叠加法求梁的位移-课件·PPT
10.29梁的位移.叠加法
M x dx L 2 EI Z
2
轴向拉压
平面弯曲
扭 转
刚度条件
刚度条件
max L L
刚度条件
max
变形刚度条件
max
max
变形刚度条件
位移刚度条件 应变能
应变能
2 FN L V 2 EA
应变能
M 2 ( x)dx V L 2 EI Z
（2）在所求位移点加一单位力，画单位力作用下的
弯矩图，写出单位力作用下的弯矩表达式
（3）将M、MF代入求位移公式
M (x)M F (x) K L dx EI
如何施加单位荷载（求线位移、相对线位移） 求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应 的单位力。
例题9 试求图示刚架A点的竖向位移AV。各杆材料 相同，截面抗弯模量为EI。
y
ql q 2 EI " x x 2 2
ql q 2 M ( x) x x 2 2 代入微分方程并积分得
qx3 1 2 EI ( x) qlx C 6 4 4 qx 1 3 EI ( x) qlx Cx D 24 12
代入边界条件：ω(0)=0, ω(l)=0 所以
梁挠曲线近似微分方程
A
C
B
x
y
C
d tan dx 在小变形情况下，任一截面的转角等于 挠曲线在该截面处的切线斜率。
B
通过积分求弯曲位移的特征：
1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠 曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。
16第十六讲(叠加法计算梁的位移)
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十六讲：弯曲位移的叠加法
例题 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC
和两支座截面的转角qA 及 qB。
(a)
解：此梁 wC 及qA，qB 实际上可不按叠加原理而直接
弯曲位移的叠加法注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零而且该在集度为q2的反对称均布荷载作用下由于挠曲线也是与跨中截面反对称的故有02?cwc三峡大学工程力学系截面上的弯矩亦为零但转角不等于零因此可将左半跨梁ac和右半跨梁cb分别视为受集度为q2的均布荷载作用而跨长为l2的简支梁
材料力学教案 上一讲我们学到
C
在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材 附录Ⅳ表中序号8的公式有
5q/2l4 5q4l
w C 138 E4I76 E8 I
qA1q 2/2 E 4l3I4qE 8 3lI qB 1q 2/2 E 4 l3I4qE 3 8lI
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
C
第十六讲：弯曲位移的叠加法
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十六讲：弯曲位移的叠加法
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同， 但要注意原外伸梁的B支座截面是可以转动的，其转角就是
上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|·a应叠加到图b
所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA：
w A w1 w2
在集度为q/2的反对称均布荷 载作用下，由于挠曲线也是与跨 中截面反对称的，故有
wC2 0 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该
结构力学 叠加法
2．6叠加法作弯矩图当梁在荷载作用下变形微小，因而在求梁的支反力、剪力、弯矩时可直接代入梁的原始尺寸进行计算，且所得结果与梁上荷载成正比。
在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所引起的梁的支反力或内力，将不受其他荷载的影响。
所以在计算梁的某截面上的弯矩时，只需先分别算出各项荷载单独作用时在该截面上引起的弯矩，然后求它们的代数和即得到该截面上的总弯矩。
这种由几个外力共同作用引起的某一参数(内力、位移等)等于每一外力单独作用时引起的该参数值的代数和的方法，称为叠加法。
叠加法的应用很广，它的应用条件是：需要计算的物理量(如支反力、内力以及以后要讨论的应力和变形等)必须是荷载的线性齐次式。
也就是说，该物理量的荷载表达式中既不包含荷载的一次方以上的项，也不包含荷载的零次项。
例题2-9试按叠加原理做例题2-9图(a)所示简支梁的弯矩图。
求梁的极值弯矩和最大弯矩。
解：先将梁上每一项荷载分开(见图(b)、图(c))，分别做出力偶和均布荷载单独作用的弯矩图(见图(d)、图(e))两图的纵坐标具有不同的正负号，在叠加时可把它们画在x 轴同一侧(见图f)。
于是两图共有部分，其正、负纵坐标值互相抵消。
剩下的纵距(见图(f)中阴影线部分)即代表叠加后的弯矩值。
叠加后的弯矩图仍为抛物线。
如将它改画为以水平直线为基线的图，即得通常形式的弯矩图(见图(曲)。
求极值弯矩时，先要确定剪力为零的截面位置。
由平衡方程0Bm =∑可求得支反,剪力方程为Q 即可求出极值弯矩所在截面的位置。
令()0x极值弯矩为由例题2-9图（g)可见，全梁最大弯矩为本例中的极值弯矩并不大于梁的最大值弯矩。
当梁上的荷载较复杂时，也可将梁按荷载情况分段，求出每一段梁两端截面的内力。
这时该段梁的受载情况等效于一受相同荷载的简支梁 (见图2-12(a)、(b))。
因为每一段梁在平面弯曲时的内力，不外是轴力N、剪力Q和弯矩M。
由于轴力N不产生弯矩，故在作弯矩图时可将它略去，剩下的梁端剪力1Q，2Q和梁端弯矩1M、2M，及荷载对梁段的作用，可用图2-12(b)所示的简支梁上相应的荷载来代替(梁段端截面上的剪力可由梁的支反力提供，故图中未画出)。
第八章叠加法求变形(3,4,5)
θ
B2
P Pa
f c f c1 f c 2
pa PaL fc a 3EI 3EI
例题6 欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。
解：
2 Pa ( 2 a ) 5q(2a) wC 16EI 384EI
4
0
5 P qa 6
例题7 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。 解:
wc1
l 3 P( ) 2 3EI
2EI
B
EI
Pl 3 24 EI
A
C
l/2 l/2
( )
p B
2. 解除AB段的刚化，并令BC段刚化。
l 1 l P( ) 3 Pl ( ) 2 3 5 Pl 2 2 2 wB () 3 2 EI 2 2 EI 96EI
θB l 2 1 l ) Pl 3Pl 2 2 2 2 2 2 EI 2 EI 16EI P(
θc1
pa f c1 3EI pa2 c1 2 EI fc1
3
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
θ
A
P
B2
B
刚化 EI=C来自fc2PaL B2 3EI fc2 B2 a
PaL a 3EI
c c1 B 2
Pa2 PaL c 2 EI 3 EI
例题 2
解: 为了能利用简单荷载作用 下梁的挠度和转角公式， 将图a所示荷载视为与跨 中截面C正对称和反对称 荷载的叠加(图b)。
例题 2
C
A1
wC
B1
在集度为q/2的正对称均 布荷载作用下，查有关梁的 挠度和转角的公式，得
5q / 2l 4 5ql 4 wC 1 384EI 768EI ql A1 24EI 48EI q / 2l 3 ql 3 B1 24EI 48EI
用叠加法计算梁的变形
2 3
由 U W得
Pl vB 3EI
3
作业：5-18，5-19，6-15©,6-18
谢谢大家!
目录
下章 结束
3
θB2
P Pa
f c f c1 f c 2
pa PaL fc a 3EI 3EI
[例8-4]：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关
系。
CL9TU23
解：
5q(2a) wC 384EI 5 P qa 6
4
Pa(2a) 16EI
2
0
[例8-5] 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度
三. 梁的刚度条件
机械：1/5000~1/10000,
土木：1/250~1/1000 机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于 构件正常工作时的要求。 [例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3， [ w/L ]= l／500，E=200GPa，[σ ]=100MPa。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
。
CL9TU29
[例8-6]求图示梁B、D两处的挠度 vB、 vD
。
CL9TU26
[解]
qa 2a 2 qa (2a ) 2 B 3EI 16 EI 3 qa 顺时针 12 EI
2
C
qa qa B 6 EI 4 EI
4
3
3
顺时针
4
qa 5qa wC B a 8EI 24EI
逐段刚化法：
变形后AB部分为曲线， 但BC部分仍为直线。 变形后：AB AB` BC B`C`
精品课件-材料力学(张功学)-第6章
图6－4
6.1 引 言
解（1）求约束力。建立坐标系如图所示,求得约束力为
方向均竖直向上。
FAy
b l
F
,
FBy
a l
F
（2）写出弯矩方程。由于集中力加在两支座之间，弯矩方
程在AC、BC两段各不相同。
AC段:
M
1(
x)
b l
Fx
w(a )w(a ), (a ) (a )
(f)
利用式（e）和式（f），即可解得
D1 D2 0,
C1
C2
Fb(b 6l
2
l
2
)
于是，求得梁的转角方程和挠曲线方程分别为
6.1 引 言
AC段:
EI (x) Fb(3x2 b2 l 2 )
6l
EIw(x) Fbx[x3 (b2 l 2 )x] 6l
（a） （b） （c）
6.1 引 言
确定积分常数C和D的边界条件为：在固定端截面处，挠度 和转角均为零。即
w00, 00
将（b）、(c)两式代入，得
D0, C0
将所得积分常数代入（b）、(c)两式，得到梁的转角方程和挠
度方程分别为
(x)dw
1
Wx 2 (
Wlx )
dx EI 2
w(x) 1 (Wx 3 Wlx 2 ) EI 6 2
6.1 引 言 显然在自由端处转角与挠度最大，即当x=l时，得
m
ax
B
1 EI
(Wl 2
2
Wl
2
Wl 2 )
2EI
1 Wl 3 Wl 3 Wl 3
工程力学第20讲 弯曲变形：计算梁位移的叠加法
梁的合理刚度设计
横截面形状的合理选择
使用较小的截面面积 A，获得较大惯性矩 I 的截面形 状，例如工字形与盒形等薄壁截面
材料的合理选择
影响梁刚度的力学性能是 E ，为提高刚度，宜选用E 较高的材料
注意：各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同
钢与合金钢： (200 ~ 220) GPa E 铝 合 金：E (70 ~ 72) GPa
3
FBy l 3
Fy 0, 得 FA y 11F / 16
－平衡方程
综合考虑三方面
分析方法与步骤
判断梁的静不定度 用多余力 代替多余约束
的作用，得受力与原静不定 梁相同的静定梁－相当系统 注意: 相当系统有多种选择 计算相当系统在多余约 束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程
w max d
d －许用挠度 q －许用转角
l l ~ 750 500 3l 5l ~ 10000 10000
q max q
桥式起重机梁： d
一般用途的轴： d
指定截面的位移控制
w d
q q
例如滑动轴承处: q 0.001 rad
解：
M max
Fl 4
Fl M max Wz 4[s ] [s ]
Wz 2.19 104 m3
Fl 3 d max 48 EI z l d max Fl 2 l 48 EI z 500 500Fl 2 2.92 105 m4 Iz 48 E
-4 3 -5 4 选№22a Wz 3.09 10 m ， I z 3.40 10 m
3
当梁上作用几个载荷时，任一横截面 的总位移，等于各载荷单独作用时在 该截面引起的位移的代数和或矢量和
结构力学 叠加法
2．6叠加法作弯矩图当梁在荷载作用下变形微小，因而在求梁的支反力、剪力、弯矩时可直接代入梁的原始尺寸进行计算，且所得结果与梁上荷载成正比。
在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所引起的梁的支反力或内力，将不受其他荷载的影响。
所以在计算梁的某截面上的弯矩时，只需先分别算出各项荷载单独作用时在该截面上引起的弯矩，然后求它们的代数和即得到该截面上的总弯矩。
这种由几个外力共同作用引起的某一参数(内力、位移等)等于每一外力单独作用时引起的该参数值的代数和的方法，称为叠加法。
叠加法的应用很广，它的应用条件是：需要计算的物理量(如支反力、内力以及以后要讨论的应力和变形等)必须是荷载的线性齐次式。
也就是说，该物理量的荷载表达式中既不包含荷载的一次方以上的项，也不包含荷载的零次项。
例题2-9试按叠加原理做例题2-9图(a)所示简支梁的弯矩图。
求梁的极值弯矩和最大弯矩。
解：先将梁上每一项荷载分开(见图(b)、图(c))，分别做出力偶和均布荷载单独作用的弯矩图(见图(d)、图(e))两图的纵坐标具有不同的正负号，在叠加时可把它们画在x 轴同一侧(见图f)。
于是两图共有部分，其正、负纵坐标值互相抵消。
剩下的纵距(见图(f)中阴影线部分)即代表叠加后的弯矩值。
叠加后的弯矩图仍为抛物线。
如将它改画为以水平直线为基线的图，即得通常形式的弯矩图(见图(曲)。
求极值弯矩时，先要确定剪力为零的截面位置。
由平衡方程0Bm =∑可求得支反,剪力方程为Q 即可求出极值弯矩所在截面的位置。
令()0x极值弯矩为由例题2-9图（g)可见，全梁最大弯矩为本例中的极值弯矩并不大于梁的最大值弯矩。
当梁上的荷载较复杂时，也可将梁按荷载情况分段，求出每一段梁两端截面的内力。
这时该段梁的受载情况等效于一受相同荷载的简支梁 (见图2-12(a)、(b))。
因为每一段梁在平面弯曲时的内力，不外是轴力N、剪力Q和弯矩M。
由于轴力N不产生弯矩，故在作弯矩图时可将它略去，剩下的梁端剪力1Q，2Q和梁端弯矩1M、2M，及荷载对梁段的作用，可用图2-12(b)所示的简支梁上相应的荷载来代替(梁段端截面上的剪力可由梁的支反力提供，故图中未画出)。
工程力学梁的变形教学PPT
Fbl 2 16 EI
0.0625
Fbl 2 EI
26
可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中
挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要 简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。
当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角
qmax和最大挠度wmax为
A
B 即选择A端固定B端自由的悬臂梁
L
FBy 作为基本静定梁。
MA
q
A
L
(2)解除A端阻止转动的支座反力
B
矩 M作A 为多余约束,即选择两端简
支的梁作为基本静定梁。
39
基本静定基选取可遵循的原则： (1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变 系统； (2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协 调条件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单， 其次是简支梁，最后为外伸梁。
x3 6
C1x
C2
该梁的边界条件为：在 x=0 处 w 0，w =0
于是得
C1 0，C2 0
16
从而有 转角方程 q w Fxl Fx2
EI 2EI 挠曲线方程 w Fx2l Fx3
2EI 6EI
当x=L时：
qmax q
|xl
Fl 2 EI
Fl 2 2EI
Fl 2 2EI
静定梁(基本静定基) — 将超静定梁的多余约束解除，得到
相应的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力
以及内力。
多余约束 — 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约
束或多余杆件。
q
多余约束的数目=超静定次数
B 多余约束的数目=1
材料力学第八章叠加法求变形精品ppt资料
1.纯弯曲：M(x)c
V W
W 1 M
W
2
V
1M 2
Ml
EI
M 2l 2EI
2.横力弯曲：M(x)c
dV1 2M (x)dM 2 2E xdx I
V
M2 (x) dx
l 2EI(x)
二.小结：
1、杆件变形能在数值上等于变形过程中
外力所做的功。Vε=W
2、线弹性范围内，假设外力从0缓慢的增加
到最终值：
例题 5-5
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB
段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，
其转角就是上面求得的B，由此引起的A端挠度 w1=|B|·a，应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2
上去,才是原外伸梁的A端挠度wA wA w1 w2
1 3
qa 3 EI
a
2q a 4
8 EI
7 qa 4 12 EI
[例8-6]求图示梁B、D 两处的挠度 wB、 wD 。
解：
q(2a)4 q(2 a a)3 1q 44a
w B8EI
3EI 3EI
w Dw 2B2q 4(a E 2 8 a)3 I8 3 q E4aI
[例8-7]求图示梁C点的挠度 wC。
解：
三. 梁的刚度条件 刚度条件：wmax [w];
简支梁BC，由q产生的Bq 、wDq(图d)，由MB产生的 BM 、wDM (图e)。可查有关式，将它们分别叠加后 可得 B、wD，它们也是外伸梁的 B和wD。
例题 5-5
B B qB M q 2 2 E a 4 3 q I 3 2 E 2 a a I 1 3 q E 3 a I
w D w D w q D M 3 5 q E 2 8 a 4 4 q I 1 2 E 2 a a 2 6 I 2 1 q E 4 4 ( a ) I
梁位移
EI z
2
y(x) 1 (1 Plx2 1 Plx3)
EI z 2
6
ymax
y(l)
1 EIz
(1 2
Pl3
1 6
Pl3)
Pl3 3EIz
()
max
(l)
1 EIz
(Pl2
1 2
Pl2)
Pl2（逆时针） 2EIz
9
例2：求此梁的转角方程和挠度方程，确定最大转角，挠度。
由于梁变形后横截面仍垂直于轴线，因此任一截面的转角，
也可用截面形心处挠曲线的切线与x轴的夹角来表示。
则有： (切线) dy(x) tg
dx
因很小，可写成 tg
(x) dy(x) y
dx
即：任一横截面的转角 等于该截面处挠度y 对x的一阶导数，只
要知道梁的挠曲线方程，则可确定任一点的挠度和截面的转角。
分布力等时， 应该分段积分。每一个分段中都有两个积分常数，
它们要满足连续变形条件。
7
例1：9.1 求挠度方程和转角方程，并确定最大值。
解：确定支座反力：
RA P MA Pl
弯矩方程：
M (x) Pl Px
挠度、转角方程：
EIz (x) (Pl Px)dx C
因分段（x=a）处曲线连续变形，
y11
(a) (a)
y2
2
(a) (a)
C1
C2
Pb 6l
(b2
l2)
y1
y2 (x)
(x)
材料力学 叠加法求梁的变形及刚度条件
例题 5.9 &
多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度ωE.
A
3 L
C B L E L
1 F 2
D
L
1 F 2
A
3 L
B
C
D
L
1 w E = (w B + wC ) + w E 1 2
3
F 2 (3 L ) 9 FL3 w B = = 3 EI z 2 EI z
3
3 FL3 F 2 (L ) = w = C 6 EI z 3 EI z
5 FL w E = 2 EI Z
B L E
w E 1 =
F (2 L ) = 48 EI z 6 EI z
3
L
C
1 F 2
1 3 F FL 2
例题 5.10 &
q =
L
r
=
ML EI Z
M e
1 W = M q 2
横力弯曲
1 M 2 L Ve = M q = 2 2 EI Z
M e
dV e =
M ( x ) dx 2 EI Z
B
q 3 B =-
ML LaP 2 =3 EI 3 EI
+
P 2
图3
A
D
B
w 3C
P2 L a 2 = q 3 B a = 3 E I
l=400mm A D B
a=0.1m •叠加求复杂载荷下的变形
2 P L x q = 1 - P 2 La B 16 EI 3 EI P =2kN 2
AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.
第七章弯曲变形第二节叠加法
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
查型钢表，得 Iz = 1660 cm4
梁的最大挠度发生在中间截 面，为
w max
由于
5ql 4 7.26 103 m = 7.26 mm 384 EI
w max
l 7.26 mm < w 7.5 mm 400
故梁的刚度满足要求
[例2] 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用。已知 F = 35 kN，跨度 l = 4 m ，许用应力 [ ] = 160 MPa ，许用挠度 [w ] = l / 500 ，弹性模量 E = 200 GPa 。试选择工字钢型号。
l /2
l /2
F
A
B
M e Fl / 2
C
F
A
B
C
C2 F
B2 F
F l / 2
3
3EI 3Fl 3 16 EI
7 Fl 3 48EI
A
M e Fl / 2
B2 M e
B
C
C2 M e
[例3] 外伸梁如图，试用叠加法计算截面 C 的挠度 wC 和转角C ， 设梁的抗弯刚度 EI 为常量。 解：
3）建立补充方程
11.梁弯曲变形的叠加法
（对于土木工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属 地位）
§4.5 梁的刚度计算
三、提高梁的刚度的措施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看： 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看： 梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载 梁的支座和荷载有关外还取决于 梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于 下面三个因素： 下面三个因素 材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比 成反比； 材料 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I z成反比 成反比； 截面—— 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比 次幂成正比。 跨长 次幂， （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 的 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EIz） 、增大梁的抗弯刚度（ 2、减小跨长或增加支座 、 方法——同提高梁的强度的措施相同 方法 同提高梁的强度的措施相同 3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到 、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反， 一定的抵消作用） 一定的抵消作用）
θ B ( F1 , F2 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, Fn ) = θ B1 ( F1 ) + θ B 2 ( F2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +θ Bn ( Fn )
y B ( F1 , F2 ,⋅ ⋅ ⋅, Fn ) = y B1 ( F1 ) + y B 2 ( F2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + y Bn ( Fn )
D
= 0
θC左 = θC右
§4.4 叠加法计算梁弯曲变形
Me
q
梁上有分布载荷， 梁上有分布载荷，集中力与 集中力偶。 集中力偶。
qx 2 B 弯矩： M = M − Fx − 弯矩： e 2
工程力学第3节 用叠加法求梁的变形
qx 3 y (l 2lx 2 x3 ) 24EI
ql3 A B 24EI 5ql 4 l x ymax 2 384EI
例10-5 悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端 作用有集中力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI， 如图所示。试求截面B的挠度和转角。
解：（1）分解载荷 梁上载荷可分解成均布载 荷 q 与集中力 F 的叠加。 （2）查表得这两钟情况下 截面 B 的挠度和转角
ql yBq 8 EI ql3 Bq 6 EI
4
+
yBF
BF
ql Fl 3EI 3EI 3 2 ql Fl 2 EI 2 EI
3
+
3）叠加得截面B的挠度和转角
yB yBq yBF
ql ql 11ql （ ） 8 EI 3EI 24 EI ql ql 2ql （顺时针） 6 EI 2 EI 3EI
3 3 3
4
4
4
B Bq BF
例10-6 如图所示，外伸梁在外伸段作用有均布 载荷q，梁的抗弯刚度为EI。求C截面的挠度。 解： 1）简化、分解载荷 2）分别计算 B 截面挠度： 悬臂梁因 B 截面产生转角引 qa 起的挠度 yC1和悬臂梁在均布 2 0.5qa + 载荷作用下产生的挠度 yC 2
表10-1 梁在简单载荷作用下的变形
梁的简图 挠曲线方程
Mx 2 y 2 EI
转角和挠度 Ml B EI Ml 2 yB 2 EI
Fl 2 B 2 EI Fl3 yB 3EI
Fx 2 y (3l x ) 6 EI
2 Fx 2 Fa y (3a x) 0 x a B 6 EI 2 EI Fa2 Fa 2 (3l a ) y (3 x a ) a x l y B 6 EI 6 EI
应用叠加原理求梁的变形
应用叠加原理求梁的变形1. 什么是叠加原理？叠加原理是一种常用的力学分析方法，用于求解复杂结构中各个构件的受力和变形。
该原理基于结构的线性性质，假设结构在受到多个外力同时作用时，各个外力的影响可以分别计算，最后再将各个结果进行叠加得到总的结果。
2. 梁的变形计算梁是一种常见的结构构件，广泛应用于工程领域。
在工程设计中，我们常常需要计算梁在受力情况下的变形，以确保设计的梁符合结构强度和刚度的要求。
应用叠加原理可以较为方便地求解梁的变形。
下面以一根简支梁为例，介绍应用叠加原理求解梁的变形的具体步骤：2.1 确定各个受力首先，需要确定梁所受到的各个外力，包括集中力、均布力、弯矩等。
2.2 列点根据叠加原理，我们需要列出各个受力情况下的变形的方程，然后将这些方程进行叠加。
下面以简支梁受到集中力P作用为例进行讲解。
在梁的受力平衡条件下，可以得到以下方程：$M = EI \\frac{d^2y}{dz^2}$$V = EI \\frac{d^2w}{dz^2}$其中，M为梁的弯矩，V为梁的剪力，y为梁的纵向位移，w为梁的横向位移，E为梁的材料弹性模量，I为梁的惯性矩。
2.3 求解方程根据叠加原理，我们可以分别求解简支梁受到集中力和均布力时的梁的变形。
2.3.1 简支梁受到集中力作用时的变形假设集中力作用的位置为L，根据平衡条件和边界条件，可以得到以下方程：M=P(L−z)，$0 \\leq z \\leq L$M=0，$L \\leq z \\leq L_1$其中，P为集中力的大小，L为集中力作用的位置，L1为梁的长度。
通过对上述方程进行求解，可以得到梁在集中力作用下的变形。
2.3.2 简支梁受到均布力作用时的变形假设均布力的大小为q，根据平衡条件和边界条件，可以得到以下方程：$M = \\frac{q}{2}z^2$，$0 \\leq z \\leq L$M=0，$L \\leq z \\leq L_1$通过对上述方程进行求解，可以得到梁在均布力作用下的变形。