欧拉公式证明
欧拉公式的推导
03
欧拉公式的证明
利用三角函数的性质进行证明
总结词
利用三角函数的周期性和对称性，通 过一系列的等式变换，推导出欧拉公 式。
详细描述
首先，利用三角函数的周期性和对称 性，将角函数转化为指数形式。然 后，通过一系列的等式变换，将指数 形式转化为欧拉公式。
利用复数的性质进行证明
总结词
利用复数的共轭和模的性质，通过代数运算 和等式变换，推导出欧拉公式。
快速傅里叶变换（FFT）
欧拉公式在快速傅里叶变换算法中有重要应用， 该算法用于信号处理和频谱分析等领域。
加密算法的实现
欧拉公式可以用于实现一些加密算法，例如 RSA公钥加密算法。
并行计算中的向量旋转
在并行计算中，欧拉公式可以用于实现向量的旋转操作，提高计算效率。
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欧拉公式的应用场景
01
在物理学中，欧拉公式被广泛应用于波动方程、电磁学、量子 力学等领域。
02
在工程学中，欧拉公式被用于信号处理、控制系统等领域。
在金融学中，欧拉公式被用于计算复利、评估风险等。
03
02
欧拉公式的推导过程
利用三角函数的性质进行推导
总结词
利用三角函数的周期性和对称性，通过一系列的恒等变换，推导出欧拉公式。
04
欧拉公式的变种和推广
欧拉恒等式
总结词
欧拉恒等式是数学中一个重要的恒等式，它 表示三角函数和指数函数之间的关系。
详细描述
欧拉恒等式是数学中一个重要的恒等式，它 表示三角函数和指数函数之间的关系。这个 恒等式在数学分析、复变函数、微分方程等 领域有着广泛的应用。通过欧拉恒等式，我 们可以将三角函数转化为指数函数，从而简
欧拉公式推到
欧拉公式推到欧拉公式是数学史上最重要的数学公式之一，各种数学研究中都能有所体现，全面地描述出复杂的问题。
欧拉公式有很多不同的推导版本，但最终的结果都是一样的。
欧拉公式的最简单推导方式是极坐标形式，以下是极坐标推导欧拉公式的步骤：1.考虑椭圆：将椭圆的方程用极坐标形式（r，θ）表示，此时椭圆的标准方程可以表示为：r^2=a^2*cos(2θ)其中a是椭圆的长轴，θ为极坐标角。
2.算椭圆面积：椭圆的面积可以用定积分的方式求解，可以得到： A=πa^23.欧拉公式计算椭圆面积：根据欧拉公式，椭圆的面积可以表示为：A=∫r^2dθ4.椭圆方程代入：将上面求得的椭圆方程代入上面欧拉公式中，可以得到：A=∫a^2*cos(2θ) dθ5.积分：将上面求得的积分，通过积分变换和分部积分，最终可以得到：A=πa^26.比两种求解方式：将上面积分推导求得的椭圆面积A，与定积分求得的椭圆面积A进行比较，可以发现两者相等，即：A=πa^2由此可以证明欧拉公式的正确性。
在实际的数学应用中，欧拉公式可以用来求解很多复杂的问题，从而辅助解决实际的应用问题。
例如，欧拉公式可以用来求解椭圆的周长，确定多边形的面积，求解曲线的长度，以及解决积分变换的问题等。
定积分也是数学研究中一个非常重要的概念，其可以用来求解面积、体积等，运用定积分也可以得出欧拉公式，下面是定积分求解欧拉公式的步骤：1.虑椭圆：将椭圆的方程用定积分形式表示，此时椭圆的标准方程可以表示为：x^2+y^2=a^2其中a是椭圆的长轴。
2.算椭圆面积：椭圆的面积可以用定积分的方式求解，可以得到： A=∫∫1/2adxdy3.欧拉公式计算椭圆面积：根据欧拉公式，椭圆的面积可以表示为：A=∫r^2dθ4.椭圆方程代入：将上面求得的椭圆方程代入上面欧拉公式中，可以得到：A=∫a^2*cos(2θ) dθ5.积分：将上面求得的积分，通过积分变换和分部积分，最终可以得到：A=πa^26.比两种求解方式：将上面积分推导求得的椭圆面积A，与定积分求得的椭圆面积A进行比较，可以发现两者相等，即：A=πa^2由此可以证明欧拉公式的正确性。
欧拉方程eix
欧拉方程eix
欧拉公式是数学中的一个重要公式，它将三角函数和指数函数联系起来。
欧拉公式的一般形式为：
e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
其中，e是自然常数，i是虚数单位，x是实数。
这个公式可以通过泰勒级数展开证明。
欧拉公式实际上是在复平面上的一个几何解释。
假设将复数z = x + yi 表示为平面上的一个点，其中x和y分别是实部和虚部，则对于任意实数x，点e^(ix)的实部是cos(x)，虚部是sin(x)。
这意味着欧拉公式将指数函数e^(ix)与以原点为中心、半径为1的单位圆上的点(cos(x), sin(x))联系起来。
欧拉公式在数学中有很多应用，例如在微积分、复变函数、傅里叶分析等领域中。
在计算机科学中，欧拉公式也有很多应用，例如在计算机图形学中用于旋转和缩放图形，以及在信号处理中用于分析和合成信号。
简单多面体欧拉公式证明
我们要证明简单多面体的欧拉公式。
欧拉公式是关于多面体顶点数、面数和边数的数学关系。
简单多面体是指没有洞的多面体。
欧拉公式是：对于一个简单多面体，其顶点数V、面数F和边数E满足：V - E + F = 2。
假设多面体的顶点数为V，面数为F，边数为E。
为了证明欧拉公式，我们可以考虑多面体的结构。
1.每个顶点连接3条边，所以顶点数V = 3 ×E / 2（因为每条边被两个顶点共享）。
2.每个面有3条边，所以F = 3 ×E / 2（因为每条边属于两个面）。
根据上述关系，我们可以得到：
V - E + F = (3 ×E / 2) - E + (3 ×E / 2) = 2 ×E / 2 = E = 2。
通过上述数学模型和推导，我们证明了简单多面体的欧拉公式：V - E + F = 2。
欧拉公式证明
欧拉公式证明欧拉函数：欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)。
完全余数集合：定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。
显然|Zn|＝φ(n)。
有关性质：对于素数p，φ(p)=p-1。
对于两个不同素数p，q，它们的乘积n=p*q满足φ(n)=(p-1)*(q-1)。
这是因为Zn={1,2,3,...,n{p,2p,...,(q{q,2q,...,(p1)1)1)=(p-1)*(q-1)＝φ(p)*φ(q)。
欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n)≡1modn。
证明：(1)令Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，S={a*x1modn,a*x2modn,...,a*xφ(n)modn}，则Zn=S。
①因为a与n互质，xi(1≤i≤φ(n))与n互质，所以a*xi与n互质，所以a*ximodn∈Zn。
②若i≠j，那么xi≠xj，且由a,n互质可得a*ximodn≠a*xjmodn（消去律）。
(2)a*x1*x2*...*xφ(n)modn≡(a*x1)*(a*x2)*...*(a*xφ(n))modn≡(a*x1modn)*(a*x2modn)*...*(a*xφ(n)modn)modn≡x1*x2*...*xφ(n)modnφ(n)对比等式的左右两端，因为xi(1≤i≤φ(n))与n互质，所以a≡1modn（消去律）。
注：消去律：如果gcd(c,p)=1，则ac≡bcmodp⇒a≡bmodp。
费马定理：若正整数a与素数p互质，则有appk-1证明：小于pk的正整数个数为pk1-1)}共计pk1个所以φ(n)=pk(pk1)=pk1。
(2)p*q的欧拉函数假设p,q是两个互质的正整数，则p*q的欧拉函数为φ(p*q)=φ(p)*φ(q)，gcd(p,q)=1。
证明：令n=p*q，gcd(p,q)=1根据中国余数定理，有Zn和Zp×Zq之间存在一一映射（我的想法是：a∈Zp，b∈Zq⇔b*p+a*q∈Zn。
欧拉公式19种证明
欧拉公式19种证明欧拉公式是数学中的一个重要公式，它的表达式为e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)，其中e表示自然对数的底数2.71828…，i表示虚数单位。
欧拉公式有多种证明方法，下面我们将介绍其中19种常见的证明方法。
1. 泰勒级数证明法：利用泰勒级数展开式展开e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)，然后将它们相等的系数进行比较，即可得出欧拉公式。
2. 复合函数证明法：将e^(ix)看作复数函数f(x)=e^x，将cos(x)和sin(x)看作f(x)的实部和虚部，则有f(ix)=cos(x)+i*sin(x)，即e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)。
3. 微积分证明法：将欧拉公式两边分别对x求导，得到ie^(ix)=-sin(x)+i*cos(x)，再将其两边同时乘以i，即可得到欧拉公式。
4. 积分证明法：将欧拉公式两边同时积分，得到e^(ix)/i=-sin(x)/i+cos(x)，再将其两边同时乘以i，即可得到欧拉公式。
5. 欧拉级数证明法：将e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)的泰勒级数展开式进行对比，即可得到欧拉公式。
6. 幂级数证明法：将e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)的幂级数展开式进行对比，即可得到欧拉公式。
7. 矩阵证明法：构造一个2x2矩阵，使其特征值为e^(ix)和e^(-ix)，然后求解该矩阵的本征向量，即可得到欧拉公式。
8. 矩阵幂证明法：将e^(ix)表示为矩阵的形式，然后对该矩阵进行幂运算，即可得到欧拉公式。
9. 极限证明法：将e^(ix)表示为极限的形式，然后通过极限的性质推导出欧拉公式。
10. 解微分方程证明法：将e^(ix)看作微分方程y'=iy的解，并利用欧拉公式将其转化为y=cos(x)+i*sin(x)，即可得到欧拉公式。
11. 解偏微分方程证明法：将e^(ix)看作偏微分方程u_t+iu_x=0的解，并利用欧拉公式将其转化为u=cos(x-t)+i*sin(x-t)，即可得到欧拉公式。
欧拉公式
方法一是不严格的。
再 请看这2个积分
∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2
∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;
上式左边相当于下式左边乘以i
于是上式右边相当于下式右边乘以i
u'(θ)=logae 4
4取积分有:
T=(logae)*θ+Ψ 5
θ→0时,t=limt=Ψ,带入3有:
a^(iΨ)=1 即:
Ψ=0 6
6代入5有:
T=(logae)*θ 7
7代入3有:
[a^(logae)]^(iθ)=cosθ+isinθ 化简得欧拉公式:
方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的） （就是q239urju空间里的那个）
再抄一遍： 设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy)
用牛顿幂级数展开式
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+......
把 e^(iy) 展开，就得到
e^z/e^x = e^(iy)
=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....
=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)
+i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)
欧拉公式证明过程
欧拉公式证明过程欧拉公式是数学中一个重要的公式，它连接了三角函数、复数和指数函数。
以下是欧拉公式的证明过程：首先，欧拉公式中的三角函数是通过对复数的幂运算得到的。
例如，如果我们有一个复数z=x+iy，其中x和y都是实数，那么我们可以将其视为一个复平面上的点(x,y)。
那么，我们可以将复数z的幂运算表示为：z^n = (x+iy)^n。
接下来，我们通过三角函数的幂运算来证明欧拉公式。
我们知道，三角函数sin(x)和cos(x)可以通过指数函数e^x和e^iy来定义，即：sin(x) = (e^ix - e^(-ix)) / 2icos(x) = (e^ix + e^(-ix)) / 2我们可以将这些公式代入欧拉公式的右边，得到：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)现在，我们需要证明左边等于右边。
为此，我们可以使用级数展开来证明。
我们知道，e^x 可以表示为e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...。
如果我们把这个级数展式中的x替换成ix，我们就得到：e^(ix) = 1 + (ix) + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! + ...将三角函数sin(x)和cos(x)的级数展式代入上式，我们可以得到：e^(ix) = 1 + (ix) - (ix)^2/3! - (ix)^3/5! + ...i*(0 + (ix) + (ix)^2/2! - (ix)^3/3! + ...)= cos(x) + i*sin(x)这就是欧拉公式的证明。
通过这个公式，我们可以将三角函数、复数和指数函数联系起来，并且在许多数学问题中得到重要的应用。
利用欧拉公式证明正多面体有且仅有5种
利用欧拉公式证明正多面体有且仅有5种正多面体是指所有面都是相等且全等的多面体，其中每个顶点的度数相等。
欧拉公式是描述多面体的顶点、边、面之间的关系的一个数学公式，可以用来推导正多面体的种类。
根据欧拉公式，一个多面体的顶点数（V）、边数（E）和面数（F）满足以下关系式：V-E+F=2首先，假设正多面体有n个面，m个顶点和k个边。
由于每个面都是正多边形，所以每个面的边数为p（p≥3），而每个顶点的度数为q（q≥3）。
由此可以得到以下关系：m = kp/2 （每条边连接两个顶点）n = mp/q （每个面包含p个边）将这些关系代入欧拉公式，得到m-m/q+n=2k-p/q+m/p=2将上述两个式子相加，消去m项，得到k+n-p/q+m/p-m/q=4k+n-(p/q)*(q/p)=4k+n-1=4k+n=5由此，我们得到了正多面体的另一个重要结论：正多面体的边数和面数之和等于5接下来，我们可以考虑不同的情况来讨论正多面体的种类。
情况1：假设正多面体的面数为3，则p/q=1/3，代入k+n=5，得到k=4-n。
根据以上条件，考虑正多面体的可能性。
-当n=3时，k=1，即一个正四面体。
-当n=4时，k=0，但是没有边的多面体是不存在的。
因此，不存在4个面的正多面体。
-当n=5时，k=-1，同样由于没有负数个边的多面体，所以也不存在5个面的正多面体。
结论1：没有三个面的正多面体。
情况2：假设正多面体的面数为4，则p/q=1/2，代入k+n=5，得到k=5-n。
根据以上条件，考虑正多面体的可能性。
-当n=3时，k=2，即一个正六面体。
-当n=4时，k=1，即一个正四面体。
-当n=5时，k=0，即一个正十二面体。
结论2：存在一个4个面的正多面体，即正四面体；存在一个6个面的正多面体，即正六面体；存在一个12个面的正多面体，即正十二面体。
情况3：假设正多面体的面数为5，则p/q=2/5，代入k+n=5，得到k=5-n。
多面体的顶点数,面数,棱数之间的关系——欧拉公式的证明及应用
多面体的顶点数,面数,棱数之间的关系——欧拉公式的证明及应用多面体是一个非常普遍的几何物体，它具有多面性，广泛应用在各个领域，如建筑、计算机图形学以及数学等。
其中最著名的数学定理之一就是欧拉定理，也称作多面体欧拉定理。
该定理描述了多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系，它的证明和应用也具有重要价值。
欧拉公式是由18世纪著名的数学家Leonhard Euler发现的，他在1750年推导出这个关系。
欧拉公式表示V-E+F=2，其中V表示多面体的顶点数，E表示多面体的边数，F表示多面体的面数。
即欧拉公式为：顶点数－边数＋面数＝2。
欧拉公式的证明分两种情况进行。
首先，当多面体的每个面均为正三角形时，易得每个顶点共有3条边，故总的边数为3V，同时每个顶点的度数为3，总的度数为3V，则V-E=3V-3V=0，即V-E=0。
在此基础上，故有V-E+F=2。
其次，当多面体的每个面不一定为正三角形时，可以证明有每个顶点度数总和等于边数的两倍。
以此为基础，也可以证明V-E+F=2。
欧拉定理有广泛的应用，其中最重要的应用在几何图论中。
几何图论是一门处理图形的数学理论，它是描述不同图形间复杂关系的重要数学工具。
弗洛伊德定理便是凭借欧拉定理而获得的，弗洛伊德定理说明了连通图联通分量个数等于边数减去点数加2，这种复杂的关系也可以被欧拉定理解释。
此外，欧拉定理还在体积计算和空间拓扑学中发挥着重要作用，其应用可以说是无所不在。
欧拉公式的证明和应用见证了Euler在1750年对数学的探究，它也为更多的图论问题的解决奠定了基础。
随着对欧拉公式的研究，多面体的更多细节也渐渐被几何学家所发现，为更多的数学理论的发展提供了新的突破口。
综上所述，欧拉定理为研究几何图论提供了重要的理论基础，证明了多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系。
它对多面体的全面研究和理解起着重要作用，为解决几何问题提供了更多的可能性，这也是它被广泛研究和应用的重要原因。
欧拉公式简单推导
欧拉公式简单推导欧拉公式是一条著名的数学公式，它将自然常数e、虚数单位i以及三角函数cos和sin联系在一起。
欧拉公式的全称为欧拉-莫尔根公式，它由瑞士数学家欧拉和英国数学家莫尔根独立证明。
欧拉公式可以表示为e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)，其中x为任意实数。
这个公式看起来非常神奇，因为它将三种看似没有关系的数学概念联系在一起，而且它的结果还是一个复数，其中实部是cos(x)，虚部是sin(x)。
欧拉公式的推导可以从泰勒级数开始。
泰勒级数是一个无限求和的公式，可用于近似任意光滑函数。
对于在原点处光滑的函数f(x)，它的泰勒级数可以写成：f(x)=f(0)+f'(0)x+(1/2!)f''(0)x^2+(1/3!)f'''(0)x^3 +...其中，f'(x)表示f(x)的导数，f''(x)表示f(x)的二阶导数，以此类推。
现在，我们可以将泰勒级数应用于e^(ix)，其中i为虚数单位。
因为e^0=1，而e^ix的导数是ie^ix，二阶导数是-i^2e^ix=-e^ix，三阶导数是i^3e^ix=ie^ix，以此类推，我们可以得到e^(ix)的泰勒级数表示式：e^(ix)=1+ix-(1/2!)x^2-(1/3!)ix^3+(1/4!)x^4+(1/5!)ix^5-(1/6!)x^6-...接下来，我们可以按照奇偶项分别对e^(ix)进行整合：e^(ix)=(1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4-...)+i(x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-...)这两个式子分别是cos(x)和sin(x)的泰勒级数表示式，因此可以得到欧拉公式：e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)欧拉公式简单推导了自然常数e、虚数单位i以及三角函数cos和sin之间的关系。
这条公式的应用非常广泛，特别是在电路工程、物理学、信号处理、微积分等领域。
欧拉公式
欧拉公式(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。
（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。
欧拉公式的证明 整理
欧拉公式的证明着名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。
原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。
特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的）再抄一遍：??? 设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x =e^(iy)用牛顿幂级数展开式e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+......把 e^(iy) 展开，就得到e^z/e^x = e^(iy)=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)+i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny)即 e^(iy) = (cosy+isiny)方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。
着个才是根基。
由来缘于此。
方法一是不严格的。
再请看这2个积分∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;上式左边相当于下式左边乘以i于是上式右边相当于下式右边乘以i然后化简就得到欧拉公式这个证明方法不太严密但很有启发性历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式设a t θ ?R,ρ?R+,a^(it)?z有:a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1因共轭解适合方程,用-i替换i有:a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2由1,2得ρ=1,点P[a^(it)]在单位圆上,a^(it)可表达为:a^(it)=cosθ+isinθ 3设t=u(θ),对3微商有:[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=-sinθ+icosθ 整理有:[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=(cosθ+isinθ)(cosπ/2+isinπ/2)约去a^(it)有: u'(θ)=logae 44取积分有:T=(logae)*θ+Ψ 5θ→0时,t=limt=Ψ,带入3有:a^(iΨ)=1 即:Ψ=0 66代入5有:T=(logae)*θ 77代入3有:[a^(logae)]^(iθ)=cosθ+isinθ 化简得欧拉公式: e^(iθ)=cosθ+isinθ（后两者才是真正让我震惊的！！！！）。
几何学中的欧拉公式：V-E+F=2
⼏何学中的欧拉公式：V-E+F=2⼏何学中的欧拉公式：V-E+F = 2，V、E、F表⽰简单⼏何体的顶点数、边数、⾯数。
证明：它的证明有多种，这⾥呈现⼀种递归证法。
对于任意简单⼏何体(⼏何体的边界不是曲线)，我们考察这个⼏何体的每个⾯，设这个边成⼀个n边形，我们从某个固定顶点开始连接其其他各个顶点，即将这个n边形从某个顶点进⾏了三⾓剖分，我们假想每个三⾓形是⼀个⾯(因为实际上多个三⾓形共⾯)，那么能够看到，这个过程中E和F的增量是相同的，因此如果原来的⼏何体满⾜V-E+F = 2，则现在这个⼏何体(视每个三⾓形为⼀个⾯)仍然满⾜欧拉公式。
我们随机去掉⼀个⾯，则剖分后的⼏何体应满⾜V-E+F = 1.现在我们考察这个去掉⼀个⾯之后被三⾓形剖分的⼏何体，对于某个三⾓形，考察它的三个边(每条边都是被两个三⾓形共享)，会有如下的三种情况：(1)⼀个边所在的另⼀个三⾓形的那个⾯是空的。
(2)两个边所在的另⼀个三⾓形的那个⾯是空的。
(3)三个边所在的另⼀个三⾓形的那个⾯是空的。
那么下⾯我们开始⼀个“掏空过程”，为了分析的⽅便，我们不在⼀⽚没有被“掏空”的区域的内部去“掏空”某个三⾓形，直到最终剩余⼀个三⾓形，即我们避免了第三种情况。
⾯临情况(1)，我们掏空这个三⾓形，发现边数、⾯数各减1，V-E+F的值将不发⽣变化。
⾯临情况(2)，我们掏空这个三⾓形，我们发现会出现两种情况，分为顶点数减1和不变的情况(想象⼀下)，我们⾮常喜欢前⾯这种情况，因为这使得边数减2、顶点减1、⾯数减1，这会使得V-E+F不变，这⼗分有利于我们继续进⾏递归的等价转化。
那么如何应对这种情况呢？还记得我们⼀开始随机掏空的那个三⾓形么，容易看到它必然由三个三⾓形围起来，即分享这个被掏空的三⾓形的三个边的三⾓形，我们标号为1、2、3，⽽这三个三⾓形中间势必会夹着三个三⾓形，我们记为4、5、6，我们采取的策略是先掏空1、2、3，然后掏空4、5、6，这样将会保证V-E+F不变，同时我们将1、2、3、4、5、6视为第⼀层“堡垒”，对于第⼆层，想⼀想，是否也是相同的状况(掏空4、5、6⼜会得到三个情况(1)中的三⾓形)？这就保证了我们递归的正确性。
欧拉公式数论
欧拉公式数论
欧拉公式是数论中的一项重要公式，也被称为欧拉-莫比乌斯公式。
它描述了自然数的质因数分解性质。
具体地说，欧拉公式表明，对于任何正整数n和任何正整数a，如果a和n互质（即它们没有共同的质因数），那么a的欧拉函数φ(n)与n的最大公约数gcd(a,n)的乘积等于n。
欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。
例如，φ(4)=2，因为小于或等于4的正整数中，只有1和3与4互质。
欧拉公式的证明基于数论中的欧拉定理，即a的φ(n)次幂与a mod n同余。
欧拉公式在密码学中得到广泛应用，特别是在RSA 加密算法中。
除了欧拉公式之外，欧拉还做出了许多其他重要的数论贡献，如欧拉函数、欧拉常数、欧拉-马斯刻罗尼常数等。
欧拉的工作对数学的发展做出了巨大的贡献，在数论、微积分、物理学、力学等领域都有重要的应用。
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离 散 数 学
北 京 工 业 大 学 软 件 学 院 张 丽
示例1
• 证明K3,3是非平面图 • 证明 由于K3,3是完全二部图，因此每条回路 由偶数条边组成， 而K3,3又是简单图，所以如果K3,3是平面图， 其每一个区域至少由4条边围成， 于是有 2m≥4r 或 r≤m/2 。 代入欧拉公式后可得 2n－4≥m。 K3,3中，n=6，m=9，不满足上述不等式， 所以K3,3不是平面图。
• 设图G是具有n(≥3)个顶点、m条边 的无向连通平面图， •则
3n- 6≥m
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推论证明
• 由于G是简单图，因此G中每一个区域 至少由3条边围成， • 若G中有r个区域，围成r个区域总边数 为2m(因为每条边都作为两个相邻区域 的公共边，被计算了两次)。 • 所以有 2m≥3r 或 r ≤ 2m/3 • 代入欧拉公式后得 n - m+ 2m/3 ≥ 2 从而得到 3n－6≥m
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证明（续）
由此可得 6n－12≥ (n-1)n/2 整理后得 n2 - 13n+24≤0
或 n2 - 13n+22≤0
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(n - 11)(n - 2)<0
由此可得n<11，这和假设n≥11矛盾，证毕。
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B A G F J
离 散 数 学
• 证明彼得逊图 是非平面图。
欧拉公式证明（续）
• 把具有n个顶点，m条 边和r个区域的连通平 面图记作G(n,m,r)。 • 在G(n,m,r)中添加一条 边后，增加了一个顶点 但没增加区域数 • 构成图G(n+1,m+1,r)， 欧拉公式仍然成立 • 证毕。
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欧拉公式推论
离 散 数 学
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欧拉公式证明（续）
• 把具有n个顶点，m条 边和r个区域的连通平 面图记作G(n,m,r)。 • 在G(n,m,r)中原有的 两点中添加一条边， 增加一个区域 • 构成图G(n,m+1,r+1), 欧拉公式成立
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平面图例1
• 设G是至少有11个顶点的无向简单连通平面图， 证明G的补图~G一定是非平面图。 • 证明 设图G有n个顶点(n≥11)，m条边，显然 其补图~G 有n个顶点、(n-1)n/2-m条边。 用反证法，设补图~G也是平面图， 则有 3n – 6 ≥ (n-1)n/2-m 图G是连通简单平面图，所以有 3n – 6 ≥ m
平面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ示例
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非平面图示例
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非平面图示例
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区域
• 平面图的边把平面图 划分成的块 • 例如
– 平面图将平面划分成4 个区域 – R1、R2、R3是有限区域 – R4是无限区域
二度同构
• 如果两个图是由同一个图的边上插 入一些新的顶点(它一定是2度点)而 得到的， • 则称这两个图是二度同构的。
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二度同构
离 散 数 学
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库拉托夫斯基定理
• 一个图是平面图的充分必要条件是 该图不包含二度同构于K5或K3,3的 子图。
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欧拉公式证明（续）
• 设当连通平面图具有m条边时，欧拉公 式成立。 • 一个具有m+1条边的连通平面图，删去 一条边后，仍然是平面图。 • 把具有m+1条边的连通平面图看作是由 含m条边的连通平面图添加一条边后构 成的。
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欧拉公式证明（续）
可能有三种不同的结构。
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欧拉公式证明（续）
• 把具有n个顶点，m条 边和r个区域的连通平 面图记作G(n,m,r)。 • 在G(n,m,r)中原有的 两点中添加一条边， 增加一个区域 • 构成图G(n,m+1,r+1), 欧拉公式成立
图论—平面图
离散数学
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平面图
• 如果能把一个图在平面上画成除端 点外，任何两边都不相交， • 则称此图为可平面的， • 或称平面图。
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平面图示例
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R1 R3 R4
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R2
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欧拉公式
• 设图G是无向连通平面图， • 它具有n个顶点，m条边和r个区域， •则
n - m + r = 2
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欧拉公式证明
• 用归纳法，对边数进行归纳。 • 当图中仅有一条边时，有两种结构， 一是有两个邻接点和一条关联这两顶点 的边， 易知n=2，m=1，r=1(仅有一个无限区 域)，所以欧拉公式n-m+r=2成立； 另一种是由一条自由回路构成的图，这 时n=1，m=1，r=2，所以欧拉公式成立。
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非平面图证明例2
• 证明所示图是非平面图。 • 证明 把图中的边ED删去后，所得 的子图就是K3,3 ，所以此图是非平 面图。 B
A
B C A F C
离 散 数 学
E
D F E D
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非平面图证明例3
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证明
• 证明具有5个顶点的无向完全图K5 是非平面图 • 证明 因为在K5中顶点数n=5，边 数m=10，3n – 6 = 9<m， 不满足平面图的必要条件， 所以K5是非平面图。
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