垂径定理 优秀教学设计(教案)
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ୂ A E ୂ D (a)AB⊥CD 于 E
A O ୂ
ୂ E
O
B
B
ୂ
D (b)E 是 AB 中点
ୂ
ୂ
(c)OC⊥AB 于 E （图 4）
(d)OE⊥AB 于 E
向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。 四、例题示范，变式练习 1．运用定理进行计算。 〖例 1〗如图 5，在⊙O 中，若弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm， A ୂ B 求⊙O 的半径。 分析：因为已知“圆心 O 到 AB 的距离为 3cm” ，所以要作 辅助线 OE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结 OA。 解：（略）学生口述，教师板书。 〖变式一〗在图 5 中，若⊙O 的半径为 10cm，OE=6cm，则 AB= 思考一：若圆的半径为 R，一条弦长为 a，圆心到弦的距离为 d， 则 R、a、d 三者之间的关系式是 若 CE=2cm，AB=8cm，则⊙O 的半径= 2．运用定理进行证明 〖例 2〗已知：如图 7，在以 O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点。 求证：AC＝BD。 （证明△OAC≌△OBD 或证明△OAD≌△OBC） ②此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理）
垂径定理（第一课时）教学设计
【教学内容】§24.1.2 垂径定理（初三数学上册课本 P81~P83） 【教学目标】 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。 【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一、实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以 升） ，其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥 （如图） 。因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保 存最好的巨大石拱桥，距今已有 1400 多年历史， 被誉为“华北四宝之一” ，它的结构是当时世界桥 梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图 1） ，它的跨度（弧所对的弦长）为 37.4 ୂ 米，拱高（弧的中点到弦 AB 的距离， ୂ ୂ 也叫弓高）为 7.2 米。请问：桥拱的 A B D ⌒ 半径（即 AB 所在圆的半径）是多少？ ﮡ ୂ ୂ ୂ †ୂ ƶ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图 1）
二、尝试诱导，发现定理 1．复习过渡： ①如图 2(a)，弦 AB 将⊙O 分成几部分？各部分的名称是什么？ ②如图 2(b)，将弦 AB 变成直径，⊙O 被分成的两部分各叫什么？ ③在图 2(b)中，若将⊙O 沿直径 AB 对折，两部分是否重合？ ୂ C
ୂ ୂ ୂ A ୂ B
C ୂ ୂ
A D
ୂ
B A
2．归纳定理： 根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理” 。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3．巩固定理： 在下列图形（如图 4(a)~(d)）中，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的弦，它们是否适 用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。 ୂ Ɂ C ୂ
O ୂ (b) （图 3）
ୂ
E
D (c)
B
(a) （图 2） 2．实验验证：
(b)
(a)
让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用 电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质—— 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。 3．运动变换： ①如图 3(a)，AB、CD 是⊙O 的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图 3(b)，当 AB⊥CD 时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？ ③如图 3(c)，当 AB 向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相 等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？ 4．提出猜想：根据以上的研究和图 3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想——
AE BD ⌒ ⌒ （板书） AC BC CD弦AB, 垂足为E ⌒ ⌒ AD BD CD是圆O的直径
5．验证猜想：教师用电脑课件演示图 3(c)中沿直径 CD 对折，这条特殊直径两侧 的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。 三、引导探究，证明定理 1．引导证明： 猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。 ①证明“AE=BE” ，可通过连结 OA、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等” ，就是要证明它们“能够完全重合” ，可利用圆的对称性证明。
A C A
O
（图 5） 。 C
Ņ O B
。
〖变式二〗如图 6，在⊙O 中，半径 OC⊥AB，垂足为 E， 。 （图 6） 思考二：你wenku.baidu.com解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）
O D B
（图 7）
分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？
证法一：连结 OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。 证法二：过点 O 作 OE⊥AB 于 E，用“垂径定理”证明。 （详见课本 P77 例 2） 注 1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。 注 2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。 思考：在图 7 中，若 AC=2，AB=10，则圆环的面积是 〖变式一〗若将图 7 中的大圆隐去，还需什么条件， 才能保证 AC=BD？ 〖变式二〗若将图 7 中的小圆隐去，还需什么条件， 才能保证 AC=BD？ 〖变式三〗将图 7 变成图 8（三个同心圆） ，你可以 证明哪些线段相等？ 〖例 3〗（选讲）如图 9，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， Ń AC＝3，BC＝ 6 2 ，以 C 为圆心、CA 长为半径画弧，交 斜边 AB 于 D，求 AD 的长。 （答案：2） 略解：过点 C 作 CE⊥AB 于 E，先用勾股定理求得
A O ୂ
ୂ E
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B
B
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D (b)E 是 AB 中点
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(c)OC⊥AB 于 E （图 4）
(d)OE⊥AB 于 E
向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。 四、例题示范，变式练习 1．运用定理进行计算。 〖例 1〗如图 5，在⊙O 中，若弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm， A ୂ B 求⊙O 的半径。 分析：因为已知“圆心 O 到 AB 的距离为 3cm” ，所以要作 辅助线 OE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结 OA。 解：（略）学生口述，教师板书。 〖变式一〗在图 5 中，若⊙O 的半径为 10cm，OE=6cm，则 AB= 思考一：若圆的半径为 R，一条弦长为 a，圆心到弦的距离为 d， 则 R、a、d 三者之间的关系式是 若 CE=2cm，AB=8cm，则⊙O 的半径= 2．运用定理进行证明 〖例 2〗已知：如图 7，在以 O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点。 求证：AC＝BD。 （证明△OAC≌△OBD 或证明△OAD≌△OBC） ②此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理）
垂径定理（第一课时）教学设计
【教学内容】§24.1.2 垂径定理（初三数学上册课本 P81~P83） 【教学目标】 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。 【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一、实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以 升） ，其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥 （如图） 。因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保 存最好的巨大石拱桥，距今已有 1400 多年历史， 被誉为“华北四宝之一” ，它的结构是当时世界桥 梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图 1） ，它的跨度（弧所对的弦长）为 37.4 ୂ 米，拱高（弧的中点到弦 AB 的距离， ୂ ୂ 也叫弓高）为 7.2 米。请问：桥拱的 A B D ⌒ 半径（即 AB 所在圆的半径）是多少？ ﮡ ୂ ୂ ୂ †ୂ ƶ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图 1）
二、尝试诱导，发现定理 1．复习过渡： ①如图 2(a)，弦 AB 将⊙O 分成几部分？各部分的名称是什么？ ②如图 2(b)，将弦 AB 变成直径，⊙O 被分成的两部分各叫什么？ ③在图 2(b)中，若将⊙O 沿直径 AB 对折，两部分是否重合？ ୂ C
ୂ ୂ ୂ A ୂ B
C ୂ ୂ
A D
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B A
2．归纳定理： 根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理” 。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3．巩固定理： 在下列图形（如图 4(a)~(d)）中，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的弦，它们是否适 用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。 ୂ Ɂ C ୂ
O ୂ (b) （图 3）
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D (c)
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(a) （图 2） 2．实验验证：
(b)
(a)
让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用 电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质—— 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。 3．运动变换： ①如图 3(a)，AB、CD 是⊙O 的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图 3(b)，当 AB⊥CD 时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？ ③如图 3(c)，当 AB 向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相 等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？ 4．提出猜想：根据以上的研究和图 3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想——
AE BD ⌒ ⌒ （板书） AC BC CD弦AB, 垂足为E ⌒ ⌒ AD BD CD是圆O的直径
5．验证猜想：教师用电脑课件演示图 3(c)中沿直径 CD 对折，这条特殊直径两侧 的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。 三、引导探究，证明定理 1．引导证明： 猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。 ①证明“AE=BE” ，可通过连结 OA、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等” ，就是要证明它们“能够完全重合” ，可利用圆的对称性证明。
A C A
O
（图 5） 。 C
Ņ O B
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〖变式二〗如图 6，在⊙O 中，半径 OC⊥AB，垂足为 E， 。 （图 6） 思考二：你wenku.baidu.com解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）
O D B
（图 7）
分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？
证法一：连结 OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。 证法二：过点 O 作 OE⊥AB 于 E，用“垂径定理”证明。 （详见课本 P77 例 2） 注 1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。 注 2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。 思考：在图 7 中，若 AC=2，AB=10，则圆环的面积是 〖变式一〗若将图 7 中的大圆隐去，还需什么条件， 才能保证 AC=BD？ 〖变式二〗若将图 7 中的小圆隐去，还需什么条件， 才能保证 AC=BD？ 〖变式三〗将图 7 变成图 8（三个同心圆） ，你可以 证明哪些线段相等？ 〖例 3〗（选讲）如图 9，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， Ń AC＝3，BC＝ 6 2 ，以 C 为圆心、CA 长为半径画弧，交 斜边 AB 于 D，求 AD 的长。 （答案：2） 略解：过点 C 作 CE⊥AB 于 E，先用勾股定理求得