直齿圆柱齿轮变位系数、公法线长度、齿厚、最小法向侧隙的计算

外啮合直齿圆柱齿轮变位系数、

公法线长度、

齿厚、

最小法向侧隙的计算

1，直齿圆柱齿轮变位系数计算：

Case1：

a，此处例子仅计算用齿条型刀具加工时的情况（插齿刀加工见相关手册公式）：

小结：由此可知本例选取的齿数在不变位的情况也不会产生根切现象。

b，根据下图选择大小齿轮的变位系数和x∑。

本例在P6-P7区间取值。即齿根及齿面承载能力较高区，进行选择。

因大小齿轮的齿数和为18+19=37。

所以本例选择的变位系数和x∑=0.8。

本例我们的两个齿轮在工作时属于减速运动，所以按减速运动的变位系数分配线图，进行2个齿轮的变位系数的选择。

先按(z1+z1)/2=18.5，作为横坐标，做一条垂线（图中蓝色的线），

再按x∑/2=0.4，作为纵坐标，做一条水平线（图中橙色的线），

接着沿着L线的趋势，穿过上面2条线的交点做一条射线（图中红色的线）

最后按大小齿轮的齿数做相应的垂线（图中紫色的线），即得到需要的各自变位系数。

最后我们选择的变位系数即为：小齿轮x1=0.42，大齿轮x2=0.38。【基本保障其和与之前x ∑一致，即可】。

c，验算变位后的齿顶厚度：

注：一般要求齿顶厚Sa≥0.25m；对于表面淬火的齿轮要求Sa≥0.4m

下表中的da的计算见后面的计算表格中的计算公式（因为当齿轮变位后，齿顶圆的计算和

未变位齿轮的计算稍有差别-涉及到变位系数和中心距变位系数。）。

分度圆直径db mm 73.8 77.9

齿轮的齿顶圆直径da mm 83.027 86.799

齿轮的齿顶压力角αa °27.27 26.17

中间值invα0.0215 0.0215

中间值invαa 0.0587 0.0347

齿顶厚Sα 5.77 7.47

判断值0.25m 1.025 1.025

判断值0.4m 1.64 1.64

小结：计算发现变位后的齿轮齿顶厚满足设计需求。

根据上面确定的变位系数，计算齿轮的中心距变位系数和节圆直径、齿根圆直径、齿顶圆直

径。

名称代号单位数值备注

小齿轮大齿轮

模数m 4.1 4.1

压力角α°22.5 22.5

齿数z 18 19

变位系数x 0.42 0.38

总变位系数x∑0.8

变位量xm 1.722 1.558

分度圆直径d=zm mm 73.8 77.9

基圆直径db=d*cosαmm 68.182 71.970

啮合压力角α'的渐开线函数invα' 0.039 0.039 渐开线函数（即渐开线展角）

invα=tanα-α

啮合压力角α'

【《机械设计手册》齿轮传动篇中用的符号是αw】α' °27.250 27.250

这个求解属于超越方

程。可以查相关书籍

手册的表格数据。或

用附件中网友制作的

小程序求解。

中心距变动系数

y 0.7254 -

中心距

【《机械设计手册》齿轮传动篇中用的符号是a'】 a mm

78.82414 -

啮合部（即节圆）的节径 d' 76.694 80.955 齿顶高系数 ha* 0.85 0.85 顶隙系数 c*

0.15 0.15 齿根高系数

hf*

hf1*=ha*+c*-x1 hf2*=ha*+c*-x2

0.58

0.62

齿顶高变动系数 △y x1+x2-y

0.0746 -

齿顶高

ha

4.901

4.737

齿根高 hf 2.378 2.542

全齿高 h 7.279 7.279 齿顶圆直径

da d+2ha 83.602 87.374 齿根圆直径

df

da-2h

69.044

72.816

Case2：上面计算的中心距为小数，我们一般取整数，所以此处进行圆整。

【此部分计算方法相当于已知中心距，齿数、模数，来逆推变位系数。适合于做一些逆向测绘竞品产品时，使用的方法】

根据前面绿色单元格的变位后的中心距，进行圆整。

圆整后的中心距a' a' mm 79 - 根据上面计算结果，进行定义。

a ′=m(z 1+z 2

2

+y)

∆y =x 1+x 2−y

ℎa1=(ℎa ∗+x 1−∆y )m =(ℎa ∗

+y −x 2)m

ℎa2=(ℎa ∗+x 2−∆y )m =(ℎa ∗

+y −x 1)m

y =a ′−a m =a′m −m (z 1+z 2)m ∗2=a′m −z 1+z 22

则最终选定的中心距变动系数y

y 0.768 -

则最终的啮合压力角αw αw radian

0.480 - degree 27.496 - 中间值 inv αw 0.041 - 中间值

inv α

0.022

-

则新的总变位系数 x ∑ 0.852 -

由《机械设计手册》齿轮传动篇可判断，此值落在P6-P7区域。初步判断其属于“齿根及齿面承载能力较高区”。

前面已知小齿轮的变位系数 x1 0.42 -

此处按小齿轮变位系数不变的方式，微调大齿轮的变位系数。当然也可以再按图表法查询确认。 所以大齿轮的变位系数最终计算为

x2 0.432 - 啮合部（即节圆）的节径 d' 76.865 81.135 齿顶高系数 ha* 0.85 0.85 顶隙系数 c* 0.25 0.25 齿根高系数

hf*

0.68 0.668 齿顶高变动系数 △y x1+x2-y

0.083 -

齿顶高

ha

4.865094

4.913

公式中1指齿顶高系数

齿根高 hf 2.788 2.740

全齿高 h

7.653 7.653

cosαw =

a a′cosα=m(z 1+z 2)/2m(z 1+z 22+y) cosα=cosα1+2y z 1+z

2

x ∑=(z 1+z 2)

invαw −invα

2tanα