离散时间信号的时域分析

m=0
N −1
n
圆周卷积
yC [n] = ∑ x1[m]x2 [〈 n − m〉 N ]
m=0
N −1
以 x1[n]N x2 [n] 来表示。 1. 图示法：长度为N的序列均布在一个圆上，其 时间反转序列均布在另一个圆上，两圆为同心圆， 将对应样本的乘积求和运算，即得到yC[n]。 2. 列表法
Matlab中用cconv实现
is ε y = ryy [0 ] the energy of the x [n]
ε x = rxx [0 ] the energy of the y [n] is
| rxx [l ] |≤ rxx [0] = ε x
当l=0时，自相关序列具有最大的样本值
l 相关的归一化形式
自相关： 互相关：
ρ xx [l ] = ρ xy [l ] =
上采样器（采样率扩展器） 下采样器（采样率压缩器）
x[ n ]
L
xu [n]
x[n]
M
y[ n]
上采样过程图示
下采样过程图示
卷积和：
y[n] =
k = −∞
∑ x[k ]h[n − k ] = ∑ x[n − k ]h[k ]
k = −∞
∞
∞
卷积和的性质： ⎧交换率（communicative）：x1 [ n ] ∗ x2 [ n ] = x2 [ n ] ∗ x1 [ n ] ⎪ ⎪ ⎨结合率（associative）： ( x1 [ n ] ∗ x2 [ n ]) ∗ x3 [ n ] = x1 [ n ] ∗ ( x2 [ n ] ∗ x3 [ n ]) ⎪ ⎪ ⎩分配率（distributive）： ( x1 [ n ] + x2 [ n ]) ∗ x3 [ n ] = x1 [ n ] ∗ x3 [ n ] + x2 [n ] ∗ x3 [n ]
% % [n] y [n − l ] ∑x
n=0
N −1
% % [n]x [n − l ] ∑x
n =0
N −1
⎯⎯ → 可用于确定受到加性随机噪声干扰的周期信号的周期
l
有限长序列的圆周移位（循环移位）
n
模运算
n为任意整数，整数r为m模N的余数，则模运 算表示为
r = 〈 m〉 N = m mod N ,
xcorr(x,y)
xcorr(x)
相关与卷积和的关系：
rxy [l ] =
n = −∞
∑ x[n] y[n − l ] = ∑ x[n] y[−(l − n)] = x[l ] ∗ y[−l ]
n = −∞
∞
∞
x[ n ]
y[ − n ]
rxy [ n ]
x[ n ]
x[ − n ]
rxx [ n ]
例：
0 ≤ r ≤ N −1
14 7 = 0
25 7 = 4,
− 16 7 = 5,
Matlab中用mod函数实现
n
序列的圆周移位
从理论上说，在0~N-1之外的时刻，x[n]=0。这就 产生了一个问题，如果按照一般的时移规则，x[n-q] 意味着序列有一部分移到了0~N-1之外(红色虚线内为 截取范围，通常称为以N为模)：
x[n] = x*[-n] x[n] = -x*[-n]
任何复序列可分成共轭对称和共轭反对称两序列 ： x[n] = xcs [n] + xca [n] xcs [n] = x[n] + x ∗ [-n] / 2; xca
∗
( ) [n] = (x[n] − x [-n])/ 2.
实偶（even）序列： 实奇（odd）序列 ：
y[n]
ω2 [n] = x[n] + y[n]
z −1
ω4 [n] = x[n − 1]
x[n]
ω3[n] x[n]
ω3[n] = Ax[n]
ω4 [n]
x[n]
z
ω5[n] = x[n + 1]
ω5[] x[n]
x[n] x[n]
序列基本操作的示意图 (A) 相乘；(B)相加；(C)数乘；(D)单位延时；(E)单位推进和；(F)触点
h[ − k ]
zn
h[n − k ] x[k ]
v[k ]
∑
k
y[n]
Matlab函数： conv(x,y)
信号的相关
l 相关的定义
互相关： rxy [l ] =
n = −∞
∑ x[n] y[n − l ]
∞ xy
∞
x[n]，y[n]为能量信号，l称为时延。 ryx [l ] =
n = −∞
∑ y[n]x[n − l ] = ∑ y[m + l ]x[m] = r
注意：两序列长 度需相等！
3. 矩阵形式
yC [n] = x1[n]N x2 [n]
⎡ yC [0] ⎤ ⎡ x2 [0] x2 [ N − 1] x2 [ N − 2] ⎢ ⎥ ⎢ y 1 x2 [0] x2 [ N − 1] [ ] ⎢ C ⎥ ⎢ x2 [1] ⎢ yC [ 2] ⎥ = ⎢ x2 [ 2] x2 [1] h [0] ⎢ ⎥ ⎢ M M M M ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y [ N − 1]⎥ ⎢ x [ N − 1] x [ N − 2] x [ N − 3] 2 2 ⎣ C ⎦ ⎣ 2 （循环矩阵，circulant matrix） L L L O L x2 [1] ⎤ ⎡ x1 [0] ⎤ ⎥⎢ ⎥ x2 [2]⎥ ⎢ x1 [1] ⎥ x2 [3]⎥ ⎢ x1 [ 2] ⎥ ⎥⎢ ⎥ M ⎥⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ x2 [0]⎥ ⎦ ⎣ x1 [ N − 1]⎦
N=11
x[ n −3] ⎯⎯ ⎯→
按照一般的时移规则，显然会造成截断离散时间 信号的失真。解决方法：采用圆周移位的方式。 两种计算方法： 1. 是将原信号移出0~N-1范围的再重叠回来，相当 于原信号绕着圆周转。 2. 将原信号按照周期N展开成无限长序列，移位 后，再截断为长度N的信号。
Matlab中用circshift实现
rxx [l ] rxx [0] rxy [l ] rxx [0]ryy [0]
x[n] = [1 3 − 2 1 2 − 1 4 4 2] y[n] = [2 − 1 4 1 − 2 3]
rxy [n]
60 40
rxx [!]
Amplitude
rxx [0]最大
20 0 -20 -5 0 Lag index 5
x[n]
b0
z −1
y[n]
a1
z −1
b1
b2
x[n − 1]
z −1
y[n − 1]
a2
z −1
x[n − 2]
y[n − 2]
l 采样率转换
ʹ 设原采样率为FT，转换后的采样率为FT ʹ FT 采样转换比： R = FT 插值（Interpolation）： R > 1 抽取（Decimation）： R < 1 上采样（Upsampling）： ⎧ x[n / L ], n = 0,± L,±2 L,! xu [n] = ⎨ otherwise ⎩0 下采样（Downsampling）： y[n] = x[nM ]
m = −∞
∞
[−l ]
自相关： rxx [l ] = rxx [0] =
∞ n = −∞
∑ x[n]x[n − l ]
∞
n = −∞
2 ( ) x [ n ] 为x[n]的能量；rxx [l ] = rxx [−l ] ∑
自相关和互相关序列的性质
| rxy [l ] |≤ rxx [0]r yy [0] = ε x ε y
l 2.1.3 序列的分类
l 按序列长度分
有限长序列： {x[n]}, N1 ≤ n ≤ N 2 ⎧双边序列： {x[n]}, − ∞ ≤ n ≤ ∞ ⎪ 无限长序列： ⎨左边序列： x[n] = 0, n > N 2 ⎪右边序列： x[n] = 0, n < N 1 ⎩
l 按对称性分
共轭对称序列（conjugate − symmetric） : 共轭反对称序列（ conjugate − antisymmetric） :
基本操作的结合
y[n] = α1 x[n]+ α 2 x[n − 1]+ α 3 x[n − 2]+ α 4 x[n − 3]
x[n]
α1
z
−1
x[n − 1]
z
−1
x[n − 2]
z
−1
x[n − 3]
α4
α2
α3
y[n]
y[n] = b0 x[n]+ b1 x[n − 1]+ b2 x[n − 2]+ α1 y[n − 1]+ α 2 y[n − 2]
第一讲 离散时间信号的时域分析
浙江大学光电科学与工程学院 胡慧珠 huhuizhu2000@
2.1 离散时间信号
l 2.1.1 时域表达方式
实序列：
{x[n]}= { !,1,2, 3,4,5,!} ↑
x[n] = xa (t ) t =nT = xa (nT ), n = ! − 2,−1,0,1,2,!
圆周卷积与线性卷积的性质对比
圆周卷积 是针对有限长序列引出的 一种计算方法
线性卷积 信号通过线性系统时，信号 输出等于输入与系统单位冲 激响应的卷积
两序列长度必须相等， 两序列长度可以不等。 圆周卷积与线性卷积的关系？ 不等时按要求补足零值点。 如x1(n)为 N1点， x2(n)为 N2点 卷积结果长度 与两 信号长度相等皆为N 卷积结果长度为 N=N1+N2-1