如图3(c)，当AB 向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？
4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想——
（板书） ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎭⎬⎫⊥BD AD BC AC BD AE CD E AB,CD O 垂足为弦的直径
是圆 5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。

三、引导探究，证明定理
1．引导证明：
猜想是否正确，还有待于证明。

引导学生从以下两方面寻找证明思路。

①证明“AE=BE ”，可通过连结OA 、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。

B B B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。

2．归纳定理：
根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3．巩固定理：
在下列图形（如图4(a)~(d)）中，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。

(a)AB ⊥CD 于E (b)E 是AB 中点 (c)OC ⊥AB 于E (d)OE ⊥AB 于E
（图4）
向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。

四、例题示范，变式练习
1．运用定理进行计算。

〖例1〗如图5，在⊙O 中，若弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。

分析：因为已知“圆心O 到AB 的距离为3cm ”，所以要作
辅助线OE ⊥AB ；因为要求半径，所以还要连结OA 。

解：（略）学生口述，教师板书。

〖变式一〗在图5中，若⊙O 的半径为10cm ，OE=6cm ，则
思考一：若圆的半径为R ，一条弦长为a ，圆心到弦的距离为d
则R 、a 、d 三者之间的关系式是 。

〖变式二〗如图6，在⊙O 中，半径OC ⊥AB ，垂足为E ，
若CE=2cm ，AB=8cm ，则⊙O 的半径= 。

（图6） 2．运用定理进行证明
〖例2〗已知：如图7，在以O 为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点。

求证：AC ＝BD 。

（图7）
分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？ （证明△OAC ≌△OBD 或证明△OAD ≌△OBC ）
②此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理） 证法一：连结OA 、OB 、OC 、OD ，用“三角形全等”证明。

证法二：过点O 作OE ⊥AB 于E ，用“垂径定理”证明。

（详见课本P 77例2） 注1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。

注2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。

思考：在图7中，若AC=2，AB=10
〖变式一〗若将图7中的大圆隐去，还需什么条件，
才能保证AC=BD ？
〖变式二〗若将图7中的小圆隐去，还需什么条件，
才能保证AC=BD ？
〖变式三〗将图7变成图8（三个同心圆），你可以
证明哪些线段相等？
（图8）
〖例3〗（选讲）如图9，
Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°
，
AC ＝3，BC ＝26，以C 为圆心、CA 长为半径画弧，交
斜边AB 于D ，求AD 的长。

（答案：2） 略解：过点C 作CE ⊥AB 于E ，先用勾股定理求得 （图9） AB=9，再用面积法求得CE=22，最后用勾股定理求得AE=1，由垂径定理得AD=2。

五、师生小结，纳入系统
1．定理的三种基本图形——如图10、11、12。

2．计算中三个量的关系——如图13，222)2
(a d R +=。

3．证明中常用的辅助线——过圆心作弦的垂线段。

（图10） （图11） （图12） （图13）
六、达标检测，反馈效果 1．（课本P 78练习第1题）如图14，在⊙O 的半径为50mm ，弦AB=50mm ，则点O 到AB 的距离为 ，∠AOB ＝ 度。

2．作图题：经过已知⊙O 内的已知点A 作弦，
使它以点A 为中点（如图15）。

3．课本P 78练习第2题。

（图14） （图15）。