初中数学实数专题(共17页)

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初中数学-实数

-3 -2 -1
O
1
2
3
实数与数轴的关系：
实数和数轴上的点一一对应。
相反数
（1）只有符号不同的数，如a与-a叫做互为相反数。零的相反数是零。（2）数轴上表示相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且距离原点的距离相等。（3）两个相反数的和为零。和为零的两个数互为相反数。
( a b) 与 ( b a) 互为相反数， ( a b) 与 ( a b) 互为相反数。
2
（2） 3 4 25 5
7 9 3 （3） 1 16 16 4
2
2
2
2 2 ４２（ 4）（）＝＝ 3 ９３
23 49 7 （ 5） 4 2 ＝ 36 36 6
4 2 5 （ 6） 36 - 6 - 6 - 15 25 5 2
x 1 0,y x 0 x 1,y 1.
2x y 14 2 14 16 4.
例 3：已知 2x y y 8 0，求 x y 的值。
3
3
解： 2x y 0, y 8 0, 且 2x y y 8 0
3 3
3
3
2x y 0,y 8 0 y 2, x 4 x y 2 4 8.
3
3
例 4：若 2a 1的平方根是 3 ，且 3a 2b 1的平方根是 3，求 4a b的平方根。
解： 2a 1的平方根是 3 2 a 1 （ 3 ） 3
实数的分类（二）
正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数

初中数学精品课件：实数及其运算

关的：π3，π－1 等；④规律型：1.3232232223…(每两个“3”之间依次多一个“2”)等有规律但不循环的无限小数．
【典例 1】 (2019·宁波)请写出一个小于 4 的无理数： ______．
【答案】 π(答案不唯一)
【类题演练 1】 (2019·衢州)在12，0，1，－9 四个数中，
【典例 1】
在
实
数
－
π 2
，
2
，
22 7
，
0.3333333…
，
0
，
1.732
，
2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”) 中，是无理数的
是
．
【错解】 2，272，2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)
【析错】无理数是无限不循环小数，而有理数可以写成分母不为 0 的分数形式，所以272是有理数，－π2是无理数．【正解】－π2， 2，2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)
2．初中数学中常见的非负数有：①实数的绝对值：|a|≥0； ②实数的平方：a2≥0；③非负实数的算术平方根： a ≥0(a≥0)．如果 a，b，c 都是实数，且满足 a2＋|b|＋ c ＝0，那么根据非负数的性质，有 a＝b＝c＝0.由非负数的性质可以求出多个未知数的值.
易错点1 平方根与算术平方根概念的混淆
数，则 ab＝ 1 ．
(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
a（a＞0）， |a|＝0（a＝0），以上三条反之亦成立．
－a（a＜0）.
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
(5)科学记数法：科学记数法就是把一个数表示成 a×10n(反数，则和为 0；若两数互为倒数，则积为 1.反之亦成立．

(专题精选)初中数学实数分类汇编附答案

（专题精选）初中数学实数分类汇编附答案一、选择题1．如图，数轴上的点P表示的数可能是()A5B．5C．－3.8 D．10-【答案】B【解析】【分析】【详解】5 2.2≈，所以P点表示的数是5-2．估计2462的值应在（）A．2.5和3之间B．3和3.5之间C．3.5和4之间D．4和4.5之间【答案】C【解析】【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可.【详解】2246666222==13.5∵3.52=12.25，42=16，12.25＜13.5＜16，∴3.513.5 4.故选：C.【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题的关键.3．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个自然数的算术平方根是()．A．x＋1 B．x2＋1 C1x D21x+【答案】D【解析】一个自然数的算术平方根是x，则这个自然数是2,x则它后面一个数的算术平方根是21x+.故选D.44的平方根是( )A ．2B C ．±2 D ．【答案】D【解析】【分析】，然后再根据平方根的定义求解即可．【详解】，2的平方根是，．故选D ．【点睛】正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．5．若a 、b 分别是2a-b 的值是（）A ．B ．CD ．【答案】C【解析】根据无理数的估算，可知34，因此可知-4＜-3，即2＜3，所以可得a 为2，b 为2a-b=4-（故选C.6．已知一个正方体的表面积为218dm ，则这个正方体的棱长为( )A ．1dmB C D ．3dm【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为xdm ，然后依据表面积为218dm 列方程求解即可．【详解】设正方体的棱长为xdm ．根据题意得：2618(0)x x =>，解得：x．故选：B ．【点睛】此题考查算术平方根的定义，依据题意列出方程是解题的关键．7．1，0( )AB ．﹣1C ．0D 【答案】B【解析】【分析】将四个数按照从小到大顺序排列，找出最小的实数即可．【详解】四个数大小关系为：10-<<<则最小的实数为1-，故选B ．【点睛】此题考查了实数大小比较，将各数按照从小到大顺序排列是解本题的关键．8．设,a b 是不相等的实数，定义W 的一种运算；()()()2a b a b a b a b =+-+-W ，下面给出了关于这种运算的四个结论：①()6318-=-W ；②a b b a =W W ；③若0a b =W ，则0b =或0a b +=；④()a b c a b a c +=+WW W ，其中正确的是（） A ．②④B ．②③C ．①④D ．①③ 【答案】D【解析】【分析】先化简()()()2a b a b a b +-+-，然后各式利用题中的新定义化简得到结果，即可作出判断．【详解】解：()()()222222222=+-+-=++-+=+a b a b a b a b a ab b a b ab b W ， ①()2632(6)323361818-=⨯-⨯+⨯=-+=-W ，故①正确； ②∵222=+b a ba a W ，当a b ¹时，≠a b b a WW ，故②错误； ③∵0a b =W ，即2222()0+=+=ab b b a b ，∴2b =0或a +b =0，即0b =或0a b +=，故③正确；④∵()2222()2()22242a b c a b c b c ab ac b bc c +=+++=++++W 222222222222+=+++=+++a b a c ab b ac c ab ac b c W W∴()+≠+a b c a b a c W WW ，故④错误；故选：D ．【点睛】本题考查了整式的混合运算和定义新运算，理解定义新运算并根据运算法则进行计算是解题的关键．9．下列说法正确的是()A．﹣81的平方根是±9 B．7的算术平方根是7C．127的立方根是±13D．(﹣1)2的立方根是﹣1【答案】B【解析】【分析】由平方根、算术平方根及立方根的定义依次判定各项即可解答.【详解】选项A，﹣81没有平方根，选项A错误；选项B，7的算术平方根是7B，选项正确；选项C，127的立方根是13，选项C错误；选项D，（﹣1）2的立方根是1，选项D错误.故选B.【点睛】本题考查了平方根、算术平方根及立方根的应用，熟知平方根、算术平方根及立方根的定义是解决问题的关键.10．如图，数轴上的点可近似表示(4630-)6÷的值是()A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】A【解析】【分析】先化简原式得45-5545【详解】原式=45-由于25＜＜3，∴1＜45-＜2．故选：A．【点睛】本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．11．19+2的值是在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间【答案】B【解析】解：由于16＜19＜25，所以4＜5，因此6＜7．故选B ．点睛：本题主要考查了估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．12．给出下列说法：①﹣0.064的立方根是±0.4；②﹣9的平方根是±3；＝﹣；④0.01的立方根是0.00001，其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】利用平方根和立方根的定义解答即可．【详解】①﹣0.064的立方根是﹣0.4，故原说法错误；②﹣9没有平方根，故原说法错误；④0.000001的立方根是0.01，故原说法错误，其中正确的个数是1个，故选：A ．【点睛】此题考查平方根和立方根的定义，熟记定义是解题的关键.13．下列式子中，计算正确的是( )A 0.6B 13C ±6D 3【答案】D【解析】A 选项中，因为2(0.6)0.36-=，所以0.6-=A 中计算错误；B 13==，所以B 中计算错误；C 6=，所以C 中计算错误；D 选项中，因为3=-，所以D 中计算正确；故选D.14．已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[]3.93=，[]1.82-=-．记1()44k k f k +⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（k 是正整数）．例：3133144()f ⎡⎤⎡⎤+=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．则下列结论正确的个数是（）（1）()10f =；（2）()()4f k f k +=；（3）()()1f k f k +≥；（4）()0f k =或1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据题中所给的定义，依次作出判断即可．【详解】解：111(1)00044f +⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，正确； 41411(4)11()444444k k k k k k f k f k +++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-=+-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，正确；当k=3时，414(31)11044f +⎡⎤⎡⎤+=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而(3)1f =，错误；当k=3+4n （n 为自然数）时，f （k ）=1，当k 为其它的正整数时，f （k ）=0，正确；正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，函数值．能理解题中新的定义，并根据题中的定义进行计算是解决此题的关键．15．若x 使(x ﹣1)2=4成立，则x 的值是( )A ．3B ．﹣1C ．3或﹣1D ．±2【答案】C【解析】试题解析：∵（x-1）2=4成立，∴x-1=±2，解得：x 1=3，x 2=-1．故选C ．16．下列说法正确的是（）A ．a 的平方根是B ．aC 的平方根是0.1D．2-=-(3)3【答案】B【解析】试题解析：A、当a≥0时，a的平方根为±a，故A错误；B、a的立方根为3a，本B正确；C、0.01=0.1，0.1的平方根为±0.1，故C错误；D、()23-=|-3|=3，故D错误，故选B．17．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解析】试题分析：2．62=6．76；2．72=7．29；2．82=7．84；2．92=8．41．∵ 7．84＜8＜8．41，∴2．82＜8＜2．92，∴2．88＜2．9，8③段上．故选C考点：实数与数轴的关系18．38）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【答案】C【解析】【详解】解：由36＜38＜49，即可得6387，故选C．19．25的算数平方根是A5B．±5 C．5D．5【答案】D【解析】【分析】一个正数的平方根有2个，且这两个互为相反数，而算数平方根只有一个且必须是正数，特别地，我们规定0的算术平方根是0 负数没有算术平方根，但i的平方是－1，i是一个虚数，是复数的基本单位.【详解】 255=，∴25的算术平方根是：5.故答案为：5.【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.20．如图，长方形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是1-，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则这个点E 表示的实数是（）A ．45B 52C 51D ．35【答案】C【解析】【分析】首先根据勾股定理算出AC 的长度，进而得到AE 的长度，再根据A 点表示的数是-1，可得E 点表示的数．【详解】∵2,1AD BC AB ===∴22521AC =+=∴AE 5∵A 点表示的数是1-∴E 51【点睛】掌握勾股定理；熟悉圆弧中半径不变性．。

初中数学：实数知识清单

初中数学：实数知识清单实数的概念1．无限不循环小数叫做无理数．2．有理数和无理数统称为实数．实数可以进行以下分类：⎧⎧⎫⎪⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪-⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限不循环小数负无理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数思考：3.1416不是π吗？为什么是有理数呢？平方根和开平方1．如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数．2．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．3．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中表示a 的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”，a 的负平方根，读作“负根号a0=．4．平方根的性质：（1）当0a >时，2a =，(2a =．（2）当0a ≥a =；当0a <a =-．立方根和开立方1．如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，记作”，读作“三次根号a ”中的a叫做被开方数，“3”叫做根指数．求一个数a的立方根的运算叫做开立方．2．任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根．3．立方根的性质：（1）3a=．a=．n次方根1．如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根．当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根．求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数．2．n次方根的表示：（1）实数a（2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根用表示，负n次方根用“”表示．说明：当2n=时，在中省略n．（3）负数没有偶次方根．（4）零的n0=．用数轴上的点表示实数1．每一个实数都可以用数轴上的唯一的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点也都可以用唯一的一个实数来表示．2．实数的绝对值与相反数：（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数a的绝对值记作a．（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零，非零实数a的相反数是a -．3．实数的大小比较：（1）负数小于零，零小于正数．（2）两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．（3）从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．4．数轴上两点之间的距离：在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点的距离AB a b =-．实数的运算1．设0a >，0b >，可知：（1）222ab =⋅=．=．=2．近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求叫做精确度．3．对于一个近似数制定保留几个有效数字，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．实数的概念⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩正整数自然数整数零有理数实数负整数分数无理数或者：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数有理数零负有理数实数正无理数无理数负无理数1.有理数：有理数就是能表示成两个整数之比的数；有理数包括：整数和分数；有理数是有限小数或无限循环小数。

初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)

实数
有理数
正整数 0 自然数负整数正分数
无理数
无限不循环小数
一般有三种情况
负分数正无理数负无理数 (1)含π 的数
2 开方开不尽的数
(3)有规律但不循环的无限小数
七年级数学第六章实数
也可以这样来分类：正实数实数 0
负有理数正有理数
正无理数
负实数
负无理数
七年级数学第六章实数
七年级数学第六章实数
几个基本公式：（注意字母的取值范围）
a a =
2
a
0
a
3
2
a
a 0
a
a 0 a 0
(a 0)
a
3
a a
3
3
a为任何数 a为任何数 a为任何数
a
3
a =
-3 a
七年级数学第六章实数
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
3 47 9 11 5 3, , , , , 5 8 11 90 9
3 47 3 3.0, 0.6, 5.875, 5 8 9 11 5 0. 81, 0.1 2, 0. 5 11 90 9
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数。

4
3 0.13

（2）无理数集合：（3）整数集合：（4）负数集合：（5）分数集合：（6）实数集合： 9
3
5

64
3
3
9
9
3
3 4
9
3 4
0. 6
3

0.13
3 0. 6 4

初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)

实数七年级数学第六章实数实数实数有理数无理数分数整数正整数0负整数正分数负分数自然数正无理数负无理数无限不循环小数有限小数及无限循环小数一般有三种情况1含的数??2开方开不尽的数3有规律但不循环的无限小数实数的分类
七年级数学第六章实数
实数
七年级数学第六章实数
目录：
1.算术平方根 2.平方根 3.立方根 4.有理数 5.无理数 6.实数定义 7.实数的运算 8.实数的大小比较
七年级数学第六章实数
1.算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于 2 a,即 x =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为 a ，读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平方根是 0 。
记作：0 0
七年级数学第六章实数
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）．
注意：计算过程中要多保留一位!
七年级数学第六章实数
3.实数运算
当数从有理数扩充到实数以后，实数之
间不仅可以进行加减乘除乘方运算，
又增加了非负数的开平方运算，任意实数
可以进行开立方运算。进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用。
七年级数学第六章实数
练习：
2 3 3 2 5 3 3 2
不要遗漏
解: (3 y ) 4 9 4 3 y 9
2
解:
2 3 27 ( x ) 125 3
2 3 125 (x ) 3 27 2 5 x 3 3
2 3 125 x 3 27
1 2 y 2 或y 3 3 3
2 y 3 3
x 1

初中数学中考复习——实数专题(含答案)

初中数学中考复习——实数专题选择题下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 2C. 0D. π如果一个实数的相反数是它本身，那么这个数一定是（）A. 正数B. 负数C. 零D. 无法确定一个数的平方根是它本身的数有（）A. 0B. 1C. -1D. A和B实数-5和7在数轴上对应的点之间的距离是（）A. 2B. 12C. 10D. 14利用科学记数法表示的数，下列哪个选项是错误的（）A. 350 = 3.5 × 10²B. 0.05 = 5 × 10⁻²C. 500 = 5 × 10²D. 0.0006 = 6 × 10⁻⁴下列哪个数不是无理数（）A. πB. √2C. 0.333...（3无限重复）D. 22/7如果a和b是两个实数，且a的绝对值大于b的绝对值，那么|a| - |b|的值（）A. 一定为正B. 一定为负C. 可能是正数或负数D. 无法确定对于实数x，以下哪个条件可以保证x² - 4x + 4 = 0（）A. x = 2B. x = -2C. x = 0D. x = 4下列哪个表达式的结果不是实数（）A. √16B. √(-1)C. -√(-4)D. √9如果一个数的立方根是2，那么这个数是（）A. 6B. 8C. -8D. 4正确答案：CCDCBCAABC填空题实数包括有理数和无理数，其中有限小数和无限循环小数属于______。

一个数的相反数是与它符号相反的数，例如，数-7 的相反数是______。

一个数的绝对值是它到原点的距离，因此，|-5| 等于______。

如果一个数的平方根是4，则这个数的算术平方根是______。

立方根的定义是，如果一个数的立方等于a，则这个数叫做 a 的立方根。

例如，3 的立方根是______。

在实数大小比较中，数轴上右边的数总是比左边的数大。

因此，在数轴上，5 大于______。

专题一实数(助考课件)——2023届中考数学一轮复习学考全掌握

2.( a )2 a(a 0)
3.
a2
a
a(a a(a
0) 0)
5. a a (a 0,b 0) bb
知识梳理
三、二次根式的运算法则
类别
法则
乘法
a b ab(a 0,b 0)
除法加减法
a a (a 0,b 0) bb
①化简成最简二次根式 ②合并同类二次根式举例3 Nhomakorabea5 15
24 2 2 3
( C)
A. x 1
B. x 1
C. x 1且 x 0
D. x 1且x 0
【解析】 x 1 0， x 0，x 1且 x 0，故选 C.
典型例题 12.（2022.山东济宁）已知a 2 5 ，b 2 5 ，求代数式a2b ab2的值.
【解析】
a2b ab2 ab(a b)
A. 4 9 2 3
B. 4 9 2 3
C. 94 32
典型例题 D. 49 0.7
【解析】
4 9 13； 49 22 32 23；
94 92 2 92； 4.9 49 7 10 . 10 10
典型例题
11.（2022.黑龙江绥化）若式子 x 1 x2在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
A.103.57 103.6(精确到个位)
B.2.708 2.71(精确到十分位)
C.0.054 0.1(精确到 0.1)
D.0.0136 0.013(精确到 0.001)
【解析】
A.103.57 104；B.2.708 2.7；D.0.0136 0.014，只有选项 C 正确.故选 C.
b
知识梳理
三、实数的乘方
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂a a a an

初中数学实数(含答案)

第八节实数内容讲解有理数和无理数统称实数．有理数可以用分数m n（m 、n 互质，且n ≠0），•它可写为有限小数或循环小数的形式；无理数不能用分数表示，它只能写成无限不循环小数．实数有无穷多个，没有最大的实数，也没有最小的实数；实数是有顺序的，即任意两个实数都可以比较大小；任意两个实数a 、b ，有且仅有下述三种关系之一成立：a>b ，a<0或a=b ．在数轴上的点与实数有一一对应关系，右边的点所表示的实数，大于左边的点所表示的实数．在实数范围内，加、减、乘（包括乘方）、除（除数不为0）运算，•都可以实施．就是说，两个实数经过以上运算，其结果仍是实数．但对开方运算则有限制，因为任何实数平方（偶次方）都不是负数，所以在实数范围内，负数不能开平方（开偶次方）．就是说，在实数范围内，开方运算不是永远可以实施的．在日常生活与生产实际中，有时并不要求某个量或某个结果的准确值，而只需要取出它的整数部分，由此定义了一种叫做“取整”的运算．•即取出不超过实数x 的最大整数，记为[x]．在数轴上就是取出实数x•对应点左边最近的整数点（包括x 本身），这里[x]=x-a ，[x]+a=x ，其中[x]是一个整数，a 是0或一个正的纯小数，•a 称为实数的小数部分，记为{x}，通常有x=[x]+{x}．关于取整运算常用的一些性质：（1）x-1<[x]≤x ，[x]≤x<[x]+1；（2）如果x ≤y ，那么[x]≤[y]；（3）[x]+[y]≤[x+y]，{x}+{y}≥{x+y}．例题剖析例1 下列各实数中，最大的一个是（）（A ）5（B ）3.141π （C （D 分析：观察发现，以上各数与1比较接近，通过各数与1比较，从中找出最大的一个．=0.2，∴5×0.2=1；∵3.14<π，∴3.141π<1；>1；）20.5<+．1，其余各数均小于1选（C ）．评注：比较两实数大小，常可根据参与比较的各实数的特点，•选择适当的整数作中介，让各数与中介数比较，由此确定大小．例2a 与小数部分b 的大小．0小于1•的部分，即得．===2+12．又∵=1，∴a=2，．评注：对小数部分b 的取值范围（0，1）要明确，即所取b 的值一定要大于0小于1，才能取得正确的a 、b 的值．例3 设149++[A]，{A}．分析：先将A 中各项分母有理化，然后由“正负相抵”化简得到实数A ，•再分出整数部分与小数部分．解：∵149++=-1）++…+）．∴[A]=6，由于，则．评注：求A 的小数部分，可由A-[A]得到，只需保证0<{A}<1即可．例4 设19++，求[A]．分析：，<<，-1．上式中各项均可按此，夹在大小不同的两个实数之间，然后求和，使A 夹在两整数之间，从而得[A]．-1<12<1-12，-1，，… …<<以上9个式子同向相加，得1212，>2，∴2<12A<52．则4<A<5，则[A]=4．评注：本例未直接采用分拆各项的方法，但通过放缩法，让各项夹在相应的大小两个实数之间，由求和正负相抵，得到实数A 夹在两连续正整数之间，•再取整即得解．巩固练习1．选择题：（1）下列各实数中，最小的一个是（）（A ）9(2()3.14B C π（2）设[n]表示不超过n 的最大整数，则下列各式中正确的是（）（A ）[n]=│n │ （B ）[n]>n-1 （C ）[n]=│n │-1 （D ）[n]=-n2．填空题：（1）[3·2]=_______，[-1·2]=________，[1710]______,[]23=-=______；（2的整数部分是______，小数部分是________；（3）实数的平方，得______，实数_______；（4）1- [][]ππ-=________． 3．求实数4．求在101到200之间有多少个13的倍数．5的整数部分是a ，小数部分是b ，求代数式b-2ab 的值．6．已知[a]=6，[b]=1，[c]=3，求[a+b+c]的取值．7．若，，求m 2+（）mn 的值．8．求满足[2x ]=2的x 正整数解．答案:1．（1）D ；（2）B2．（1）6，-2，8，-4；（2）1，15-；（3）；（4）65．3．1+-1）+-2）++），得整数部分为2．4．200101[][]1313-=15-7=8．5．a=5，-2，原式．6．∵6+1+3≤a+b+c<7+2+4，即10≤a+b+c<13，∴[a+b+c]的取值为10、11、12．7．m=2，，原式=10． 8．2≤2x <3，∴4≤x<6，得x=4或5．。

人教版初中数学《实数》_精品课件

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二、探究新知
2.实数的分类
(1)分一分. 回忆并画出有理数的分类图.
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二、探究新知
有限小数及无限循环小数
整数
有理数
正整数 0
负整数
正分数
实
分数
数
负分数
正无理数
无理数负无理数
自然数
无限不循环小数 (1)含π的数 (2)开方开不尽的数
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例1 (1)你能尝试着找出三个无理数吗？
2、3、π
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二、探究新知
(2)下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数？
-π，31 ，3.1,0.101 001 000 1…(相邻两个1之间的0的
个数逐次加1），2 ，3 8 ，36 ，3 25 ，π .
有理数：31 ，3.1，3 8 ， 36 2
无理数： -π ， 0.101 001 000 1…(相邻两个1
之间的0的个数逐次加1）
，
2
，3
25
，π 2
思考：用根号形式表示的数一定是无理数吗？
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苏科版八上数学课件4.3实数(共15张PPT)

4.的3 绝6对4 值是__________4.
5.已知一个数的绝对值是，3则这个数是____．3
6.设m是的1整1 数部分，n是的小数11 部分，试求n（+m）11的值
请你谈谈这节课的收获
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
初中数学八年级上册（苏科版）
4.3实数
探索：
边长为1的正方形的对角线的长是多少？
A
1
D
2
1
BD2=12+12
1 BD= 2
B
C
1
• 画半径为1cm的圆，计算这个圆的周长、面积.
1cm
事实上，人们已经证明是一2 个无
限不循环小数，它的值为
1.4142135623730950488016887 242097…
无限不循环小数称为无理数。
正有理数
有理数 0
负有理数
有限小数或无限循环小数
实数Biblioteka 无理数正无理数正无理数
无限不循环小数
有理数和无理数统称为实数
有理数
整数分数
有限小数或无限循环小数
实数
无理数
无限不循环小数
有理数和无理数统称为实数
讨论
有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的点是否都表示有理数？
-3 -2 -1 0
1
2
3
例1、把下列各数填入相应的集合内：
31 3 8 0
2

27 3 -0.5
-3.14159 0.12121121112…
有理数集合{…3 1} 3 8 0 -0.5 -3.14159
2
无理数集合{…2}7
正实数集合{…3 1}

初中数学实数知识点总复习含解析

【详解】
，
，
，
，
因为0.268＜0.732＜1.268，
所以表示的点与点B最接近，
故选B.
11．实数a、b满足 +4a2+4ab+b2=0，则ba的值为（）
A．2B． C．﹣2D．﹣
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：化简得 +（2a+b）2=0，所以，a+1=0，2a+b=0，解得a=﹣1，b=2，
【详解】
解：A、5和 =5，两数相等，故此选项错误；
B、-|- |=- 和-（- ）= 互为相反数，故此选项正确；
C、- =-2和 =-2，两数相等，故此选项错误；
D、-5和，不互为相反数，故此选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了相反数以及绝对值、立方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【解析】
－2，，3.14，是有理数；
，是无理数；
故选C.
点睛:本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，如，等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如（0的个数一次多一个）.
3．下列各数中最小的是（）
①带根号的数都是无理数；②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；
③0.01是0.1的算术平方根；④有且只有一条直线与已知直线垂直
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【解析】
【分析】
开方开不尽的数为无理数；立方根等于本身的有±1和0；算术平方根指的是正数；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直.

(专题精选)初中数学实数分类汇编含答案解析

（专题精选）初中数学实数分类汇编含答案解析一、选择题1．2在哪两个整数之间( )A ．4和5B ．5和6C ．6和7D ．7和8【答案】C【解析】【分析】222== 1.414≈，即可解答．【详解】222== 1.414≈，∴2 6.242≈，即介于6和7，故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及 1.414≈．2．下列各数中最小的数是( )A ．1-B ．0C ．D ．2-【答案】D【解析】【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】根据实数比较大小的方法，可得-2＜-1＜0，∴各数中，最小的数是-2．故选D ．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3．已知,x y 为实数且10x +=,则2012x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．0B ．1C ．-1D ．2012 【答案】B【解析】利用非负数的性质求出x、y，然后代入所求式子进行计算即可.【详解】由题意，得x+1=0，y-1=0，解得：x=-1，y=1，所以2012xy⎛⎫⎪⎝⎭=（-1）2012=1，故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.4．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是±4；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】【详解】①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；②无理数是开方开不尽的数，错误；③负数没有立方根，错误；④16的平方根是±4，用式子表示是，错误；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确．错误的一共有3个，故选D．5．下列各数中比3大比4小的无理数是（）A B C．3.1 D．10 3【答案】A【解析】【分析】由于带根号的且开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．【详解】＞4，3＜4∴选项中比3大比4．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．6．25的平方根是（）A．±5 B．5 C．﹣5 D．±25【答案】A【解析】【分析】如果一个数 x的平方是a，则x是a的平方根，根据此定义求解即可．【详解】∵（±5）2=25，∴25的立方根是±5，故选A．【点睛】本题考查了求一个数的平方根，解题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，这两个互为相反数．7．王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示－1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”.则数轴上点A所表示的数是（）A2－1 B2＋1 C2D2【答案】A【解析】【分析】先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数-较小的数，便可求出-1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．【详解】22+=-1和A2．112∴点A2．故选A．【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．8．如图，数轴上的A 、B 、C 、D 四点中，与数﹣3表示的点最接近的是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】B【解析】【分析】 3 1.732-≈-，计算-1.732与-3，-2，-1的差的绝对值，确定绝对值最小即可.【详解】3 1.732-≈-，()1.7323 1.268---≈ ，()1.73220.268---≈，()1.73210.732---≈，因为0.268＜0.732＜1.268，所以3- 表示的点与点B 最接近，故选B.9．已知直角三角形两边长x 、y 满足224(2)10x y -+--=，则第三边长为（） A ． B ．13 C ．5或13 D ．513【答案】D【解析】【分析】【详解】解：∵|x 2-4|≥02(2)1y --，∴x 2-4=0，2(2)1y --=0，∴x=2或-2（舍去），y=2或3，分3种情况解答：①当两直角边是2时，三角形是直角三角形，22222+=②当2，3222313+=③当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角，22325-=．故选D ．考点：1．非负数的性质；2．勾股定理．10．下列说法正确的是（）A．任何数的平方根有两个B．只有正数才有平方根C．负数既没有平方根，也没有立方根D．一个非负数的平方根的平方就是它本身【答案】D【解析】A、O的平方根只有一个即0，故A错误；B、0也有平方根，故B错误；C、负数是有立方根的，比如-1的立方根为-1，故C错误；D、非负数的平方根的平方即为本身，故D正确；故选D．11．下列命题中，真命题的个数有（）①带根号的数都是无理数；②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；③0.01是0.1的算术平方根；④有且只有一条直线与已知直线垂直A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】【分析】开方开不尽的数为无理数；立方根等于本身的有±1和0；算术平方根指的是正数；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直.【详解】仅当开方开不尽时，这个数才是无理数，①错误；立方根等于本身的有：±1和0，②错误；12．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．13．( )A．3 B．3-C．3±D．4.5【答案】A【解析】分析：本题只需要根据算术平方根的定义，求9的算术平方根即可．．故选A．点睛：本题考查了算术平方根的运算，比较简单．14．下列运算正确的是（）A =-2 B．|﹣3|=3 C=± 2 D【答案】B【解析】【分析】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据绝对值的定义即可判定；C、根据算术平方根的定义即可判定；D、根据立方根的定义即可判定．【详解】解：A、C2=，故选项错误；B、|﹣3|=3，故选项正确；D、9开三次方不等于3，故选项错误．【点睛】此题主要考查了实数的运算，注意，正数的算术平方根是正数．15．已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[]3.93=，[]1.82-=-．记1()44k k f k +⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（k 是正整数）．例：3133144()f ⎡⎤⎡⎤+=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．则下列结论正确的个数是（）（1）()10f =；（2）()()4f k f k +=；（3）()()1f k f k +≥；（4）()0f k =或1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据题中所给的定义，依次作出判断即可．【详解】解：111(1)00044f +⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，正确； 41411(4)11()444444k k k k k k f k f k +++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-=+-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，正确；当k=3时，414(31)11044f +⎡⎤⎡⎤+=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而(3)1f =，错误；当k=3+4n （n 为自然数）时，f （k ）=1，当k 为其它的正整数时，f （k ）=0，正确；正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，函数值．能理解题中新的定义，并根据题中的定义进行计算是解决此题的关键．16．若225a =，3b =，且a ＞b ，则a b +=( )A ．±8或±2B ．±8C ．±2D ．8或2【答案】D【解析】【分析】结合已知条件，根据平方根、绝对值的含义，求出a ，b 的值，又因为a ＞b ，可以分为两种情况：①a=5，b=3；②a=5，b=-3，分别将a 、b 的值代入代数式求出两种情况下的值即可．∵225a =，|b|=3，∴a=±5，b=±3，∵a ＞b ，∴a=5，a=-5(舍去) ，当a=5，b=3时，a+b=8；当a=5，b=-3时，a+b=2，故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，本题用到了分类讨论的思想，关键在于熟练掌握平方根、绝对值的含义．17．下列说法：①36的平方根是6； ②±9的平方根是3； 164±； ④ 0.01是0.1的平方根； ⑤24的平方根是4； ⑥ 81的算术平方根是±9.其中正确的说法是（）A ．0B ．1C ．3D ．5 【答案】A【解析】【分析】依据平方根、算术平方根的定义解答即可．【详解】①36的平方根是±6；故此说法错误；②-9没有平方根，故此说法错误； 16=4164±说法错误；④ 0. 1是0. 01的平方根，故原说法错误；⑤24的平方根是±4，故原说法错误；⑥ 81的算术平方根是9，故原说法错误.故选A.18．10最接近的整数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】由于91016<<91016<10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．【详解】由于91016<<91016<10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．解：∵2239,416==， ∴3104<<， 10与9的距离小于16与10的距离， ∴与10最接近的是3．故选：A ．【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．19．实数,a b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A ．a b D ．0a b -> 【答案】A【解析】【分析】根据数轴得a<0，再根据实数的加法法则，减法法则依次判断即可.【详解】由数轴得a<0，∴a+b<0，a-b<0，故A 正确，B 、C 、D 错误，故选：A.【点睛】此题考查数轴，实数的大小比较，实数的绝对值的性质，加法法则，减法法则.20．如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为-1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（）A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】A【解析】【分析】由于A ，B 两点表示的数分别为-13OC 的长度，根据C 在原点的左侧，进而可求出C 的坐标．【详解】∵对称的两点到对称中心的距离相等，∴CA=AB，，∴C点在原点左侧，∴C表示的数为：故选A．【点睛】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离，同时也利用对称点的性质及利用数形结合思想解决问题．。

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初中数学实数专题一．本周主要内容：1．实数及有关概念2．练习题二．重点内容分析与讲解：1．实数及有关概念引入：有理数复习我们知道，出现负数后，数的范围就扩大到了有理数，有理数按照定义可以如下分类：并不是所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数.如：这些数的小数位是无限的，而且是不循环的.（一）无理数：定义：无限不循环小数叫无理数.我们目前见到的无理数：说明：我们已知π=3.1415926…它是圆周率那么e=2.71828…是什么含义呢？它是银行计算复利时出现的一个数，设某人存入银行<ii>不要说“开方开不尽的数”是无理数.开方开不尽的数有两种理解方法：2开方开<iv>还有其它形式的无理数.如：lg2等（高中课本）（二）实数：定义：有理数和无理数统称实数.分类：按定义分类：（三）实数性质简述：Ⅰ．实数序性质：三歧性：两个任意实数a、b，它们之间的关系必然是下列三种情况这一：a=b，a>b，a<b<ii>传递性：三个任意实数a，b，c，若a<b，b<c则a<c<iii>连续性：任意两个实数之间仍有无数个实数存在，实数与数轴上的点是一一对应这一点和有理数是有区别的：虽然任意两个有理数之间也有无数个有理数存在但它们不连续即在这两个有理数之间还有无数个无理数存在. 即有理数在数轴上只具有稠密性，而不具备连续性.Ⅱ．实数集合对有理数集合来说在有关概念及运算性质，运算律方面具有继承性及连续性.如：实数的绝对值、相反数的意义与有理数的绝对值、相反数意义一致；运算性质方面有理数具有的，实数也都具有：象幂的运算性质，加、减、乘、除、乘方的运算顺序，运算符号方面的性质，等.运算律也完全一致：实数a，b，c满足下列运算律：a+b=b+a （加法交换律）(a+b)+c=a+(b+c) （加法结合律）a·b=b·a （乘法交换律）(a·b)·c=a·(b·c) （乘法结合律）a·(b+c)=ab+ac （分配律）Ⅲ．实数集合在运算及性质方面有新的扩展：在实数集合内，不仅可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且可以进行除了负数开偶次方之外的开方运算.即运算结果总是实数.相应地因式分解，解方程等也随之加深，另外分数指数幂被定义等等.如因式分解：x2-2（在实数范围内）（四）实数范围内的相反数、绝对值定义：Ⅰ．相反数定义：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0.Ⅱ．绝对值定义：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.绝对值的几何意义：一个实数a的绝对值是数轴上表示a的点与原点的距离.（五）实数的运算实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.既然都化为有理数，那就依有理数运算法则去运算.<ii>有的情况，结果并没有要求精确度而要求准确值，那将有新的法则作为依据，如<iii> 由近似计算理论，最后一步参与运算的数要比结果的精确度多取一位或多取一个有效数字（用四舍五入法取得）例3．计算：（六）实数大小的比较法则：正实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.在数轴上，右边的数要比左边的大.具体方法：算术平方根法：都化为算术平方根后比较被开方数.<ii>平方法：两个正数，比较平方后的结果.<iii>倒数法：当两个数的大小不可比较时，可以比较这两个数的倒数.还有其它方法如：比差法，比商法等.例4．比较下列各数的大小：（这是用近似数代替无理数后再比大小）2．练习题：A组Ⅰ．判断题：（1）无理数都是无限小数（）（2）无限小数都是无理数（）（3）带根号的数都是无理数（）（4）无理数都是带根号的数（）（5）任意实数都可以用数轴上的一个点来表示（）（6）有理数和数轴上的点是一一对应的（）（7）无理数一定是无限不循环小数（）（8）最小的实数和最大的实数都不存在（）Ⅱ．填空题：（1）如果实数a>b，当a、b为正实数时，|a|_____|b|；当a、b为负实数时，|a|_____|b|. （4）实数a、b、c在数轴上对应的位置如下：（7）如果a、b是有理数，A是无理数，当______时，aA+b是有理数；当______时，aA+b是无理数；当_______时，aA+b的值为0.Ⅲ．选择题：1．下列说法中正确的是（）（A）无理数是开方开不尽的数（B）无限小数不能化成分数（C）无限不循环小数是无理数（D）一个负数的立方根是无理数（A）m是完全平方数（B）m是负有理数（C）m是一个完全平方数的相反数（D）m是一个负实数3．在实数范围内，0，-7，8，（-5）2，π有平方根的有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（A）分数（B）偶数（C）无理数（D）有理数5．算术平方根比原数大的数是（）（A）正实数（B）负实数（C）大于0而小于1的数（D）不存在6．下列各数中有理数的个数是（）（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个Ⅳ．计算题：B组答案：A组Ⅰ．判断题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 结果√×××√×√√Ⅱ．填空题：Ⅲ．选择题：题号 1 2 3 4 5 6 选项 C C D C C D Ⅳ．计算题：解：1．原式≈3.162+2.33-3.142-0.5≈1.852．原式≈(-4)×2.646+2×2.449-0.01≈-5.70B组科目：数学年级：初二教师：黄五洲2002—2003第一学期第三周八年级数学课上学期第三周（几何部分）教学进度一．主要内容：1．三角形中，边与角之间的不等关系2．线段的垂直平分线3．练习题及答案二．重点内容分析与讲解1．三角形中，边与角之间的不等关系我们学习了等腰三角形的性质定理及判定定理，这两个定理介绍的是三角形中边与角各自之间相等关系的转化，那就是，在一个三角形中等边对等角；在一个三角形中等角对等边，我们还学习过边与边，角与角之间的不等关系，如：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，本次课我们将学习三角形边与角之间的不等关系.定理：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.已知：ΔABC中，AB＞AC求证：∠ACB＞∠B分析：如何将边的不等关系转化为角的不等关系呢？我们应利用边与角之间的相等关系，也就是相等与不等之间是可以互相转化的.证明：在AB上截取AD，使AD=AC，连结CD，则∠ADC=∠ACD∵∠ACB＞∠ACD ∴∠ACB＞∠ADC而∠ADC＞∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠ACB＞∠B （不等式的传递性）逆定理：在一个三角形中，如果两个角不等那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大.已知：ΔABC中，∠ACB＞∠B求证：AB＞AC证明：在∠ACB内部作∠BCD＝∠BCD交AB于D.则BD=DC在ΔADC中∵AD+DC＞AC（三角形两边和大于第三边）∴AD+DB＞AC 即AB＞AC例题一：已知：图中，PA⊥BC于A，AB＞AC求证：PB＞PC分析：如果想通过∠C＞∠B来证得PB＞PC，在本题是不行的，因为没有和已知联系上因此，要构造新的三角形来利用角的不等去证明边的不等.证明：在AB上截取AC’=AC，连结PC’. 则由已知PA⊥BC可知：ΔPAC’≌ΔPAC ∴PC’=PC，∠1=∠C∵∠2＞∠C ∴∠2＞∠1∵∠1＞∠B ∴∠2＞∠B∴PB＞PC’（在一个三角形中，大角对大边）∴PB＞PC’例题二：已知：在ΔABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC求证：BD＞DC分析：BD，CD不在同一个三角形中，因此证明它们之间的不等，要确定如下策略：通过图形变换让BD，CD组合在同一个三角形中因为已知中有角平分线这个条件，所以我们利用翻折变换.证明：在AB上截取AC’=AC 连结C’D. 则ΔAC’D≌ΔACD.延长AC∴C’D=CD，∠1=∠2∵∠1+∠4=180，∠2+∠3=180（平角定义）∴∠3=∠4∵∠3＞∠B（三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠4＞∠B∴BD＞C’D（在一个三角形中大角对大边）∴BD＞DC练习1①ΔABC中，若BC＞AB＞AC，那么∠A，∠B，∠C，有怎样的大小关系？答：∠A＞∠C＞∠B②如果一个三角形中，最大边所对的角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形吗？答：是.③直角三角形中哪一条边最长？为什么？答：斜边最长.因为在直角三角形中，直角是最大角，因此它所对的边即斜边最长.2.线段的垂直平分线我们已经学过线段垂直平分线的定义就是：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线或中垂线.现在我们学习它的性质.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.已知：直线MN⊥AB于C，AC=BC，点P在MN上求证：PA=PB证明；∵MN⊥AB∴∠PCA＝∠PCB=90∵AC=BC，又PC=PC ∴ΔPCA≌ΔPCB（SAS）∴PA=PB逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上已知：如图，PA=PB求证：点P在AB的垂直平分线上证明：过点P作直线MN⊥AB于C∵PA=PB PC⊥AB∴AC=BC（等腰三角形底边上的高与底边中线重合）∴MN是AB的垂直平分线即点P在AB的垂直平分线上用集合概念来叙述线段垂直平分线：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.解释：这个概括说明了线段垂直平分线上的点都具备“和线段两端距离相等”这一性质（点的纯粹性），又说明了具备“和线段两端点距离相等”这个性质的点都在这条线段的垂直平分线上（点的完备性）关于这个特征，和角的平分线的性质是类似的，我们可以对比记忆.例题三：已知：ΔABC中，过AB，BC的垂直平分线相交于点P求证：PA=PB=PC证明：∵点P在AB的垂直平分线上（已知）∴PA=PB（线段垂直平分线上的点和线段两个端点距离相等）同理：PB=PC ∴PA=PB=PC例题四：已知：如图，MA=MB，NA=NB求证：MN所在直线是AB的垂直平分线证明：∵NA=NB（已知）∴N在AB的垂直平分线上同理M也在AB的垂直平分线上但因为两点确定一条直线，∴MN所在直线就是AB的垂直平分线说明：例题四告诉我们判断一条线段垂直平分线的一个新的方法就是：有两个点和同一条线段的两个端点的距离分别相等，那么过这两点的直线就是这条线段的垂直平分线.练习2①已知：MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上两点求证：〈ⅰ〉ΔABC，ΔABD是等腰三角形〈ⅱ〉∠CAD=∠CBD（分两种情况证明）证明：〈ⅰ〉∵C在AB的垂直平分线上（已知）∴CA=CB（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等）∴ΔABC是等腰三角形同理：ΔABD是等腰三角形〈ⅱ〉∵CA=CB（已证）∴∠1＝∠2（等边对等角）同理：∠3＝∠4 ∴∠1+∠3＝∠2+∠4即∠CAD＝∠CBD另一种情况：如图：∵CA=CB（已证）∴∠1＝∠2（等边对等角）同理：∠DAB＝∠DBA∴∠DAB－∠1＝∠DBA－∠2即∠CAD＝∠CBD②已知：图中，AB=AC，∠A=40AB的垂直平分线交AC于D求：∠DBC的度数∵D在AB的垂直平分线上∴DA=DB（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等）∴∠DBA＝∠A=40∴∠DBC=70－40=30答：∠DBC=30③已知：如图，∠AOB内部有两点C，D求作：点P，使PC=PD且使点P到∠AOB的两边距离相等分析：由PC=PD，知P点应在线段CD的垂直平分线上，到∠AOB的两边距离相等，P点又应在∠AOB 的平分线上，因此点P应在这两条线的交点处.作法：〈ⅰ〉连结CD，作CD的垂直平分线l〈ⅱ〉作∠AOB的平分线OE，OE与l交于点P则点P即为所求3.练习题及答案：A组①填空：ΔABC中，AB=AC，∠A=120，BC=4cmD是BC中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F则ΔDEF周长是 cm②选择题（单选）：已知：ΔABC中，∠ABC＝∠ACB＝2∠ABD平分∠ABC，BE=BD则图中等腰三角形的个数为（）（A.）4 （B.）5 （C.）6 （D.）7B组①已知：点C是AB上的一点，ΔACM，ΔCBN是等边三角形，AN，BM分别交CM，CN于P，Q两点求证：ΔPCQ是等边三角形②已知：ΔABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE交于点P，BQ⊥AD于Q求证：BP=2PQ③ 已知：ΔABC中，AB＞AC＞BC，Q是BC边上的一点求证：AQ+BC＜AB+AC④已知：如图，ΔABC中，D是BC的中点，ED⊥DF求证：BE+CF＞EF提示与答案：A组① 3 提示：利用在直角三角形中30所对直角边是斜边的一半，还要证出ΔDEF是等边三角形② D 这7个等腰三角形是：ΔABC、ΔBCE、ΔABD、ΔBCD、ΔBDE、ΔECD、ΔADEB组① 提示：先证明ΔMCB≌ΔACN∠1=∠2再证明ΔPCN≌ΔQCB PC=QC又易证∠PCQ=60∴可证ΔPCQ是等边三角形③ 提示：只须证明AQ＜AB，利用边与角的不等关系及外角性质即可证明④ 证题思路：延长ED至G，使DG=DE，连结GF、GC则ΔBDE≌ΔCDGFC+CG＞FG FC+BE＞EF二元一次方程组应用题1.一次篮、排球比赛，共有48个队，520名运动员参加，其中篮球队每队10名，排球队每队12名，求篮、排球各有多少队参赛？2.某厂买进甲、乙两种材料共56吨，用去9860元。

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