二重积分习题课

(1) 积分顺序通常是先 后 (2) D的极坐标表示
(1) 极点在D外
2( )
D : 1 ( ) 2 ( ), (2) 极点在D的边界上时
D

D : 0 ( ), (3) 极点在D的内部时 D : 0 ( ),0 2
D
当被积函数的原函数不 是初等函数时，例如：
y cos x sin x e , e , sin , , , sin x k , cos x k ( k 2)等, x x x 对这些函数要先积 y再对x积分.
x
2
y x
例2
3 sin x dxdy, D : x D
y , x 1, y 0所围。
其中D1是D的右半区域
D
当f ( x , y ) f ( x , y )时 当f ( x , y ) f ( x , y )时
2、若D关于x轴对称
即当(x,y)∈D时，必有(x, y) ∈D，则
f ( x, y )d
D
0, 2 f ( x , y )d , D1
如D的边界是由直角坐标方 程:y =f (x) 给出，通常可从几何 意义去确定D的极坐标表示（图 形是重要的）或利用x cos ,
y sin 进行变换.
O

D
1( )
A
( )
o
( )
A
o D
A
(3)坐标系的选取
当D的边界用极坐标表示比较简单或D是 圆域、圆的一部分时,
D 4 D1
注意：被积函数也要有对称性.
D1
sin( x 2 y 2 ) sin( x 2 y 2 ) dxdy 2 2 x 2 y 2 dxdy 4 x y D1 D
4 d
2

2
sin
0
1

d
4.
2 x I ( x x ye 例7. 计算二重积分 D
解 D的图形如右。 应先积y
y
x2 3
I dx sin x dy
0 0
1
x y
x 2 sin x 3dx
0
1
1 1 3 cos x (1 cos 1)。 3 3 0
1
O
x
例3 计算积分
y2
dx
1
3
2
x 1
e dy
y2
y
解：因为 e 的原函数不是初等函数， 故只能交换积分次序。积分区域如右图： 2
0
a a y
f ( x , y )dx dy
a
( x , y ) dx
sin( x 2 y 2 ) dxdy, 例 6 计算二重积分 2 2 x y D 其中积分区域为 D {( x , y ) | 1 x 2 y 2 4}.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
y 2 ( x)
y
y d
x 1 ( y)
D
y 1 ( x )
c
D
x 2 ( y)
o a
b
x
o
x
积分区域的不等式表示的是二重积分化为二 次积分确定积分限的基本依据。 (2) 积分顺序的确定
先积y还是先积x，要结合被积函数f (x,y)及积 分区域两个方面的特点加以考虑。
首先是“能积出”，其次是“易积出”。 如仅从积分区域的特点看，D是X —型区域时先 积y；D是Y —型区域先积x。 D既是X —型区域又是Y —型区域时,选择不需 分块或分块较少的积分顺序。
证明
dx
证
x
a
( x y)
n 2
1 b n1 f ( y )dy (b y ) f ( y )dy. a n1

b
a
dx ( x y )n 2 f ( y )dy
a b b
b
x
dy ( x y )n 2 f ( y )dx
a y
y x
D
1 n1 b f ( y )dy[ ( x y ) ]y a n1 1 b n1 ( b y ) f ( y )dy. n1 a
f ( x , y )dy ( a 0)
解
y
2a
y2 y 2ax x 2a
2 2 x a a y y 2ax x
2
a
O
a
2a
x
原式=
a
0 dy
2a
a
a a2 y2 f ( x, y2 2a
2 2
y ) dx
2a 2a y2 f 2a
dy
1 ( x ) y 2 ( x ) 若 D: ,则 a x b
y 2 ( x)
y
f ( x, y)d
D
b
a
dx
2 ( x)
D
y 1 ( x )
1 ( x )
f ( x , y )dy
o a y d
x 1 ( y)
b
x
1 ( y ) x 2 ( y ) 若 D: ,则 c y d
D
1 [ f ( x , y ) f ( y , x )]d 2 D
D
（四）有关二重积分的一些证明题 中值定理、变上限积分、换元等
二.典型例题 例1 计 算
D
x2 1 dxdy, 其 中D是 由y x , y , 2 y x
x 2围 成.
1 解 X-型 D : y x , 1 x 2. x 2 2 2 x x x d dx 1 2 dy 2 1 y x y D 2 2 9 x2 x 3 ( ) 1 dx 1 ( x x )dx . 1 4 y x
若f ( x , y ) f ( x , y ) 若f ( x , y ) f ( x , y )
其中D1是D的上半部分（或右半部分）区域。
4、若D关于直线 y =x对称，
即当(x,y)∈D时，必有(y,x)∈D，则
f ( x, y )d f ( y, x )d
若f ( x , y ) f ( x , y ) 若f ( x , y ) f ( x , y )
D1是D的上半部分区域
3、若D关于原点对称，
即当(x,y)D时，必有( x,y) D，则
f ( x, y )d
D
0, 2 f ( x , y )d , D1
2 1
o
D 1x
(2) 积分域如图:
添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 ,
x2 y2
利用对称性 , 得
I x d xd y x y e
2 D
D1
d xd y

1 1
D2
xyex
x
2
y
2
y yx o D2 1 x D1 1 y x
dxd y
第六章 二重积分习题课
一、内容提要
（一）二重积分的概念、性质
1、定义
f ( , ) f ( x, y)d lim
D 0 i 1 i i
n
i
2、几何意义：曲顶柱体的体积 3、性质
（二）二重积分的计算 1 、直角坐标系中 (1) 积分区域D的类型： X—型区域，Y—型区域,一般区域分划。
I dy
0
2
1 y
1
e dx
1 3 x
y2
ye dy
y2 0
2
1 4 (e 1) 2
例 4 改变积分的次序.
0 dx 0
1
2 x x2
f ( x , y )dy 1 dx 0
2
2 x
f ( x , y )dy
解 由上知区域的表达式为：
1 x 2 0 x 1 与 2 0 y 2 x 0 y 2 x x 积分区域如图所示：
y 2 x
y 2x x2
0 y `1 Y 型 : 2 1 1 y x 2 y 1 2 y 原式 0 dy 1 1 y 2 f ( x , y )dx .
例5 交换积分次序： dx
0
2a
2 ax 2 ax x
2
2
y2
) d xd y ，其中:
(1) D为圆域
(2) D由直线
解: (1) 利用对称性.
围成 .
x2 y2
I x d x d y x ye
2 D
D
d xd y
1 ( x 2 y 2 ) d xd y 0 2 D
y
1 3 d d 0 2 0 4
x d x d y 0 0
2 1
2 3
被积函数含有绝对值符号的二重积分计算：
关键：去掉绝对值
方法： 1.用被积函数中绝对值等 于0的曲线划分积分区域，
使每个子区域上表达式 恒为正或负；
2. 利用对称性去掉绝对值 符号
例8 计算 y x 2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
b
a
a
b
D
f ( x, y)d
D
d
c
dy
2 ( y)
1 ( y)
f ( x , y )dxc
o
x 2 ( y)
x
(3) 交换积分顺序
由所给的二次积分的顺序及积分限，确定积 分区域 D（画出图形），再按新的积分顺序将 D用新的不等式表出，即定出新的积分限。
2、利用极坐标计算二重积分
D
解 先去掉绝对值符号，如图

D
y x 2 d
D3
2

D1 D2
1
( x
0
2
y )d ( y x )d
D3
2 1 1 2
D1
D2
dx
1
x2
11 ( x y )dy dx 2 ( y x )dy . 1 x 15
例9
b a
x y 当被积函数形如f ( x y )、f 、f 时 x y 可考虑选用极坐标系。
2 2
（三）有关二重积分的对称性的应用（选讲）
1、若D关于y轴对称
即当(x,y)∈D时，必有(x,y) ∈D，则
f ( x, y )d
0, 2 f ( 来自百度文库 , y )d , D1