欧拉公式证明

多面体欧拉定理：定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系对于简单多面体，有著名的欧拉公式:V-E+F=2简单多面体即表面经过连续变形可以变为球

面的多面体。

欧拉定理：

定理简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2；公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律。定理的证明：

分析：以四面体ABCD为例。将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。因此，要研究V、E 和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。只需平面图形证明：V+F1-E=1；（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。例如去掉BC，就减少一个面ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变；（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。例如去掉CA，就减少一个顶点C。同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。

在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，V+F1-E=2-0-1=1，所以 V+F-E= V+F1-E+1=2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。欧拉定理又一证法：

多面体，设顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，将其余的面拉平，使它变为平面图形，我们在两个图中求所有面的内角总和Σα。一方面，利用面求内角总和。设有F个面，各面的边数分别为n1,n2，…，nF，各面的内角总和为：Σα = [(n1-2)•180+(n2-2)•180+…+(nF-2)•180] = (n1+n2+…+nF -2F)•180 =(2E-2F)•180= (E-F)•360（1）另一方面，在拉开图中，利用顶点来求内角总和。设剪去的一个面为n 边形，其内角和为(n-2)•180，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)•360，边上的n 个顶点处的内角和(n-2)•180。所以，多面体所有各面的内角和为：Σα = (V-n)•360+(n-2)•180+(n-2)•180=（V-2）•360（2）由（1）（2）得(E-F) •360 =（V-2）•360所以 V+F-E=2.