分数巧算基础知识

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分数巧算基础知识

进行分数简便运算时，运用分数的基本性质、结合四则运算定律进行计算；也可在分数值不变的情况下，将分数分拆，使运算简便。

一、基础知识

1、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。

2、常用运算定律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c a＋(b＋c)＝(a＋c)+b

乘法交换律：ab＝ba

乘法结合律：abc＝(ab)c＝a(bc)＝(ac)b

乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac ab＋ac= a(b＋c)

减法的运算性质：a－b－c＝a－(b＋c)

除法的运算性质：a÷b÷c＝a÷(b×c) a÷(b×c)= a÷b÷c= a÷c÷b

a÷b×c＝a÷(b÷c) a÷(b÷c)= a÷b×c

3、分数变形：分子是1，分母是非零的自然数的真分数叫分数单位。运算时可以把分数拆分成单位分数，以方便运算。

11111111 =1－=－=－4×3×322×132234112?35+==（分子是1的两个分数相加，和的分子是两分母之和，和的分母是232X36两分母的乘积）

11111 =（－）×（分母两数差为2，所以乘以）42×242211111 =（－）×（分母两数差为4，所以乘以）9×55944

第二节分数巧算方法

1、凑整法

在整数简单运算中，是把数字凑成整十、整百、整千等整数。而在小分和分数运算中，是把分数凑成整数，便于计算。

2311+6+1+8 例题：334432311 6+8)1=(3 +)+(3443

=5+15

=20

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2、改顺序

通过改变分数式中的先后顺序，使运算算简便。常见有以下几种方法：

（1）加括号性质

在一个只有加减法运算的算式中，给算式的一部分添上括号，如果括号前面是加号，那么括号里

面的运算符号都不改变；如果括号前面是减号，那么括号里面的运算符号都要改变，即加号变减

号，减号变加号。用字母表示：

a+b-c=a+(b-c) a-b+c=a-(b-c) a-b-c=a-(b+c)

678－1－例题：2131317768)=2－(1+ 1313178 =2－2

178 = 17（2）去括号性质

在一个有括号的加减法运算的算式中，将算式中的括号去掉，如果括号前面是加号，那么去掉括

号后，括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是减号，那么括号里面的运算符号都要改变，

即加号变减号，减号变加号。用字母表示：

a+（b-c）=a+b-c a-（b+c）=a-b-c a-（b-c）=a-b+c

165－(4－1)例题：3797156 1－4 =3+

7975－4 =594 =9（3）分数搬家

在连减或加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时，可以带着符号“搬家”，用“字

母”表示： a-b-c=a-c-b a-b+c=a+c-b

2521+3－1+1 2例题：7676.

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2251－1 =(2)+(3+1)6677 =1+5

=6

、提取公因数3我们可以采用提取公因数的方法而这些乘积中又有相同的因数时，当几

个乘积相加减，进行巧算。如果乘积中另外几个因数相加减的结果正好凑成整十、整百、整千、

整万的数，。或是是一些比较简单的数，那么计算就更为简便。这种方法叫“提取公因数

法”：简单提取法例111321×1－2×+×1

33535312)

－2+1 =×(153512) 3－=×(311 =×31 =3

对于复杂的分数算式，要根据算式特点，进行一定的转化，创造条件后再运用提取公因数的方

法来简算。428 6.54×＋11.1×57.6：例22＋×23.457.2 8×＋11.1×65.4=

＝2.8×23.4＋2.8× 7.2 ×65.4）＋88.82.8＝×（23.4＋7.2

×＋88.8＝2.8×88.8 7.2）88.8×（2.8＋＝10 ＝88.8×888 ＝11×66661333387：例379+790×42.

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＝333387.5×79+790×66661.25

＝33338.75×790+790×66661.25

＝（33338.75+66661.25）×790

＝100000×790

＝79000000

1325625515×1+0.6×1－2×60% 例5：× + × +例4：×

61391318136577133235556152×1+×1－2×＝×= + × +

×613913181365575713255612×(1+1－2) ＝（ + + ）× =131869677513513= ×－2)

＝×(3131865535=＝×

18651 =24、拆数法

一组分数混合运算时，为了能够“凑整”或凑成比较简单的数，常常需要先把分数中分子或分母

进行拆分，再来进行分组运算。这种巧算方法叫“拆分法”，也叫“分解分组法”。

12488×78 例1：例2：×126 125125188=（1

－）×78 =×（125+1）125125788888=278-

=×125+1251251254788=277

=88+12512588=88125131例3：×27+ ×41

例4：166 ÷41

5520331＝×9+ ×41 ＝（164+2 ）÷41 5520.

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341＝×（9+41）＝164÷41+ ÷41 52031＝×50

＝4+ 5201 4＝30 ＝201111

+ +：+…..+ 例5100×4×9933×1×221111111+－+－

=1－+……+－99100223341 =1－10099= 1001111 + +例6： +…..+ 50486××2××448622221

原式＝（ + + +…..+ ）×50×284844×66×2×111111111

＝[（－）+（－）+（－）…..+ （－）]×24466848502111

＝[ － ]×25026＝25

5、代数法

在相同数字较多的分数式中，用字母表示式子中的一部分，使运算更加方便。这就是分数式中的

代数法。

11111111111111++）×（+++）－（1++++）×（++）例：（1+

43452322343452111。）为A解：设（++43211A

A－（1++）×A+A原式=（1+）×（）5511122A

A－－A－++ A =+ AA5551 =5.

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