课时跟踪检测 (三十二) 弧 度 制

课时跟踪检测 （三十二） 弧 度 制

层级(一) “四基”落实练 1．600°化为弧度数为( ) A.10

3π B ．

11π

3 C.5π3

D ．

13π

6

解析：选A 根据1°＝

π180弧度，600°＝600×π180＝10π3

. 2．下列终边相同的角是( ) A ．k π＋π2与k π

2，k ∈Z

B ．k π＋π3与k π

3，k ∈Z

C ．k π＋π6与2k π±π

6，k ∈Z

D ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z

解析：选D ∵2k ＋1与4k ±1，k ∈Z 都表示奇数， ∴(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z 表示终边相同的角． 3．半径为1，圆心角为2π

3的扇形的面积是( )

A.4π3 B ．π C.2π3

D ．π3

解析：选D S ＝12lr ＝12r 2α＝12×12×2π3＝π

3

.

4.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S 1，圆面中剩余部分的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为

5－1

2

≈0.618(黄金分割比)时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为( )

A ．127.50°

B ．137.50°

C ．147.50°

D ．150.50°

解析：选B 由题意知，S 1与S 2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设S 1与S 2所在扇形圆心角分别为α，β，

则α

β＝5－12

≈0.618， 又α＋β＝360°，∴α＋α0.618≈360°，

解得α≈137.50°.

5．(多选)扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．4

D ．5

解析：选AC 设扇形的半径为r ，弧长为l ，

则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧

2r ＋l ＝6，12lr ＝2，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝4，r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧

l ＝2，r ＝2.

当⎩

⎪⎨⎪⎧ l ＝4，r ＝1时，其圆心角的弧度数α＝l

r ＝4； 当⎩

⎪⎨⎪⎧

l ＝2，r ＝2时，其圆心角的弧度数α＝l r ＝1. 6．把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π))的形式是________． 解析：法一：∵－570°＝－⎝⎛⎭⎫570×π180rad ＝－19

6π rad ， ∴－196π＝－4π＋5

6

π.

法二：∵－570°＝－2×360°＋150°， ∴－570°＝－4π＋56π.

答案：－4π＋5

6

π

7.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合为__________________________．

解析：因为30°＝π6，210°＝7π

6

，

这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π

6，k ∈Z ，而

终边在y 轴上的角为β＝k π＋π

2

，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为

⎩⎨⎧

θ⎪⎪⎭

⎬⎫

k π＋π6<θ

答案：⎩

⎨⎧

θ⎪

⎪⎭

⎬⎫

k π＋π6<θ

7π，周长为5π＋14，则扇形OAB 的面积为________．

解析：设扇形的半径为r ，∵圆心角为57π，∴弧长l ＝5

7πr ，

∵扇形的周长为5π＋14，∴5

7

πr ＋2r ＝5π＋14，

解得r ＝7，由扇形的面积公式得S ＝12×57π×r 2＝12×57π×49＝35π

2.

答案：

35π

2

9．已知角α＝2 010°.

(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z ,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 解：(1)2 010°＝2 010×

π180＝67π6＝5×2π＋7π

6

， 又π＜7π6＜3π2，∴α与7π

6终边相同，是第三象限的角．

(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π

6＋2k π(k ∈Z )，

又－5π≤γ＜0，

∴当k ＝－3时，γ＝－29

6π；

当k ＝－2时，γ＝－17

6π；

当k ＝－1时，γ＝－5

6

π.

10．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度． (1)求这个圆心角所对的弧长； (2)求这个扇形的面积．

解：(1)如图，过O 作OD ⊥AB 于D ， 则D 为AB 的中点， 所以AD ＝1

2

AB ＝1，

∠AOD ＝1

2∠AOB ＝1 rad ，

所以扇形的半径OA ＝1

sin 1.

由弧长公式l ＝|α|r ，得l ＝2×

1sin 1＝2sin 1

. (2)由扇形面积公式S ＝1

2lr ，得

S ＝12×2sin 1×1sin 1＝1sin 21.

层级(二) 素养提升练

1．集合αk π＋π4≤α≤k π＋π

2

，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )

解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π

2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈

Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π

2

，m ∈Z ，故选C.

2.某广告公司制作一块扇环形的广告牌(如图)，测得该扇环AB 的长为6米，CD 的长为2米，AD 与BC 的长均为2米，则该扇环的面

积为________平方米．若每平方米制作费用为200元，则此广告牌的制作费用是________元．

解析：设扇环的圆心角为θ，小扇形的半径为r ， 则大扇形的半径为r ＋2，

则⎩⎪⎨⎪⎧ rθ＝2，(r ＋2)θ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧

r ＝1，

θ＝2.

∴扇环的面积S ＝12×32×2－1

2×12×2＝8(平方米)．

∴广告牌的制作费用是8×200＝1 600元． 答案：8 1 600

3．已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的