2.4.2 抛物线的几何性质(二)

2.4.2 抛物线的几何性质(二)

一、基础过关

1． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．

2． 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．

3． 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正

向的夹角为60°，则OA 的长度为________．

4． 已知F 是抛物线y ＝14

x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是__________．

5． 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反射镜顶点的距离是________ cm.

6． 点P 到A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线l ：y ＝x 的距离等于22

，则这样的点P 的个数为________．

7． 根据条件求抛物线的标准方程．

(1)抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x ＋y ＋2＝0上；

(2)抛物线的顶点在原点，焦点是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心．

二、能力提升

8． 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作两弦AB 和CD ，其所在直线的倾斜角分别为π6与π3

，则AB 与CD 的大小关系是____________．

9． 若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆M ：(x －3)2＋y 2＝1上，则PQ 的最小值是____．

10．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛

物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF

＝________. 11．已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上．又知此抛物线上一点A (1，m )到焦点的距离为3.

(1)求此抛物线的方程；

(2)若此抛物线方程与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．

12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．

(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；

(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．

三、探究与拓展

13．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线与x 轴交点为Q ，过Q 点的直线l 交抛物线于A 、B 两点．

(1)直线l 的斜率为22

，求证：F A →·FB →＝0； (2)设直线F A 、FB 的斜率为k F A 、k FB ，探究k FB 与k F A 之间的关系并说明理由．

答案

1． 2 2．342 3．212

p 4．x 2＝2y －1 5．5.625 6．3 7． 解 (1)直线x ＋y ＋2＝0与x ，y 轴的交点坐标分别为(－2，0)和(0，－2)，所以抛物线

的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)，由－p 2

＝－2，得p ＝4，所以所求抛物线的方程为y 2＝－8x 或x 2＝－8y .

(2)圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心为(2,0)，

故抛物线方程的形式为y 2＝2px (p >0)．由p 2

＝2得p ＝4，所以所求抛物线方程为y 2＝8x . 8．AB >CD 9.112－1 10．45

11．解 (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px ，其准线方程为x ＝－p 2

， ∵A (1，m )到焦点的距离等于A 到其准线的距离．∴1＋p 2

＝3，∴p ＝4. ∴此抛物线的方程为y 2＝8x .

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧

y 2＝8x y ＝kx －2，消去y 得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0， ∵直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同的两点A 、B ，

则有⎩⎪⎨⎪⎧

k ≠0Δ>0， 解得k >－1且k ≠0.

又∵x 1＋x 2＝4k ＋8k

2＝4， 解得k ＝2或k ＝－1(舍去)．

∴所求k 的值为2.

12．(1)解 由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程y 2＝4x ，消去x ，

得y 2－4ty －4＝0.

设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，

则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，

OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2

＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2

＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2

＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.

(2)证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线方程y 2＝4x ，

消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，

设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，

则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b .

∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2

＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2

＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2

＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0， ∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0)．

13．(1)证明 ∵Q ⎝⎛⎭

⎫－p 2，0， ∴直线l 的方程为y ＝22⎝⎛⎭

⎫x ＋p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝22⎝⎛⎭⎫x ＋p 2y 2＝2px

. 消去x 得y 2－22py ＋p 2＝0.

解得A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3＋222p ，(2＋1)p ， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－222p ，(2－1)p . 而F ⎝⎛⎭

⎫p 2，0，故F A →＝((1＋2)p ， (1＋2)p )，FB →＝((1－2)p ，(2－1)p )，

∴F A →·FB →＝－p 2＋p 2＝0. (2)解 k F A ＝－k FB 或k F A ＋k FB ＝0. 因直线l 与抛物线交于A 、B 两点， 故直线l 方程：y ＝k ⎝⎛⎭

⎫x ＋p 2 (k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p 2y 2＝2px ，消去x 得ky 2－2py ＋kp 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝p 2.

k F A ＝y 1x 1－p 2，k FB ＝y 2x 2－p 2， ∴k F A ＝p 2y 2y 212p －p 2＝p

2y 2⎝⎛⎭⎫p 2y 222p －p 2

＝y 2p 2－y 222p ＝－k FB .