高中物理必修二机械能守恒应用(和抛体运动、圆周运动结合)

学科教师辅导教案
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一）例题解析
1.(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
二）相关知识点讲解、方法总结
机械能守恒定律的理解
1．对机械能守恒条件的理解
机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功。

可分以下三层理解：
(1)只受重力作用：如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动(自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛等)。

(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功，例如：
①物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力作用，但曲面的支持力对物体不做功。

②在光滑水平面上运动的小球碰到弹簧，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来。

(3)除重力和弹力之外，还有其他力做功，但其他力做功的总和为零，系统机械能没有转化为其他形式的能，物体的机械能不变，这不是真正的守恒，但也可以当做守恒来处理。

2．机械能守恒的判断方法
(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化。

(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。

(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。

特别提醒
(1)系统所受到的合外力为零时，系统机械能不一定守恒。

如当物体在做竖直向上、向下方向匀速直线运动时，所受到的合外力为零，但机械能不守恒。

(2)系统所受到的合外力不为零，但不做功或做功为零时，系统机械能不一定守恒。

例如图中，带正电的离子在复合场(匀强电场、匀强磁场和重力场)中，若重力和电场力相等，洛伦兹力提
供向心力，离子在竖直平面内做匀速圆周运动。

物体的动能不变，但物体重力势能发生变化，故机械能不守恒。

(3)对于绳子突然绷紧、非完全弹性碰撞的问题机械能必定不守恒。

3．机械能守恒定律三种守恒表达式的比较
特别提醒
(1)系统的机械能守恒是指在整个过程中系统的机械能始终不变(不仅仅是初状态和末状态的机械能相等)，但在应用机械能守恒定律解决问题时，只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑中间过程的细节变化。

(2)应用守恒观点时需要规定重力势能的零势能面，应用转化观点或转移观点时则不必规定重力势能的零势能面，只关注势能的变化量即可。

(3)机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内，说某个物体机械能守恒是忽略地球这一物体的习惯说法。

三）巩固练习
1．（2018春•抚州期末）如图所示，在竖直平面内，由倾斜轨道AB、水平轨道BC和半圆形轨道CD连接而成的光滑轨道，AB与BC的连接处是半径很小的圆弧，BC与CD相切，圆形轨道CD的半径为R．质量为m的小物块从倾斜轨道上距水平面高为h=2.5R处由静止开始下滑。

求：
（1）小物块通过B点时速度v B的大小。

（2）小物块通过圆形轨道最低点C 时对轨道的压力F 。

考点二：机械能守恒定律的基本应用
一）例题解析
1.如图所示，半径为R 的光滑半圆轨道ABC 与倾角θ＝37°的粗糙斜面轨道DC 相切于C ，圆轨道的直径AC 与斜面垂直。

质量为m 的小球从A 点左上方距A 高为h 的斜上方P 点以某一速度水平抛出，刚好与半圆轨道的A 点相切进入半圆轨道内侧，之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与抛出点等高的D 处。

已知当地的重力加速度为
g ，取R ＝50
9
h ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力，求：
(1)小球被抛出时的速度v 0；
(2)小球到达半圆轨道最低点B 时，对轨道的压力大小； (3)小球从C 到D 过程中克服摩擦力做的功W 。

二）相关知识点讲解、方法总结
机械能守恒定律的基本应用
1．应用机械能守恒定律解题的基本思路和步骤
(1)选取研究对象：确定研究对象是单个物体，还是多个物体组成的系统，其中是否包含有弹簧。

(2)进行受力分析：分析研究对象在运动过程中的受力情况，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒。

(3)选取零势能面：确定研究对象在初、末状态的机械能，E ＝E k ＋E p 。

(4)列方程：根据机械能守恒定律选取三种表达式中合乎题意的情况列出方程。

(5)解方程验结果：解出方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明。

2．机械能守恒定律与动能定理的比较
机械能守恒定律
动能定理
不同点
适用条件只有重力或弹力做功
没有条件限制，它不但允许
重力和弹力做功，还允许其
他力做功
分析思路
只需分析研究对象初、末状
态的动能和势能
不但要分析研究对象初、末
状态的动能，还要分析所有
外力所做的功
研究对象一般是物体组成的系统一般是一个物体(质点)
书写方式
有多种书写方式，一般常用
等号两边都是动能与势能的
和
等号左边一定是合力的总
功，右边是动能的变化
相同点
(1)思想方法相同：机械能守恒定律和动能定理都是从做功
和能量转化的角度来研究物体在力的作用下状态的变化。

(2)表达这两个规律的方程都是标量式
特别提醒
(1)列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。

(2)应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。

(3)机械能守恒定律是一种“能能转化”关系，而动能定理是一种“功能转化量度”关系，列方程时要注意二者的角度不同。

同时，机械能守恒定律是有条件的，而动能定理没有条件限制。

三、两(多)物体系统机械能守恒问题
求解这类问题的方法是首先找到两(多)物体的速度关系从而确定系统动能的变化，其次找到两(多)物体上升或下降的高度关系从而确定系统重力势能的变化，然后按照系统动能的变化等于重力势能的变化列方程求解。

其中寻找两(多)物体的速度关系是求解问题的关键，按两(多)物体连接方式和速度关系一般可分为如下三种：
(1)速率相等的连接体：如图甲所示，A、B在运动过程中速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。

(2)角速度相等的连接体：如图乙所示，一轻质细杆的两端分别固定着A、B两小球，O点是一垂直纸面的光滑水平轴，A、B在运动过程中角速度相等，其线速度的大小与半径成正比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。

(3)某一方向分速度相等的连接体：如图丙所示，A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的速度v沿绳子和垂直绳子分解，如图丁所示，其中沿绳子的分速度v x是与A的速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。

三）巩固练习
1．（2017•惠州模拟）如图所示，一个半径为R=1.00m的粗糙圆弧轨道，固定在竖直平面内，其下端切线是
水平的，轨道下端距地面高度为h=1.25m在轨道末端放有质量为m B=0.05kg的小球（视为质点），B左侧轨道下装有微型传感器，另一质量为m A=0.10kg的小球A（也视为质点）由轨道上端点从静止开始释放，运动到轨道最低处时，传感器显示读数为2.6N，A与B发生正碰，碰后B小球水平飞出，落到地面时的水平位移为s=1.00m，不计空气阻力，重力加速度取g=10m/s2．求：
（1）小球A运动到轨道最低处时的速度大小
（2）小球A在碰前克服摩擦力所做的功；
（3）A与B碰撞过程中，系统损失的机械能。

（四）本节综合练习
1．（2017春•辛集市校级期中）如图所示，竖直光滑的固定杆子上套有一滑块A，滑块通过细绳绕过光滑滑轮连接物块B，B又通过一轻质弹簧连接物块C，C静止在地面上．开始用手托住A，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，现将A由静止释放，当A、B速度达到最大时，C也刚好同时离开地面（此时B还没有到达滑轮位置）．已知：m A=1.2kg，m B=m C=1.0kg，滑轮与杆子的水平距离L=0.8m，g取10m/s2．试求：
（1）A下降多大距离时速度最大？
（2）弹簧的劲度系数k；
（3）A的最大速度是多少？
2．（2018春•双阳区校级期中）质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示。

现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：
（1）小球P的速度大小；
（2）在此过程中杆对小球P做的功。

（五）课堂总结
三、出门测（共10分）
1．（2017春•鼓楼区校级期末）如图所示为一细圆管构成的圆轨道，固定在竖直平面内，轨道半径为R=0.8m
（比细圆管的半径大得多），OB水平，OC竖直，最高点为C，细圆管内壁光滑．在B点正上方某位置有一质量为m=0.2kg的小球（可视为质点）由静止开始下落，刚好从B点进入细圆管内运动．小球经C点射出后又恰能从B点射入圆管内，已知细圆管的内径稍大于小球的直径，不计空气阻力．重力加速度
g=10m/s2．求：
（1）小球在C点时对轨道的压力N；
（2）A、B两点的高度差h．
四、练一练
1．（2018春•福州期末）如图所示，水平光滑桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B 点。

水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.5m的圆剪去了左上角135°的圆弧，MN 为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离为h=1.25m。

用质量m=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块飞离桌面并由P点沿切线落入圆轨道。

g=10m/s2，求：
（1）物块到达P点时的速度v P=？
（2）弹簧把物块弹出过程释放的弹性势能E P =？ （3）通过计算判断m 能否沿圆轨道到达M 点。

2．（2016春•海淀区校级期末）如图所示，位于竖直平面上的圆弧光滑轨道，半径为R ，OB 沿竖直方向，上端A 距地面高度为H ，质量为m 的小球从A 点由静止释放，最后落在地面上C 点处，不计空气阻力，求： （1）小球刚运动到B 点时，对轨道的压力多大？ （2）小球在落地点C 的速度有多大？
（3）比值为多少时，小球落地点C 与B 点水平距离S 最远？
3．（2018•延庆县一模）一滑块（可视为质点）经水平轨道AB 进入竖直平面内的四分之一光滑圆弧形轨道BC ．已知滑块的质量m=0.60kg ，滑块经过A 点时的速度v A =5.0m/s ，AB 长x=4.5m ，滑块与水平轨道间的动
摩擦因数μ=0.10，圆弧形轨道的半径R=0.60m 。

取g=10m/s 2
．求 （1）滑块经过B 点时速度的大小； （2）滑块经过C 点时速度的大小；
（3）滑块刚刚滑上圆弧形轨道时，对圆弧轨道上B 点压力的大小；
参考答案： 考点一： 例1.[答案] BD
巩固1.答：（1）小物块通过B 点时速度v B 的大小为。

（2）小物块通过圆形轨道最低点C 时对轨道的压力F 为6mg 。

考点二：
例1.[答案] (1)432gh (2)5.6mg (3)16
9
mgh
巩固1.答：（1）小球A运动到轨道最低处时的速度大小是4.00m/s。

（2）小球A在碰前克服摩擦力所做的功是0.20J；
（3）A与B碰撞过程中，系统损失的机械能是0.25J。

综合练习：
1.答：
（1）A下降0.6m时速度最大；
（2）弹簧的劲度系数为100N/m．
（3）A的最大速度是m/s．
2.答：（1）小球P的速度大小为；
（2）在此过程中杆对小球P做的功为mgL。

出门测：
1.答：（1）小球在C点时对轨道的压力N为；
（2）A、B两点的高度差h为．
综合练习：
1.答：（1）物块到达P点时的速度v P=5m/s；
（2）弹簧把物块弹出过程释放的弹性势能E P=2.5J；
（3）通过计算m能沿圆轨道到达M点。

2.答：
（1）小球刚运动到B点时，对轨道的压力是3mg．
（2）小球在落地点C的速度为．
（3）比值为时，小球落地点C与B点水平距离S最远．
3.答：（1）滑块经过B点时速度的大小是
4.0m/s；
（2）滑块经过C点时速度的大小是2.0m/s；
（3）滑块刚刚滑上圆弧形轨道时，对圆弧轨道上B点压力的大小是22N；。