流体力学第三章

y
1 2
(x2
y2) x
1 2
x(x2
y2)
ay
v t
u
v x
v
v y
0
xy(x)
1 2
(x2
y 2 ) ( y)
1 2
y( y2
x2)
欧拉法与拉格朗日法比较
★ 拉格朗日法可以描述流场中各个质点的运动轨迹和轨 迹上运动参量的变化，但是流体具有易流动性，对每一个 质点的跟踪十分困难。
★ 欧拉法给出不同时刻流场中各个空间点的流动参量的 分布，通过连续函数的理论对流场进行分析和计算；不 注重各个质点的运动轨迹。
欧拉法
欧拉法：在固定的座标系中，研究空间某个点的流动参数 （速度、压力、密度），并给出这些参数与空间点和时间 的分布：
速度：u=u (x, y, z, t)， v=v (x, y, z, t)， w=w (x, y, z, t)
压力：p=p (x, y, z, t) 密度：ρ=ρ(x, y, z, t)
由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量(如速度、 加速度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。根据着眼点的 不同，流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉 格朗日（Lagrange）方法，另一种是欧拉（Euler）方法。
拉格朗日法：
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质点 着手来研究整个流体运动的。
第三章 理想流体动力学基本方程
理想流体： 不计粘性切应力的运动流体
一元流动： 流动参数主要跟一个座标方向 有关的流动
本章讨论理想流体的基本方程及 在一元流动中的基本应用
流体运动学
流体动力学是研究流体在运动中其流动参量之间 的相互关系，以及引起运动的原因和流体对周围固体 物体的影响。
流动参量：压力 密度 表面张力 速度 应力 作用力 粘度 力矩 动量 能量
ay
v t
u
v x
v
v y
w
v z
az
w t
u
w x
v
w y
w w z
• 定常流与非定常流
概念：
定常流动： 0 t
非定常流动
一元流动
二元流动（平面流动） 三元流动（空间流动）
• 例题
V
xyi
1
(x2
y
2
)
j
2
即u xy, v 1 (x2 y2 )
2
ax
u t
u
u x
v
u y
xy
流体运动学
研究方法：从理想流体出发，推导其基本理论， 再根据实际流体的条件对其应用加以修正。
流场：流体占据的全部空间范围。经过管道或明 渠的流场叫“管道流场”或“径流流场”；绕过物体 的流场叫“绕流流场”
§3-1 描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流 体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。 我们把流体质点运动的全部空间称为流场。
• 速度分布
设某个质点，t 时刻位于（x, y, z），
速度为：
V0 (x, y, z,t)
t+Δt 时刻位于(x+Δx, y+Δy, z+Δz, t+Δt),
速度为： V1(x x, y y, z z,t t)
V0和V1的关系为
V
V
V
V
V1 V0 t t x x y y z z
加速度（质点导数）
a lim V1 V0
( to ) t
而
V1
V0
V t t
V x x
V y y
V z z
注意到 因此
lim x u, lim y v, lim z w
t0 t
t0 t
t0 t
a
dV
V
u
V
v
V
w
V
V
(V
)V
dt t x y z t
右边第一项为当地加速度，又称当地导数、时变加速度或局部 加速度，后三项为迁移加速度，又称迁移导数、对流加速度。
欧拉法与拉格朗日法比较
由上述可知，采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格 朗日法优越，其原因有三。 利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。 采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是 二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二 阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程 求解容易。 在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。 基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。 当然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问 题中还是方便的。
当地加速度是由于某一空间点上的流体质点的速度随 时间的变化而产生的
迁移加速度是某一瞬时流体质点的速度随空间点的变 化而产生的。
当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。
两个加速度的物理意义：
如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截 面管道，截面2比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的 速度大。所以当流体质点从1点流到2点时，由于截面的收 缩引起速度的增加，从而产生了迁移加速度，如果在某一段 时间内流进管道的流体输入量有变化（增加或减少），则管 道中每一点上流体质点的速度将相应发生变化（增大或减 少），从而产生了当地加速度。
t
v y(a, b, c,t) , t
w z(a, b, c,t) t
加速度：
ax
2x(a,b, c,t) t 2
,
ay
2 y(a,b, c,t) t 2
,
az
2z(a,b, c,t) t 2
欧拉法
欧拉法，又称局部法，是从分析流场中每一个固定空 间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运 动，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随 时间的变化规律。所以流体质点的流动是空间点坐标 （x，y，z）和时间t的函数，
流场有无数个质点，设其中某一质点t=0时的位置为（a,b,c），称为拉
格朗日变数，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。将座标原点 建在该质点，则对于任意的流体质点在t时刻：
轨迹：x=x (a, b, c, t), y=y (a, b, c, t), z=z (a, b, c, t)
速度：u x(a,b, c,t) ,
图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动
注意：流体质点和空间点是两个截然不同的概念，
空间点指固定在流场中的一些点 流体质点不断流过空间点 空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。
加速度的投影值：aFra bibliotekxi ay
j
az
k
u u u u ax t u x v y w z
这种研究方法，最基本以研究个别流体质点的运动为基础； 研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。
在理论力学中应用：
设某质点的轨迹为：x=x(t), y=y(t), z=z(t)
速度： u x , v y , w z
t
t
t
加速度：
ax
2 t
x
2
,
ay
2 y t 2
,
az
2z t 2
拉格朗日法