ACM培训

4我们现在这个主题“搜索 ” 我们现在这个主题 “搜索”即是对状 态空间搜索：
如果按专业点的说法就是将问题求解过 程表现为从初始状态到目标状态寻找这 个路径的过程。 个路径的过程。 通俗点说， 就是在解一个问题时， 通俗点说 ， 就是在解一个问题时 ， 找到 一条解题的过程可以从求解的开始到问 题的结果。 题的结果。
5．A*算法
由于求解问题的过程中分枝有很多， 由于求解问题的过程中分枝有很多，主 要是求解过程中求解条件的不确定性， 要是求解过程中求解条件的不确定性， 不完备性造成的， 不完备性造成的，使得求解的路径很多 这就构成了一个图， 这就构成了一个图，我们说这个图就是 状态空间。 状态空间。 问题的求解实际上就是在这个图中找到 一条路径可以从开始到结果。 一条路径可以从开始到结果。这个寻找 的过程就是状态空间搜索。 的过程就是状态空间搜索。
6．搜索树
3． 静态最优查找树/次优查找树：考虑到上面折半查 静态最优查找树/ 找在概率问题下的效率不行， 找在概率问题下的效率不行，我们就想能不能把折半 查找二叉树中概率最大的数据放在根的位置上或者放 在离根较近的位置上？基于此，静态最优查找树/ 在离根较近的位置上？基于此，静态最优查找树/次优 查找树的思想就是在折半查找二叉树的基础上求解一 个带权(数据被查找概率)路径长度最小/近视最小的树。 个带权(数据被查找概率)路径长度最小/近视最小的树。 总体上说， 静态最优 / 总体上说 ， 静态最优/ 次优查找树的时间复杂度也在 O(log2 N)数量级上（ O(log2 N)数量级上（特别是在数据具有查找概率的情 况下也能保证这个效率） 况下也能保证这个效率）。
2010暑假培训 2010暑假培训
7.20～ 7.20～7.26
第一阶段主要内容
1．枚举算法 2．深度优先搜索 3．广度优先搜索（Broad First Search） 广度优先搜索（ Search） 4．双向广度优先搜索 5．A*（A-Star)算法 A*（ Star)算法 6．搜索树 7．归并排序 8．基数排序 9．桶排序
2．深度优先遍历
这是一棵状态树 有两个特点：
1.结点之间是树 1.结点之间是树 状关系 2.结点是“状态” 2.结点是“状态”
3．广度优先遍历
广度优先搜索（BFS）与DFS不同，BFS 广度优先搜索（BFS）与DFS不同，BFS 是最先产生的节点，最后扩展。 堆栈在这里就不适用了。因此，我们选用 队列为BFS的主要数据结构。 队列为BFS的主要数据结构。 广度优先会扩展出很多结点，这是一个负 面的问题。
6．搜索树
2．折半查找：很显然的一个例子就是利用折半查找 (二分查找) 法对有序的线性数据进行查找。每一次都 二分查找) 法对有序的线性数据进行查找。 找（前一次查找范围的）1/2的部分，查找次数当然就 前一次查找范围的） 的部分， 大大减少了。时间复杂度在O(log N)数量级上。 大大减少了。时间复杂度在O(log2N)数量级上。 折半查找实际就是一颗二叉树遍历， 折半查找实际就是一颗二叉树遍历，其中最中间的数 据就是二叉树的根。但是问题又来了， 据就是二叉树的根。但是问题又来了，如果这个根数 据一年才查找一次， 而这棵树的叶子数据1 据一年才查找一次 ， 而这棵树的叶子数据 1 秒钟需要 查找1 查找1W次（考虑数据的查找概率）。这种折半查找的 考虑数据的查找概率） 效率又不行了？ 效率又不行了？
5．A*算法
f‘(n)是估价函数 ， g’(n)是起点到终点的最短路径 f‘(n) 是估价函数， g’(n) 是起点到终点的最短路径 值 ， h‘(n) 是 n 到目标的最短路径的启发值 。 由于 h‘(n)是 到目标的最短路径的启发值。 这个f’(n) 其实是无法预先知道的， 这个 f’(n)其实是无法预先知道的 ， 所以我们用前 面 的 估 价 函 数 f(n) 做 近 似 。 g(n) 代 替 g‘(n) ， 但 g(n)>=g’(n)才可 （ 大多数情况下都是满足的， g(n)>=g’(n) 才可（ 大多数情况下都是满足的 ， 可 以不用考虑） h(n)代替 h‘(n)， h(n)<=h’(n)才 以不用考虑 ） ， h(n) 代替h‘(n) ， 但 h(n)<=h’(n) 才 可（这一点特别的重要）。 这一点特别的重要） 可以证明应用这样的估价函数是可以找到最短路 径的，也就是可采纳的。 径的，也就是可采纳的。我们说应用这种估价函 数的最好优先算法就是A*算法。 数的最好优先算法就是A*算法。
5．A*算法
启发式搜索其实有很多的算法， 启发式搜索其实有很多的算法，比 如：局部择优搜索法、 如：局部择优搜索法、最好优先搜 索法等等。 当然 A*也是 。 索法等等 。 当然A* 也是。 这些算 法都使用了启发函数， 法都使用了启发函数，但在具体的 选取最佳搜索节点时的策略不同。 选取最佳搜索节点时的策略不同。
5．A*算法
象局部择优搜索法， 象局部择优搜索法，就是在搜索的过程 中选取“最佳节点” 中选取“最佳节点”后舍弃其他的兄弟 节点，父亲节点，而一直得搜索下去。 节点，父亲节点，而一直得搜索下去。
这种搜索的结果很明显， 这种搜索的结果很明显，由于舍弃了其 他的节点， 他的节点，可能也把最好的节点都舍弃 了，因为求解的最佳节点只是在该阶段 的最佳并不一定是全局的最佳。 的最佳并不一定是全局的最佳。
5．A*算法
最好优先就聪明多了，他在搜索时， 最好优先就聪明多了，他在搜索时，便没有 舍弃节点（除非该节点是死节点） 舍弃节点（除非该节点是死节点），在每一 步的估价中都把当前的节点和以前的节点的 估价值比较得到一个“最佳的节点” 估价值比较得到一个“最佳的节点”。这样 可以有效的防止“最佳节点”的丢失。 可以有效的防止“最佳节点”的丢失。那么 A*算法又是一种什么样的算法呢 ？ 其实 A* A* 算法又是一种什么样的算法呢？
5．A*算法
关于h(n)启发函数的信息性： 关于h(n)启发函数的信息性：
h(n)的信息性通俗点说其实就是在估计一个节点的 h(n) 的信息性通俗点说其实就是在估计一个节点的 值时的约束条件； 如果信息越多或约束条件越多则排除的节点就越多， 如果信息越多或约束条件越多则排除的节点就越多， 估价函数越好或说这个算法越好。 估价函数越好或说这个算法越好。这就是为什么广 度优先算法的那么臭的原因了，谁叫它的h(n)=0 度优先算法的那么臭的原因了，谁叫它的h(n)=0， 一点启发信息都没有 但在有的算法中，由于算法本身的特点， h(n)的信 但在有的算法中，由于算法本身的特点， h(n)的信 息很多，它的计算量也很大，耗费的时间就很多。 息很多，它的计算量也很大，耗费的时间就很多。 就应该适当的减小h(n) 的信息，即减小约束条件。 就应该适当的减小 h(n)的信息，即减小约束条件。 但算法的准确性就差了，这里就有一个平衡的问题。 但算法的准确性就差了，这里就有一个平衡的问题。
5．A*算法
常用的状态空间搜索有深度优先和广度 优先。 优先。 有一个很大的缺陷就是他们都是在一个 给定的状态空间中穷举。 给定的状态空间中穷举。这在状态空间 不大的情况下是很合适的算法， 不大的情况下是很合适的算法，可是当 状态空间十分大， 状态空间十分大，且不预测的情况下就 不可取了。他的效率实在太低， 不可取了。他的效率实在太低，甚至不 可完成。在这里就要用到启发式搜索了。 可完成。在这里就要用到启发式搜索了。
6．搜索树
查找有两大类：静态查找和动态查找。 静态查找有如下几种常用： 1．顺序查找：大家都知道，最简单的 查找方法就是顺序查找 （一个接一个 得查下去）。这种线性结构的查找效 率是最低的，时间复杂度在O(N)数量 率是最低的，时间复杂度在O(N)数量 级，最坏的情况莫过于所有数据都找 遍了，还是没找到。（疑惑：难道真 的每一个数据都必须找一次吗？）
5．A*算法
我们先看看估价是如何表示的。 启发中的估价是用估价函数表示的，如： f(n) = g(n) + h(n) 其中f(n)是节点n的估价函数，g(n)实在状态空间中从 其中f(n)是节点n的估价函数，g(n)实在状态空间中从 初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n 初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点 最佳路径的估计代价。在这里主要是h(n)体现了搜索 最佳路径的估计代价。在这里主要是h(n)体现了搜索 的启发信息，因为g(n)是已知的。如果说详细点，g(n) 的启发信息，因为g(n)是已知的。如果说详细点，g(n) 代表了搜索的广度的优先趋势。但是当h(n)>>g(n)时， 代表了搜索的广度的优先趋势。但是当h(n)>>g(n)时， 可以省略g(n),而提高效率。 可以省略g(n),而提高效率。
1．枚举算法
枚举法是最简单的搜索策略，由于它只是 将可能取到的值一一列举，所以运算量很 大，这是枚举法最大的弱点。 在有可能的情况下，采取一定措施进行优 化：如：
利用加强约束条件改进的枚举算法 利用数学分析改进的枚举算法
2．深度优先遍历
如算法名称那样，深度优先搜索所遵循的搜索策 略是尽可能“深”地搜索树。 在深度优先搜索中，对于当前发现的结点，如果 它还存在以此结点为起点而未探测到的边，就沿 此边继续搜索下去，若当结点的所有边都己被探 寻过，将回溯到当前结点的父结点，继续上述的 搜索过程直到所有结点都被探寻为止。 它所实施的数据前提是一个状态树。
算法也是一种最好优先的算法。只不过要加
上一些约束条件罢了。 上一些约束条件罢了。
5．A*算法
先下个定义，如果一个估价函数可 以找出最短的路径，我们称之为可 采纳性。A*算法是一个可采纳的 采纳性。A*算法是一个可采纳的 最好优先算法。A*算法的估价函 最好优先算法。A*算法的估价函 数可表示为： f'(n) = g'(n) + h'(n)
5．A*算法
其实广度优先算法就是A* 算法的 其实广度优先算法就是 A*算法的 特例。其中g(n)是节点所在的层数， 特例。其中g(n)是节点所在的层数， h(n)=0 这种 h(n)肯定小于 h'(n)， h(n)=0 ， 这种h(n) 肯定小于h'(n) ， 所以由前述可知广度优先算法是一 种可采纳的。实际也是。 种可采纳的。实际也是。当然它是 一种最臭的A*算法。 一种最臭的A*算法。